一輪分層練案(十七)　導數(shù)與函數(shù)的極值、最值 A級——基礎(chǔ)達標1．設(shè)函數(shù)f(x)＝＋ln x，則(　　)A．x＝為f(x)的極大值點B．x＝為f(x)的極小值點C．x＝2為f(x)的極大值點D．x＝2為f(x)的極小值點【答案】D　因為f(x)＝＋ln x，所以f′(x)＝－＋＝(x>0).當x>2時，f′(x)>0，f(x)單調(diào)遞增；當0<x<2時，f′(x)<0，f(x)單調(diào)遞減，所以x＝2為f(x)的極小值點，故選D.2．已知函數(shù)f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1處有極值10，則f(2)＝(　　)A．11或18    B．11C．18    D．17或18【答案】C　∵函數(shù)f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1處有極值10，∴f(1)＝10，且f′(1)＝0，又f′(x)＝3x2＋2ax＋b，∴解得或而當時，函數(shù)在x＝1處無極值，故舍去．∴f(x)＝x3＋4x2－11x＋16，∴f(2)＝18.3．f(x)＝ex－x在區(qū)間[－1，1]上的最大值是(　　)A．1＋    B．1C．e＋1    D．e－1【答案】D　f′(x)＝ex－1，令f′(x)＝0，得x＝0，令f′(x)>0，得x>0，令f′(x)<0，得x<0，則函數(shù)f(x)在(－1，0)上單調(diào)遞減，在(0，1)上單調(diào)遞增，f(－1)＝e－1＋1，f(1)＝e－1，f(－1)－f(1)＝＋2－e<＋2－e<0，所以f(1)>f(－1).故選D.4．若函數(shù)f(x)＝x3－2cx2＋x有極值點，則實數(shù)c的取值范圍為(　　)A．B．C．∪D．∪【答案】D　若函數(shù)f(x)＝x3－2cx2＋x有極值點，則f′(x)＝3x2－4cx＋1＝0有兩個不等實根，故Δ＝(－4c)2－12>0，解得c>或c<－.所以實數(shù)c的取值范圍為∪.5．若函數(shù)f(x)＝ax3－3x＋1對于x∈[－1，1]總有f(x)≥0成立，則實數(shù)a的取值范圍為(　　)A．[2，＋∞)    B．[4，＋∞)C．{4}    D．[2，4]【答案】C　f′(x)＝3ax2－3，當a≤0時，對于x∈[－1，1]總有f′(x)<0，則f(x)在[－1，1]上單調(diào)遞減，f(x)min＝f(1)＝a－2<0，不合題意；當0<a≤1時，f′(x)＝3ax2－3＝3a，f(x)在[－1，1]上單調(diào)遞減，f(x)min＝f(1)＝a－2<0，不合題意；當a>1時，f(x)在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以有f(－1)＝－a＋4≥0，且f＝－＋1≥0，解得a＝4.綜上所述，a＝4.6．(多選)函數(shù)y＝f(x)導函數(shù)的圖象如圖所示，則下列說法正確的有(　　)A．(－1，3)為函數(shù)y＝f(x)的遞增區(qū)間B．(3，5)為函數(shù)y＝f(x)的遞減區(qū)間C．函數(shù)y＝f(x)在x＝0處取得極大值D．函數(shù)y＝f(x)在x＝5處取得極小值【答案】ABD　由函數(shù)y＝f(x)導函數(shù)的圖象可知，f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(－∞，－1)，(3，5)，單調(diào)遞增區(qū)間為(－1，3)，(5，＋∞)，所以f(x)在x＝－1，5取得極小值，在x＝3取得極大值，C錯誤．故選A、B、D.7．(多選)對于函數(shù)f(x)＝，下列說法正確的有(　　)A．f(x)在x＝1處取得極大值B．f(x)有兩個不同的零點C．f(4)＜f(π)＜f(3)D．πe2＞2eπ【答案】AC　由函數(shù)f(x)＝，可得函數(shù)f(x)的導數(shù)為f′(x)＝.當x＞1時，f′(x)＜0，f(x)單調(diào)遞減；當x＜1時，f′(x)＞0，f(x)單調(diào)遞增．可得函數(shù)f(x)在x＝1處取得極大值，所以A正確；因為f(x)在(－∞，1)上單調(diào)遞增，在(1，＋∞)上單調(diào)遞減，且f(0)＝0，當x＞0時，f(x)＞0恒成立，所以函數(shù)f(x)只有一個零點，所以B錯誤；由f(x)在(1，＋∞)上單調(diào)遞減，且4＞π＞3＞1，可得f(4)＜f(π)＜f(3)，所以C正確；由f(x)在(1，＋∞)上單調(diào)遞減，且π＞2＞1，可得＜，即πe2＜2eπ，所以D錯誤．故選A、C.8．(多選)若函數(shù)f(x)＝2x3－ax2(a<0)在上有最大值，則a的取值可能為(　　)A．－6    B．－5C．－4    D．－3【答案】ABC　令f′(x)＝2x(3x－a)＝0，得x1＝0，x2＝(a<0)，當<x<0時，f′(x)<0；當x<或x>0時，f′(x)>0，則f(x)的增區(qū)間為，(0，＋∞)，減區(qū)間為， 從而f(x)在x＝處取得極大值f＝－，由f(x)＝－，得＝0，解得x＝或x＝－，又f(x)在上有最大值，所以<≤－，即a≤－4，故選A、B、C.9．若商品的年利潤y(萬元)與年產(chǎn)量x(百萬件)的函數(shù)關(guān)系式為y＝－x3＋27x＋123(x>0)，則獲得最大利潤時的年產(chǎn)量為________百萬件．解析：y′＝－3x2＋27＝－3(x＋3)(x－3)，當0<x<3時，y′>0；當x>3時，y′<0.故當x＝3時，該商品的年利潤最大．【答案】310．已知函數(shù)f(x)＝－ln x.(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)求函數(shù)f(x)在上的最大值和最小值(其中e是自然對數(shù)的底數(shù)).解：(1)f(x)＝－ln x＝1－－ln x，f(x)的定義域為(0，＋∞).所以f′(x)＝－＝，由f′(x)>0，得0<x<1，由f′(x)<0，得x>1，所以f(x)在(0，1)上單調(diào)遞增，在(1，＋∞)上單調(diào)遞減．(2)由(1)得f(x)在上單調(diào)遞增，在[1，e]上單調(diào)遞減，所以f(x)在上的最大值為f(1)＝1－1－ln 1＝0.又f＝1－e－ln ＝2－e，f(e)＝1－－ln e＝－，則f<f(e).所以f(x)在上的最小值為f＝2－e.綜上，f(x)在上的最大值為0，最小值為2－e.B級——綜合應(yīng)用11．若函數(shù)f(x)＝x3＋x2－在區(qū)間(a，a＋5)上存在最小值，則實數(shù)a的取值范圍是(　　)A．[－5，0)    B．(－5，0)C．[－3，0)    D．(－3，0)【答案】C　由題意，f′(x)＝x2＋2x＝x(x＋2)，故f(x)在(－∞，－2)，(0，＋∞)上單調(diào)遞增，在(－2，0)上單調(diào)遞減，作出其大致圖象如圖所示，令x3＋x2－＝－得，x＝0或x＝－3，則結(jié)合圖象可知解得a∈[－3，0).12．若函數(shù)y＝f(x)存在n－1(n∈N*)個極值點，則稱y＝f(x)為n折函數(shù)，例如f(x)＝x2為2折函數(shù)．已知函數(shù)f(x)＝(x＋1)ex－x(x＋2)2，則f(x)為(　　)A．2折函數(shù)    B．3折函數(shù)C．4折函數(shù)    D．5折函數(shù)【答案】C　f′(x)＝(x＋2)ex－(x＋2)(3x＋2)＝(x＋2)(ex－3x－2)，令f′(x)＝0，得x＝－2或ex＝3x＋2.易知x＝－2是f(x)的一個極值點，又ex＝3x＋2，結(jié)合函數(shù)圖象(圖略)，y＝ex與y＝3x＋2有兩個交點．又e－2≠3×(－2)＋2＝－4.∴函數(shù)y＝f(x)有3個極值點，則f(x)為4折函數(shù)．13．(多選)已知函數(shù)f(x)＝x＋sin x－x cos x的定義域為[－2π，2π)，則(　　)A．f(x)為奇函數(shù)B．f(x)在[0，π)上單調(diào)遞增C．f(x)恰有4個極大值點D．f(x)有且僅有4個極值點【答案】BD　因為f(x)的定義域為[－2π，2π)，所以f(x)是非奇非偶函數(shù)．f′(x)＝1＋cos x－(cos x－x sin x)＝1＋x sin x，當x∈[0，π)時，f′(x)>0，則f(x)在[0，π)上單調(diào)遞增，顯然f′(0)≠0，令f′(x)＝0，得sin x＝－，分別作出y＝sin x，y＝－在區(qū)間[－2π，2π)上的圖象如圖所示，由圖可知，這兩個函數(shù)的圖象在區(qū)間[－2π，2π)上共有4個公共點，且兩圖象在這些公共點上都不相切，故f(x)在區(qū)間[－2π，2π)上的極值點的個數(shù)為4，且f(x)只有2個極大值點，故選B、D.14．若x＝－2是函數(shù)f(x)＝(x2＋ax－1)ex的極值點，則f′(－2)＝________，f(x)的極小值為________．解析：由函數(shù)f(x)＝(x2＋ax－1)ex可得f′(x)＝(2x＋a)ex＋(x2＋ax－1)ex，因為x＝－2是函數(shù)f(x)的極值點，所以f′(－2)＝(－4＋a)e－2＋(4－2a－1)e－2＝0，即－4＋a＋3－2a＝0，解得a＝－1.所以f′(x)＝(x2＋x－2)ex.令f′(x)＝0可得x＝－2或x＝1.當x＜－2或x＞1時，f′(x)＞0，此時函數(shù)f(x)單調(diào)遞增，當－2＜x＜1時，f′(x)＜0，此時函數(shù)f(x)單調(diào)遞減，所以當x＝1時函數(shù)f(x)取得極小值，極小值為f(1)＝(12－1－1)×e1＝－e.【答案】0?。?/span>e15．已知函數(shù)f(x)＝ex－sin x－cos x，g(x)＝ex＋sin x＋cos x.(1)證明：當x＞－時，f(x)≥0；(2)若g(x)≥2＋ax，求a.解：(1)證明：∵f(x)＝ex－sin x－cos x＝ex－sin ，∴f′(x)＝ex－cos (x∈R).畫出y＝ex和y＝cos 的圖象，由圖可知，當x＞－時，存在－＜x1＜－，使得f′(x1)＝f′(0)＝0，∴當x∈時，f′(x)＞0，f(x)單調(diào)遞增；當x∈(x1，0)時，f′(x)＜0，f(x)單調(diào)遞減；當x∈(0，＋∞)時，f′(x)＞0，f(x)單調(diào)遞增；又∵f＝e－π＞0，f(0)＝0，∴當x＞－時，f(x)min＝f(0)＝0.∴當x＞－時，f(x)≥0.(2)∵g(x)≥2＋ax，∴ex＋sin x＋cos x≥2＋ax，即ex＋sin x＋cos x－2－ax≥0.不妨設(shè)F(x)＝ex＋sin x＋cos x－2－ax(x∈R)，則F(x)≥0.求導可得F′(x)＝ex＋cos －a(x∈R).∵F(x)≥0，且F(0)＝0，∴當x＝0時，F(x)取最小值，F′(x)取極小值．∴F′(0)＝0，且當x＞0時，F′(x)＞0，當x＜0時，F′(x)＜0，∴e0＋cos －a＝0，解得a＝2.C級——遷移創(chuàng)新16．已知f(x)＝ax－ln x，當x∈(0，e]時，是否存在實數(shù)a，使得f(x)的最小值是3？若存在，求出a的值；若不存在，請說明理由．解：假設(shè)存在實數(shù)a，使得f(x)＝ax－ln x(x∈(0，e])的最小值為3，由題意知f′(x)＝a－＝.①當a≤0時，在(0，e]上恒有f′(x)<0，函數(shù)f(x)在(0，e]上單調(diào)遞減，所以f(x)min＝f(e)＝ae－1＝3，即a＝，不滿足a≤0，舍去；②當0<<e時，函數(shù)f(x)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以f(x)min＝f＝1＋ln a＝3，即a＝e2，滿足條件；③當≥e時，f(x)在(0，e]上單調(diào)遞減，f(x)min＝f(e)＝ae－1＝3，即a＝，不滿足≥e，舍去．綜上所述，當x∈(0，e]時，存在實數(shù)a＝e2，使得f(x)的最小值為3.

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