2020年衡水中學(xué)新高二開學(xué)檢測(cè)卷 數(shù)學(xué)試題 本試卷共22題，滿分150分。考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。 注意事項(xiàng)：1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)碼填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。 2．答題時(shí)請(qǐng)按要求用筆。  3．請(qǐng)按照題號(hào)順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無(wú)效；在草稿紙、試卷上答題無(wú)效。 4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。 5．保持卡面清潔，不要折疊、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。  一、單選題（共8小題，滿分40分，每小題5分）1、若集合，，則（    ）A． B． C． D． 2、在8件同類產(chǎn)品中，有6件是正品，2件次品，從這8件產(chǎn)品中任意抽取2件產(chǎn)品，則下列說法正確的是A．事件“至少有一件是正品”是必然事件B．事件“都是次品”是不可能事件C．事件“都是正品”和“至少一個(gè)正品”是互斥事件D．事件“至少一個(gè)次品”和“都是正品”是對(duì)立事件 3、某射擊運(yùn)動(dòng)員射擊一次命中目標(biāo)的概率為，已知他獨(dú)立地連續(xù)射擊三次，至少有一次命中的概率，則為（    ）A． B． C． D． 4、已知角的終邊與單位圓的交點(diǎn)為，則（    ）A． B． C． D． 5、已知過點(diǎn)和的直線與直線平行，則的值為（    ）A． B．0 C．2 D．10 6、函數(shù)在單調(diào)遞減，且為奇函數(shù).若，則滿足的x取值范圍是（    ）A． B． C． D． 7、已知，函數(shù)在上單調(diào)遞減，則的取值范圍是（ ）A． B． C． D． 8、已知直線與直線相交于點(diǎn)，線段是圓的一條動(dòng)弦，且，則的最大值為（    ）A． B． C． D． 二、多選題（共4小題，滿分20分，每小題5分，少選的3分，多選不得分）9、（多選題）下列命題為真命題的是（）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若且，則 10、下列化簡(jiǎn)正確的是(    )A． B．C． D． 11、如圖，正方體的棱長(zhǎng)為1，線段上有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且，則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（    ）A． B．平面ABCDC．三棱錐的體積為定值 D．的面積與的面積相等 12、定義運(yùn)算，設(shè)函數(shù)，則下列命題正確的有（    ）A．的值域?yàn)?B．的值域?yàn)?C．不等式成立的范圍是D．不等式成立的范圍是 三、填空題（共4小題，滿分20分，每小題5分，一題兩空，第一空2分）13、若，則_______. 14、在正三棱柱ABC ? A1B1C1 中，AA1＝AB＝2 ，則三枝錐A1 ? BB1C1 的體積為______. 15、某校為了解高一學(xué)生身體素質(zhì)情況，從某項(xiàng)體育測(cè)試成績(jī)中隨機(jī)抽取個(gè)學(xué)生的成績(jī)進(jìn)行分析，得到成績(jī)頻率分布直方圖（如圖所示），已知成績(jī)?cè)赱90,100]的學(xué)生人數(shù)為8，則=__________；估計(jì)該校高一學(xué)生此項(xiàng)體育測(cè)試平均成績(jī)?yōu)開_________． 16、在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P在直線上，過點(diǎn)P作圓C：的一條切線，切點(diǎn)為T.若，則的長(zhǎng)是______. 四、解答題（共6小題，滿分70分，第17題10分，其它12分）17、如圖，在三棱錐P ? ABC 中，PA?平面ABC，PC ? AB，D，E分別為BC，AC的中點(diǎn).求證: (1) AB / /平面PDE ;(2)平面PAB?平面PAC . 18、已知函數(shù)，在一個(gè)周期內(nèi)的圖象如下圖所示.（1）求函數(shù)的解析式；（2）設(shè)，且方程有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)m的取值范圍和這兩個(gè)根的和. 19、已知三角形中，點(diǎn)在線段上，且，延長(zhǎng)到，使.設(shè)，.（1）用表示向量，；（2）設(shè)向量，求證：，并求的值 20、某某大學(xué)藝術(shù)專業(yè)400名學(xué)生參加某次測(cè)評(píng)，根據(jù)男女學(xué)生人數(shù)比例，使用分層抽樣的方法從中隨機(jī)抽取了100名學(xué)生，記錄他們的分?jǐn)?shù)，將數(shù)據(jù)分成7組： ，并整理得到如下頻率分布直方圖：（Ⅰ）從總體的400名學(xué)生中隨機(jī)抽取一人，估計(jì)其分?jǐn)?shù)小于70的概率；（Ⅱ）已知樣本中分?jǐn)?shù)小于40的學(xué)生有5人，試估計(jì)總體中分?jǐn)?shù)在區(qū)間[40,50）內(nèi)的人數(shù)；（Ⅲ）已知樣本中有一半男生的分?jǐn)?shù)不小于70，且樣本中分?jǐn)?shù)不小于70的男女生人數(shù)相等．試估計(jì)總體中男生和女生人數(shù)的比例． 21、已知直線l：kx－y＋1＋2k＝0(k∈R).(1)證明：直線l過定點(diǎn)；(2)若直線不經(jīng)過第四象限，求k的取值范圍；(3)若直線l交x軸負(fù)半軸于A，交y軸正半軸于B，△AOB的面積為S(O為坐標(biāo)原點(diǎn))，求S的最小值并求此時(shí)直線l的方程. 22、已知函數(shù).（1）若函數(shù)在R上是增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（2）求所有的實(shí)數(shù)a，使得對(duì)任意時(shí)，函數(shù)的圖象恒在函數(shù)圖象的下方； 
參考答案 1、【答案】D【解析】，，，，.故選：D. 2、【答案】D【解析】因?yàn)槌槿〉膬杉a(chǎn)品有可能都是次品，所以A、B錯(cuò)；因?yàn)槭录爸辽僖粋€(gè)正品”包含事件“都是正品”，所以C錯(cuò)；因?yàn)槭录爸辽僖粋€(gè)次品”和事件“都是正品”包含了所有可能的事件，故互為對(duì)立事件，所以D正確，綜上所述，故選D． 3、【答案】A【解析】因?yàn)樯鋼粢淮蚊心繕?biāo)的概率為，所以射擊一次未命中目標(biāo)的概率為，因?yàn)槊看紊鋼艚Y(jié)果相互獨(dú)立，所以三次都未命中的概率為，因?yàn)檫B續(xù)射擊三次，至少有一次命中的對(duì)立事件為三次都未射中，所以連續(xù)射擊三次，至少有一次命中的概率，解得.故選：A 4、【答案】A【解析】由三角函數(shù)的定義得，，因此，.故選：A.5、【答案】A【解析】∵直線的斜率等于，
∴過點(diǎn)和的直線的斜率也是，
，解得，故選：A. 6、【答案】D【解析】為奇函數(shù)，.，.故由，得.又在單調(diào)遞減，，.故選：D 7、【答案】A【解析】由題意可得,，，，．故A正確． 8、【答案】D【解析】由題意得圓的圓心為，半徑，易知直線恒過點(diǎn)，直線恒過，且，點(diǎn)的軌跡為，圓心為，半徑為，若點(diǎn)為弦的中點(diǎn),位置關(guān)系如圖：.連接，由易知.，.故選：D. 9、【答案】BCD【解析】選項(xiàng)A：當(dāng)時(shí)，不等式不成立，故本命題是假命題；選項(xiàng)B: ，所以本命題是真命題；選項(xiàng)C: ，所以本命題是真命題；選項(xiàng)D: ，所以本命題是真命題，所以本題選BCD. 10、【答案】CD【解析】中，，則錯(cuò)誤；中，，則錯(cuò)誤；中，，則正確；中，，則正確.故選： 11、【答案】AD【解析】A．由題意及圖形知，當(dāng)點(diǎn)F與點(diǎn)重合時(shí)，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；B．平面ABCD，由正方體的兩個(gè)底面平行，平面，故有平面ABCD，此命題正確，不是正確選項(xiàng)；C．三棱錐A-BEF的體積為定值，由幾何體的性質(zhì)及圖形知，三角形BEF的面積是定值，A點(diǎn)到面距離是定值，故可得三棱錐A-BEF的體積為定值，此命題正確，不是正確選項(xiàng)；D．由圖形可以看出，B到線段EF的距離與A到EF的距離不相等，故△AEF的面積與△BEF的面積相等不正確，故D是錯(cuò)誤的．故選：AD 12、【答案】AC【解析】由函數(shù)，有,即，作出函數(shù)的圖像如下，根據(jù)函數(shù)圖像有的值域?yàn)?/span>，若不等式成立，由函數(shù)圖像有當(dāng)即時(shí)成立，當(dāng)即時(shí)也成立. 所以不等式成立時(shí)，.故選：AC. 13、【答案】【解析】，且，可得.故答案為：. 14、【答案】【解析】因?yàn)檎庵?/span>,則底面,是等邊三角形又因?yàn)?/span>,則三棱柱各棱長(zhǎng)均為2,則,故答案為：15、【答案】50    76.4    【解析】因?yàn)閺捏w育測(cè)試成績(jī)中隨機(jī)抽取個(gè)學(xué)生的成績(jī)，且成績(jī)?cè)?/span>的學(xué)生人數(shù)為8，根據(jù)直方圖的性質(zhì)得，，則，由，得，估計(jì)該校高一學(xué)生此項(xiàng)體育測(cè)試平均成績(jī)?yōu)?/span>，故答案為. 16、【答案】【解析】如圖，設(shè)，圓心坐標(biāo)為，可得，，，，，解得，，即的長(zhǎng)是.故答案為： 17、【解析】（1）分別為的中點(diǎn),,平面,平面,平面（2）平面,平面,,,,平面,平面,平面平面 18、【答案】（1），（2）或；當(dāng)時(shí)，兩根之和；當(dāng)）時(shí)，兩根之和.【解析】（1）觀察圖象可得：，因?yàn)閒(0)=1,所以.因?yàn)?/span>，由圖象結(jié)合五點(diǎn)法可知，對(duì)應(yīng)于函數(shù)y=sinx的點(diǎn)，所以．（2）如圖所示，．作出直線．方程有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根轉(zhuǎn)化為：函數(shù)．與函數(shù)圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù)．可知：當(dāng)時(shí)，此時(shí)兩個(gè)函數(shù)圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，關(guān)于直線對(duì)稱，兩根和為．當(dāng)時(shí)，此時(shí)兩個(gè)函數(shù)圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，關(guān)于直線對(duì)稱，兩根和為． 19、【答案】（1），（2）證明見解析；【解析】（1）為的中點(diǎn)，，可得，而, （2）由（1）得故，故 20、【答案】(1)0.4.(2)20人.(3) .【解析】(1)根據(jù)頻率分布直方圖可知,樣本中分?jǐn)?shù)不小于70的頻率為(0.02+0.04)×10=0.6 ,樣本中分?jǐn)?shù)小于70的頻率為1-0.6=0.4.∴從總體的400名學(xué)生中隨機(jī)抽取一人其分?jǐn)?shù)小于70的概率估計(jì)為0.4 (2)根據(jù)題意，樣本中分?jǐn)?shù)不小于50的頻率為，分?jǐn)?shù)在區(qū)間內(nèi)的人數(shù)為．所以總體中分?jǐn)?shù)在區(qū)間內(nèi)的人數(shù)估計(jì)為． （3）由題意可知，樣本中分?jǐn)?shù)不小于70的學(xué)生人數(shù)為，所以樣本中分?jǐn)?shù)不小于70的男生人數(shù)為 所以樣本中的男生人數(shù)為，女生人數(shù)為，男生和女生人數(shù)的比例為 21、【答案】(1)證明見解析；(2) [0，＋∞)；(3)4，x－2y＋4＝0.,【解析】(1)證明：直線l的方程可化為k(x＋2)＋(1－y)＝0，令 解得 ,∴無(wú)論k取何值，直線總經(jīng)過定點(diǎn)(－2,1)． (2)由方程知，當(dāng)k≠0時(shí)直線在x軸上的截距為－ ，在y軸上的截距為1＋2k，要使直線不經(jīng)過第四象限，則必須有 解得k＞0；當(dāng)k＝0時(shí)，直線為y＝1，符合題意，故k的取值范圍是[0，＋∞). (3)由題意可知k≠0，再由l的方程，得A ，B(0,1＋2k).依題意得解得k＞0. ∵S＝ ·|OA|·|OB|＝·|1＋2k|＝·＝≥×(2×2＋4)＝4，“＝”成立的條件是k＞0且4k＝ ，即k＝，∴Smin＝4，此時(shí)直線l的方程為x－2y＋4＝0. 22、【解析】（1）∵函數(shù).由于在R上是連續(xù)的增函數(shù)，所以只要當(dāng)時(shí)為增函數(shù)且當(dāng)時(shí)也為增函數(shù)；即，解得，則a的范圍為.（2）由題意得對(duì)任意的實(shí)數(shù)，恒成立，即，當(dāng)恒成立，即，∴，∴，故且在上恒成立，即在時(shí)，只要的最大值且的最小值即可，而當(dāng)時(shí)，為增函數(shù)，；當(dāng)時(shí)，為增函數(shù)，，∴.所以滿足條件的所有.      

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