?目 錄

第一講 因式分解……………………………………2
第二講 分式…………………………………………6
第三講 圖形變換……………………………………10
第四講 三角形的“五心” ………………………14
第五講 幾何中的著名定理………… ……………18
第六講 圓………………………… ………………20
第七講 一次函數(shù)和一次不等式……………… …23
第八講 均值不等式………… ……………………27
第九講 一次分式函數(shù)…… ………………………31
第十講 一元二次方程…… ………………………34
第十一講 一元二次函數(shù)（一）…… ……………38
第十二講 一元二次函數(shù)（二）… ………………42
第十三講 一元二次不等式… ……………………46
第十四講 絕對值不等式……………… …………50
第十五講 根的分布（一）…………… …………53
第十六講 根的分布（二）…………… …………57

第一講 因式分解

一、知識歸納
1、公式法分解因式：用公式法因式分解，要掌握如下公式：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）；
（6）；
（7）當(dāng)n為正奇數(shù)時
當(dāng)n為正偶數(shù)時
2、十字相乘法因式分解
3、待定系數(shù)法因式分解
4、添項與拆項法因式分解
5、長除法
二、例題講解
例1：因式分解：





例2：因式分解：








例3：因式分解








例4：利用待定系數(shù)法因式分解
（1） （2）





例5：利用添項法、拆項法因式分解
（1） （2）







例6：已知，求的值。








三、課堂練習(xí)
1、分解因式
（1）
（2）
（3）


分解因式
（1）
（2）
3、分解因式
（1）
（2）
4、已知多項式能被整除，且商式是則 。
5、多項式能被整除，求的值。
第二講　分式

一、知識歸納
（一）分式的運算規(guī)律
1、加減法
同分母分式加減法：
異分母分式加減法：
2、乘法：
3、除法：
4、乘方：
（二）分式的基本性質(zhì)
1、　　　　　　　　　　　　　　2、
（三）比例的性質(zhì)
（1）若則
（2）若則（合比性質(zhì)）
（3）若（）則（合分比性質(zhì)）
（4）若＝…＝，且則（等比性質(zhì)）
（四）分式求解的基本技巧
1、分組通分
2、拆項添項后通分
3、取倒數(shù)或利用倒數(shù)關(guān)系
4、換元化簡
5、局部代入
6、整體代入
7、引入?yún)?shù)
8、運用比例性質(zhì)
二、例題解析
例1：化簡







例2：化簡：










例3：計算







例4：計算








例5：若，求






例6：已知且
求分式的值






三、課堂練習(xí)
1、已知，，，則x＝　　　　　　；
2、若則分式＝　　　　　　；
3、設(shè)，則＝　　　　　　?。?br /> 4、若，且，則＝　　　　?。?br /> 5、設(shè)、、為有理數(shù)，且，，，，則＝　　　　　??；
6、已知、、均不為0，且，則＝　　　　　；

第三講　圖形變換

一、知識歸納
1、
2、
3、
4、
5、
將圖象在x軸下方的部分，以x軸為對稱軸對稱地翻折上去即可
6、
將的圖象位于y軸右邊的部分保留，在y軸的左邊作其對稱的圖即可。
二、例題解析
例1：說出下列函數(shù)圖象之間的相互關(guān)系
（1）與 （2）與
（3）與 （4）與







例2：已知①中的圖的對應(yīng)函數(shù)，則②中的圖象對應(yīng)函數(shù)為　　　　　?。?br /> x
y
0
x
y
0
①
②





A、 B、 C、 D、


例3：畫出下列函數(shù)的圖象
（1） （2）






例4：已知的圖象過點（3，2），那么與函數(shù)的圖系關(guān)于x軸對稱的圖象一定過點　　　　　?。?br /> A、（4，2） B、（4，－2） C、（2，－2） D、（2，2）





x
y
0
-1
1
2
3
1
2
3
例5：試討論方程的根的個數(shù)








例6：求方程的解的個數(shù)






課堂練習(xí)：
1、函數(shù)的圖象　　　　　??；
A、與的圖象關(guān)于y軸對稱 B、與的圖象關(guān)于原點對稱
C、與的圖象關(guān)于y軸對稱 D、與的圖象關(guān)于原點對稱
2、為了得到的圖象，可以把的圖象
y
x
0
(0,1)
y=2x
第3題圖
A、向左平移3個單位長度
B、向右平移3個單位長度
C、向左平移1個單位長度
D、向右平移1個單位均等
3、已知的圖象如右，請畫出以下函數(shù)的圖象
y
x
0
(1,0)
第4題圖
（1）?。?）　（3）?。?）　（5）
4、已知
試求不等式：
成立的x的取值范圍
5、已知方程有一負(fù)根，而沒有正根，那么a的取值范圍是　　　　??；
A、 B、 C、 D、補以上答案
第四講　三角形的“五心”

一、知識歸納
1、重心：三角形的三條中線交點，它到頂點的距離等于它到對邊中點的距離的2倍，重心和三頂點的連線將△ABC的面積三等分，重心一定在三角形內(nèi)部。
2、外心：是三角形三邊中垂線的交點，它到各頂點的距離相等，銳角三角形的外心在三角形內(nèi)，直角三角形的外心是斜邊的中點，鈍角三角形的外心在三角形外。
3、內(nèi)心：是三角形的三內(nèi)角平分線的交點，它到三邊的距離相等，內(nèi)心一定在三角形內(nèi)。
4、垂心：是三角形三條高的交點，垂心和三角形的三個頂點，三條高的垂足組成六組四點共圓，銳角三角形的垂心在三角形內(nèi)，直角三角形的垂心為直角頂點，鈍角三角形的垂心在三角形外。
5、旁心：是三角形任意兩角的外角平分線和第三個角的內(nèi)角平分線的交點，它到三角形的三邊距離相等，一定位于三角形外部。
二、例題解析
例1：在銳角△ABC中，內(nèi)角為A、B、C三邊為a、b、c，則內(nèi)心到三邊的距離之比為　　　　　，重心到三邊的距離為　　　　　，外心到三邊的距離之比為　　　　　，垂心到三邊的距離之比為　　　　　　。








A
F
B
D
C
E
H
例2：如圖，銳角△ABC的垂心為H，三條高的垂足分別為D、E、F，則H是△DEF的　　　　?。?br /> A、垂心 B、重心
C、內(nèi)心 D、外心






例3：如圖，D是△ABC的邊BC上任一點，點E、
A
B
C
E
G
F
M
D
N
F分別是△ABD和△ACD的重心連結(jié)EF交AD于G點，
則DG：GA＝　　　　　??；






例4：設(shè)△ABC的重心為G，GA＝，，，則＝　　　?。?br />





例5：若H為△ABC的重心，AH＝BC，則∠BAC的度數(shù)是　　　　??；
A、45° B、30° C、30°或150° D、45°或135°







A
E
B
C
D
O
G
例6：已知平行四邊形ABCD中，E是AB的中點，AB＝10，AC＝9，DE＝12，求平行四邊形ABCD的面積。







三、課堂練習(xí)
1、已知三角形的三邊長分別為5，12，13，則其垂心到外心的距離為　　　　，重心到垂心的距離為　　　　??；
2、已知三角形的三邊長為5，12，13，則其內(nèi)切圓的半徑＝　　　　　；
3、在△ABC中，∠A是鈍角，O是垂心，AO＝BC，則cos（∠OBC+∠OCB）= ;
4、設(shè)G為△ABC的重心，且AG＝6，BG＝8，CG＝10，則△ABC的面積為　　　??；
5、若，那么以、、為三邊的△ABC的內(nèi)切圓，外接圓的半徑之和為　　　　??；
A、 B、
C、 D、
6、△ABC的重心為G，M在△ABC的平面內(nèi)，求證：


第五講　幾何中的著名定理

一、知識歸納
本節(jié)重點掌握三角形內(nèi)、外角平分線定理、中線長定理，梅涅勞斯定理與塞瓦定理
二、例題解析
例1：如圖△ABC中，AD為∠BAC的角平分線
A
F
B
D
C
E
1
2
求證：





A
B
C
D
1
2
例2：如圖，△ABC中，AD為∠A的外角
平分線，交BC的延長線于點D，求證：.





A
B
D
E
C
例3：如圖，AD為△ABC的中線，
求證：




例4：（梅涅勞斯定理）
A
F
B
C
E
G
D
如果在△ABC的三邊BC，CA、AB或其延長線上有點D、E、F且D、E、F三點共線，則





A
M
B
N
C
P
0
1
2
3
4
5
6
例5：設(shè)O為△ABC內(nèi)任意一點，AO、BO、CO
分別交對邊于N、P、M，則.






三、課堂練習(xí)
1、如圖，P是AC中點，D、E為BC上兩點，
且BD＝DE＝EC，則BM：MN：NP＝ ；
B
D
A
E
S
C
M
2、如圖，在△ABC中，D、E分別在邊AB、
AC上且DE//BC，設(shè)BE與CD交于S，證明BM＝CM。
3、證明：三角形的三條角平分線交于一點。

第六講　圓

一、知識歸納
1、證明四點共圓的方法有：
（1）到一定點的距離相等的點在同一個圓上
（2）同斜邊的直角三角形的各頂點共圓
（3）線段同旁張角相等，則四點共圓。
（4）若一個四邊形的一組對角再互補，那么它的四個頂點共圓
（5）若四邊形的一個外角等于它的內(nèi)對角，那么它的四個頂點共圓
（6）四邊形ABCD對角線相交于點P，若PA·PC＝PB·PD，則它的四個頂點共圓
（7）四邊形ABCD的一組對邊AB、DC的延長線交于點P，若，則它的四個頂點共圓。
2、圓冪定理
二、例題講解
例1：如圖，設(shè)AB為圓的直徑，過點A在AB的同側(cè)作弦AP、AQ交B處的切線于R、S，求證：P、Q、S、R同點共圓。
A
B
Q
S
R
P





A
D
C
O
E
B
例2：圓內(nèi)接四邊形ABCD，O為AB上一點，以O(shè)為圓心的半圓與BC，CD，DA相切，求證：AD＋BC＝AB



例3：如圖，設(shè)A為⊙O外一點，AB，
AC和⊙O分別切于B，C兩點，APQ為⊙O
的一條割線，過點B作BR//AQ交⊙O于點R，
連結(jié)CR交AO于點M，試證：A，B，C，O，M五點共圓。






例4：如圖，PA切⊙O于A，割線PBC交⊙O于B，C兩點，D為PC中點，且AD延長線交⊙O于點E，又,求證：（1）PA＝PD；（2）.
A
P
B
D
O
E
C






例5：如圖，PA，PB是⊙O的兩條切線，PEC是一條割線，D是AB與PC的交點，A
C
D
P
O
H
E
B
若PE長為2，CD＝1，求DE的長度。






三、課堂練習(xí)
1、如圖，已知點P在⊙O外一點，PS，PT是⊙O的兩條切線，過點P作⊙O的割線PAB，交⊙O于A，B兩點，并交ST于點C，求證：
S
B
D
P
O
A
C
T






A
B
G
P
C
O
M
R
2、如圖，A是⊙O外一點，AB、AC和⊙O分別切于點B、C，APQ為⊙O的一條割線，過B作BR//AQ交⊙O于R，連CR交AQ于M。
試證：A，B，C，O，M五點共圓。






3、設(shè)⊙O1、⊙O2、⊙O3兩兩外切，M是⊙O1、⊙O2的切點，R、S分別是⊙O1、⊙O2與⊙O3的切點，連心線交⊙O1于P，⊙O2于Q，求證：P、Q、R、S四點共圓。
P
R
Q
S
O1
O3
O2





第七講 一次函數(shù)和一次不等式

【要點歸納】
1、形如y=kx+b(k≠0)的函數(shù)叫做一次函數(shù)。
（1）它的圖象是一條斜率為k，過點（0，b）的直線。
（2）k>0是增函數(shù)；kb的解的情況：
（1）當(dāng)a>0時，；
（2）當(dāng)a0，則無解。
類似地，請同學(xué)們自行分析不等式ax0，則=___________






例9 若不等式（2a-b）x+(3a-4b)0的解。





【反饋練習(xí)】
1、一次函數(shù)y=(3m-1)x-(m+5)的圖象不過第一象限，則實數(shù)m的取值范圍是____________
2、一次函數(shù)f(x)滿足：f（f（f(x)））=-27x-21，則f(x)=_______________
3、函數(shù)f(x)=3x+1+k-2kx在-1≤x≤1時，滿足f(x)≥k恒成立，則整數(shù)k的值為____________
4、已知x≥0，y≥0，z≥0，且滿足x+3y+2z=3，3x+3y+z=4求w=3x-2y+4z的最大值和最小值。




5、若不等式5x-a≤0的正整數(shù)解是1，2，3，4，則a的取值范圍為___________




6、解關(guān)于x的不等式：a(x-a)>x-1




7、若不等式（m+n）x+(2m-3n)0的解。




8、解關(guān)于x的不等式組：
第八講 均值不等式
【要點歸納】
當(dāng)a，b，c＞0時，則
（1）（當(dāng)且僅當(dāng)a=b時，取“=”）
（2）（當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時，取“=”）
更一般地，當(dāng)（n）時，
則（當(dāng)且僅當(dāng)時，取“=”）
【典例分析】
例1 設(shè)a，b，c＞0，證明下列不等式：
（1） （2）





例2 下列命題中有________個正確
（1）函數(shù)的最小值是4；
（2）函數(shù)的最小值是2
（3）函數(shù)的最大值是
（4）函數(shù)，當(dāng)x=1時，取最小值。
例3 （1） 已知，且，求x+y的最小值；
（2） 已知，且，求的最大值。






例4 （1）當(dāng)x>1時，求的最小值；
（2）當(dāng)時，求的最大值。






例5 （1）當(dāng)a，b>0時，證明：
（2）設(shè)a>b>c，求使得不等式恒成立的k的最大值。





例6 某食品廠定期購買面粉，已知每噸面粉的價格為1800元，該廠每天需用面粉6噸，面粉的保管費為平均每噸每天3元，因需登記入庫，每次所購面粉不能當(dāng)天使用，每次購面粉需支付運輸費900元，求該廠多少天購買一次面粉，才能使平均每天所支付的總費用最少？





【反饋練習(xí)】
1、已知，且a+b=1，求的最小值。




2、函數(shù)y=x(1-2x) ()的最大值等于___________；此時x=__________




3、函數(shù)的最小值為6，則實數(shù)a=_____________




4、已知，且ab=3+a+b，求ab的取值范圍。




5、求函數(shù)的最大值及相應(yīng)的x的值。




6、設(shè)計一幅宣傳畫，要求畫面面積為4840，畫面的寬與高的比為，畫面的上下各留8
空白，左右各留5空白，怎樣確定畫面的高與寬尺寸，能使宣傳畫所用紙張面積最小？


第九講 一次分式函數(shù)
【要點歸納】
形如的函數(shù)，叫做一次分式函數(shù)。
（1）特殊地，叫做反比例函數(shù)；
（2）一次分式函數(shù)的圖象是雙曲線，是兩條漸近線，對稱中心為（）（c≠0）。
【典例分析】
例1 說明函數(shù)的圖象可由函數(shù)的圖象經(jīng)過怎樣的平移變換而得到，并指出它的對稱中心。




例2 求函數(shù)在-3≤x≤-2上的最大值與最小值。




例3 將函數(shù)的圖象向右平移1個單位，向上平移3個單位得到函數(shù)的圖象
（1）求的表達(dá)式；
（2）求滿足≤2的x的取值范圍。
例4 求函數(shù)的值域。





例5 函數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)-1＜x＜1時，
（1）求常數(shù)a的值；
（2）若方程有唯一的實數(shù)解，求實數(shù)m的值。






例6 已知圖象上的點到原點的最短距離為6
（1）求常數(shù)a的值；
（2）設(shè)圖象上三點A、B、C的橫坐標(biāo)分別是t，t+2，t+4，試求出最大的正整數(shù)m，
使得總存在正數(shù)t，滿足△ABC的面積等于。




【反饋練習(xí)】
1、若函數(shù)y=2/(x-2)的值域為y≤1/3，則其定義域為_____________。
2、函數(shù)的圖象關(guān)于點_____________對稱。
3、若直線y=kx與函數(shù)的圖象相切，求實數(shù)k的值。
4、畫出函數(shù)的圖象。




5、若函數(shù)在(-2，+∞)是增函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍。




6、（1）函數(shù)的定義域、值域相同，試求出實數(shù)a的值；
（2）函數(shù)的圖象關(guān)于直線y=x對稱，試求出實數(shù)a的值。

第十講 一元二次方程

【要點歸納】
一元二次方程 （※）
1、實數(shù)根的判斷
△＞0方程（※）有兩個不同的實數(shù)根
△= 0方程（※）有兩個相同的實數(shù)根
△＜0方程（※）沒有實數(shù)根
2、求根公式與韋達(dá)定理
當(dāng) △≥0時，方程（※）的實數(shù)根
并且
【典例分析】
例1、（1）已知是方程的一個實根，求另一個根及實數(shù)m的值；
（2）關(guān)于x的方程有實數(shù)根，求實數(shù)a的取值范圍。





例2 設(shè)實數(shù)s，t分別滿足：，，并且，求的值。





例3 實數(shù)x，y，z，滿足：x+y+z=a，x2+y2+z2=（a>0）,求證：





例4 求函數(shù)的最大值與最小值。





例5 若關(guān)于x的方程有兩個不同的實數(shù)根，求實數(shù)m的取值范圍。





例6 函數(shù)，其中滿足：，
（1）求證：方程有兩個不同的實數(shù)根，；
（2）求的取值范圍。






【反饋練習(xí)】
1、當(dāng)a，b時，關(guān)于x的方程有實數(shù)根？




2、已知，且，則的值等于_______




3、設(shè)△ABC的兩邊AB與AC長之和為a，M是AB的中點，MC=MA=5，求a的取值范圍。




4、設(shè)實數(shù)a，b滿足：，求的取值范圍。



5、求函數(shù)的最值。




6、 若關(guān)于x的方程有唯一的實數(shù)根，求實數(shù)m的取值范圍。




第十一講 一元二次函數(shù)（一）
【要點歸納】
1、形如的函數(shù)叫做二次函數(shù)，其圖象是一條拋物線。
2、二次函數(shù)的解析式的三種形式：
10 一般式
20 頂點式 ，其中頂點為（m，n）
30 零點式 ，其中，是的兩根。
本講主要解決求二次函數(shù)的解析式問題。
【典例分析】
例1 二次函數(shù)f(x)滿足：，并且它的圖象在x軸截得的線段長等于4，求f(x)的解析式。






例2 二次函數(shù)f(x)滿足：f(1)=f(-5)，且圖象過點（0，1），被x軸截得的線段長等于。
求f(x)的解析式。




例3 二次函數(shù)f(x)滿足：f(x+1)-f(x)=2x，且f(0)=1。
（1）求f(x)的解析式；
（2）當(dāng)-1≤x≤1時，y=f(x)的圖象總是在y=2x+m的圖象上方，試確定實數(shù)m的取值范圍。






例4 若方程有且僅有三個實數(shù)根，求實數(shù)a的值。






例5 設(shè)，若，，
（1）求證：且方程有兩個不同的實數(shù)根；
（2）求及的取值范圍。





例6 設(shè)二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a>0)，方程f(x)-x=0的兩個根x1，x2滿足：
（1）當(dāng)0

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