專題2 空間向量與立體幾何01知識網(wǎng)絡(luò)重難點(diǎn)突破知識點(diǎn)二  求異面直線形成的角1.  異面直線所成的角設(shè)a，b分別是兩異面直線l1，l2的方向向量，則 a與b的夾角βl1與l2所成的角θ范圍(0，π)求法cos β＝cos θ＝|cos β|＝ 例5. （廣東省惠州一中2019屆期末）在正方體A1B1C1D1－ABCD中，AC與B1D所成角大小為(　　)A.   B.   C.   D.【答案】D【解析】建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體邊長為1，則A(0，0，0)，C(1，1，0)，B1(1，0，1)，D(0，1，0).∴＝(1，1，0)，＝(－1，1，－1)，∵·＝1×(－1)＋1×1＋0×(－1)＝0，∴⊥，∴AC與B1D所成的角為.【變式訓(xùn)練5-1】、 （四川省樂山一中2019屆期末）如圖所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AB＝BC＝AA1，∠ABC＝90°，點(diǎn)E，F分別是棱AB，BB1的中點(diǎn)，則直線EF和BC1所成的角是__________.【答案】60°【解析】以BC為x軸，BA為y軸，BB1為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系.設(shè)AB＝BC＝AA1＝2，則C1(2，0，2)，E(0，1，0)，F(0，0，1)，則＝(0，－1，1)，＝(2，0，2)，∴·＝2，∴cos〈，〉＝＝，∴EF和BC1所成的角為60°.知識點(diǎn)三  求直線與平面形成的角1.  求直線與平面所成的角設(shè)直線l的方向向量為a，平面α的法向量為n，直線l與平面α所成的角為θ，則sin θ＝|cos〈a，n〉|＝.例6. （江西省新余一中2019屆期中）如圖，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA＝AD＝4，AB＝2.以AC的中點(diǎn)O為球心，AC為直徑的球面交PD于點(diǎn)M.則CD與平面ACM所成角的正弦值為(　　)A.   B.   C.   D.【答案】D【解析】如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系，則A(0，0，0)，P(0，0，4)，B(2，0，0)，C(2，4，0)，D(0，4，0)，M(0，2，2).所以＝(2，4，0)，＝(0，2，2)，＝(－2，0，0).設(shè)平面ACM的一個法向量n＝(x，y，z)，由n⊥，n⊥，可得令z＝1，得n＝(2，－1，1).設(shè)所求角為α，則sin α＝＝.【變式訓(xùn)練6-1】、.（浙江省紹興一中2019屆高三質(zhì)檢）如圖所示，二面角的棱上有A，B兩點(diǎn)，直線AC，BD分別在這個二面角的兩個半平面內(nèi)，且都垂直于AB.已知AB＝4，AC＝6，BD＝8，CD＝2，則該二面角的大小為__________.【答案】60°【解析】∵＝＋＋，∴·＝||·||· cos〈，〉＝－24.∴ cos〈，〉＝－.又所求二面角與〈，〉互補(bǔ)，∴所求的二面角為60°.知識點(diǎn)四  求平面與平面形成的角1.   求二面角的大小(1)如圖①，AB，CD是二面角α－l－β的兩個面內(nèi)與棱l垂直的直線，則二面角的大小θ＝__〈，〉.(2)如圖②③，n1，n2 分別是二面角α－l－β的兩個半平面α，β的法向量，則二面角的大小θ滿足|cos θ|＝|cos〈n1，n2〉|，二面角的平面角大小是向量n1與n2的夾角(或其補(bǔ)角).【特別提醒】1.線面角θ的正弦值等于直線的方向向量a與平面的法向量n所成角的余弦值的絕對值，即sin θ＝|cos〈a，n〉|，不要誤記為cos θ＝|cos〈a，n〉|.2.二面角與法向量的夾角：利用平面的法向量求二面角的大小時，當(dāng)求出兩半平面α，β的法向量n1，n2時，要根據(jù)向量坐標(biāo)在圖形中觀察法向量的方向，來確定二面角與向量n1，n2的夾角是相等，還是互補(bǔ).例7. （山東省濟(jì)寧一中2019屆期末）在正方體ABCD－A1B1C1D1中，點(diǎn)E為BB1的中點(diǎn)，則平面A1ED與平面ABCD夾角的余弦值為(　　)A.   B.   C.   D.【答案】B【解析】以A為原點(diǎn)，AB，AD，AA1所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)棱長為1，則A1(0，0，1)，E，D(0，1，0)，∴＝(0，1，－1)，＝.設(shè)平面A1ED的一個法向量為n1＝(1，y，z)，則有即∴∴n1＝(1，2，2).∵平面ABCD的一個法向量為n2＝(0，0，1)，∴|cos〈n1，n2〉|＝＝，即平面A1ED與平面ABCD夾角的余弦值為.【變式訓(xùn)練7-1】、（江西省上饒二中2019屆質(zhì)檢）如圖，在斜三棱柱(側(cè)棱不垂直于底面)ABC－A1B1C1中，側(cè)面AA1C1C⊥底面ABC，底面△ABC是邊長為2的正三角形，A1A＝A1C，A1A⊥A1C.(1)求證：A1C1⊥B1C；(2)求二面角B1－A1C－C1的正弦值.(1)證明　如圖，取A1C1的中點(diǎn)D，連接B1D，CD，∵C1C＝A1A＝A1C，∴CD⊥A1C1，∵底面△ABC是邊長為2的正三角形，∴AB＝BC＝2，A1B1＝B1C1＝2，∴B1D⊥A1C1，又B1D∩CD＝D，B1D?平面B1CD，CD?平面B1CD，∴A1C1⊥平面B1CD，∴A1C1⊥B1C.(2)解　法一　如圖，過點(diǎn)D作DE⊥A1C于點(diǎn)E，連接B1E.∵側(cè)面AA1C1C⊥底面ABC，∴側(cè)面AA1C1C⊥平面A1B1C1，又B1D⊥A1C1，側(cè)面AA1C1C∩平面A1B1C1＝A1C1，∴B1D⊥平面A1CC1，∴B1D⊥A1C，∴A1C⊥平面B1DE，∴B1E⊥A1C，∴∠B1ED為所求二面角的平面角.∵A1B1＝B1C1＝A1C1＝2，∴B1D＝，又ED＝CC1＝，∴tan ∠B1ED＝＝＝，∴sin∠B1ED＝.∴二面角B1－A1C－C1的正弦值為.法二　如圖，取AC的中點(diǎn)O，以O為坐標(biāo)原點(diǎn)，射線OB，OC，OA1分別為x，y，z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，則O(0，0，0)，B(，0，0)，A1(0，0，1)，B1(，1，1)，C1(0，2，1)，C(0，1，0)，∴＝(，1，0)，＝(0，1，－1).設(shè)m＝(x，y，z)為平面A1B1C的法向量，∴令y＝，得m＝(－1，，)，又＝(，0，0)為平面A1CC1的一個法向量，∴cos 〈m，〉＝＝－，由圖易知所求二面角為銳角，∴二面角B1－A1C－C1的正弦值為.        

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