高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期中模擬卷02（空間向量與立體幾何+直線與圓的方程+橢圓+雙曲線）-高二數(shù)學(xué)熱點(diǎn)題型講與練（人教A版選擇性必修第一冊(cè)）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

注意事項(xiàng)：
1．本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分。答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡上。
2．回答第Ⅰ卷時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)。寫(xiě)在本試卷上無(wú)效。
3．回答第Ⅱ卷時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上。寫(xiě)在本試卷上無(wú)效。
4．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。
第Ⅰ卷
一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是符合題目要求的．
1．設(shè)，，若直線與線段有交點(diǎn)，則的取值范圍是（）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】直線恒過(guò)定點(diǎn)，若直線與線段有交點(diǎn)，畫(huà)圖圖形，求出臨界時(shí)直線的斜率與直線的斜率，即可得解.
【詳解】由得，
因此直線過(guò)定點(diǎn)，且斜率，
如圖所示，當(dāng)直線由直線按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)到直線的位置時(shí)，符合題意．

易得，．
結(jié)合圖形知或，解得或，
即的取值范圍是．
故選：C
2．已知，，，若，，共面，則等于（）
A．B．9C．D．3
【答案】A
【分析】由，，共面，設(shè)，根據(jù)條件列出方程組即可求出λ的值．
【詳解】因?yàn)?，，共面，設(shè)，
又，，，得到，
所以，解得，
故選：A.
3．已知三棱錐，點(diǎn)M，N分別為，的中點(diǎn)，且，，，用，，表示，則等于（）

A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由向量對(duì)應(yīng)線段的空間關(guān)系，應(yīng)用向量加法法則用，，表示出即可.
【詳解】由圖知：
.
故選：A
4．已知點(diǎn)是直線：和：的交點(diǎn)，點(diǎn)是圓：上的動(dòng)點(diǎn)，則的最大值是（）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根據(jù)題意分析可知點(diǎn)的軌跡是以的中點(diǎn)，半徑的圓，結(jié)合圓的性質(zhì)運(yùn)算求解.
【詳解】因?yàn)橹本€：，即，
令，解得，可知直線過(guò)定點(diǎn)，
同理可知：直線過(guò)定點(diǎn)，
又因?yàn)?，可知?br>所以直線與直線的交點(diǎn)的軌跡是以的中點(diǎn)，半徑的圓，
因?yàn)閳A的圓心，半徑，
所以的最大值是.
故選：B.
5．若圓上到直線的距離等于1的點(diǎn)恰有3個(gè)，則（）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】先把圓的方程整理為標(biāo)準(zhǔn)方程，然后根據(jù)圓的性質(zhì)得到關(guān)于t的方程，解方程即可.
【詳解】將圓化為標(biāo)準(zhǔn)方程得，
故圓的圓心坐標(biāo)為，半徑.
由圓上到直線的距離等于1的點(diǎn)恰有3個(gè)，
知圓心到直線的距離，
解得.
故選：A.
6．已知定點(diǎn)，點(diǎn)為橢圓的右焦點(diǎn)，點(diǎn)M在橢圓上移動(dòng)，求的最大值和最小值為（）
A．12，B．，
C．12，8D．9，
【答案】C
【分析】根據(jù)給定條件，利用橢圓的定義，結(jié)合線段和差的三角不等式列式求解即可.
【詳解】令橢圓的左焦點(diǎn)為，有，由橢圓定義知，

顯然點(diǎn)在橢圓內(nèi)，，直線交橢圓于，
而，即，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)共線時(shí)取等號(hào)，
當(dāng)點(diǎn)與重合時(shí)，，則，
當(dāng)點(diǎn)與重合時(shí)，，則，
所以的最大值和最小值為12，8.
故選：C
7．已知正方體的內(nèi)切球的表面積為，是棱上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)直線與平面的夾角最大時(shí)，四面體的體積為（）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根據(jù)向量法及函數(shù)思想，求出點(diǎn)位置，再利用向量法求解點(diǎn)面距，最后即可計(jì)算四面體的體積．
【詳解】解：建系如圖，

正方體的內(nèi)切球的表面積為，則內(nèi)切球半徑，
易得正方體的棱長(zhǎng)為1，
，0，，，1，，，1，，設(shè)，0，，，，
，，，
設(shè)平面的法向量為，
則，取，
直線與平面的夾角的正弦值為：
，
令，，，，，
，
令，，，，，
，，，
當(dāng)，即，即時(shí)，直線與平面的夾角的正弦值取得最大值，
此時(shí)直線與平面的夾角也最大，
當(dāng)直線與平面的夾角最大時(shí)，為棱的中點(diǎn)，
此時(shí)平面的法向量，又，
點(diǎn)到平面的距離為，
此時(shí)，，則△的面積為，
此時(shí)四面體的體積，
故選：．
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：向量法求解線面角問(wèn)題，函數(shù)思想，化歸轉(zhuǎn)化思想，向量法求解點(diǎn)面距問(wèn)題.解題的關(guān)鍵是建立空間直角坐標(biāo)系，確定點(diǎn)的位置是為棱的中點(diǎn)，然后利用點(diǎn)面距的向量求法，求出四面體的高．
8．已知雙曲線：的右焦點(diǎn)為，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)A、B分別在雙曲線的左、右兩支上，，，且點(diǎn)C在雙曲線上，則雙曲線的離心率為（）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由，令且，，則，根據(jù)題設(shè)有、、，進(jìn)而有，將它們整理為關(guān)于的齊次方程求離心率即可.
【詳解】由題設(shè)，令且，，則，且①，

由，即②，
由，即，
又C在雙曲線上，則③，
由①得：，代入③并整理得：，
由①②及得：，
所以，即，
顯然，則.
故選：B
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：設(shè)且，，結(jié)合已知得到關(guān)于的齊次方程為關(guān)鍵.
二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．
9．已知直線，圓，則下列命題正確的是（）
A．，點(diǎn)在圓外
B．，使得直線與圓相切
C．當(dāng)直線與圓相交于PQ時(shí)，交點(diǎn)弦的最小值為
D．若在圓上僅存在三個(gè)點(diǎn)到直線的距離為1，m的值為
【答案】ACD
【分析】根據(jù)點(diǎn)與圓的位置關(guān)系判斷A，由直線系所過(guò)定點(diǎn)在圓內(nèi)判斷B，根據(jù)交點(diǎn)弦的性質(zhì)求解可判斷C，根據(jù)圓與直線的位置關(guān)系判斷D.
【詳解】將點(diǎn)的坐標(biāo)代入圓的方程，得，所以點(diǎn)在圓外，故A正確；
整理直線的方程為：，由解得，可知直線過(guò)定點(diǎn)，將定點(diǎn)代入圓的方程，可得，所以定點(diǎn)在圓內(nèi)，則直線與圓一定相交，故B錯(cuò)誤；
當(dāng)圓心與直線所過(guò)定點(diǎn)的連線垂直于直線時(shí)，交點(diǎn)弦長(zhǎng)最小，此時(shí)圓心到直線的距離為，由勾股定理知，故C正確；
當(dāng)圓心到直線的距離為1時(shí)，在圓上僅存在三個(gè)點(diǎn)到直線的距離為1，即，解得，故D正確.
故選：ACD.
10．下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）
A．若有空間向量，，則存在唯一的實(shí)數(shù)，使得
B．A，B，C三點(diǎn)不共線，空間中任意點(diǎn)O，若，則P，A，B，C四點(diǎn)共面
C．，，與夾角為直角，則x的取值是0.
D．若是空間的一個(gè)基底，則O，A，B，C四點(diǎn)共面，但不共線
【答案】ACD
【分析】考慮 , 可判斷 A; 由空間向量共面定理可判斷B; 由向量的夾角為直角的等價(jià)條件可判斷C; 由空間的一組基底的定義可判斷D.
【詳解】對(duì)于A, 比如, , 則不存在實(shí)數(shù) , 故 A 錯(cuò)誤;
對(duì)于B, 三點(diǎn)不共線，空間中任意點(diǎn) , 若 ,
由于 , 則四點(diǎn)共面, 故B正確;
對(duì)于C,, 與的夾角為直角,
則 ,可得，解得; 故C錯(cuò)誤;
對(duì)于D, 若是空間的一個(gè)基底, 則四點(diǎn)不共面, 且不共線, 故D 錯(cuò)誤.
故選: ACD.
11．已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)在上，且的最大值為3，最小值為1，則（）
A．橢圓的離心率為B．的周長(zhǎng)為4
C．若，則的面積為3D．若，則
【答案】AD
【分析】對(duì)A，根據(jù)題意可得，即可求解；對(duì)B，根據(jù)橢圓的定義判斷即可；對(duì)C，根據(jù)余弦定理結(jié)合橢圓的定義判斷即可；對(duì)D，根據(jù)余弦定理與橢圓的定義求解即可．
【詳解】對(duì)A，由題意，，故，，故A正確；
對(duì)B，的周長(zhǎng)為，故B錯(cuò)誤；
對(duì)C，，
，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，
因?yàn)樵谏线f減，所以此時(shí)最大，又，，所以的最大值為，，不成立，故C錯(cuò)誤；
對(duì)D，由余弦定理
，即，
解得，故，故D正確；
故選：AD
12．已知雙曲線，左焦點(diǎn)為，左右頂點(diǎn)分別為、，，是右支上一動(dòng)點(diǎn)，且的最小值為，關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為，則下列結(jié)論正確的是（）
A．的離心率為2B．
C．D．
【答案】BCD
【分析】由題意畫(huà)出圖形，結(jié)合雙曲線定義及三角形兩邊之和大于第三邊列式求解可判斷；得可判斷；，，可判斷；假設(shè)成立，可得，可判斷．
【詳解】由題意，，，設(shè)右焦點(diǎn)為，
由雙曲線定義知，，則，
，，
，
即，，

，即，故A不正確．
設(shè)，，，，
，，，
由A可得雙曲線方程為，，，故B正確；
記交軸于點(diǎn)，，
，
，故C正確；
假設(shè)成立，則只需，
兩邊平方得，，
，，
，當(dāng)時(shí)取等號(hào)，顯然成立，故D正確；
故選：BCD．
【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的性質(zhì)，考查運(yùn)算求解能力，考查直線與雙曲線的位置關(guān)系，屬難題．
第Ⅱ卷
三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．
13．圓與圓有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，寫(xiě)出一個(gè)滿足條件的圓心的坐標(biāo) .
【答案】
【分析】利用兩圓的位置關(guān)系計(jì)算即可.
【詳解】由題意可知兩圓的圓心分別為，半徑分別為，
若兩圓只有一個(gè)公共點(diǎn)，則兩圓相切，
若兩圓外切，則需要，
若兩圓內(nèi)切，則需要，
故不妨令.
故答案為：
14．已知雙曲線的中心為原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，焦距為8，且的離心率與它的一條漸近線的斜率之比恰好為2，則的標(biāo)準(zhǔn)方程為 .
【答案】
【分析】根據(jù)題意及雙曲線的性質(zhì)列出關(guān)于a，b，c的方程求解即可.
【詳解】設(shè)的實(shí)半軸長(zhǎng)、虛半軸長(zhǎng)、半焦距分別為a，b，c，
由已知得，即，又焦距為8，
所以，，，
所以的標(biāo)準(zhǔn)方程為．
故答案為：．
15．正方體的棱長(zhǎng)為1，M為線段的中點(diǎn)，平面平面，若點(diǎn)為平面與側(cè)面相交的線段上的一動(dòng)點(diǎn)，為線段上一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為．
【答案】
【分析】建系，設(shè)，，利用空間向量可得，，利用兩點(diǎn)間距離公式分析求解.
【詳解】如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，

則，設(shè)，
可得，
由題意可得：，即，可知，
又因?yàn)闉榫€段上一動(dòng)點(diǎn)，設(shè)，
則，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，
所以的最小值為.
故答案為：.
16．已知、為橢圓的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)為該橢圓上一點(diǎn)，且滿足，若的外接圓面積是其內(nèi)切圓面積的64倍，則該橢圓的離心率為 .
【答案】/
【分析】根據(jù)橢圓定義并利用余弦定理可得，再根據(jù)正弦定理可知外接圓半徑，由等面積法可知內(nèi)切圓半徑，再根據(jù)面積比即可計(jì)算出離心率.
【詳解】根據(jù)題意畫(huà)出圖象如下圖所示：

利用橢圓定義可知，且；
又，利用余弦定理可知：
，
化簡(jiǎn)可得；
所以的面積為；
設(shè)的外接圓半徑為，內(nèi)切圓半徑為；
由正弦定理可得，可得；
易知的周長(zhǎng)為，
利用等面積法可知，解得；
又的外接圓面積是其內(nèi)切圓面積的64倍，即，
所以，即可得，所以；
離心率.
故答案為：.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求解橢圓焦點(diǎn)三角形外接圓與內(nèi)切圓半徑問(wèn)題，通常利用正弦定理計(jì)算外接圓半徑，由等面積法公式可計(jì)算出內(nèi)切圓半徑，即可實(shí)現(xiàn)問(wèn)題求解.
四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．
17．（10分）已知三條直線，和.
(1)若，求實(shí)數(shù)的值；
(2)若三條直線相交于一點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的值.
【答案】(1)(2)
【分析】（1）由兩條直線平行的條件求解即可；
（2）先由兩條確定的直線求出交點(diǎn)坐標(biāo)，然后帶入含參直線求解即可.
【詳解】（1）因?yàn)?，?
所以.解得.經(jīng)檢驗(yàn)，時(shí)，.
（2）由，解得即與的交點(diǎn)為，
因?yàn)槿龡l直線相交于一點(diǎn)，所以點(diǎn)在上，
所以.解得.
18．（12分）在三棱臺(tái)中，平面ABC，，．

(1)證明：平面平面；
(2)記的中點(diǎn)為M，過(guò)M的直線分別與直線，交于P，Q，求直線PQ與平面所成角的正弦值．
【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)0
【分析】（1）取AC的中點(diǎn)D，可得四邊形為平行四邊形，利用線面垂直的判定定理、性質(zhì)定理和面面垂直的判定定理證明可得答案；
（2）以A為原點(diǎn)，，，所在方向分別為x軸、y軸、z軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的法向量，設(shè)，，由P，M，Q三點(diǎn)共線，可設(shè)，求出，根據(jù)空間角的向量求法可得答案.
【詳解】（1）取AC的中點(diǎn)D，則AD與平行且相等，
可得四邊形為平行四邊形，則有，
又，故．
又，，，AC，平面，故平面，又因?yàn)槠矫?，故?br>又因?yàn)?，，，平面，故平面?
而平面，故平面平面；
（2）以A為原點(diǎn)，，，所在方向分別為x軸、y軸、z軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則，，，則，
設(shè)平面的法向量為，
則，即，取，則．
設(shè)，，則，，
由題意知P，M，Q三點(diǎn)共線，可設(shè)，則，
解得，故，，
則，
故，
即平面，故所求線面角的正弦值為0．
19．（12分）已知圓，直線.
(1)若直線與圓相交，求的取值范圍；
(2)若直線與圓交于不同的兩點(diǎn)，，當(dāng)為銳角時(shí)，求的取值范圍；
(3)若，是直線上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)作圓的兩條切線，，切點(diǎn)為，，探究：直線是否過(guò)定點(diǎn).
【答案】(1)或
(2)
(3)直線過(guò)定點(diǎn).
【分析】（1）由直線與圓相交，得圓心到直線的距離小于半徑，由此得解；
（2）設(shè)A，B的坐標(biāo)分別為，，將直線代入，得，利用以及，能求出的取值范圍；
（3）由題意知O，P，C，D四點(diǎn)共圓且在以為直徑的圓上，設(shè)出P點(diǎn)坐標(biāo)，求出以為直徑的圓的方程，又，在圓上，可得，所在直線即兩圓公共弦直線，將兩圓方程作差得直線的方程，得解．
【詳解】（1），直線，
∵直線與圓相交，
∴圓心到直線的距離小于半徑，
即，解得或.
（2）設(shè)A，B的坐標(biāo)分別為，，
將直線代入，
整理，得，
∴，，
，即，
當(dāng)為銳角時(shí)，
，
解得，又，
∴或.
故的取值范圍為.
（3）
由題意知，，，四點(diǎn)共圓且在以為直徑的圓上，
設(shè)，其方程為，
∴，
又，在圓上，
，所在直線即兩圓公共弦直線，
將兩圓方程作差得，，
即，
由，得，
∴直線過(guò)定點(diǎn).
20．（12分）已知橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為，點(diǎn)在橢圓上，且.
(1)求橢圓的方程；
(2)設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)斜率不為0的直線交橢圓于兩點(diǎn)，記直線與直線的斜率分別為，當(dāng)時(shí)，求的面積.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用點(diǎn)在橢圓上及數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算列方程求解即可；
（2）設(shè)直線聯(lián)立方程，韋達(dá)定理，方法一：求出弦長(zhǎng)及三角形的高即可求出面積，方法二：利用面積分割法求解面積即可.
【詳解】（1）由題意知，
又，則，
，解得(負(fù)值舍去)，
由在橢圓上及得，解得，
橢圓的方程為；
（2）由（1）知，右焦點(diǎn)為，
據(jù)題意設(shè)直線的方程為，
則，
于是由得，化簡(jiǎn)得（*）
由消去整理得，
，
由根與系數(shù)的關(guān)系得：，
代入（*）式得：，解得，
直線的方程為，
方法一：，
由求根公式與弦長(zhǎng)公式得：，
設(shè)點(diǎn)到直線的距離為，則，
.

方法二：由題意可知，
代入消去得，
，
.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用韋達(dá)定理法解決直線與圓錐曲線相交問(wèn)題的基本步驟如下：
（1）設(shè)直線方程，設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)為；
（2）聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關(guān)于（或）的一元二次方程，必要時(shí)計(jì)算；
（3）列出韋達(dá)定理；
（4）將所求問(wèn)題或題中的關(guān)系轉(zhuǎn)化為、（或、）的形式；
（5）代入韋達(dá)定理求解.
21．（12分）如圖，在三棱錐中，，，記二面角的平面角為．
(1)若，，求三棱錐的體積；
(2)若M為BC的中點(diǎn)，求直線AD與EM所成角的取值范圍．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）作出輔助線，找到二面角的平面角，利用余弦定理求出，求出底面積和高，進(jìn)而求出三棱錐的體積；（2）利用空間基底表達(dá)出，結(jié)合第一問(wèn)結(jié)論求出，從而求出答案.
【詳解】（1）取AC的中點(diǎn)F，連接FD，F(xiàn)E，由BC=2，則，故DF⊥AC，EF⊥AC，故∠DFE即為二面角的平面角，即，連接DE，作DH⊥FE，因?yàn)?，所以平面DEF，因?yàn)镈H平面DEF，所以AC⊥DH，因?yàn)椋訢H⊥平面ABC，因?yàn)?，由勾股定理得：，，又，由勾股定理逆定理可知，AE⊥CE，且∠BAC=，，在△ABC中，由余弦定理得：，解得：或（舍去），則，因?yàn)?，，所以△DEF為等邊三角形，則，故三棱錐的體積；
（2）設(shè)，則，，由（1）知：，，取為空間中的一組基底，則，由第一問(wèn)可知：
，
則
其中，且，，故，
由第一問(wèn)可知，又是的中點(diǎn)，所以，所以，
因?yàn)槿忮F中，所以，所以，故直線AD與EM所成角范圍為.
【點(diǎn)睛】針對(duì)于立體幾何中角度范圍的題目，可以建立空間直角坐標(biāo)系來(lái)進(jìn)行求解，若不容易建立坐標(biāo)系時(shí)，也可以通過(guò)基底表達(dá)出各個(gè)向量，進(jìn)而求出答案.
22．（12分）已知雙曲線：，雙曲線與共漸近線且經(jīng)過(guò)點(diǎn)

(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程．
(2)如圖所示，點(diǎn)是曲線上任意一動(dòng)點(diǎn)（第一象限），直線軸于點(diǎn)，軸于點(diǎn)，直線交曲線于點(diǎn)（第一象限），過(guò)點(diǎn)作曲線的切線交于點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，求的最小值．
【答案】(1)
(2)2
【分析】（1）由題意設(shè)：，將代入解方程即可得出答案.
（2）設(shè)，，，設(shè)，表示出點(diǎn)坐標(biāo)，代入：方程，即可求得，進(jìn)一步求出的坐標(biāo)，而，而，代入化簡(jiǎn)結(jié)合基本不等式即可得出答案.
【詳解】（1）由題意設(shè)：，
將代入得到，
∴曲線：．
（2）設(shè)，，，，
則（*）
設(shè)，則，
解得：，
代入：方程，得，
結(jié)合（*）式可知
由于，則，所以．
所以是、的中點(diǎn)，．
因?yàn)樗倪呅问蔷匦?，，?br>所以為四邊形的中心，所以，
在與中，，分別以為底時(shí)，高相同，
所以，
則，
因?yàn)檫^(guò)雙曲線上一點(diǎn)的切線方程為，
所以直線的方程為：即，
因?yàn)?，所以，令，所以?br>，，
令，，
令，．
當(dāng)且僅當(dāng)，即，，時(shí)，取得最小值．
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：建立的面積與的表達(dá)式至關(guān)重要，可利用，的坐標(biāo)和三角形面積公式，以為橋梁得出與的表達(dá)式，最后根據(jù)基本不等式可求得面積的取值范圍.

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