練案[18] 第二課時　導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的極值、最值A組基礎(chǔ)鞏固一、單選題1．(2022·成都市高三摸底測試)已知函數(shù)y＝f(x)的導(dǎo)函數(shù)y＝f′(x)的圖象如圖所示，則函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)的極小值點(diǎn)的個數(shù)為( A )A．1  B．2 C．3  D．4[解析]　如圖，在區(qū)間(a，b)內(nèi)，f′(c)＝0，且在x＝c附近的左側(cè)f′(x)<0，右側(cè)f′(x)>0，所以在區(qū)間(a，b)內(nèi)只有1個極小值點(diǎn)，故選A.2．設(shè)函數(shù)f(x)＝＋ln x，則( D )A．x＝為f(x)的極大值點(diǎn)B．x＝為f(x)的極小值點(diǎn)C．x＝2為f(x)的極大值點(diǎn)D．x＝2為f(x)的極小值點(diǎn)[解析]　f(x)＝＋ln x(x>0)，f′(x)＝－＋＝，令f′(x)＝0，得x＝2.當(dāng)x>2時，f′(x)>0，這時f(x)為增函數(shù)；當(dāng)0<x<2時，f′(x)<0，這時f(x)為減函數(shù)，據(jù)此知x＝2為f(x)的極小值點(diǎn)．故選D.3．函數(shù)f(x)＝在[2，＋∞)上的最小值為( A )A.  B．e2 C．  D．2e[解析]　依題意f′(x)＝(x2－2x－3)＝(x－3)(x＋1)，故函數(shù)在區(qū)間(2,3)上單調(diào)遞減，在區(qū)間(3，＋∞)上單調(diào)遞增，故函數(shù)在x＝3處取得極小值也是最小值，且最小值為f(3)＝＝.4．(2023·河北邯鄲一中月考)若函數(shù)f(x)＝aex－sin x在x＝0處有極值，則a的值為( C )A．－1  B．0 C．1  D．e[解析]　f′(x)＝aex－cos x，若函數(shù)f(x)＝aex－sin x在x＝0處有極值，則f′(0)＝a－1＝0，解得a＝1，經(jīng)檢驗(yàn)a＝1符合題意．故選C.5．已知函數(shù)f(x)＝2ln x＋ax2－3x在x＝2處取得極小值，則f(x)的極大值為( B )A．2  B．－C．3＋ln 2  D．－2＋2ln 2[解析]　由題意得，f′(x)＝＋2ax－3，∵f(x)在x＝2處取得極小值，∴f′(2)＝4a－2＝0，解得a＝，∴f(x)＝2ln x＋x2－3x，f′(x)＝＋x－3＝，∴f(x)在(0,1)，(2，＋∞)上單調(diào)遞增，在(1,2)上單調(diào)遞減，∴f(x)的極大值為f(1)＝－3＝－.二、多選題6．下列四個函數(shù)，在x＝0處取得極值的函數(shù)有( BC )A．y＝x3  B．y＝x2＋1C．y＝|x|  D．y＝2x[解析]　對于A、D，y＝x3和y＝2x在x＝0處無極值．B、C符合．故選BC.7．對于函數(shù)f(x)＝，下列說法正確的有( AC )A．f(x)在x＝1處取得極大值B．f(x)有兩個不同的零點(diǎn)C．f(4)<f(π)<f(3)D．πe2>2eπ[解析]　由函數(shù)f(x)＝，可得函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù)為f′(x)＝.當(dāng)x>1時，f′(x)<0，f(x)單調(diào)遞減；當(dāng)x<1時，f′(x)>0，f(x)單調(diào)遞增．可得函數(shù)f(x)在x＝1處取得極大值，所以A正確；因?yàn)?/span>f(x)在(－∞，1)上單調(diào)遞增，在(1，＋∞)上單調(diào)遞減，且f(0)＝0，當(dāng)x>0時，f(x) >0恒成立，所以函數(shù)f(x)只有一個零點(diǎn)，所以B錯誤；由f(x)在(1，＋∞)上單調(diào)遞減，且4>π>3>1，可得f(4)<f(π)<f(3)，所以C正確；由f(x)在(1，＋∞)上單調(diào)遞減，且π>2>1，可得<，即πe2< 2eπ，所以D錯誤．故選AC.8．(2022·全國新高考卷Ⅰ)已知函數(shù)f(x)＝x3－x＋1，則( AC )A．f(x)有兩個極值點(diǎn)B．f(x)有三個零點(diǎn)C．點(diǎn)(0,1)是曲線y＝f(x)的對稱中心D．直線y＝2x是曲線y＝f(x)的切線[解析]　三次函數(shù)與導(dǎo)數(shù)＋極值＋零點(diǎn)＋導(dǎo)數(shù)的幾何意義(理性思維、數(shù)學(xué)探索)因?yàn)?/span>f(x)＝x3－x＋1，所以f′(x)＝3x2－1，令f′(x)＝3x2－1＝0，得x＝±.由f′(x)＝3x2－1>0得x>或x<－；由f′(x)＝3x2－1<0得－<x<.所以f(x)＝x3－x＋1在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以f(x)有兩個極值點(diǎn)，故A正確．因?yàn)?/span>f(x)的極小值f＝3－＋1＝1－>0，f(－2)＝(－2)3－(－2)＋1＝－5<0，所以函數(shù)f(x)在R上有且只有一個零點(diǎn)，故B錯誤．因?yàn)楹瘮?shù)g(x)＝x3－x的圖象向上平移一個單位長度得函數(shù)f(x)＝x3－x＋1的圖象，函數(shù)g(x)＝x3－x的圖象關(guān)于原點(diǎn)(0,0)中心對稱且g(0)＝0，所以點(diǎn)(0,1)是曲線f(x)＝x3－x＋1的對稱中心，故C正確．假設(shè)直線y＝2x是曲線y＝f(x)的切線，切點(diǎn)為(x0，y0)，則f′(x0)＝3x－1＝2，解得x0＝±1.若x0＝1，則切點(diǎn)坐標(biāo)為(1,1)，但點(diǎn)(1,1)不在直線y＝2x上，若x0＝－1，則切點(diǎn)坐標(biāo)為(－1,1)，但點(diǎn)(－1,1)不在直線y＝2x上，所以假設(shè)不成立，故D錯誤．故選AC.9．若函數(shù)f(x)＝2x3－ax2(a<0)在上有最大值，則a的取值可能為( ABC )A．－6  B．－5 C．－4  D．－3[解析]　令f′(x)＝2x(3x－a)＝0，得x1＝0，x2＝(a<0)，當(dāng)<x<0時，f′(x)<0；當(dāng)x<或x>0時，f′(x)>0，則f(x)的增區(qū)間為，(0，＋∞)，減區(qū)間為，從而f(x)在x＝處取得極大值f＝－，由f(x)＝－，得2＝0，解得x＝或x＝－，又f(x)在上有最大值，所以<≤－，即a≤－4，故選ABC.三、填空題10．函數(shù)f(x)＝2x－ln x的最小值為_1＋ln_2__.[解析]　f(x)的定義域?yàn)?0，＋∞)，f′(x)＝2－＝，當(dāng)0<x<時，f′(x)<0；當(dāng)x>時，f′(x)>0.∴f(x)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，∴f(x)min＝f＝1－ln ＝1＋ln 2.11．函數(shù)y＝xex在其極值點(diǎn)處的切線方程為 y＝－　.　[解析]　y′＝(x＋1)ex，當(dāng)x<－1時，y′<0；當(dāng)x>－1時y′>0，∴函數(shù)在x＝－1時取得極小值－，又y′|x＝－1＝0，∴所求切線方程為y＝－.12．函數(shù)f(x)＝xsin x＋cos x在上的最大值為 　.[解析]　因?yàn)?/span>f′(x)＝sin x＋xcos x－sin x＝xcos x，當(dāng)x∈時，f′(x)≥0，函數(shù)f(x)遞增，當(dāng)x∈時，f′(x)<0，函數(shù)f(x)遞減，所以f(x)max＝f＝.13．(2023·甘肅蘭州一中期末改編)若x＝－2是函數(shù)f(x)＝(x2＋ax－1)ex的極值點(diǎn)，則f′(－2)＝_0__，f(x)的極小值為_－e__.[解析]　由函數(shù)f(x)＝(x2＋ax－1)ex可得f′(x)＝(2x＋a)ex＋(x2＋ax－1)ex，因?yàn)?/span>x＝－2是函數(shù)f(x)的極值點(diǎn)，所以f′(－2)＝(－4＋a)e－2＋(4－2a－1)e－2＝0，即－4＋a＋3－2a＝0，解得a＝－1.所以f′(x)＝(x2＋x－2)ex.令f′(x)＝0可得x＝－2或x＝1.當(dāng)x<－2或x>1時，f′(x)>0，此時函數(shù)f(x)為增函數(shù)，當(dāng)－2<x<1時，f′(x)<0，此時函數(shù)f(x)為減函數(shù)，所以當(dāng)x＝1時函數(shù)f(x)取得極小值，極小值為f(1)＝(12－1－1)×e1＝－e.四、解答題14．已知函數(shù)f(x)＝(a>0)．(1)當(dāng)a＝1時，求函數(shù)y＝f(x)在x＝1處的切線方程；(2)求函數(shù)f(x)在[a,2a]上的最小值．[解析]　本題考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用．(1)當(dāng)a＝1時，f(x)＝xln x，f′(x)＝ln x＋1，∴切線斜率k＝f′(1)＝1，切點(diǎn)為(1,0)，即切線方程為y＝x－1.(2)f′(x)＝ ，令f′(x)＝0?x＝.①當(dāng)a≥時，f′(x)>0，f(x)在[a,2a]上單調(diào)遞增，∴f(x)min＝f(a)＝ln a；②當(dāng)a<<2a，即<a<時，f(x)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，∴f(x)min＝f＝－；③當(dāng)a≤時，f′(x)<0，在[a,2a]上單調(diào)遞減，∴f(x)min＝f(2a)＝2ln(2a)．15．已知函數(shù)f(x)＝ln x－ax(a∈R)．(1)當(dāng)a＝時，求f(x)的極值；(2)討論函數(shù)f(x)在定義域內(nèi)極值點(diǎn)的個數(shù)．[解析]　(1)當(dāng)a＝時，f(x)＝ln x－x，函數(shù)的定義域?yàn)?0，＋∞)且f′(x)＝－＝，令f′(x)＝0，得x＝2，當(dāng)x變化時，f′(x)，f(x)的變化情況如下表：x(0,2)2(2，＋∞)f′(x)＋0－f(x)ln 2－1故f(x)在定義域上的極大值為f(x)極大值＝f(2)＝ln 2－1，無極小值．(2)函數(shù)的定義域?yàn)?0，＋∞)，f′(x)＝－a＝.當(dāng)a≤0時，f′(x)>0在(0，＋∞)上恒成立，則函數(shù)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，此時函數(shù)在定義域上無極值點(diǎn)；當(dāng)a>0時，若x∈，則f′(x)>0，若x∈，則f′(x)<0，故函數(shù)在x＝處有極大值．綜上可知，當(dāng)a≤0時，函數(shù)f(x)無極值點(diǎn)，當(dāng)a>0時，函數(shù)y＝f(x)有一個極大值點(diǎn)，且為x＝.B組能力提升1．(多選題)已知函數(shù)y＝f(x)的導(dǎo)函數(shù)y＝f′(x)的圖象如圖所示，則下列結(jié)論正確的是( AB )A．f(a)<f(b)<f(c)B．f(e)<f(d)<f(c)C．x＝c時，f(x)取得最大值D．x＝d時，f(x)取得最小值[解析]　由f′(x)圖象可知，當(dāng)x∈(－∞，c)∪(e，＋∞)時，f′(x)>0；當(dāng)x∈(c，e)時，f′(x)<0，∴f(x)在(－∞，c)，(e，＋∞)上單調(diào)遞增，在(c，e)上單調(diào)遞減，對于A，∵a<b<c，∴f(a)<f(b)<f(c)，A正確；對于B，∵c<d<e，∴f(e)<f(d)<f(c)，B正確；對于C，由單調(diào)性知f(c)為極大值，當(dāng)x>e時，可能存在f(x0)>f(c)，C錯誤；對于D，由單調(diào)性知f(e)<f(d)，D錯誤．故選A、B.2．若函數(shù)f(x)＝(x2－a)ex的兩個極值點(diǎn)之積為－3，則f(x)的極大值為( A )A.  B．－ C．－2e  D．[解析]　因?yàn)?/span>f(x)＝(x2－a)ex，所以f′(x)＝(x2＋2x－a)ex，由f′(x)＝(x2＋2x－a)ex＝0.得x2＋2x－a＝0，由函數(shù)f(x)＝(x2－a)ex的兩個極值點(diǎn)之積為－3，則由根與系數(shù)的關(guān)系可知，－a＝－3，即a＝3，所以f(x)＝(x2－3)ex，f′(x)＝(x2＋2x－3)ex，當(dāng)x<－3或x>1時，f′(x)>0；當(dāng)－3<x<1時，f′(x)<0，故f(x)在(－∞，－3)上單調(diào)遞增，在(－3,1)上單調(diào)遞減，在(1，＋∞)上單調(diào)遞增，所以f(x)的極大值為f(－3)＝.3．(2023·貴州黔東南州聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)＝ln x－，若函數(shù)f(x)在[1，e]上的最小值為，則a的值為( A )A．－  B．－ C．－  D．e[解析]　f′(x)＝＋＝若a≥0，則f′(x)>0，f(x)在[1，e]上遞增，f(x)min＝f(1)＝－a＝，則a＝－，矛盾．若a<0，則由f′(x)＝0得x＝－a.若1<－a<e，即－e<a<－1，則f(x)min＝f(－a)＝ln(－a)＋1＝，解得a＝－，符合題意，故選A.事實(shí)上，若－a≥e，即a≤－e，f′(x)≤0，f(x)在[1，e]上遞減，∴f(x)min＝f(e)＝1－＝，解得a＝－，矛盾；若－a≤1，即a≥－1，f′(x)≥0，f(x)在[1，e]上遞增f(x)min＝f(1)＝－a＝，解得a＝－，矛盾．4．(2021·新高考全國Ⅰ)函數(shù)f(x)＝|2x－1|－2ln x的最小值為_1__.[解析]　函數(shù)f(x)＝|2x－1|－2ln x的定義域?yàn)?0，＋∞)．①當(dāng)x>時，f(x)＝2x－1－2ln x，所以f′(x)＝2－＝，當(dāng)<x<1時，f′(x)<0，當(dāng)x>1時，f′(x)>0，所以f(x)min＝f(1)＝2－1－2ln 1＝1；②當(dāng)0<x≤時，f(x)＝1－2x－2ln x在上單調(diào)遞減，所以f(x)min＝f＝－2ln ＝2ln 2＝ln 4>ln e＝1.綜上，f(x)min＝1.5．設(shè)函數(shù)f(x)＝aln x－bx2，若函數(shù)f(x)在x＝1處與直線y＝－相切．(1)求實(shí)數(shù)a，b的值；(2)求函數(shù)f(x)在上的最大值．[解析]　(1)f′(x)＝－2bx，x>0，∵函數(shù)f(x)在x＝1處與直線y＝－相切，∴解得(2)由(1)知，f(x)＝ln x－x2，x>0，f′(x)＝－x＝，當(dāng)≤x≤e時，令f′(x)>0，得≤x<1，令f′(x)<0，得1<x≤e，∴f(x)在上單調(diào)遞增，在(1，e]上單調(diào)遞減，∴f(x)max＝f(1)＝－.6．(2023·北京市高考適應(yīng)性測試)已知函數(shù)f(x)＝ex(x－1)－eax2，a<0.(1)求曲線y＝f(x)在點(diǎn)(0，f(0))處的切線方程；(2)求函數(shù)f(x)的極小值；(3)求函數(shù)f(x)的零點(diǎn)個數(shù)．[解析]　(1)f′(x)＝ex(x－1)＋ex－eax＝ex·x－ea·x＝x(ex－ea)，∴f′(0)＝0，f(0)＝－1，因此切線方程為y＝－1.(2)f′(x)>0解得x<a或x>0，f′(x)<0解得a<x<0，因此，f(x)在(－∞，a)遞增，(a,0)遞減，(0，＋∞)遞增．因此，f(x)在x＝0處取得極小值f(0)＝－1.(3)f(a)＝ea(a－1)－ea·a2＝－ea(a2－2a＋2)＝－ea[(a－1)2＋1]<0.又f(2)＝e2－2ea>e2－2>0，由(2)知f(x)在x＝a處取得極大值，f(a)<0，因此，f(x)只有一個零點(diǎn)．  

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