2023年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試模擬（北京卷）數(shù)學試題學校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________ 一、單選題1．已知集合，則有（    ）A． B． C． D．2．復數(shù)（其中為虛數(shù)單位），則復數(shù)的共軛復數(shù)在復平面內(nèi)對應的點位于A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．設(shè)等比數(shù)列的前6項和為6，且，，則（    ）A． B． C． D．4．已知，向量與的夾角為，則（    ）A． B． C． D．5．設(shè)是定義在上的增函數(shù)，，那么必為（ ）A．增函數(shù)且是奇函數(shù) B．增函數(shù)且是偶函數(shù) C．減函數(shù)且是奇函數(shù) D．減函數(shù)且是偶函數(shù)6．已知焦點為F的拋物線的準線是直線l，點P為拋物線C上一點，且垂足為Q，點則的最小值為（    ）A． B．2 C． D．7．函數(shù)的圖象大致是（    ）A． B．C． D．8．已知雙曲線的離心率為，則雙曲線的一條漸近線的斜率可能是（    ）A． B． C． D．9．已知函數(shù)則“”是“在上單調(diào)遞減”的（    ）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件10．設(shè)集合，則（    ）A．當時， B．對任意實數(shù)，C．當時， D．對任意實數(shù)， 二、填空題11．若，則 ________12．下列命題中：①偶函數(shù)的圖象一定與y軸相交；②奇函數(shù)的圖象一定過原點；③若奇函數(shù)，則實數(shù)；④圖象過原點的奇函數(shù)必是單調(diào)函數(shù)；⑤函數(shù)的零點個數(shù)為2；⑥互為反函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱.上述命題中所有正確的命題序號是________.13．若函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱，且關(guān)于直線對稱，則______（寫出滿足條件的一個函數(shù)即可）.14．三棱錐中， 是邊長為 的正三角形，，若該三棱錐的每個頂點均在球的表面上， 則球的體積是________ 三、雙空題15．已知是角的終邊上一點，則______，角的最小正值是______. 四、解答題16．已知函數(shù).(1)求函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間；(2)在中，分別是角的對邊，且，求的面積.17．如圖，在四棱錐中，平面ABCD，底面ABCD為菱形，E，F分別為AB，PD的中點．(1)求證：EF//平面PBC；(2)若，二面角的大小為，再從條件①、條件②這兩個條件中選擇一個作為已知．求PD的長．條件①：；條件②：．18．2023年9月23日至2023年10月8日，第19屆亞運會將在中國杭州舉行.杭州某中學高一年級舉辦了“亞運在我心”的知識競賽，其中1班，2班，3班，4班報名人數(shù)如下：班號1234人數(shù)30402010 該年級在報名的同學中按分層抽樣的方式抽取10名同學參加競賽，每位參加競賽的同學從預設(shè)的10個題目中隨機抽取4個作答，至少答對3道的同學獲得一份獎品.假設(shè)每位同學的作答情況相互獨立.(1)求各班參加競賽的人數(shù)；(2)2班的小張同學被抽中參加競賽，若該同學在預設(shè)的10個題目中恰有3個答不對，記他答對的題目數(shù)為，求的分布列及數(shù)學期望；(3)若1班每位參加競賽的同學答對每個題目的概率均為，求1班參加競賽的同學中至少有1位同學獲得獎品的概率.19．已知函數(shù).（1）求曲線在點處的切線方程；（2）設(shè)函數(shù)，若對，恒成立，求實數(shù)的取值范圍.20．已知橢圓的長軸長是短軸長的2倍，A，B分別為橢圓的左頂點和下頂點，且的面積為1．（1）求橢圓C的方程；（2）設(shè)點M為橢圓上位于第一象限內(nèi)一動點，直線與軸交于點C，直線與軸交于點D，求證：四邊形的面積為定值．21．已知數(shù)列的前n項和滿足，且，數(shù)列滿足，，其前9項和為36.（1）當n為奇數(shù)時，將放在的前面一項的位置上；當n為偶數(shù)時，將放在前面一項的位置上，可以得到一個新的數(shù)列：，，，，，，，，，，…，求該數(shù)列的前n項和；（2）設(shè)，對于任意給定的正整數(shù)，是否存在正整數(shù)l、，使得、、成等差數(shù)列？若存在，求出l、m（用k表示），若不存在，請說明理由.
參考答案：1．C【解析】根據(jù)集合的基本運算性質(zhì)可得答案.【詳解】集合， 則，故選：C.【點睛】本題考查了集合的基本運算、集合間的基本關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.2．C【解析】利用復數(shù)的除法法則將復數(shù)化為一般形式，進而可求得復數(shù)的共軛復數(shù)，由此可得出復數(shù)的共軛復數(shù)在復平面對應的點所在的象限.【詳解】，則，因此，復數(shù)的共軛復數(shù)在復平面內(nèi)對應的點位于第三象限.故選：C.【點睛】本題考查復數(shù)在復平面對應的點所在象限的判斷，考查了復數(shù)的除法法則和共軛復數(shù)概念的應用，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題.3．A【分析】先求得等比數(shù)列的公比，然后根據(jù)等比數(shù)列前項和公式列方程，解方程求得的值.【詳解】由題意可得公比，則，即.故選：A【點睛】本小題主要考查等比數(shù)列通項公式和前項和公式的基本量計算，屬于基礎(chǔ)題.4．D【分析】利用向量的數(shù)量積去求的值.【詳解】故選：D5．A【分析】可求得，根據(jù)奇偶性的定義可知為奇函數(shù)；設(shè)，則，根據(jù)單調(diào)性可證得，根據(jù)單調(diào)性定義可知為增函數(shù)，從而得到結(jié)果.【詳解】為定義在上的奇函數(shù)設(shè)，則    為定義在的增函數(shù)    ，為定義在上的增函數(shù)綜上所述：必為增函數(shù)且為奇函數(shù)本題正確選項：【點睛】本題考查利用定義判斷函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性，考查學生對于函數(shù)性質(zhì)定義的掌握，屬于基礎(chǔ)題.6．A【分析】連接PF，由拋物線的定義可知PF=PQ，然后結(jié)合圖形可得答案【詳解】連接PF，由拋物線的定義可知PF=PQ，所以，故選A.7．B【分析】根據(jù)函數(shù)奇偶性排除，由排除，由此得到結(jié)果.【詳解】，為偶函數(shù)，圖象關(guān)于軸對稱，可排除；，可排除.故選：.【點睛】本題考查函數(shù)圖象的識別問題，解決此類問題通常采用排除法，排除依據(jù)為奇偶性、特殊位置符號、單調(diào)性等，屬于?？碱}型.8．D【分析】由雙曲線的性質(zhì)求解【詳解】雙曲線的漸近線為，而雙曲線的離心率為，所以，即，得，故選：D9．B【分析】求得在上單調(diào)遞減時的取值范圍，從而判斷出充分、必要條件.【詳解】若在上單調(diào)遞減，則，解得.所以“”是“在上單調(diào)遞減”的必要而不充分條件.故選：B10．C【分析】依據(jù)選項將點代入驗證即可.【詳解】當時，，將代入A得：成立，故，即A錯誤；若時，此時將代入不成立，即B錯誤；當時，此時將代入不成立，即C正確；若時，此時將代入A得成立，即D錯誤；故選：C.11．【分析】，求得，令，求得，即可得解.【詳解】解：令，則，令，則，所以故答案為：.12．③⑥【詳解】試題分析：?可舉反例來說明其錯誤；?當奇函數(shù)在處無定義的時候，圖象就不通過原點，比如；?奇函數(shù)在處有意義，所以；?若圖象過原點的奇函數(shù)在單調(diào)時，其在定義域內(nèi)必是單調(diào)函數(shù)，而當過原點的奇函數(shù)在不單調(diào)時，它在定義域內(nèi)就不是單調(diào)函數(shù)，比如；?函數(shù)的零點即函數(shù)與的交點，作出圖象可以發(fā)現(xiàn)它們在軸左側(cè)有一個交點，右側(cè)有兩個交點，所以函數(shù)的零點個數(shù)為；?結(jié)合反函數(shù)的定義可知原函數(shù)的反函數(shù)互為逆運算，所以原函數(shù)圖象若過點，則點必定在反函數(shù)的圖象上，即它們的圖象關(guān)于直線對稱.考點：函數(shù)奇偶性的圖象與性質(zhì)，函數(shù)與方程及互為反函數(shù)的函數(shù)圖象之間的關(guān)系.【方法點晴】多選題往往在一套試卷中對要考查的知識點起著補充作用，內(nèi)容比較零碎，需要對每個命題都要做出準確的判斷方能得分，正是這一要求導致其得分率比較低.在判斷的過程中思維一定要考慮全面，從正、反兩個方面進行考慮，特別是從正面不好直接判斷時，可以從命題的反面看能否找出反例進行排除，比如在本題中???是用反例來進行否定，???則是從正面直接判斷.13．，【分析】由于三角函數(shù)既有中心對稱又有軸對稱，故選三角函數(shù)即可得解.【詳解】易知三角函數(shù)的圖像既有中心對稱點，又有對稱軸，由滿足此條件，故答案為：.14．【分析】根據(jù)球的截面圓外心與球心連線垂直于截面所在的平面，分別尋找、的外接圓圓心，進一步找到分別垂直于這兩個截面的垂線，其交點即為外接球球心.【詳解】如圖所示，在中，，所以，所以,又，得平面，設(shè)的中點分別為，連接，因為，所以平面，由平面，得，由 是邊長為 的正三角形，所以，所以平面，過作平面，則，設(shè)的中心為，過作，交于點，則平面，所以點即為三棱錐外接球的球心，在中，，所以，在中，所以三棱錐的體積為.故答案為：.15．          【解析】根據(jù)三角函數(shù)的定義，求得的值，進而確定角的最小正值.【詳解】由于是角的終邊上一點，所以.由于，所以在第四象限，也即是第四象限角，所以，當時，取得最小正值為.故答案為：（1）；（2）【點睛】本小題主要考查三角函數(shù)的定義，考查特殊角的三角函數(shù)值，考查終邊相同的角，屬于基礎(chǔ)題.16．(1)(2)  【分析】（1）利用倍角公式及兩角和與差正弦化簡化為，利用整體法可求函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間.（2）先根據(jù)，求出角A,再根據(jù)一角三邊關(guān)系，利用余弦定理求，最后代入面積公式計算即可.【詳解】（1），令，其中，解得，.∴函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是，其中.（2）.又.，故.在中，，，即，,.17．(1)證明見解析 (2)12. 【分析】（1）通過證明四邊形是平行四邊形，進而由線線平行得出線面平行；（2）分別選擇條件，設(shè)PD邊長，建系應用二面角余弦值求參數(shù)即得.【詳解】（1）取的中點M，連接，∵M，F分別為的中點，∴是的中位線，∴且，又E為的中點，∴且，∴且，∴四邊形是平行四邊形，∴平面平面，∴平面.（2）選擇條件①：,平面ABCD，,平面PCD，平面PCD, 平面PCD, ,,底面ABCD為菱形，E為AB的中點．,是等邊三角形，以為z軸，為y軸,為x軸，建立空間直角坐標系， 設(shè),則,設(shè)平面法向量為,設(shè)平面法向量為,,,,令,則,二面角的大小為∴，,選擇條件②：．平面ABCD，,,取的中點O，,平面PDO，平面PDO, 平面PDO, ,,底面ABCD為菱形，O為BC的中點．,是等邊三角形，以為z軸，以為x軸，以為y軸設(shè),則,設(shè)平面法向量為,,,,令則,設(shè)平面的法向量為,,,,令,則,二面角的大小為∴，,18．(1)3,4,2,1(2)分布列見解析，2.8(3) 【分析】（1）根據(jù)分層抽樣計算可得；（2）根據(jù)超幾何分布求出概率，列出分布列求期望即可得解；（3）計算1班每位同學獲獎的概率，然后根據(jù)二項分布求解即可.【詳解】（1）各班報名人數(shù)總共100人，抽取10人，抽樣比為，故班分別抽取（人），（人），（人），（人）.（2）由題意，的可能取值為1,2,3,4，,,,,所以的分布列為：1234（3）由題意，1班每位同學獲獎的概率為,設(shè)1班獲獎人數(shù)為，則，所以至少1人獲獎的概率為.19．（1）；（2）.【分析】（1）求出函數(shù)的導函數(shù)，再分別求出，根據(jù)倒數(shù)的幾何意義，即為曲線在點處的切線的斜率，從而可得答案；（2）由對，恒成立，即恒成立，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求得函數(shù)在上的最大值，即可得出答案.【詳解】解：（1）因為，所以.所以又所以曲線在點處的切線方程為即.（2）由題意知：，.由，解得，故當時，，在上單調(diào)遞減；當時，，在上單調(diào)遞增.所以.又所以實數(shù)的取值范圍為.20．（1）．（2）見解析【分析】（1）由長軸長是短軸長的2倍，的面積，構(gòu)建方程組，求得ab，代入橢圓方程得答案； （2）設(shè)有，分別表示直線和的方程，從而表示與，可得與長度關(guān)系式，進而可以表示，化簡即證..【詳解】（1）∵橢圓的長軸長是短軸長的2倍，∴．∵的面積為1，∴，，解得，．∴橢圓C的方程為．（2）由（1）可知，，設(shè)，則，即．則直線的方程為．令，得，即．同理，直線的方程為，令，得，即．∴因為且，則原式．∴四邊形的面積為定值2．【點睛】本題考查橢圓問題的綜合問題，涉及求由abc表示橢圓的標準方程已經(jīng)平面圖形的面積為定值問題，屬于難題.21．（1），；（2）存在；，.【分析】（1）根據(jù)通項公式與求和公式的關(guān)系求出，利用等差數(shù)列基本量運算求得，利用分類討論思想求出結(jié)果．（2）由（1）可知：，若對于任意給定的正整數(shù)存在正整數(shù)，，使得，，成等差數(shù)列，利用分類討論思想和整除問題，結(jié)合反證法可得結(jié)果．【詳解】（1）因為，于是數(shù)列 是首項為1，公差為 的等差數(shù)列，所以，則：，當時，，又因為，所以，又因為，于是數(shù)列是等差數(shù)列，設(shè)的前 項和為，由于，則：，由于：，則：，解得：．所以：；當為奇數(shù)時，將放在的前面一項的位置上；當為偶數(shù)時，將放在前面一項的位置上，可以得到一個新的數(shù)列：，，，，，，，，，，，則：數(shù)列的前項和．當時，．當時，．當時，；進一步整理得：．（2）由（1）可知：，若對于任意給定的正整數(shù)存在正整數(shù)，，使得，，成等差數(shù)列．則：，即：，解得：，即：．則對于任意的正整數(shù)能整除，且．由于當時，中存在多個質(zhì)數(shù)．所以：只能取1和或．若時，則，．于是，，符合．若時，出現(xiàn)矛盾，則舍去．若，則：，于是，出現(xiàn)矛盾，故舍去．綜上所述：當時，存在正整數(shù)，，滿足，使得，，成等差數(shù)列．【點睛】本題考查的知識要點：通項公式與求和公式的關(guān)系，等差數(shù)列基本量運算，整除問題，以及分類討論思想和反證法的應用，同時考查了運算求解能力與轉(zhuǎn)化思想，屬于綜合題． 

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