第四講 不 等 式初中階段已經(jīng)學(xué)習(xí)了一元一次不等式和一元一次不等式組的解法．高中階段將進(jìn)一步學(xué)習(xí)一元二次不等式和分式不等式等知識．本講先介紹一些高中新課標(biāo)中關(guān)于不等式的必備知識．一、一元二次不等式及其解法   1．形如的不等式稱為關(guān)于的一元二次不等式．【例1】解不等式．分析：不等式左邊可以因式分解，根據(jù)“符號法則 --- 正正(負(fù)負(fù))得正、正負(fù)得負(fù)”的原則，將其轉(zhuǎn)化為一元一次不等式組．解：原不等式可以化為：，于是：或所以，原不等式的解是．說明：當(dāng)把一元二次不等式化為的形式后，只要左邊可以分解為兩個一次因式，即可運(yùn)用本題的解法． 【例2】解下列不等式：  (1)     (2) 分析：要先將不等式化為的形式，通常使二次項系數(shù)為正數(shù)．解：(1) 原不等式可化為：，即 于是： 所以原不等式的解是． (2) 原不等式可化為：，即 于是： 所以原不等式的解是．2．一元二次不等式與二次函數(shù)及一元二次方程的關(guān)系(簡稱：三個二次)．以二次函數(shù)為例：(1) 作出圖象；(2) 根據(jù)圖象容易看到，圖象與軸的交點是，即當(dāng)時，．就是說對應(yīng)的一元二次方程的兩實根是．(3) 當(dāng)時，，對應(yīng)圖像位于軸的上方．就是說的解是．　當(dāng)時，，對應(yīng)圖像位于軸的下方．就是說的解是．一般地，一元二次不等式可以結(jié)合相應(yīng)的二次函數(shù)、一元二次方程求解，步驟如下：(1) 將二次項系數(shù)先化為正數(shù)；(2) 觀測相應(yīng)的二次函數(shù)圖象．①如果圖象與軸有兩個交點，此時對應(yīng)的一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根(也可由根的判別式來判斷) ．那么(圖1)：       ②如果圖象與軸只有一個交點，此時對應(yīng)的一元二次方程有兩個相等的實數(shù)根(也可由根的判別式來判斷) ．那么(圖2)：          無解③如果圖象與軸沒有交點，此時對應(yīng)的一元二次方程沒有實數(shù)根 (也可由根的判別式來判斷) ．那么(圖3)：  取一切實數(shù)       無解如果單純的解一個一元二次不等式的話，可以按照一下步驟處理：(1) 化二次項系數(shù)為正；(2) 若二次三項式能分解成兩個一次因式的積，則求出兩根．那么“”型的解為(俗稱兩根之外)；“”型的解為(俗稱兩根之間)；(3) 否則，對二次三項式進(jìn)行配方，變成，結(jié)合完全平方式為非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求解．【例3】解下列不等式： (1)   (2)   (3) 解：(1) 不等式可化為  ∴ 不等式的解是   (2) 不等式可化為  ∴ 不等式的解是   (3) 不等式可化為．【例4】已知對于任意實數(shù)，恒為正數(shù)，求實數(shù)的取值范圍．解：顯然不合題意，于是： 【例5】已知關(guān)于的不等式的解為，求的值．分析：對應(yīng)的一元二次方程的根是和，且對應(yīng)的二次函數(shù)的圖象開口向上．根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系可以求解．解：由題意得：說明：本例也可以根據(jù)方程有兩根和，用代入法得：，，且注意，從而．二、簡單分式不等式的解法【例6】解下列不等式： (1)     (2) 分析：(1) 類似于一元二次不等式的解法，運(yùn)用“符號法則”將之化為兩個一元一次不等式組處理；或者因為兩個數(shù)(式)相除異號，那么這兩個數(shù)(式)相乘也異號，可將分式不等式直接轉(zhuǎn)化為整式不等式求解．   (2) 注意到經(jīng)過配方法，分母實際上是一個正數(shù)．解：(1) 解法(一)    原不等式可化為：      解法(二)    原不等式可化為：． (2) ∵     原不等式可化為：【例7】解不等式解：原不等式可化為： 說明：(1) 轉(zhuǎn)化為整式不等式時，一定要先將右端變?yōu)?/span>0．   (2) 本例也可以直接去分母，但應(yīng)注意討論分母的符號：三、含有字母系數(shù)的一元二次不等式一元一次不等式最終可以化為的形式．(1) 當(dāng)時，不等式的解為：；(2) 當(dāng)時，不等式的解為：；(3) 當(dāng)時，不等式化為：； ① 若，則不等式的解是全體實數(shù)；② 若，則不等式無解．【例8】求關(guān)于的不等式的解．解：原不等式可化為： (1) 當(dāng)時，，不等式的解為； (2) 當(dāng)時，．  ① 時，不等式的解為；  ② 時，不等式的解為；  ③ 時，不等式的解為全體實數(shù)． (3) 當(dāng)時，不等式無解．綜上所述：當(dāng)或時，不等式的解為；當(dāng)時，不等式的解為；當(dāng)時，不等式的解為全體實數(shù)；當(dāng)時，不等式無解．練：解不等式（1）   （2）【例9】已知關(guān)于的不等式的解為，求實數(shù)的值．分析：將不等式整理成的形式，可以考慮只有當(dāng)時，才有形如的解，從而令．解：原不等式可化為：． 所以依題意：．             A    組1．解下列不等式： (1)       (2)   (3)      (4) 2．解下列不等式： (1)        (2)  (3)        (4) 3．解下列不等式： (1)      (2) 4．已知不等式的解是，求的值．5．解關(guān)于的不等式．6．已知關(guān)于的不等式的解是，求的值．7．已知不等式的解是，求不等式的解．  B    組1．已知關(guān)于的不等式的解是一切實數(shù)，求的取值范圍．2．若不等式的解是，求的值．3．解關(guān)于的不等式．4．取何值時，代數(shù)式的值不小于0？5．已知不等式的解是，其中，求不等式的解．    第四講 不等式答案A 組1．2．3．(1) 無解  (2) 全體實數(shù)4．．5．(1)當(dāng)時，；(2)當(dāng)時，；(3) 當(dāng)時，取全體實數(shù)．6．7． B 組1．2．3．(1) 時，；(2) 時，無解；(3) 時，．4．．5．． 

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