中考數(shù)學一輪復(fù)習專題講義+強化訓練(全國通用)第五講  一元二次方程一、13個必備知識點考點一  等式的性質(zhì)考點二  解一次方程(組)考點三  含參數(shù)的一次方程(組)考點四  一元一次方程的應(yīng)用考點五  二元一次方程組的應(yīng)用             
   一、13個必備知識點1．一元二次方程：只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的整式方程叫做一元二次方程．2．一般形式：(其中為常數(shù)，)，其中分別叫做二次項、一次項和常數(shù)項，分別稱為二次項系數(shù)和一次項系數(shù)．注意：(1)在一元二次方程的一般形式中要注意，因為當時，不含有二次項，即不是一元二次方程；(2)一元二次方程必須具備三個條件：①必須是整式方程；②必須只含有一個未知數(shù)；③所含未知數(shù)的最高次數(shù)是2．3．直接開平方法：適合于或形式的方程．4．配方法：(1)化二次項系數(shù)為1；(2)移項，使方程左邊只含有二次項和一次項，右邊為常數(shù)項；(3)方程兩邊同時加上一次項系數(shù)一半的平方；(4)把方程整理成的形式；(5)運用直接開平方法解方程．5．公式法：(1)把方程化為一般形式，即；(2)確定的值；(3)求出的值；(4)將的值代入即可．6．因式分解法：基本思想是把方程化成的形式，可得或．7．根的判別式：一元二次方程是否有實數(shù)根，由的符號來確定，我們把叫做一元二次方程根的判別式．8．一元二次方程根的情況與判別式的關(guān)系(1)當時，方程有兩個不相等的實數(shù)根；(2)當時，方程有1個(兩個相等的)實數(shù)根；(3)當時，方程沒有實數(shù)根．9．根與系數(shù)關(guān)系：對于一元二次方程(其中為常數(shù)，)，設(shè)其兩根分別為，，則，．列一元二次方程解應(yīng)用題步驟和列一元一次方程(組)解應(yīng)用題步驟一樣，即審、設(shè)、列、解、驗、答六步．列一元二次方程解應(yīng)用題，經(jīng)濟類和面積類問題是常考內(nèi)容．10．增長率等量關(guān)系(1)增長率=增長量÷基礎(chǔ)量．(2)設(shè)為原來量，為平均增長率，為增長次數(shù)，為增長后的量，則；當為平均下降率時，則有．11．利潤等量關(guān)系：(1)利潤=售價－成本．(2)利潤率=×100％．12．面積問題(1)類型1：如圖1所示的矩形長為，寬為，空白“回形”道路的寬為，則陰影部分的面積為．(2)類型2：如圖2所示的矩形長為，寬為，陰影道路的寬為，則空白部分的面積為．(3)類型3：如圖3所示的矩形長為，寬為，陰影道路的寬為，則4塊空白部分的面積之和可轉(zhuǎn)化為．             圖1                      圖2                          圖313. 碰面問題(循環(huán)問題)(1)重疊類型(雙循環(huán))：n支球隊互相之間都要打一場比賽，總共比賽場次為m。∵1支球隊要和剩下的(n－1)支球隊比賽，∴1支球隊需要比(n－1)場∵存在n支這樣的球隊，∴比賽場次為：n(n－1)場∵A與B比賽和B與A比賽是同一場比賽，∴上述求法有重疊部分. ∴m=(2)不重疊類型(單循環(huán))：n支球隊，每支球隊要在主場與所有球隊各打一場，總共比賽場次為m。∵1支球隊要和剩下的(n－1)支球隊比賽，∴1支球隊需要比(n－1)場∵存在n支這樣的球隊，∴比賽場次為：n(n－1)場.∵A與B比賽在A的主場，B與A比賽在B的主場，不是同一場比賽，∴上述求法無重疊.∴m=  考點一  一元二次方程的解 1．已知方程3x2﹣(k﹣1)x﹣k+7＝0的一個根為0，則k的值為(　　)A．3 B．﹣3 C．7 D．﹣72．關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0(a≠0)中，它的一個根為﹣1，則(　　)A．a+b+c＝0 B．a+b﹣c＝0 C．a﹣b+c＝0 D．a﹣b﹣c＝03．若x＝3是關(guān)于x的方程﹣3a＝0的一個根，則在平面直角坐標系中，一次函數(shù)y＝ax+2的圖象不經(jīng)過(　　)A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限  考點二  解一元二次方程 1．用適當?shù)姆椒ń庖辉畏匠?/span>(1)x2﹣9＝0        (2)2x2﹣7x＝0            (3)x2﹣2x﹣5＝0      (4)3x2﹣1＝4x      (5)3(x﹣2)2＝x(x﹣2) (6)(x+8)(x+1)＝﹣12． 2．選用適當方法解一元二次方程(1)(x﹣2)2＝(2x+5)2     (2)(x2+3x)2﹣2(x2+3x)﹣8＝0      （3）x2﹣2mx+m2﹣n2＝0      (4)(m﹣1)x2+(m﹣2)x﹣1＝0．     3．解下列一元二次方程(1)4x2﹣16x+15＝0(用配方法解)    (2)9﹣x2＝2x2﹣6x(用分解因式法解)    (3)(x+1)(2﹣x)＝1(選擇適當?shù)姆椒ń?/span>)    考點三  配方法求最值 1．已知x，y為實數(shù)，求代數(shù)式x2+y2+2x﹣4y+7的最小值　 　． 2．關(guān)于x的式子x2+6x﹣9，當x＝　   　時，式子有最　   　值，且這個值為　   　． 3．已知實數(shù)m，n滿足m﹣n2＝1，則代數(shù)式m2+2n2+4m﹣1的最小值等于？ 4．當a，b為何值時，多項式a2+b2﹣4a+6b+18有最小值？并求出這個最小值． 5．閱讀下列材料：我們把多項式a2+2ab+b2及a2﹣2ab+b2叫做完全平方式，如果一個多項式不是完全平方式，我們常做如下變形：先添加一個適當?shù)捻?，使式子中出現(xiàn)完全平方式，再減去這個項，使整個式子的值不變，這種方法叫做配方法．配方法是一種重要的解決數(shù)學問題的方法，不僅可以將一個看似不能分解的多項式分解因式，還能解決一些與非負數(shù)有關(guān)的問題或求代數(shù)式的最大值、最小值等．例如：x2+2x﹣3＝(x2+2x+1)﹣4＝(x+1)2﹣22＝(x+1+2)(x+1﹣2)＝(x+3)(x﹣1)；x2﹣10x+30＝x2﹣10x+25+5＝(x2﹣10x+25)+5＝(x﹣5)2+5，因為(x﹣5)2≥0，即(x﹣5)2的最小值是0，所以x2﹣10x+30的最小值是5．根據(jù)閱讀材料用配方法解決下列問題：(1)分解因式：x2﹣4x﹣5；(2)求a2+2a+2021的最小值；(3)求﹣x2+2x+2019的最大值．       考點四  根的判別式與韋達定理 1．已知關(guān)于x的一元二次方程mx2﹣4x+2＝0有兩個實數(shù)根，則m的取值范圍是(　　)A．m≤2 B．m＜2且m≠0 C．m≠0 D．m≤2且m≠02．小剛在解關(guān)于x的方程ax2+bx+c＝0(a≠0)時，只抄對了a＝1，c＝4，解出其中一個根是x＝﹣1．他核對時發(fā)現(xiàn)所抄的b是原方程中b的相反數(shù)．則原方程的根的情況是(　　)A．有兩個不相等的實數(shù)根 B．有兩個相等的實數(shù)根 C．有一個根是x＝﹣1 D．不存在實數(shù)根3．關(guān)于x的方程(x﹣1)(x+2)＝p2(p為常數(shù))的根的情況，下列結(jié)論中正確的是(　　)A．兩個正根 B．兩個負根 C．一個正根，一個負根 D．無實數(shù)根4．三角形的兩邊a、b的夾角為60°且滿足方程x2﹣3x+4＝0，則第三邊的長是(　　)A． B．2 C．2 D．35．一個等腰三角形的兩條邊長分別是方程x2﹣9x+18＝0的兩根，則該等腰三角形的周長是(　　)A．12 B．9 C．15 D．12或156．關(guān)于x的一元二次方程x2﹣4x+m＝0的兩實數(shù)根分別為x1、x2，且x1+3x2＝5，則m的值為(　　)A． B． C． D．07．設(shè)x1，x2是方程x2﹣x﹣2020＝0的兩實數(shù)根，則x13+2021x2﹣2020＝　     　．8．已知一元二次方程兩個根為a，b，求下列各式的值．(1)；(2)．    9．已知關(guān)于x的一元二次方程(x﹣m)2+6x＝4m﹣3有實數(shù)根．(1)求m的取值范圍；(2)設(shè)方程的兩實根分別為x1與x2，若x1x2﹣x12﹣x22＝﹣7，求m的值．       10．如圖，在△ABC中，∠C＝90．，∠A，∠B，∠C所對的邊分別為a，b，c．將形如ax2+cx+b＝0的一元二次方程稱為“直系一元二次方程”．(1)請直接寫出一個“直系一元二次方程”；(2)求證：關(guān)于x的“直系一元二次方程”ax2+cx+b＝0必有實數(shù)根；(3)若x＝﹣1是“直系一元二次方程”ax2+cx+b＝0的一個根，且S△ABC＝3，求的值．        11．材料一：法國數(shù)學家弗朗索瓦?韋達于1615年在著作《論方程的識別與訂正》中建立了方程根與系數(shù)的關(guān)系，提出一元二次方程ax2+bx+c＝0(a≠0)的根完全由它的系數(shù)決定，當b2﹣4ac≥0時有兩根：x1＝，x2＝；于是，兩根之和為x1+x2＝；兩根之積為x1?x2＝?＝＝．由于韋達最早發(fā)現(xiàn)代數(shù)方程的根與系數(shù)之間有這種關(guān)系，人們把這個關(guān)系稱為韋達定理，韋達定理對代數(shù)學的推進做出了巨大貢獻，它最早系統(tǒng)地引入代數(shù)符號，推進了方程論的發(fā)展，用字母代替未知數(shù)，指出了根與系數(shù)之間的關(guān)系．利用韋達定理可以快速求出兩方程根的關(guān)系，韋達定理應(yīng)用廣泛，在初等數(shù)學、解析幾何、平面幾何、方程論中均有體現(xiàn)．而且韋達定理為數(shù)學中的一元方程奠定了基礎(chǔ)，對一元方程的應(yīng)用創(chuàng)造和開拓了廣泛的發(fā)展空間．材料二：已知一元二次方程ax2﹣bx+c＝0(a≠0)的兩個根滿足，且a、b、c分別是△ABC的∠A、∠B、∠C的對邊，若a＝c，求∠B的度數(shù)．解題過程如下：x1+x2＝﹣，x1?x2＝＝1，∵|x1﹣x2|＝，∴|x1﹣x2|2＝2．又∵﹣4，∴＝3，∵a＞0，b＞0，∴＝．如圖，過點B作BH⊥AC于點H．則HC＝AC＝b，∴cosC＝，∴∠C＝30°，∴∠B＝120°．(1)在上題中，將方程改為ax2﹣bx+c＝0(a≠0)，要得到∠B＝120°，而條件“a＝c”不變，那么對應(yīng)條件中的|x1﹣x2|的值是多少？請說明理由．(2)已知一元二次方程ax2﹣bx+c＝0(n≥0，a≠0)的兩根滿足1﹣(x1﹣x2)2＝2|x1﹣x2|，且a、b、c分別是△ABC的∠A、∠B、∠C的對邊，若∠A＝30°，∠B＝45°，求n的值．   考點五  一元二次方程的應(yīng)用 1．2021年是中國歷史上的超級航天年，渝飛航模專賣店看準商機，8月初推出了“天問一號”和“嫦娥五號”兩款模型．每個“天問一號”模型的售價是90元，每個“嫦娥五號”模型的售價是100元，該店在8月份售出“天問一號”模型400個，“嫦娥五號”模型200個．該店決定從9月1日起推出“逐夢航天、仰望星空”優(yōu)惠活動，9月份，每個“天問一號”模型的售價與8月份相同，銷量比8月份增加a%；每個“嫦娥五號”模型的售價在8月份的基礎(chǔ)上降價a%，銷量比8月份增加a%．(1)用含有a的代數(shù)式填表(不需化簡)： 8月份銷量銷量的增長率9月份銷量“天問一號”模型400a%　                　“嫦娥五號”模型200　                　　                　（2）據(jù)統(tǒng)計，該店在9月份的銷售總額比8月份的銷售總額增加a%，求a的值．  2．如圖，△ABC中，∠C＝90°，BC＝30cm，AC＝40cm，點P從點C開始沿CA邊以4cm/s的速度向點A移動，同時，另一點Q由點C開始以3cm/s的速度沿著CB邊向點B移動，求幾秒鐘后，△PCQ的面積等于△ABC面積的？  3．R0，也叫基本傳染數(shù)，或者基本再生數(shù)，英文為Basicreproductionnumber．更確切的定義是：在沒有外力介入，所有人都沒有免疫力的情況下，一個感染某種傳染病的人，總共會傳染給其他多少個人的平均數(shù)．例如：有1人感染新型冠狀病毒，若R0＝3.50，則經(jīng)兩輪傳染后感染新型冠狀病毒的人數(shù)為：1+1×3.50+1×3.50×3.50≈17(人)．時下人心惶惶的新型冠狀病毒的基本傳染數(shù)據(jù)估計為3.30到5.40之間．請解答下列問題：(1)若現(xiàn)有10人感染新型冠狀病毒，則經(jīng)歷兩輪傳染后，感染新型冠狀病毒的人數(shù)大約在什么范圍內(nèi)(直接寫出結(jié)果，結(jié)果保留整數(shù))？(2)最近，新型冠狀病毒變異出德爾塔毒株，德爾塔變異病毒的R0值極高．若1人患病，在無任何外力影響下經(jīng)歷兩輪傳染后共有73人感染．①求德爾塔變異病毒的R0值；②國家研制出新冠疫苗后發(fā)現(xiàn)，通過接種疫苗可以使得R0值隨接種人數(shù)比例的增高同步降低．例如，當疫苗全民接種率達到40%時，此時的R0值為：R0(1﹣40%)＝0.6R0．若有1人感染德爾塔變異病毒，要在兩輪內(nèi)將總感染人數(shù)控制在7人以內(nèi)，再加以隔離等措施的干涉，就可控制住疫情，則全民接種率至少應(yīng)該達到多少？       4．某超市銷售一種商品，成本價為50元/千克，規(guī)定每千克售價不低于成本價，且不高于85元．經(jīng)市場調(diào)查，該商品每天的銷售量y(千克)與售價x(元千克)滿足一次函數(shù)關(guān)系，如圖所示：(1)求y與x之間的函數(shù)表達式；(2)該商場銷售這種商品要想每天獲得1350元的利潤，每件商品的售價應(yīng)定為多少元？  5．“民族要復(fù)興，鄉(xiāng)村必振興”，巴南區(qū)積極踐行國家鄉(xiāng)村振興戰(zhàn)略，大力發(fā)展鄉(xiāng)村特色產(chǎn)業(yè)，豐盛鎮(zhèn)脆桃種植基地連續(xù)幾年產(chǎn)量獲得大豐收，該基地采用現(xiàn)場采摘銷售和線上銷售兩種模式．(1)今年該基地脆桃產(chǎn)量為51000千克，全部售出，其中線上銷量不超過現(xiàn)場采摘銷量的2倍．求現(xiàn)場采摘銷量至少多少千克？(2)該基地6月份現(xiàn)場采摘銷售均價為15元/千克，銷售量為1200千克．線上銷售均價為10元/千克，銷售量為1800千克．7月份現(xiàn)場采摘銷售均價上漲了25%，銷售量下降了2a%，線上銷售均價上漲了a%，銷量與6月份一樣，7月份銷售總金額比6月份銷售總金額減少了a%，求a的值．        6．如圖，用一段長為30m的籬笆圍成一個一邊靠墻的矩形苗圃園，墻長為18m，設(shè)這個苗圃園垂直于墻的一邊AB的長為xm．(1)用含有x的式子表示BC，并直接寫出x的取值范圍；(2)若苗圃園的面積為72m2，求AB的長．  7．某電商公司推出A、B兩種類型的超薄全面屏電視機，已知售出2臺A型電視機，3臺B型電視機的銷售額為35500元：售出1臺A型電視機，2臺型電視機的銷售額為20500元．(1)求每臺A型電視機和B型電視機的售價分別是多少元；(2)該電商公司在8月實行“滿減促銷”活動，活動方案為：單臺電視機滿4000元減500元，滿9000元減1500元(每臺電視機只能參加一次最高滿減活動)結(jié)果8月A型電視機的銷量是B型電視機的，9月該電商公司加大促銷活動力度，每臺A型電視機按照8月滿減后的售價再降a%，銷量比8月增加2a%；每臺B型電視機按照8月滿減后的售價再降a%，銷量比8月銷量增加a%，結(jié)果9月A和B的銷售總額比8月A和B的銷售總額多a%，求a的值．
 

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