? 普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試模擬卷·A卷
數(shù)學(xué)
考試時(shí)間：120分鐘 總分值：150分
第一卷 客觀題
第一卷的注釋
閱卷人
???
一、單項(xiàng)選擇題
得分
???
1.設(shè) 那么“ 〞是“ 〞的〔??? 〕
A.?充分不必要條件???????????B.?必要不充分條件???????????C.?充分必要條件???????????D.?既不充分也不必要條件
?麗拉沃蒂?中，有這樣一個(gè)問題：某人給一個(gè)人布施，初日施3德拉瑪(古印度貨幣單位)，其后日增2德拉瑪，共布施360德拉瑪，請快告訴我，他布施了幾日？這個(gè)問題的答案是〔??? 〕
A.?9?????????????????????????????????????????B.?18?????????????????????????????????????????C.?20?????????????????????????????????????????D.?24
3.將函數(shù) 的圖象沿 軸向右平移 個(gè)單位長度后得到函數(shù) 的圖象，那么 的一個(gè)極值點(diǎn)可能為〔??? 〕
A.?????????????????????????????????B.?????????????????????????????????C.?????????????????????????????????D.?
4.黃金分割比是指將整體一分為二，較大局部與整體得比值等于較小局部與較大局部得比值，該比值為 ，這是公認(rèn)的最能引起美感的比例．黃金分割比例得值還可以近似地表示為 ，那么 的 近似值等于〔??? 〕
A.???????????????????????????????????????????B.?1??????????????????????????????????????????C.?2??????????????????????????????????????????D.?
5.北斗導(dǎo)航系統(tǒng)由55顆衛(wèi)星組成，于2021區(qū)分方向判斷季節(jié)的重要依據(jù)，北斗七星分別為天樞、天璇、天璣、天權(quán)、玉衡、開陽、搖光，其中玉衡最亮，天權(quán)最暗.一名天文愛好者從七顆星中隨機(jī)選兩顆進(jìn)行觀測，那么玉衡和天權(quán)至少一顆被選中的概率為〔??? 〕
?
A.????????????????????????????????????????B.????????????????????????????????????????C.????????????????????????????????????????D.?
6.設(shè) ， ， ，那么〔??? 〕
A.????????????????????????????B.????????????????????????????C.????????????????????????????D.?
7.關(guān)于函數(shù) ，有以下三個(gè)結(jié)論：①函數(shù)恒有兩個(gè)零點(diǎn)，且兩個(gè)零點(diǎn)之積為 ；②函數(shù)的極值點(diǎn)不可能是 〔??? 〕
A.?0個(gè)???????????????????????????????????????B.?1個(gè)???????????????????????????????????????C.?2個(gè)???????????????????????????????????????D.?3個(gè)
8.雙曲線 ： 的左右焦點(diǎn)為 ， ，以 為直徑的圓與雙曲線在第一象限的交點(diǎn)為 ，直線 與雙曲線的左支交于點(diǎn) ，且 ，設(shè)雙曲線的離心率為 ，那么 〔??? 〕
A.??????????????????????????????B.??????????????????????????????C.??????????????????????????????D.?
閱卷人
???
二、多項(xiàng)選擇題
得分
???
9.以下說法正確的選項(xiàng)是〔??? 〕．
A.?假設(shè)事件A，B發(fā)生的概率分別為 ， ，那么
B.?將兩位男同學(xué)和兩位女同學(xué)隨機(jī)排成一列，那么兩位女同學(xué)恰好相鄰的概率為
C.?假設(shè)隨機(jī)變量 ， ，那么
D.?假設(shè)隨機(jī)變量 ，那么 ，
10.聲音是由物體振動(dòng)產(chǎn)生的聲波．其中包含著正弦函數(shù)或余弦函數(shù)，而純音的數(shù)學(xué)模型是函數(shù) ，我們聽到的聲音是由純音合成的，稱之為復(fù)合音．假設(shè)一個(gè)復(fù)合音的數(shù)學(xué)模型是函數(shù) ，那么以下說法正確的選項(xiàng)是〔??? 〕
A.?是 的一個(gè)周期?????????????????????????????????????????B.?在 上有7個(gè)零點(diǎn)
C.?的最大值為3???????????????????????????????????????????????D.?在 上是增函數(shù)
11.設(shè)等比數(shù)列 的公比為 ，其前 項(xiàng)和為 ，前 項(xiàng)積為 ，且滿足 ， ， ，那么以下選項(xiàng)正確的選項(xiàng)是〔??? 〕
A.?????????????B.?????????????C.?是數(shù)列 中的最大項(xiàng)????????????D.?
12.拋物線 焦點(diǎn)與雙曲線點(diǎn) 的一個(gè)焦點(diǎn)重合，點(diǎn) 在拋物線上，那么〔??? 〕
A.?雙曲線的離心率為2????????????????????????????????????????????B.?雙曲線的漸近線為
C.??????????????????????????????????????????????????????????????????D.?點(diǎn) 到拋物線焦點(diǎn)的距離為6
第二卷 主觀題
第二卷的注釋
閱卷人
???
三、填空題
得分
???
13.集合 ， ，那么 =________．
14.i是虛數(shù)單位，假設(shè)復(fù)數(shù) 是純虛數(shù)，那么實(shí)數(shù) 的值為________.
15. 的展開式中二項(xiàng)式系數(shù)之和是256，那么 ________；展開式中的常數(shù)項(xiàng)是________．
16.數(shù)列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一項(xiàng)為哪一項(xiàng) ，接下來的兩項(xiàng)是 ， ，再接下來的三項(xiàng)是 ， ， ，依此類推，假設(shè)該數(shù)列的前n項(xiàng)和為2的整數(shù)冪，如 ， ， ，那么稱 ， ， 中的 為“一對佳數(shù)〞，當(dāng) 時(shí)，首次出現(xiàn)的“一對佳數(shù)〞是________.
閱卷人
???
四、解答題
得分
???
17.如圖，在四棱錐 中，底面 為平行四邊形， ， ， 與 .

〔1〕求證： ；
〔2〕假設(shè)平面 平面 ，且 ，求二面角 的余弦值.
18.為了迎接北京冬奧會(huì)，某學(xué)校團(tuán)委組織了一次“奧運(yùn)會(huì)〞知識(shí)講座活動(dòng)，活動(dòng)結(jié)束后隨機(jī)抽取100名學(xué)生對講座情況進(jìn)行調(diào)查，其中男生與女生的人數(shù)之比為2：3，抽取的學(xué)生中男生有20名對講座活動(dòng)滿意，女生中有20名對講座活動(dòng)不滿意．
附： ， ．
















〔1〕完成 列聯(lián)表，并答復(fù)能否有90%的把握認(rèn)為“對講座活動(dòng)是否滿意與性別有關(guān)〞；

滿意
不滿意
合計(jì)
男生



女生



合計(jì)


100
〔2〕從被調(diào)查的對講座活動(dòng)滿意的學(xué)生中，利用分層抽樣抽取6名學(xué)生，再在這6名學(xué)生中抽取2名學(xué)生，談自己聽講座的心得體會(huì)，求其中恰好抽中1名男生與1名女生的概率．
19.在① ；② ， ；③ ， 這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問題中，并完成問題的解答〔如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分〕．
等差數(shù)列 前n項(xiàng)和為 ，且滿足_______，數(shù)列 的前n項(xiàng)和為 ，且
〔1〕求數(shù)列 和 的通項(xiàng)公式；
〔2〕假設(shè) ，求數(shù)列 的前n項(xiàng)和 ．
20.橢圓 的左右焦點(diǎn)分別為 ， ，其離心率為 ，點(diǎn) 在橢圓E上.
〔1〕求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；
〔2〕經(jīng)過橢圓E的左焦點(diǎn) 作斜率之積為 的兩條直線 ， ，直線 交橢圓E于A，B，直線 交橢圓E于C，D，G，H分別是線段AB，CD的中點(diǎn)，求 面積的最大值.
21.O為坐標(biāo)原點(diǎn)，對于函數(shù) ，稱向量 為函數(shù) 的相伴特征向量，同時(shí)稱函數(shù) 為向量 的相伴函數(shù).
〔1〕設(shè)函數(shù) ，試求 的相伴特征向量 ；
〔2〕記向量 的相伴函數(shù)為 ，求當(dāng) 且 ， 的值；
〔3〕 ， ， 為 的相伴特征向量， ，請問在 的圖象上是否存在一點(diǎn)P，使得 .假設(shè)存在，求出P點(diǎn)坐標(biāo)；假設(shè)不存在，說明理由.
22.函數(shù) ， ．
〔1〕討論函數(shù) 的單調(diào)區(qū)間；
〔2〕是否存在正數(shù) 使得關(guān)于 的方程 在區(qū)間 上恰有兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根？如果有，求出 的取值范圍；如果沒有，請說明理由．

答案解析局部
一、單項(xiàng)選擇題
1.【解析】【解答】由 ，得 或 ，由 ，得 或 ，可知“ 或 〞可以推出“ 或 〞，反之不能，根據(jù)充分必要性條件判斷，所以“ 〞是“ 〞的充分不必要條件.
故答案為：A

【分析】首先由一元二次不等式的解法以及絕對值不等式的解法，分別求出不等式的解集，然后由充分和必要條件的定義即可得出答案。
2.【解析】【解答】由題意，這個(gè)人每日布施的金錢數(shù)構(gòu)成以 為首項(xiàng)，公差為 的等差數(shù)列，
設(shè)他布施了 日，那么 ，解得 或 (舍去).
故答案為：B.

【分析】由題意，這個(gè)人每日布施的金錢數(shù)構(gòu)成以 為首項(xiàng)，公差為 的等差數(shù)列，再利用等差數(shù)列的前n項(xiàng)求和公式，即可得出答案。
3.【解析】【解答】根據(jù)題意，得 ，
所以 ， ，
所以 ， ，令 ，可得 。
故答案為：D.

【分析】利用余弦型函數(shù)的圖象變換求出函數(shù)g(x)的圖象，從而求出余弦型函數(shù)g(x)的解析式，再利用求導(dǎo)的方法判斷函數(shù)的單調(diào)性，從而求出函數(shù)的一個(gè)極值點(diǎn)。
4.【解析】【解答】由題可得 ，
∴
.
故答案為：B.

【分析】結(jié)合定義帶入m的表達(dá)式，然后結(jié)合和差角公式進(jìn)行化簡即可求解。
5.【解析】【解答】因?yàn)橛窈夂吞鞕?quán)都沒有被選中的概率為 ，
所以玉衡和天權(quán)至少一顆被選中的概率為 .
故答案為：B.

【分析】根據(jù)題意由概率的定義結(jié)合題意計(jì)算出結(jié)果即可。
6.【解析】【解答】 ，
，
，
所以 .
故答案為：C

【分析】由 ， ，從而得出a,b,c的大小關(guān)系。
7.【解析】【解答】由題意函數(shù) 的零點(diǎn)即為函數(shù) 的零點(diǎn)，
令 ，那么 ，所以方程必有兩個(gè)不等實(shí)根 ， ，設(shè) ，
由韋達(dá)定理可得 ，故①正確；
，
當(dāng) 時(shí)， ，故 不可能是函數(shù) 的極值點(diǎn)，故②正確；
令 即 ， ，
設(shè) 的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為 ， 且 ，
那么當(dāng) ， 時(shí)， ，函數(shù) 單調(diào)遞增，
當(dāng) 時(shí)， ，函數(shù) 單調(diào)遞減，所以 為函數(shù)極小值；
由①知，當(dāng) 時(shí)，函數(shù) ，所以當(dāng) 時(shí)， ，
又 ，所以 ，所以 ，
所以 為函數(shù)的最小值，故③正確.
應(yīng)選：D.
【分析】把函數(shù) 的零點(diǎn)轉(zhuǎn)化為函數(shù) 的零點(diǎn)，即可判斷①；求得 后代入 ，根據(jù) 是否為0即可判斷②；設(shè) 的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為 ， 且 ，結(jié)合①可得當(dāng) 時(shí)， ，再證明 即可判斷③；即可得解.
8.【解析】【解答】 ， 為圓與雙曲線在第一象限交點(diǎn)，即 ， 在線段 上，

由雙曲線定義可知： ，又 ，
，又 ， ，
在以 為直徑的圓上， ， ，
由 得： ，
整理可得： .
故答案為：D.

【分析】首先由雙曲線的定義整理得出， 再由圓直徑的性質(zhì)定理得出結(jié)合勾股定理計(jì)算出， 利用整體思想結(jié)合離心率的公式計(jì)算出答案即可。
二、多項(xiàng)選擇題
9.【解析】【解答】因?yàn)槭录?， 不一定互斥，所以A不符合題意；
因?yàn)?所以B符合題意；
因?yàn)?，所以C不符合題意；
因?yàn)?， ，所以D符合題意．
故答案為：BD

【分析】根據(jù)互斥事件的概率計(jì)算判斷A；根據(jù)古典概率的計(jì)算公式判斷B；根據(jù)正態(tài)分布的特點(diǎn)可判斷C，D。
10.【解析】【解答】對于A， ，A不符合題意；
對于B，令 或 ， ，
由 ，由 ，由 ，共7個(gè)零點(diǎn)，B符合題意；
對于C， ，令 ，那么 ，
，且當(dāng) 時(shí)， ， 在 上遞增，
當(dāng) 時(shí)， ， 在 上遞減，當(dāng) 時(shí)， ， 在 上遞增，
而 ，即x=1時(shí)， ， ，C符合題意；
對于D，當(dāng) 時(shí)， ，而 在 上單調(diào)遞增且 在 上也單調(diào)遞增，
所以 在 上單調(diào)遞增，D符合題意.
故答案為：BCD

【分析】 根據(jù)三角函數(shù)的周期性判斷答案A，由三角函數(shù)的零點(diǎn)的定義判斷答案B，根據(jù)三角函數(shù)的最值判斷答案C，根據(jù)三角函數(shù)的單調(diào)性判斷答案D.
11.【解析】【解答】由 可得 與 異號(hào)，
或 ，
又 ，且 ，可得 與 同號(hào)，即 ，
且一個(gè)大于 ，一個(gè)小于 ，
假設(shè) ，那么 ，不符合題意；
假設(shè) ，那么 ， 為遞減數(shù)列，
滿足 ，A符合題意；
對于B選項(xiàng)，由于 ，數(shù)列 為正項(xiàng)遞減數(shù)列，
，所以， ，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；
對于C選項(xiàng)，由上可知，正項(xiàng)數(shù)列 前 項(xiàng)都大于 ，
而從第 項(xiàng)起都小于 ，
所以， 是數(shù)列 中的最大值，C選項(xiàng)正確；
對于D選項(xiàng)， ，
D選項(xiàng)正確.
故答案為：ACD.

【分析】分析出， 可得出數(shù)列 為正項(xiàng)遞減數(shù)列，結(jié)合題意分析出正項(xiàng)數(shù)列 前 項(xiàng)都大于 ，而從第 項(xiàng)起都小于 ，進(jìn)而可判斷出選項(xiàng)的正誤。
12.【解析】【解答】由雙曲線 ，可得 ，那么 ，
所以雙曲線的離心率為 ，所以A符合題意；
由雙曲線的漸近線為 ，所以B不符合題意；
由拋物線 焦點(diǎn)與雙曲線點(diǎn) 的一個(gè)焦點(diǎn)重合，
可得 ，解得 ，所以C符合題意；
由拋物線 的準(zhǔn)線方程為 ，那么點(diǎn) 到其準(zhǔn)線的距離為 ，
到焦點(diǎn)的距離也為4，所以D不符合題意.
故答案為：AC.

【分析】根據(jù)拋物線與雙曲線的性質(zhì)，逐項(xiàng)進(jìn)行判斷，即可得出答案。
三、填空題
13.【解析】【解答】 ，所以 .
故答案為：(0,1].

【分析】求出集合B，然后根據(jù)交集的定義進(jìn)行運(yùn)算即可。
14.【解析】【解答】由復(fù)數(shù)的運(yùn)算可知 ， 是純虛數(shù)，那么其實(shí)部必為零，即 ，所以 。
【分析】利用條件結(jié)合復(fù)數(shù)乘法運(yùn)算法那么求出復(fù)數(shù)z，再利用復(fù)數(shù)為純虛數(shù)的定義，從而求出實(shí)數(shù)a的值。
15.【解析】【解答】解：由題意得2n=256，解得n=8,
那么通項(xiàng)公式為
令8-2r=0，得r=4，
那么常數(shù)項(xiàng)為
故答案為：8，
【分析】根據(jù)二項(xiàng)式定理，幾何二項(xiàng)式系數(shù)之和的性質(zhì)以及特定項(xiàng)的解法直接求解即可.
16.【解析】【解答】由得
，
又由 ，即前n組共有 個(gè)數(shù)，
令 ，解得 〔當(dāng) 時(shí)有105個(gè)數(shù)〕，
由題意可知： 為2的整數(shù)冪，只需將 消去即可，
那么① 時(shí)，解得 ，總共有 項(xiàng)，不滿足 ；
② 時(shí)，解得 ，總共有 項(xiàng)，不滿足 ；
③ 時(shí)，解得 ，總共有 項(xiàng)，
不滿足 ；
④ 時(shí)，解得 ；總共有 項(xiàng)，
滿足 ，所以n的最小值為441，
所以首次出現(xiàn)的“一對佳數(shù)〞是〔441,29〕。
故答案為〔441,29〕。

【分析】由結(jié)合等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式和等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式，再結(jié)合分組求和法得出 ?， 又由等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式得出前n組共有 個(gè)數(shù)，令 ，從而求出n的取值范圍〔當(dāng) 時(shí)，有105個(gè)數(shù)〕，由題意可知： 為2的整數(shù)冪，只需將 消去即可，再利用分類討論的方法得出n的值，再利用等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式求出共有的項(xiàng)數(shù)，從而得出滿足 時(shí)n的最小值為441，所以首次出現(xiàn)的“一對佳數(shù)〞是〔441,29〕。
四、解答題
17.【解析】【分析】 〔1〕根據(jù)題意連接PE，證明， 可得， 由， 得， 由線面垂直的判定可得 平面 ，從而得到AD⊥PC；
(2)由 平面 ， 平面 平面 ，，可得EP，EA，EC兩兩垂直，以E為原點(diǎn)，EA，EC，EP分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，分別求出平面與平面的一個(gè)法向量，由兩法向量所成角的余弦值可得二面角的余弦值.
18.【解析】【分析】〔1〕利用條件完成 列聯(lián)表，再利用獨(dú)立性檢驗(yàn)的方法判斷出有90%的把握認(rèn)為“對講座活動(dòng)是否滿意與性別有關(guān)〞。
〔2〕利用條件結(jié)合分層抽樣的方法得出取6名學(xué)生，其中男生2名，女生4名， 再結(jié)合古典概型求概率公式，從而求出在這6名學(xué)生中抽取2名學(xué)生，談自己聽講座的心得體會(huì)， 其中恰好抽中1名男生與1名女生的概率。
?
?
19.【解析】【分析】〔1〕由 ① ② ③ ?可得 ? ，? 由??得?? ， 所以?，再由數(shù)列遞推式可得 ? ， 分析可知 數(shù)列??是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列，所以??。
(2)由數(shù)列的求和公式和遞推公式可計(jì)算Rn-2Rn,再利用等比數(shù)列的求和公式計(jì)算可得 ?。
?
?
20.【解析】【分析】(1)首先由條件結(jié)合離心率的公式即可得出a與b的關(guān)系，把點(diǎn)的坐標(biāo)代入到橢圓的方程由橢圓里a、b、c的關(guān)系計(jì)算出b的值由此即可得到橢圓的方程。
(2)根據(jù)題意由點(diǎn)斜式設(shè)出直線的方程再聯(lián)立直線與橢圓的方程，消去y等到關(guān)于x的一元二次方程結(jié)合韋達(dá)定理即可得到關(guān)于k的兩根之和與兩根之積的代數(shù)式，由此即可求出AB中點(diǎn)的坐標(biāo)同理即可求出CD中點(diǎn)的坐標(biāo)，由條件整理即可得到， 由此即可求出直線GH的方程，求出直線的截距即與x軸的交點(diǎn)，進(jìn)而得到三角形的面積公式，再由整體思想整理化簡結(jié)合根本不等式即可求出即由此得到面積的最大值。
21.【解析】【分析】利用O為坐標(biāo)原點(diǎn)，對于函數(shù) ，稱向量 為函數(shù) 的相伴特征向量，同時(shí)稱函數(shù) 為向量 的相伴函數(shù)，再利用函數(shù) ，再結(jié)合兩角和的正弦公式結(jié)合誘導(dǎo)公式，從而得出 ， 從而求出函數(shù) 的相伴特征向量的坐標(biāo)。
〔2〕 記向量 的相伴函數(shù)為 ， 再結(jié)合相伴函數(shù)的定義，從而得出向量 的相伴函數(shù)為 ， 再利用 ， 從而求出 ，再結(jié)合x的取值范圍得出 的取值范圍 ， 再利用同角三角函數(shù)根本關(guān)系式，從而求出 ，再結(jié)合角之間的關(guān)系式結(jié)合兩角差的正弦公式，從而求出 的值 。
〔3〕利用條件結(jié)合相伴特征向量的定義， 由 為 的相伴特征向量知m的值， 再結(jié)合誘導(dǎo)公式得出 ， 設(shè) ，因?yàn)?，再利用向量的坐標(biāo)表示求出向量的坐標(biāo)，再利用兩向量垂直數(shù)量積為0的等價(jià)關(guān)系，再利用數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，再結(jié)合二次函數(shù)的圖像求值域的方法和 ，得出當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)， 和 同時(shí)等于 ，這時(shí)式成立，所以在 圖像上存在點(diǎn) ，使得 。
22.【解析】【分析】(1)利用函數(shù)f(x)和函數(shù)g(x)的解析式求出函數(shù)h(x)的解析式，再利用分類討論的方法結(jié)合求導(dǎo)的方法判斷函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而討論出函數(shù)h(x)的單調(diào)區(qū)間。
〔2〕 方程 在區(qū)間 上恰有兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根，等價(jià)于方程 在區(qū)間 上恰有兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根，因?yàn)?，即等價(jià)于方程 在區(qū)間 上恰有兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根，令函數(shù) ，再利用導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法那么求出函數(shù)F(x)的導(dǎo)函數(shù)，那么 ，令 ，再利用求導(dǎo)的方法判斷函數(shù)G(x)的單調(diào)性，進(jìn)而判斷函數(shù)F(x)的單調(diào)性，故方程 在區(qū)間 上恰有兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根，等價(jià)于方程 在區(qū)間 上恰有兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根，等價(jià)于方程 在區(qū)間 上恰有兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根，令 ，再利用求導(dǎo)的方法判斷函數(shù)m(x)的單調(diào)性，再結(jié)合函數(shù)m(x)的圖象可得存在正數(shù) 使得關(guān)于 的方程 在區(qū)間 上恰有兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根，進(jìn)而求出實(shí)數(shù)a的取值范圍。

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2022年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試模擬（北京卷）數(shù)學(xué)試題：

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