2022-2023學(xué)年福建省莆田第一中學(xué)高二下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)（B卷）試題 一、單選題1．甲、乙兩個元件構(gòu)成一并聯(lián)電路，設(shè)E=“甲元件故障”，F=“乙元件故障”，則表示電路故障的事件為（    ）A．EF B．EF C．E D．【答案】B【分析】根據(jù)并聯(lián)電路可得答案.【詳解】因為甲、乙兩個元件構(gòu)成一并聯(lián)電路，所以只有當(dāng)甲、乙兩個元件都故障時，才造成電路故障，所以表示電路故障的事件為.故選：B2．在和兩數(shù)之間插入個數(shù)，使它們與組成等差數(shù)列，則該數(shù)列的公差為（    ）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)題意結(jié)合等差數(shù)列性質(zhì)運算求解. 【詳解】在和兩數(shù)之間插入個數(shù)，使它們與組成等差數(shù)列，則這個數(shù)列共有項，設(shè)該數(shù)列的公差為，則.故選：A. 3．已知某運動員每次射擊擊中目標的概率為.現(xiàn)采用隨機模擬的方法估計某運動員射擊4次，至少擊中3次的概率.先由計算器給出0到9之間取整數(shù)值的隨機數(shù)，指定0，1表示沒有擊中目標，表示擊中目標，以4個隨機數(shù)為一組，代表射擊4次的結(jié)果，經(jīng)隨機模擬產(chǎn)生了20組隨機數(shù)：根據(jù)以上數(shù)據(jù)估計該射擊運動員射擊4次，至少擊中3次的概率為（    ）A．0.8 B．0.75 C．0.7 D．0.65【答案】B【分析】由題設(shè)模擬數(shù)據(jù)確定擊中目標至少3次的隨機數(shù)組，應(yīng)用古典概型的概率求法求概率. 【詳解】在20組隨機數(shù)中含中的數(shù)至少3個（含3個或4個），共有15組，即模擬結(jié)果中射擊4次至少擊中3次的頻率為.據(jù)此估計該運動員射擊4次，至少擊中3次的概率為0.75.故選：B. 4．某單位入職面試中有三道題目，有三次答題機會，一旦某次答對抽到的題目，則面試通過，否則就一直抽題到第3次為止.若求職者小王答對每道題目的概率都是，則他最終通過面試的概率為（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】分為三種情況：第一次通過，第二次通過，第三次通過，結(jié)合相互獨立事件概率乘法公式求解.【詳解】由題意知，小王最終通過面試的概率為.故選：C.5．已知雙曲線的左焦點為，過點作雙曲線的一條漸近線的垂線（垂足為）交另一條漸近線于點，則線段的長度為（    ）A．1 B． C．2 D．【答案】B【分析】根據(jù)已知可推得雙曲線的漸近線為，進而得出，即可推得.然后列出直線的方程為，求出點到直線的距離，根據(jù)勾股定理得出，即可得出答案.【詳解】由已知可得，，，，所以雙曲線的漸近線為，所以，所以，所以是線段的垂直平分線，所以.因為，，所以，直線的方程為，即，所以，所以，，所以.故選：B.6．設(shè)分別為橢圓的左?右焦點，點在上，若，，則橢圓的離心率為（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】設(shè)，根據(jù)題意和橢圓的定義求得，得到，利用勾股定理，得到在直角中，列出方程求得，結(jié)合離心率的定義，即可求解.【詳解】如圖所示，設(shè)，因為且，則，由橢圓的定義可得，即，又由，所以，所以，可得，所以在直角中，可得，即，得，所以橢圓的離心率為.故選：C.7．如圖1所示，拋物面天線是指由拋物面（拋物線繞其對稱軸旋轉(zhuǎn)形成的曲面）反射器和位于焦點上的照射器（饋源，通常采用喇叭天線）組成的單反射面型天線，廣泛應(yīng)用于微波和衛(wèi)星通訊等領(lǐng)域，具有結(jié)構(gòu)簡單、方向性強、工作頻帶寬等特點．圖2是圖1的軸截面，A，B兩點關(guān)于拋物線的對稱軸對稱，F是拋物線的焦點，∠AFB是饋源的方向角，記為，焦點F到頂點的距離f與口徑d的比值稱為拋物面天線的焦徑比，它直接影響天線的效率與信噪比等．如果某拋物面天線饋源的方向角滿足，，則其焦徑比為（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】建立直角坐標系，設(shè)拋物線的標準方程為：，，，代入拋物線方程可得，根據(jù)，解得與的關(guān)系，即可得出．【詳解】如圖所示，建立直角坐標系，設(shè)拋物線的標準方程為：，，，代入拋物線方程可得：，解得，由于，得或（舍）又，化為：，解得或（舍）.故選：C.8．在編號分別為的n名同學(xué)中挑選一人參加某項活動，挑選方法如下：拋擲兩枚骰子，將兩枚骰子的點數(shù)之和除以n所得的余數(shù)如果恰好為i，則選編號為i的同學(xué)．下列哪種情況是不公平的挑選方法（    ）A． B． C． D．【答案】C【解析】首先求出兩枚骰子的點數(shù)之和可能的取值對應(yīng)的概率，再分別討論四個選項中的取值對應(yīng)的余數(shù)的概率，若每一個余數(shù)的概率都相等則是公平的，若不相等則不公平，即可得正確選項.【詳解】由題意知兩枚骰子的點數(shù)之和為，則可能為，， ，，，，，，，，，對于選項A：時，，，所以是公平的，故選項A不正確；對于選項B：時，，，，，所以是公平的，故選項B不正確；對于選項C：時，，，，因為概率不相等，所以不公平，故選項C正確；對于選項D：時，，，，，，，所以是公平的，故選項D不正確，故選：C【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題解題的關(guān)鍵點是理解題意，對于所給的值的每一個余數(shù)出現(xiàn)的概率相等即為公平，不相等即為不公平. 二、多選題9．設(shè)，是兩個隨機事件，則下列說法正確的是（    ）A．表示兩個事件至少有一個發(fā)生B．表示兩個事件至少有一個發(fā)生C．表示兩個事件均不發(fā)生D．表示兩個事件均不發(fā)生【答案】ACD【分析】根據(jù)隨機事件的表示方法，逐項判斷即可.【詳解】因為，是兩個隨機事件，所以表示兩個事件至少有一個發(fā)生，故A正確；表示兩個事件恰有一個發(fā)生，故B錯誤；表示兩個事件均不發(fā)生，故C正確；表示兩個事件均不發(fā)生，故D正確.故選：ACD.10．某班級體溫檢測員對一周內(nèi)甲?乙兩名同學(xué)的體溫進行了統(tǒng)計，其結(jié)果如圖所示，則下列說法正確的有（    ）A．乙同學(xué)體溫的極差為B．乙同學(xué)體溫的眾數(shù)為，中位數(shù)與平均數(shù)相等C．甲同學(xué)的體溫比乙同學(xué)的體溫穩(wěn)定D．甲同學(xué)體溫的第70百分位數(shù)為【答案】AB【分析】求出乙同學(xué)體溫的極差即可判斷A，將乙同學(xué)體溫數(shù)據(jù)從小到大排列，得到眾數(shù)、平均數(shù)、中位數(shù)，即可判斷B，根據(jù)折線圖判斷C，根據(jù)百分位數(shù)計算規(guī)則判斷D；【詳解】對于A，乙同學(xué)體溫的極差為，故A正確；對于B：乙同學(xué)的體溫從低到高依次為，故眾數(shù)為，中位數(shù)為，平均數(shù)為，故B正確；對于C：從折線圖上可以看出，乙同學(xué)的體溫比甲同學(xué)的體溫穩(wěn)定，故C錯誤；對于D：甲同學(xué)的體溫從低到高依次為，由，可知數(shù)據(jù)的第百分位數(shù)為第項數(shù)據(jù)，故D錯誤.故選：AB11．拋擲一紅一綠兩枚質(zhì)地均勻的骰子，記下骰子朝上面的點數(shù).用表示紅色骰子的點數(shù)，用表示綠色骰子的點數(shù)，用表示一次試驗的結(jié)果.定義事件：“”，事件“為奇數(shù)”，事件“”，則下列結(jié)論正確的有（    ）A．與互斥但不對立 B．與對立C．與相互獨立 D．與相互獨立【答案】AC【分析】由已知得出樣本空間包含的樣本點的個數(shù)為個，列舉得出事件包含的樣本點，然后根據(jù)互斥對立事件的概念以及相互獨立，即可得出答案.【詳解】由已知可得，樣本空間包含的樣本點的個數(shù)為個.由題可知，“”，“奇數(shù)”，“”，對于A、B項，事件包含的樣本點有，，，，，，共6個，所以.事件包含的樣本點有，，，，，，，，，共9個，所以.所以與互斥但不對立，故A正確，B錯誤；事件包含的樣本點有，，，，，，，，，，，，，，，，，，共18個，所以.事件包含的樣本點有，，，共3個，所以，，所以，所以與獨立，故C正確；對于D項，事件包含的樣本點有，，，共3個，所以，，所以，故D項錯誤.故選：AC.12．已知拋物線的焦點為，準線交軸于點，直線過且交于不同的兩點，且，下列命題正確的有（    ）A．直線的斜率B．若，則C．若，則D．存在使得平分【答案】ACD【分析】A選項，由判別式可判斷選項正誤；B選項，由拋物線定義結(jié)合可判斷選項正誤；C選項，如圖，過A，B作準線垂線，垂足為，由拋物線定義結(jié)合可判斷選項正誤；D選項，方法1，通過證明，可得，即可得坐標，后由拋物線定義可求得；方法2，設(shè) 關(guān)于軸的對稱點為，通過說明三點共線，可得，后同方法1；方法3，由角平分線定理結(jié)合拋物線定義可得，后同方法1；方法4，利用結(jié)合，可得，即可得，后同方法1.【詳解】由題可得，.設(shè)方程為：，，將直線與拋物線方程聯(lián)立：，消去x得：.由題：，又由韋達定理知：.A選項，由題可得或，則，故A正確；B選項，由拋物線定義可知：，則，得.故B錯誤；C選項，如圖，過A，B作準線垂線，垂足為，因，則，又，則.故C正確.選項D，方法1：如圖，過作x軸垂線，垂足為N，M.則，又所以.注意到：，則.則，即存在滿足題意，故D正確；方法2：設(shè) 關(guān)于軸的對稱點為，則.注意到：，則三點共線，所以，其余同方法1；方法3：若平分，則由角平分線定理可得，所以，又，.即，下同方法1；方法4：只需，即，注意到，，則，解得或3（舍去），后同方法1.故選：ACD【點睛】關(guān)鍵點睛：應(yīng)難以直接用坐標表示角度，故角平分線條件常通過角平分線定理，相似，三角函數(shù)等轉(zhuǎn)化為與長度，特殊角度相關(guān)的條件. 三、填空題13．有5張卡片上分別寫有數(shù)字1，2，3，4，5從這5張卡片中隨機抽取2張，那么取出的2張卡片上的數(shù)字之積為偶數(shù)的概率為_________.【答案】【分析】寫出基本事件個數(shù)，再利用古典概型的概率計算公式即可求解.【詳解】從數(shù)字標為1，2，3，4，5的5卡片中隨機抽取2張，抽取的結(jié)果如下：，共有種，其中乘積為偶數(shù)的有，共有種，所以取出的2張卡片上的數(shù)字之積為偶數(shù)的概率為.故答案為：【點睛】本題考查了古典概型的概率計算公式、寫基本事件個數(shù)，屬于基礎(chǔ)題.14．袋子中有6個大小質(zhì)地相同的球，其中3個紅球，3個黃球，從中不放回隨機取出3個球，則概率大于0且與事件“至多取出一個黃球”互斥不對立的事件可以是__________.【答案】取出2個黃球（答案不唯一）【分析】事件“至多取出一個黃球”互斥不對立的事件，即可得出概率大于0且與事件“至多取出一個黃球”互斥不對立的事件.【詳解】由題意，6個球，3個紅球，3個黃球，不放回隨機取三球，事件“至多取出一個黃球”的對立事件為“至少取出2個黃球”，所以概率大于0且與事件“至多取出一個黃球”互斥不對立的事件可以是“取出2個黃球”或“取出3個黃球”.故答案為：取出2個黃球（答案不唯一）. 四、雙空題15．在平面直角坐標系中，點滿足，則動點的運動軌跡方程為__________；的最小值為__________.【答案】          【分析】設(shè)出，由題意列出方程組，化簡即可得到點的軌跡方程；【詳解】設(shè)，由題意可得，整理得，故動點的運動軌跡方程為，如圖所示，點的軌跡為以為圓心，為半徑的圓，點在圓內(nèi)部，所以，當(dāng)且僅當(dāng)在線段上時等號成立，所以的最小值為，故答案為：； 五、填空題16．若已知30個數(shù)的平均數(shù)為6，方差為9；現(xiàn)從原30個數(shù)中剔除這10個數(shù)，且剔除的這10個數(shù)的平均數(shù)為8，方差為5，則剩余的20個數(shù)的方差為___________.【答案】【分析】根據(jù)方差定義結(jié)合已知條件分析求解【詳解】由題意得，，，，所以剩余的20個數(shù)的平均數(shù)為，，所以剩余的20個數(shù)的方差為，故答案為：8 六、解答題17．設(shè)等比數(shù)列的前項和為，已知，.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設(shè)，數(shù)列的前項和為，求.【答案】（1）；（2）【解析】（1）根據(jù)，，利用“”法求解.（2）根據(jù)，利用分組求和法求解.【詳解】（1）由，顯然公比.所以解得，所以，，所以.（2）因為所以.【點睛】本題主要考查等比數(shù)列的基本運算以及分組求和法求和，還考查了運算求解的能力，屬于中檔題.18．樹人中學(xué)為了學(xué)生的身心健康，加強食堂用餐質(zhì)量（簡稱“美食”）的過程中，后勤部門需了解學(xué)生對“美食”工作的認可程度，若學(xué)生認可系數(shù)不低于0.85，“美食”工作按原方案繼續(xù)實施，否則需進一步整改.為此該部門隨機調(diào)查了600名學(xué)生，根據(jù)這600名學(xué)生對“美食”工作認可程度給出的評分，分成，，，，五組，得到如圖所示的頻率分布直方圖.(1)求直方圖中的值和第60百分位數(shù)；(2)為了解部分學(xué)生給“美食”工作評分較低的原因，該部門從評分低于80分的學(xué)生中用分層抽樣的方法隨機選取30人進行座談，求應(yīng)選取評分在的學(xué)生人數(shù)；(3)根據(jù)你所學(xué)的統(tǒng)計知識，結(jié)合認可系數(shù)，判斷“美食”工作是否需要進一步整改，并說明理由.【答案】(1)，85(2)10人(3)“美食”工作需要進一步整改，理由見解析 【分析】（1）根據(jù)頻率分布圖，求得.然后推得第60百分位數(shù)位于區(qū)間內(nèi)，即可根據(jù)第百分位數(shù)的求法，得出答案；（2）根據(jù)分層抽樣，即可求得評分在的學(xué)生人數(shù)；（3）根據(jù)頻率分布直方圖，即可求得平均數(shù)，進而得出答案.【詳解】（1）由圖可知：，解得.因為，內(nèi)的頻率為，內(nèi)的頻率為，所以，第60百分位數(shù)位于區(qū)間內(nèi)，設(shè)為，則，所以，第60百分位數(shù)為85.（2）低于80分的學(xué)生中三組學(xué)生的人數(shù)比例為，則應(yīng)選取評分在的學(xué)生人數(shù)為：（人）.（3）由圖可知，認可程度平均分為：，所以，“美食”工作需要進一步整改.19．已知函數(shù)在處取得極值.（1）求實數(shù)的值；（2）當(dāng)時，求函數(shù)的值域.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）由題意得，代入求值即可得答案；（2）根據(jù)導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值，求端點函數(shù)值，從而求出函數(shù)的值域．【詳解】（1），函數(shù)在處取得極值，所以有即，解得.（2）由（1）可知：，所以，當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞減，故函數(shù)在處取得極大值，因此，，，故函數(shù)的值域為.20．在平面直角坐標系中，動點到的距離與它到直線的距離之比為2，記的軌跡為曲線.(1)求曲線的方程；(2)過的直線交曲線于兩點（均位于軸右側(cè)），關(guān)于原點的對稱點為，求的面積的取值范圍.【答案】(1)(2) 【分析】（1）根據(jù)已知可得，化簡整理即可得出答案；（2）設(shè)出直線的方程為.聯(lián)立直線與雙曲線的方程可得，進而根據(jù)韋達定理得出坐標之間的關(guān)系，以及的取值范圍.進而表示出，換元可得，即可根據(jù)的取值范圍得出答案.【詳解】（1）設(shè)點，依題意有，即，化簡得.（2）設(shè)，，由題意，直線的斜率不為0，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立直線與雙曲線的方程，整理可得， 則，.由已知可得，，所以，所以.又，所以.設(shè)，則，且，所以.，當(dāng)時，該式有最小值，所以的面積的取值范圍是.21．甲?乙?丙三人進行羽毛球比賽，約定賽制如下：累計負兩場者被淘汰；比賽前抽簽決定首先比賽的兩人，另一人輪空；每場比賽的勝者與輪空者進行下一場比賽，負者下一場輪空，直至有一人被淘汰；當(dāng)一人被淘汰后，剩余的兩人繼續(xù)比賽，直至其中一人被淘汰，另一人最終獲勝，比賽結(jié)束.已知在每場比賽中，甲勝乙和甲勝丙的概率均為，乙勝丙的概率為，各場比賽的結(jié)果相互獨立.經(jīng)抽簽，第一場比賽甲輪空.(1)求前三場比賽結(jié)束后，丙被淘汰的概率；(2)求只需四場比賽就決出冠軍的概率.【答案】(1)(2) 【分析】（1）設(shè)事件為甲勝乙，為甲勝丙，為乙勝丙，然后得出丙被淘汰可用事件，根據(jù)互斥事件的概率公式以及事件的獨立性，即可得出答案；（2）分最終的冠軍為甲，乙，丙，分別求解出概率，然后根據(jù)互斥事件的概率公式，即可得出答案.【詳解】（1）記事件為甲勝乙，則，則，事件為甲勝丙，則，，事件為乙勝丙，則，.則丙被淘汰可用事件來表示，所以，前三場比賽結(jié)束后，丙被淘汰的概率為.（2）若最終的冠軍為甲，則只需四場比賽就決出冠軍可用事件來表示，；若最終的冠軍為乙，則只需四場比賽就決出冠軍可用事件來表示，；若最終的冠軍為丙，則只需四場比賽就決出冠軍可用事件來表示，.所以，只需四場比賽就決出冠軍的概率為.22．已知橢圓，設(shè)過點的直線交橢圓于兩點，交直線于點，點為直線上不同于點的任意一點.(1)求的最小值；(2)記直線的斜率分別為，問是否存在的某種排列（其中），使得成等差數(shù)列或等比數(shù)列？若存在，寫出結(jié)論，并加以證明；若不存在，說明理由.【答案】(1)(2)存在，或成等差數(shù)列，證明見解析 【分析】（1）設(shè)點，由，利用二次函數(shù)性質(zhì)求解；（2）設(shè)點，①若直線斜率為0，直接驗證；②直線斜率不為0，設(shè)直線，則，與橢圓方程聯(lián)立，結(jié)合韋達定理求解.【詳解】（1）解：設(shè)點，其中，則，，當(dāng)時，取最小值.（2）或成等差數(shù)列，證明如下：設(shè)點.①若直線斜率為0，則點，不妨令點，則，此時的任意排列均不成等比數(shù)列，或成等差數(shù)列.②直線斜率不為0，設(shè)直線，則點，由，得，故，因為，所以，，，所以或成等差數(shù)列，綜合上述，或成等差數(shù)列.【點睛】方法點睛：利用韋達定理法解決直線與圓錐曲線相交問題的基本步驟如下：（1）設(shè)直線方程，設(shè)交點坐標為；（2）聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關(guān)于（或）的一元二次方程，必要時計算；（3）列出韋達定理；（4）將所求問題或題中的關(guān)系轉(zhuǎn)化為、（或、）的形式；（5）代入韋達定理求解. 

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