注意事項：
1．本場考試時間120分鐘，滿分150分．
2．作答前，在答題紙正面填寫姓名、準考證號，反面填寫姓名．將核對后的條形碼貼在答題紙指定位置.
3．所有作答務必填涂或書寫在答題紙上與試卷題號對應的區(qū)城，不得錯位．在試卷上作答一律不得分．
4．用2B鉛筆作答選擇題，用黑色字跡鋼筆、水筆或圓珠筆作答非選擇題．
第一部分(選擇題 共40分)
一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分，在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項。
1．已知集合，，則（ ）
A．B．C．D．
【解析】 ,故,故選:C
2．如果復數(shù)（其中為虛數(shù)單位，為實數(shù)）為純虛數(shù)，那么（ ）
A．1B．2C．4D．
【解析】，因復數(shù)為純虛數(shù)，
于是得且，解得，所以.故選：A
3．已知函數(shù)的圖象在區(qū)間上連續(xù)不斷，則“”是“在上存在零點”的（ ）
A．充分而不必要條件B．必要而不充分條件
C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件
【解析】因為函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)不斷，由，
可知中可能有兩正一負、兩負一正、一正一負一零和，
所以函數(shù)在區(qū)間上存在零點；
由在區(qū)間上有零點且連續(xù)不斷，不能推出“”，如函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增且時，則，，則，
所以 “”是“在區(qū)間上存在零點”的充分不必要條件.故選：A.
4．已知正四棱錐的側棱長為2，高為.則該正四棱錐的表面積為（ ）
A．B．C．D．
【解析】
由題意可知，則，
，所以該正四棱錐的表面積為，故選：C
5．已知雙曲線滿足，且與橢圓有公共焦點，則雙曲線的方程為（ ）
A．B．C．D．
【解析】橢圓的標準方程為，橢圓中的，
雙曲線的焦點與橢圓的焦點相同，雙曲線中，
雙曲線滿足，即
又在雙曲線中，即，解得：，
所以雙曲線的方程為，故選：A．
6．已知等差數(shù)列，是數(shù)列的前項和，對任意的，均有成立，則的值不可能是（ ）
A．2B．3C．4D．5
【解析】根據(jù)題意，等差數(shù)列，對任意的，均有成立，即是等差數(shù)列的前項和中的最大值，必有，公差，
分3種情況討論：
①，此時，、是等差數(shù)列的前項和中的最大值，
此時，則有，則，
②，此時，、是等差數(shù)列的前項和中的最大值，
此時，則有，，
③，，是等差數(shù)列的前項和中的最大值，
此時，，則，變形可得：，
，而，則有，
綜合可得：.故選：A．
7．已知函數(shù)，，則（ ）
A．最大值為2，最小值為1
B．最大值為，最小值為1
C．最大值為，最小值為1
D．最大值為，最小值為
【解析】，時，sinx∈[，1]，
∴當sinx＝時，f(x)最大值為；當sinx＝1時，f(x)最小值為1.故選：B.
8．如圖，在三棱錐中，平面ABC，，，，則點A到平面PBC的距離為（ ）
A．1B．C．D．
【解析】因為平面ABC，所以,因為，，
所以，又，，所以,
所以,設點A到平面PBC的距離為，
則,即,，故選：A
9．已知直線與圓相交于兩點，且，那么實數(shù)k的取值范圍是（ ）
A．B．C．或D．
【解析】圓化簡為標準方程為，圓心到直線的距離，，解得：.故選：D
10．已知橢圓上有個不同的點，，，，．設橢圓的右焦點為，數(shù)列是公差大于的等差數(shù)列，則的最大值為（ ）
A．2007B．2006C．1004D．1003
【解析】由橢圓可知：，，，右焦點為，離心率，
設，，到右準線的距離為，根據(jù)圓錐曲線的統(tǒng)一定義，得，
，數(shù)列是公差大于的等差數(shù)列，
，可得，化簡得，
結合橢圓上點的橫坐標的范圍，得，
，得，得的最大值為2006，故選：B．
第二部分(非選擇題 共110分)
二、填空題共5小題，每小題5分，共25分。
11．在二項式的展開式中，含的項的系數(shù)是________．
【解析】 ，
所以令得 ，即含的項的系數(shù)是
12．設拋物線的焦點為，則______；若點A在拋物線上，且，則點A坐標為________.
【解析】由題意，，即拋物線方程為，，，
所以，．故答案為：4；．
13．已知平面向量，的夾角為120°，且，，則的值為______，的最小值為______．
【解析】因為平面向量，的夾角為120°，且，，
所以，
，
所以當時，的最小值為，故答案為： ，
14．已知函數(shù)是偶函數(shù)，則的一個取值為___________.
【解析】因為該函數(shù)是偶函數(shù)，所以有，
當時，有，
于是有：或，解得：，
當時，有，
于是有或，解得，
所以，顯然的一個取值可以是，故答案為：
15．已知函數(shù).若函數(shù)有兩個不同的零點，則實數(shù)的取值范圍是_____
【解析】畫出的圖象如下圖所示，，
即與的圖象有兩個交點，由圖可知，的取值范圍是.
故答案為：
三、解答題共6小題，共85分。解答應寫出文字說明，演算步驟或證明過程。
16.(本小題13分)
在中，再從條件①、條件②這兩個條件中選擇一個作為已知，求：
(1)的值；
(2)和面積的值．
條件①: ；條件②:.
【解析】(1)若選①：在中，,
即，而 ，故 或，則或，
因為，故 ,所以；
若選② ：在中，,
即，而 ，故 或，則或，
由得： 且 ，故A為最大角，
故 ,所以；
(2)若選①：由正弦定理得： ,則 ,
由知： ， ，故 ,則 ，
所以 ， ；
若選②：，由正弦定理得： ,
故 ,而 ,故 ,
所以 , .
17.(本小題13分)
如圖，在四棱錐中，，，，平面.
(1)試在線段上取一點使平面，請給出點的位置，并證明；
(2)若點滿足，求二面角的平面角的余弦值.
【解析】(1) 為中點時使平面，理由如下：
設平面交于，連接、，
因為平面，平面平面，所以，
因為，平面，平面，所以平面，平面平面，平面，所以，又因為，所以，
所以四邊形是平行四邊形，所以，所以是中點．
(2)取的中點，連接 ，因為，所以，如圖建立空間直角坐標系，所以，，，，因為，所以，所以，，，設平面的法向量為，所以，令，則，，所以，平面的法向量為，所以，令，則，，所以，設二面角為，由圖可知二面角的平面角為銳二面角，則，所以二面角的平面角的余弦值；
18.(本小題14分)
“雙減”政策實施以來，各地紛紛推行課后服務“5+2"模式，即學校每周周一至周五5天都要面向所有學生提供課后服務，每天至少2小時．某學校的課后服務有學業(yè)輔導體育鍛煉、實踐能力創(chuàng)新培養(yǎng)三大類別，為了解該校學生上個月參加課后服務的情況，該校從全校學生中隨機抽取了100人作為樣本．發(fā)現(xiàn)樣本中未參加任何課后服務的有14人，樣本中僅參加某一類課后服務的學生分布情況如下：
(1)從全校學生中隨機抽取1人．估計該學生上個月至少參加了兩類課后服務活動的概率；
(2)從全校學生中隨機抽取3人．以頻率估計概率，以X表示這3人中上個月僅參加學業(yè)輔導的人數(shù)．求X的分布列和數(shù)學期望；
(3)老樣本中上個月未參加任何課后服務的學生有人在本月選擇僅參加學業(yè)輔導．樣本中其他學生參加課后服務的情況在本月沒有變化．從全校學生中隨機抽取3人．以頻率估計概率，以X表示這3人中上個月僅參加學業(yè)輔導的人數(shù)，以Y表示這3人中本月僅參加學業(yè)輔導的人數(shù)．試判斷方差、的大小關系（結論不要求證明）．
【解析】(1)由題意得，樣本中僅參加某一類課后服務的學生共有
（人），又樣本中未參加任何課后服務的有14人，
故樣本中上個月至少參加了兩類課后服務活動的學生共有（人）
則從全校學生中隨機抽取1人，該學生上個月至少參加了兩類課后服務活動的頻率為
由此，可估計該學生上個月至少參加了兩類課后服務活動的概率
(2)樣本中，上個月僅參加學業(yè)輔導的有（人），對應頻率為0.25
以頻率估計概率，從全校學生中隨機抽取1人，上個月僅參加學業(yè)輔導的概率為0.25，
X的可能取值為0，1，2，3，
，，，
，
X的分布列為
X的數(shù)學期望
(3)由題意可知隨機變量X服從二項分布，故.
又知：上個月未參加任何課后服務的學生有人在本月選擇僅參加學業(yè)輔導（樣本中其他學生參加課后服務的情況在本月沒有變化．），
則本月從全校學生中隨機抽取1人僅參加學業(yè)輔導的概率估計為P ，且.
以Y表示這3人中本月僅參加學業(yè)輔導的人數(shù)，由題意可知隨機變量Y服從二項分布，
故,.
19.(本小題15分)
已知函數(shù).
(1)若，求曲線在點處的切線方程；
(2)若對任意，都有，求實數(shù)的取值范圍.
【解析】(1)當時，函數(shù)，定義域為，
又，，所以，
所以曲線在點處的切線方程為，即；
(2)若在上恒成立，即在上恒成立，
可令，，
則，，，
令，可解得，當時，即時，在上恒成立，
所以在上單調(diào)遞增，，
又，所以恒成立，即時，在上恒成立，
當，即時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
此時，，又，，即，
不滿足恒成立，故舍去，綜上可知：實數(shù)的取值范圍是.
20.(本小題15分)
已知橢圓：（）上一點到兩個焦點的距離之和為4，離心率為.
(1)求橢圓的方程；
(2)設橢圓的左右頂點分別為、，當不與、重合時，直線，分別交直線于點、，證明：以為直徑的圓過右焦點.
【解析】(1)由題干可得，所以，即橢圓的方程；
(2)解法一：設，
因為直線交直線于點，所以，則
同理，則 ，由于異于軸兩側，因此異號.
所以
又因為，所以
即 ，以為直徑的圓過右焦點.
解法二：設直線方程，
，
得 ，即
因為直線交直線于點，即.
因為直線交直線于點，則由三點共線，得，即
所以， 即 ，以為直徑的圓過右焦點.
21.(本小題15分)
對于有限數(shù)列，，，，定義：對于任意的，，有：
（i ）；
（ii ）對于，記.對于，若存在非零常數(shù)，使得，則稱常數(shù)為數(shù)列的階系數(shù).
(1)設數(shù)列的通項公式為，計算，并判斷2是否為數(shù)列的4階系數(shù)；
(2)設數(shù)列的通項公式為，且數(shù)列的階系數(shù)為3，求的值；
(3)設數(shù)列為等差數(shù)列，滿足-1，2均為數(shù)列的階系數(shù)，且，求的最大值.
【解析】(1)因數(shù)列通項公式為，所以數(shù)列為等比數(shù)列，且，
得．
數(shù)列通項公式為，所以當時，
,
所以2是數(shù)列的4階系數(shù)．
(2)因為數(shù)列的階系數(shù)為3，所以當時，存在，使成立．
設等差數(shù)列的前項和為，則,
令，則,所以，,
設等差數(shù)列的前項和為，，
則,令，則,所以，
當時，，當時，，
則，解得．
(3)設數(shù)列為等差數(shù)列，滿足，2均為數(shù)列的階系數(shù)，，
則存在，使
成立．
設數(shù)列的公差為，構造函數(shù)．
由已知得
，
所以，函數(shù)至少有三個零點，，，
由函數(shù)可知為偶數(shù)，且滿足，
得，所以，解得，構造等差數(shù)列為：，，，，38，
可知當時命題成立，即的最大值為26．每周參加活動天數(shù)
課后服務活動
1天
2~4天
5天
僅參加學業(yè)輔導
10人
11人
4人
僅參加體育鍛煉
5人
12人
1人
僅參加實踐能力創(chuàng)新培養(yǎng)
3人
12人
1人
X
0
1
2
3
P

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