第五講 二次函數(shù)的最值問題二次函數(shù)是初中函數(shù)的主要內(nèi)容，也是高中學(xué)習(xí)的重要基礎(chǔ)．在初中階段大家已經(jīng)知道：二次函數(shù)在自變量取任意實(shí)數(shù)時(shí)的最值情況(當(dāng)時(shí)，函數(shù)在處取得最小值，無最大值；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在處取得最大值，無最小值．本節(jié)我們將在這個(gè)基礎(chǔ)上繼續(xù)學(xué)習(xí)當(dāng)自變量在某個(gè)范圍內(nèi)取值時(shí)，函數(shù)的最值問題．同時(shí)還將學(xué)習(xí)二次函數(shù)的最值問題在實(shí)際生活中的簡單應(yīng)用．【例1】當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的最大值和最小值．分析：作出函數(shù)在所給范圍的及其對(duì)稱軸的草圖，觀察圖象的最高點(diǎn)和最低點(diǎn)，由此得到函數(shù)的最大值、最小值及函數(shù)取到最值時(shí)相應(yīng)自變量的值． 解：作出函數(shù)的圖象．當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，．      【例2】當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的最大值和最小值．解：作出函數(shù)的圖象．當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，．由上述兩例可以看到，二次函數(shù)在自變量的給定范圍內(nèi)，對(duì)應(yīng)的圖象是拋物線上的一段．那么最高點(diǎn)的縱坐標(biāo)即為函數(shù)的最大值，最低點(diǎn)的縱坐標(biāo)即為函數(shù)的最小值．根據(jù)二次函數(shù)對(duì)稱軸的位置，函數(shù)在所給自變量的范圍的圖象形狀各異．下面給出一些常見情況：      【例3】當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的取值范圍．解：作出函數(shù)在內(nèi)的圖象．可以看出：當(dāng)時(shí)，，無最大值．所以，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的取值范圍是．【例4】當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的最小值(其中為常數(shù))．分析：由于所給的范圍隨著的變化而變化，所以需要比較對(duì)稱軸與其范圍的相對(duì)位置．解：函數(shù)的對(duì)稱軸為．畫出其草圖．(1) 當(dāng)對(duì)稱軸在所給范圍左側(cè)．即時(shí)： 當(dāng)時(shí)，；(2) 當(dāng)對(duì)稱軸在所給范圍之間．即時(shí)： 當(dāng)時(shí)，；(3) 當(dāng)對(duì)稱軸在所給范圍右側(cè)．即時(shí)： 當(dāng)時(shí)，．     綜上所述：在實(shí)際生活中，我們也會(huì)遇到一些與二次函數(shù)有關(guān)的問題：【例5】某商場以每件30元的價(jià)格購進(jìn)一種商品，試銷中發(fā)現(xiàn)這種商品每天的銷售量(件)與每件的銷售價(jià)(元)滿足一次函數(shù)．(1) 寫出商場賣這種商品每天的銷售利潤與每件銷售價(jià)之間的函數(shù)關(guān)系式；(2) 若商場要想每天獲得最大銷售利潤，每件商品的售價(jià)定為多少最合適？最大銷售利潤為多少？解：(1) 由已知得每件商品的銷售利潤為元， 那么件的銷售利潤為，又．  (2) 由(1)知對(duì)稱軸為，位于的范圍內(nèi)，另拋物線開口向下 當(dāng)時(shí)，當(dāng)每件商品的售價(jià)定為42元時(shí)每天有最大銷售利潤，最大銷售利潤為432元．     A    組1．拋物線，當(dāng)= _____ 時(shí)，圖象的頂點(diǎn)在軸上；當(dāng)= _____ 時(shí)，圖象的頂點(diǎn)在軸上；當(dāng)= _____ 時(shí)，圖象過原點(diǎn)．2．用一長度為米的鐵絲圍成一個(gè)長方形或正方形，則其所圍成的最大面積為 ________ ．3．求下列二次函數(shù)的最值： (1) ；   (2) ．4．求二次函數(shù)在上的最大值和最小值，并求對(duì)應(yīng)的的值．5．對(duì)于函數(shù)，當(dāng)時(shí)，求的取值范圍．6．求函數(shù)的最大值和最小值．7．已知關(guān)于的函數(shù)，當(dāng)取何值時(shí)，的最小值為0？  B    組1．已知關(guān)于的函數(shù)在上． (1) 當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的最大值和最小值； (2) 當(dāng)為實(shí)數(shù)時(shí)，求函數(shù)的最大值．2．函數(shù)在上的最大值為3，最小值為2，求的取值范圍．3．設(shè)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最小值是，最大值是0，求的值．4．已知函數(shù)在上的最大值為4，求的值．5．求關(guān)于的二次函數(shù)在上的最大值(為常數(shù))．      第五講 二次函數(shù)的最值問題答案A 組1．4  14或2，2．3．(1) 有最小值3，無最大值；(2) 有最大值，無最小值．4．當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．5．6．當(dāng)時(shí)，；當(dāng)或1時(shí)，．7．當(dāng)時(shí)，． B 組1．(1) 當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．   (2) 當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．2．．3．．4．或．5．當(dāng)時(shí)，，此時(shí)；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)． 

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