?2022-2023學(xué)年福建省莆田第一中學(xué)高二下學(xué)期第二學(xué)段（期中）考試數(shù)學(xué)（A卷）試題

一、單選題
1．甲、乙兩個(gè)元件構(gòu)成一并聯(lián)電路，設(shè)E=“甲元件故障”，F(xiàn)=“乙元件故障”，則表示電路故障的事件為（????）

A．EF B．EF C．E D．
【答案】B
【分析】根據(jù)并聯(lián)電路可得答案.
【詳解】因?yàn)榧?、乙兩個(gè)元件構(gòu)成一并聯(lián)電路，
所以只有當(dāng)甲、乙兩個(gè)元件都故障時(shí)，才造成電路故障，
所以表示電路故障的事件為.
故選：B
2．在和兩數(shù)之間插入個(gè)數(shù)，使它們與組成等差數(shù)列，則該數(shù)列的公差為（????）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根據(jù)題意結(jié)合等差數(shù)列性質(zhì)運(yùn)算求解.

【詳解】在和兩數(shù)之間插入個(gè)數(shù)，使它們與組成等差數(shù)列，則這個(gè)數(shù)列共有項(xiàng)，
設(shè)該數(shù)列的公差為，則.
故選：A.

3．已知某運(yùn)動(dòng)員每次射擊擊中目標(biāo)的概率為.現(xiàn)采用隨機(jī)模擬的方法估計(jì)某運(yùn)動(dòng)員射擊4次，至少擊中3次的概率.先由計(jì)算器給出0到9之間取整數(shù)值的隨機(jī)數(shù)，指定0，1表示沒有擊中目標(biāo)，表示擊中目標(biāo)，以4個(gè)隨機(jī)數(shù)為一組，代表射擊4次的結(jié)果，經(jīng)隨機(jī)模擬產(chǎn)生了20組隨機(jī)數(shù)：



根據(jù)以上數(shù)據(jù)估計(jì)該射擊運(yùn)動(dòng)員射擊4次，至少擊中3次的概率為（????）
A．0.8 B．0.75 C．0.7 D．0.65
【答案】B
【分析】由題設(shè)模擬數(shù)據(jù)確定擊中目標(biāo)至少3次的隨機(jī)數(shù)組，應(yīng)用古典概型的概率求法求概率.

【詳解】在20組隨機(jī)數(shù)中含中的數(shù)至少3個(gè)（含3個(gè)或4個(gè)），共有15組，
即模擬結(jié)果中射擊4次至少擊中3次的頻率為.
據(jù)此估計(jì)該運(yùn)動(dòng)員射擊4次，至少擊中3次的概率為0.75.
故選：B.

4．某單位入職面試中有三道題目，有三次答題機(jī)會(huì)，一旦某次答對(duì)抽到的題目，則面試通過，否則就一直抽題到第3次為止.若求職者小王答對(duì)每道題目的概率都是，則他最終通過面試的概率為（????）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】分為三種情況：第一次通過，第二次通過，第三次通過，結(jié)合相互獨(dú)立事件概率乘法公式求解.
【詳解】由題意知，小王最終通過面試的概率為.
故選：C.
5．已知雙曲線的左焦點(diǎn)為，過點(diǎn)作雙曲線的一條漸近線的垂線（垂足為）交另一條漸近線于點(diǎn)，則線段的長(zhǎng)度為（????）
A．1 B． C．2 D．
【答案】B
【分析】根據(jù)已知可推得雙曲線的漸近線為，進(jìn)而得出，即可推得.然后列出直線的方程為，求出點(diǎn)到直線的距離，根據(jù)勾股定理得出，即可得出答案.
【詳解】
由已知可得，，，，
所以雙曲線的漸近線為，
所以，所以，
所以是線段的垂直平分線，所以.
因?yàn)?，?br /> 所以，直線的方程為，即，
所以，
所以，，
所以.
故選：B.
6．在編號(hào)分別為的n名同學(xué)中挑選一人參加某項(xiàng)活動(dòng)，挑選方法如下：拋擲兩枚骰子，將兩枚骰子的點(diǎn)數(shù)之和除以n所得的余數(shù)如果恰好為i，則選編號(hào)為i的同學(xué)．下列哪種情況是不公平的挑選方法（????）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】首先求出兩枚骰子的點(diǎn)數(shù)之和可能的取值對(duì)應(yīng)的概率，再分別討論四個(gè)選項(xiàng)中的取值對(duì)應(yīng)的余數(shù)的概率，若每一個(gè)余數(shù)的概率都相等則是公平的，若不相等則不公平，即可得正確選項(xiàng).
【詳解】由題意知兩枚骰子的點(diǎn)數(shù)之和為，則可能為，
， ，，，
，，，，，，
對(duì)于選項(xiàng)A：時(shí)，
，，
所以是公平的，故選項(xiàng)A不正確；
對(duì)于選項(xiàng)B：時(shí)，，
，，
，所以是公平的，故選項(xiàng)B不正確；
對(duì)于選項(xiàng)C：時(shí)，
，，
，
因?yàn)楦怕什幌嗟?，所以不公平，故選項(xiàng)C正確；
對(duì)于選項(xiàng)D：時(shí)，
，，，
，，，
所以是公平的，故選項(xiàng)D不正確，
故選：C
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解題的關(guān)鍵點(diǎn)是理解題意，對(duì)于所給的值的每一個(gè)余數(shù)出現(xiàn)的概率相等即為公平，不相等即為不公平.
7．如圖1所示，拋物面天線是指由拋物面（拋物線繞其對(duì)稱軸旋轉(zhuǎn)形成的曲面）反射器和位于焦點(diǎn)上的照射器（饋源，通常采用喇叭天線）組成的單反射面型天線，廣泛應(yīng)用于微波和衛(wèi)星通訊等領(lǐng)域，具有結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、方向性強(qiáng)、工作頻帶寬等特點(diǎn)．圖2是圖1的軸截面，A，B兩點(diǎn)關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱，F(xiàn)是拋物線的焦點(diǎn)，∠AFB是饋源的方向角，記為，焦點(diǎn)F到頂點(diǎn)的距離f與口徑d的比值稱為拋物面天線的焦徑比，它直接影響天線的效率與信噪比等．如果某拋物面天線饋源的方向角滿足，，則其焦徑比為（????）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】建立直角坐標(biāo)系，設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：，，，代入拋物線方程可得，根據(jù)，解得與的關(guān)系，即可得出．
【詳解】如圖所示，建立直角坐標(biāo)系，

設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：，，
，代入拋物線方程可得：，解得，
由于，得或（舍）
又，化為：，
解得或（舍）
.
故選：C.
8．設(shè)，分別為橢圓C：的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)A，B均在C上，若，，則橢圓C的離心率為（????）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】思路1：，延長(zhǎng)AF1與橢圓交于D點(diǎn)，分別求出，則可得，代入化簡(jiǎn)即可得出答案；思路2：設(shè)，由∠AF1F2，∠BF2F1互補(bǔ)得，由余弦定理代入化簡(jiǎn)即可得出答案.
【詳解】思路1.（對(duì)稱性）延長(zhǎng)AF1與橢圓交于D點(diǎn)，連接，
由橢圓的對(duì)稱性可得：，，
設(shè)，則，，
由橢圓的定義知：，
所以，，
則.于是，，，
所以，即，得，故.
思路2.（補(bǔ)角余弦）設(shè)，則，，
由，，
由∠AF1F2，∠BF2F1互補(bǔ)得：，
得，所以，.

故選：C.

二、多選題
9．某班級(jí)體溫檢測(cè)員對(duì)一周內(nèi)甲、乙兩名同學(xué)的體溫進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，其結(jié)果如圖所示，則下列說法正確的有（????）

A．乙同學(xué)體溫的極差為0.4℃
B．乙同學(xué)的體溫比甲同學(xué)的體溫穩(wěn)定
C．乙同學(xué)體溫的眾數(shù)為36.4℃，中位數(shù)與平均數(shù)相等
D．甲同學(xué)體溫的第70百分位數(shù)為36.5℃
【答案】BCD
【分析】求出乙同學(xué)體溫的極差即可判斷A，將乙同學(xué)體溫?cái)?shù)據(jù)從小到大排列，得到眾數(shù)、平均數(shù)、中位數(shù)，即可判斷B，根據(jù)折線圖判斷C，根據(jù)百分位數(shù)計(jì)算規(guī)則判斷D；
【詳解】選項(xiàng)A，乙同學(xué)體溫的極差為36.5-36.3=0.2℃，故A錯(cuò)誤；
選項(xiàng)B，從折線圖上可以看出，乙同學(xué)的體溫比甲同學(xué)的體溫穩(wěn)定，故B正確；
選項(xiàng)C，乙同學(xué)的體溫從低到高依次為36.3℃，36.3℃，36.4℃，36.4℃，36.4℃，36.5℃，36.5℃，故眾數(shù)為36.4℃，而中位數(shù)和平均數(shù)都是36.4℃，故C正確；
選項(xiàng)D，甲同學(xué)的體溫從低到高依次為36.2℃，36.2℃，36.4℃，36.4℃，36.5℃，36.5℃，36.6℃，由.可知數(shù)據(jù)的第70百分位數(shù)為第5項(xiàng)數(shù)據(jù)36.5℃，故D正確.
故選：BCD.
10．設(shè)等比數(shù)列{}的公比為q，其前n項(xiàng)和為，前n項(xiàng)積為，且滿足條件，，，則下列結(jié)論正確的有（????）
A． B．
C．的最大值為 D．的最大值為
【答案】AB
【分析】分析得到得或時(shí)不滿足題意，當(dāng)時(shí)，則不成立，故q0時(shí)，討論函數(shù)g（x）=的單調(diào)性．
【答案】（1）；（2）在區(qū)間和上單調(diào)遞減，沒有遞增區(qū)間
【分析】（1）[方法三]不等式轉(zhuǎn)化為，構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出新函數(shù)的最大值，進(jìn)而進(jìn)行求解即可；
（2）對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，把導(dǎo)函數(shù)的分子構(gòu)成一個(gè)新函數(shù) ，再求導(dǎo)得到，根據(jù)的正負(fù)，判斷 的單調(diào)性，進(jìn)而確定的正負(fù)性，最后求出函數(shù)的單調(diào)性.
【詳解】（1）
[方法一]【最優(yōu)解】：
等價(jià)于．
設(shè)，則．
當(dāng)時(shí)，，所以在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，，所以在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減．
故，所以，即，所以c的取值范圍是．
[方法二]：切線放縮
若，即，即當(dāng)時(shí)恒成立，
而在點(diǎn)處的切線為，從而有，
當(dāng)時(shí)恒成立，即，則．所以c的取值范圍為．
[方法三]：利用最值求取值范圍
函數(shù)的定義域?yàn)椋?br /> ，
設(shè)，則有 ，
當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，
所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)有最大值，
即，
要想不等式在上恒成立，
只需；
所以c的取值范圍為．
（2）且
因此，設(shè) ，
則有，
當(dāng)時(shí)，，所以， 單調(diào)遞減，因此有，即
，所以單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，，所以， 單調(diào)遞增，因此有，即 ，所以單調(diào)遞減，
所以函數(shù)在區(qū)間和 上單調(diào)遞減，沒有遞增區(qū)間.
【整體點(diǎn)評(píng)】(1)方法一：分類參數(shù)之后構(gòu)造函數(shù)是處理恒成立問題的最常用方法，它體現(xiàn)了等價(jià)轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，同時(shí)是的導(dǎo)數(shù)的工具也得到了充分利用；
方法二：切線放縮體現(xiàn)了解題的靈活性，將數(shù)形結(jié)合的思想應(yīng)用到了解題過程之中，掌握常用的不等式是使用切線放縮的基礎(chǔ).
方法二：利用最值確定參數(shù)取值范圍也是一種常用的方法，體現(xiàn)了等價(jià)轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想.
20．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，動(dòng)點(diǎn)N到F（2，0）的距離與它到直線l：的距離之比為2，記N的軌跡為曲線C.
(1)求曲線C的方程；
(2)過F的直線交曲線C于A，B兩點(diǎn)（其中A在第一象限）交直線l于點(diǎn)M，過M且平行于OA的直線分別交直線OB，x軸于P，Q，求的值
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）根據(jù)已知可得，化簡(jiǎn)整理即可得出答案；
（2）設(shè)AB直線方程為，聯(lián)立直線和雙曲線的方程可得，進(jìn)而根據(jù)韋達(dá)定理得出坐標(biāo)之間的關(guān)系，表示出過M平行于OA的直線方程和直線OB方程，聯(lián)立兩直線方程解出，即可求出答案.
【詳解】（1）設(shè)點(diǎn)N（x，y），依題意有.
即，化簡(jiǎn)得.
（2）設(shè)AB直線方程為，A（x1，y1），B（x2，y2）
則.
由得，
則，
所以，

過M平行于OA的直線方程為，直線OB方程為，
由得，
所以，
因?yàn)?，故P為線段MQ的中點(diǎn)，所以.
21．甲、乙、丙三人進(jìn)行羽毛球比賽，約定賽制如下:
累計(jì)負(fù)兩場(chǎng)者被淘汰；比賽前抽簽決定首先比賽的兩人，另一人輪空:每場(chǎng)比賽的勝者與輪空者進(jìn)行下一場(chǎng)比賽，負(fù)者下一場(chǎng)輪空，直至有一人被淘汰；當(dāng)一人被淘汰后，剩余的兩人繼續(xù)比賽，直至其中一人被淘汰，另一人最終獲勝，比賽結(jié)束.已知在每場(chǎng)比賽中，甲勝乙和甲勝丙的概率均為，乙勝丙的概率為，各場(chǎng)比賽的結(jié)果相互獨(dú)立.經(jīng)抽簽，第一場(chǎng)比賽甲輪空.
(1)求前三場(chǎng)比賽結(jié)束后，丙被淘汰的概率；
(2)求只需四場(chǎng)比賽就決出冠軍的概率；
(3)求甲最終獲勝的概率.
【答案】(1)
(2)
(3)

【分析】（1）前三場(chǎng)比賽結(jié)束后，丙被淘汰的情況有2種①乙勝丙、乙勝甲、乙勝丙②乙勝丙、甲勝乙、甲勝丙，再利用相互獨(dú)立事件概率的乘法運(yùn)算即可得出答案.
（2）首先分析出只需四場(chǎng)比賽就決出冠軍的情況，再利用相互獨(dú)立事件概率的乘法運(yùn)算即可得出答案.
（3）首先分析出甲最終獲勝的情況，再利用相互獨(dú)立事件概率的乘法運(yùn)算即可得出答案.
【詳解】（1）記事件A為甲勝乙，則，，
事件B為甲勝丙，則，，
事件C為乙勝丙，則，，
前三場(chǎng)比賽結(jié)束后，丙被淘汰的概率為
.
（2）只需四場(chǎng)比賽就決出冠軍的概率為：

.
（3）由于甲勝乙和甲勝丙的概率均為，且乙勝丙和丙勝乙的概率也相等，均為，
第一場(chǎng)比賽甲當(dāng)裁判，以后的比賽相對(duì)于甲，可視乙丙為同一人，
設(shè)甲勝為事件D，甲當(dāng)裁判為事件E，
所以甲最終獲勝的概率
.
22．已知橢圓，設(shè)過點(diǎn)的直線交橢圓于兩點(diǎn)，交直線于點(diǎn)，點(diǎn)為直線上不同于點(diǎn)的任意一點(diǎn).

(1)求的最小值；
(2)記直線的斜率分別為，問是否存在的某種排列（其中），使得成等差數(shù)列或等比數(shù)列？若存在，寫出結(jié)論，并加以證明；若不存在，說明理由.
【答案】(1)
(2)存在，或成等差數(shù)列，證明見解析

【分析】（1）設(shè)點(diǎn)，由，利用二次函數(shù)性質(zhì)求解；
（2）設(shè)點(diǎn)，①若直線斜率為0，直接驗(yàn)證；②直線斜率不為0，設(shè)直線，則，與橢圓方程聯(lián)立，結(jié)合韋達(dá)定理求解.
【詳解】（1）解：設(shè)點(diǎn)，其中，
則，
，當(dāng)時(shí)，取最小值.
（2）或成等差數(shù)列，證明如下：
設(shè)點(diǎn).
①若直線斜率為0，則點(diǎn)，不妨令點(diǎn)，
則，此時(shí)的任意排列均不成等比數(shù)列，
或成等差數(shù)列.
②直線斜率不為0，設(shè)直線，
則點(diǎn)，
由，得，
故，
因?yàn)椋?br /> 所以，
，
，
所以或成等差數(shù)列，
綜合上述，或成等差數(shù)列.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用韋達(dá)定理法解決直線與圓錐曲線相交問題的基本步驟如下：
（1）設(shè)直線方程，設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)為；
（2）聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關(guān)于（或）的一元二次方程，必要時(shí)計(jì)算；
（3）列出韋達(dá)定理；
（4）將所求問題或題中的關(guān)系轉(zhuǎn)化為、（或、）的形式；
（5）代入韋達(dá)定理求解.

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