2023年上海市徐匯區(qū)中考數(shù)學(xué)二模試卷一、選擇題（本大題共6小題，共24.0分。在每小題列出的選項(xiàng)中，選出符合題目的一項(xiàng)）1.  下列互為倒數(shù)的是(     )A. 和 B. 和 C. 和 D. 和2.  下列運(yùn)算結(jié)果錯誤的是(    )A.  B.  C.  D. 3.  如圖，數(shù)軸上的點(diǎn)和點(diǎn)分別在原點(diǎn)的左側(cè)和右側(cè)，點(diǎn)、對應(yīng)的實(shí)數(shù)分別是、，下列結(jié)論一定成立的是(    )
A.  B.  C.  D. 4.  若點(diǎn)、、在反比例函數(shù)的圖象上，則(    )A.  B.  C.  D. 5.  某校足球社團(tuán)有名成員，下表是社團(tuán)成員的年齡分布統(tǒng)計表，對于不同的，下列關(guān)于年齡的統(tǒng)計量不會發(fā)生改變的是(    )年齡單位：歲頻數(shù)單位：名 A. 平均數(shù)、中位數(shù) B. 平均數(shù)、方差 C. 眾數(shù)、中位數(shù) D. 眾數(shù)、方差6.  如圖，在梯形中，已知，，，，，分別以、為直徑作圓，這兩圓的位置關(guān)系是(    )
 A. 內(nèi)切 B. 外切 C. 相交 D. 外離二、填空題（本大題共12小題，共48.0分）7.  計算：______．8.  已知，那么 ______ ．9.  根據(jù)電影發(fā)行方的數(shù)據(jù)，電影滿江紅截至年月日，以元的票房高居春節(jié)檔前列，數(shù)據(jù)用科學(xué)記數(shù)法表示為______ ．10.  方程組的解是______ ．11.  媽媽煮了個湯圓，分別是個花生味和個芝麻味，小明隨意吃兩個恰好都是花生味的概率是______ ．12.  已知關(guān)于的方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，那么的取值范圍是______ ．13.  如圖，已知在中，點(diǎn)是邊上一點(diǎn)，且設(shè)，，那么向量 ______ 用的形式表示，其中、為實(shí)數(shù)
 14.  為了了解學(xué)生在家做家務(wù)情況，某校對部分學(xué)生進(jìn)行抽樣調(diào)查，并繪制了如圖所示的頻數(shù)分布直方圖每組數(shù)據(jù)含最小值，不含最大值如果該校有名學(xué)生，估計該校平均每周做家務(wù)的時間少于小時的學(xué)生人數(shù)約是______ 人
 15.  某公司產(chǎn)品的銷售收入元與銷售量噸的函數(shù)關(guān)系記為，銷售成本與銷售量的函數(shù)關(guān)系記為，兩個函數(shù)的圖象如圖所示當(dāng)銷售收入與銷售成本相等時，銷售量為______ 噸
16.  如圖，已知的內(nèi)接正方形，點(diǎn)是的中點(diǎn)，與邊交于點(diǎn)，那么 ______ ．
 17.  如圖，拋物線與拋物線組成一個開口向上的“月牙線”，拋物線和拋物線與軸有著相同的交點(diǎn)、點(diǎn)在點(diǎn)右側(cè)，與軸的交點(diǎn)分別為、如果，那么拋物線的表達(dá)式是______ ．
 18.  如圖，在直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)、點(diǎn)，的半徑為，點(diǎn)是上的動點(diǎn)，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，那么長的取值范圍是______ ．
三、解答題（本大題共7小題，共78.0分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）19.  本小題分
先化簡，再求值：，然后從，，，，中選一個合適的數(shù)代入求值．20.  本小題分
求不等式組的整數(shù)解．21.  本小題分
如圖，、分別是邊上的高和中線，已知，．
求的長；
求的值．
22.  本小題分
小明家的花灑的實(shí)景圖及其側(cè)面示意圖分別如圖、圖所示，花灑安裝在離地面高度厘米的處，花灑的長度為厘米．
已知花灑與墻面所成的角，求當(dāng)花灑噴射出的水流與花灑成的角時，水流噴射到地面的位置點(diǎn)與墻面的距離結(jié)果保留根號
某店鋪代理銷售這種花灑，上個月的銷售額為元，這個月由于店鋪舉行促銷活動，每個花灑的價格比上個月便宜元，因此比上個月多賣出個的同時銷售額也上漲了元，求這個此款花灑的原價是多少元？
 23.  本小題分
如圖，已知是的外接圓，聯(lián)結(jié)并延長交邊于點(diǎn)，聯(lián)結(jié)，且．
求證：；
當(dāng)時，過點(diǎn)作邊的平行線，交于點(diǎn)，聯(lián)結(jié)交于點(diǎn)請畫出相應(yīng)的圖形，并證明：．
24.  本小題分
如圖，已知拋物線經(jīng)過點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)、．
求拋物線的頂點(diǎn)的坐標(biāo)；
點(diǎn)在拋物線的對稱軸上，且位于軸的上方，將沿直線翻折，如果點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)恰好落在拋物線的對稱軸上，求點(diǎn)的坐標(biāo)；
點(diǎn)在拋物線的對稱軸上，點(diǎn)是拋物線上位于第四象限內(nèi)的點(diǎn)，當(dāng)為等邊三角形時，求直線的表達(dá)式．
25.  本小題分
已知：如圖，四邊形中，，．
求證：四邊形是等腰梯形；
邊的垂直平分線交于點(diǎn)，交對角線于點(diǎn)，交射線于點(diǎn)．
當(dāng)時，設(shè)長為，試用表示的長；
當(dāng)時，求的值．

答案和解析 1.【答案】 【解析】解：、，
和互為倒數(shù)，符合題意；
B、，
和不互為倒數(shù)，不符合題意；
C、，
和不互為倒數(shù)，不符合題意；
D、，
和不互為倒數(shù)，不符合題意．
故選：．
根據(jù)倒數(shù)的定義對各選項(xiàng)進(jìn)行逐一分析即可．
本題考查的是倒數(shù)的定義，熟知乘積是的兩個數(shù)叫互為倒數(shù)是解題的關(guān)鍵．
 2.【答案】 【解析】解：，
選項(xiàng)的運(yùn)算正確，不符合題意；
，
選項(xiàng)的運(yùn)算正確，不符合題意；
，
選項(xiàng)的運(yùn)算正確，不符合題意；
和不是同類項(xiàng)，不能合并，
選項(xiàng)的運(yùn)算錯誤，符合題意．
故選：．
利用同底數(shù)冪的除法法則，冪的乘方和積的乘方，同底數(shù)冪的乘法法則和合并同類項(xiàng)的法則對每個選項(xiàng)進(jìn)行逐一判斷即可．
本題主要考查了同底數(shù)冪的除法，冪的乘方和積的乘方，同底數(shù)冪的乘法和合并同類項(xiàng)，熟練掌握上述法則與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
 3.【答案】 【解析】解：根據(jù)數(shù)軸可知，，
：依題意，故結(jié)論錯誤，該選項(xiàng)不符合題意；
：依題意，故結(jié)論錯誤，該選項(xiàng)不符合題意；
：依題意，故結(jié)論正確，該選項(xiàng)符合題意；
：依題意，故結(jié)論錯誤，該選項(xiàng)不符合題意．
故選：．
首先利用數(shù)軸上的信息確定、的正負(fù)性，然后利用不等式的性質(zhì)即可解決問題．
此題主要考查了實(shí)數(shù)與數(shù)軸之間的對應(yīng)關(guān)系，同時也利用了不等式的性質(zhì)．
 4.【答案】 【解析】解：，
反比例函數(shù)的圖象在二、四象限，在每個象限內(nèi)隨的增大而增大，
點(diǎn)、在第二象限，；在第四象限，，
．
故選：．
先判斷出反比例函數(shù)的圖象所在的象限，再根據(jù)圖象在每一象限的增減性及每一象限坐標(biāo)的特點(diǎn)進(jìn)行判斷即可．
本題考查了反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，熟練掌握反比例函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
 5.【答案】 【解析】解：由表可知，年齡為歲與年齡為歲的頻數(shù)和為，而歲人數(shù)有人，
故該組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為歲，
中位數(shù)為：歲．
即對于不同的，關(guān)于年齡的統(tǒng)計量不會發(fā)生改變的是眾數(shù)和中位數(shù)．
故選：．
由頻數(shù)分布表可知年齡歲和年齡歲的兩組的頻數(shù)和為，即可得知總?cè)藬?shù)，結(jié)合前兩組的頻數(shù)知出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)及第、個數(shù)據(jù)的平均數(shù)，可得答案．
本題主要考查頻數(shù)分布表及統(tǒng)計量的選擇，由表中數(shù)據(jù)得出數(shù)據(jù)的總數(shù)是根本，熟練掌握平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)及方差的定義和計算方法是解題的關(guān)鍵．
 6.【答案】 【解析】解：分別取、中點(diǎn)和，連接，
是梯形的中位線，
，
分別以、為直徑的圓的圓心是和，
和的圓心距，
的半徑，的半徑，
，
這兩圓的位置關(guān)系是外離．
故選：．
兩圓的圓心距是，半徑分別是、，兩圓外離，由此即可判斷．
本題考查圓與圓的位置關(guān)系，關(guān)鍵是掌握圓與圓位置關(guān)系的判定方法．
 7.【答案】 【解析】解：根據(jù)算術(shù)平方根的定義，
得，．
故答案為：．
根據(jù)算術(shù)平方根的定義，如果一個正數(shù)的平方等于，即，那么這個正數(shù)叫做的算術(shù)平方根，解答出即可；
本題考查了算術(shù)平方根的定義，一個非負(fù)數(shù)的算術(shù)平方根與求一個數(shù)的平方互為逆運(yùn)算，在求一個非負(fù)數(shù)的算術(shù)平方根時，可以借助乘方運(yùn)算來尋找．
 8.【答案】 【解析】解：，
，
故答案為：．
根據(jù)，可以求得的值，本題得以解決．
本題考查函數(shù)值，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用題目中新定義解答．
 9.【答案】 【解析】解：．
故答案為：．
科學(xué)記數(shù)法的表示形式為的形式，其中，為整數(shù)．確定的值時，要看把原數(shù)變成時，小數(shù)點(diǎn)移動了多少位，的絕對值與小數(shù)點(diǎn)移動的位數(shù)相同．當(dāng)原數(shù)絕對值時，是正整數(shù)；當(dāng)原數(shù)的絕對值時，是負(fù)整數(shù)．
此題考查科學(xué)記數(shù)法的表示方法．科學(xué)記數(shù)法的表示形式為的形式，其中，為整數(shù)，正確確定的值以及的值是解決問題的關(guān)鍵．
 10.【答案】， 【解析】解：，
由得：，
或，
由和組成兩個二元一次方程組：
，，
解得：，，
所以原方程組的解是，．
故答案為：，．
由得出，求出或，由和組成兩個二元一次方程組，求出兩方程組的解即可．
本題考查了解高次方程組，能把高次方程組轉(zhuǎn)化成二元一次方程組是解此題的關(guān)鍵．
 11.【答案】 【解析】解：設(shè)個花生味的湯圓分別記為，，個芝麻味的湯圓分別記為，，
畫樹狀圖如下：

共有種等可能的結(jié)果，其中小明隨意吃兩個恰好都是花生味的結(jié)果有：，，共種，
小明隨意吃兩個恰好都是花生味的概率為．
故答案為：．
畫樹狀圖得出所有等可能的結(jié)果數(shù)以及小明隨意吃兩個恰好都是花生味的結(jié)果數(shù)，再利用概率公式可得出答案．
本題考查列表法與樹狀圖法，熟練掌握列表法與樹狀圖法以及概率公式是解答本題的關(guān)鍵．
 12.【答案】 【解析】解：根據(jù)題意得：
，
解得：，
故答案為：．
根據(jù)“關(guān)于的方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根”，結(jié)合判別式公式，得到關(guān)于的一元一次不等式，解之即可．
本題考查了根的判別式，正確掌握根的判別式公式是解題的關(guān)鍵．
 13.【答案】 【解析】解：，
，
，
，
，
．
故答案為：．
利用三角形法則求出，再求出，即可．
本題考查平面向量，三角形法則等知識，解題的關(guān)鍵是掌握三角形法則，屬于中考?？碱}型．
 14.【答案】 【解析】解：人，
估計該校平均每周做家務(wù)的時間少于小時的學(xué)生人數(shù)約是人．
故答案為：．
用總?cè)藬?shù)乘樣本中平均每周做家務(wù)的時間少于小時的學(xué)生人數(shù)所占比例即可．
本題考查讀頻數(shù)分布直方圖的能力和利用統(tǒng)計圖獲取信息的能力．本題用到的知識點(diǎn)是：頻率頻數(shù)總數(shù)，用樣本估計整體讓整體樣本的百分比即可．
 15.【答案】 【解析】解：由圖象可得，
函數(shù)是正比例函數(shù)，過點(diǎn)；函數(shù)是一次函數(shù)，過點(diǎn)，，
設(shè)，
則，得，
即；
設(shè)，
則，
解得，
即；
令，
則，
解得，
即當(dāng)銷售收入與銷售成本相等時，銷售量為噸，
故答案為：．
根據(jù)函數(shù)圖象和圖象中的數(shù)據(jù)，可以得到兩個函數(shù)對應(yīng)的函數(shù)解析式，然后令它們的函數(shù)值相等，求出相應(yīng)的的值即可．
本題考查一次函數(shù)的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．
 16.【答案】 【解析】解：如圖，作直線交，分別為，，

點(diǎn)是的中點(diǎn)，
，
正方形是的內(nèi)接正方形，
，
設(shè)的半徑為，
則，
，
，
，
．
故答案為：．
作直線交，分別為，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，根據(jù)垂徑定理得，根據(jù)正方形是的內(nèi)接正方形，所以，設(shè)的半徑為，則，，，根據(jù)，所以．
本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，正方形的性質(zhì)以及正多邊形和圓，熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)，正方形的性質(zhì)以及正多邊形和圓的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
 17.【答案】 【解析】解：令，
解得，，
，，
當(dāng)時，，
，
當(dāng)時，，
，
，
在中，
，
，
，
解得，
拋物線：，
將，代入，
得
解得，
拋物線的表達(dá)式是：．
故答案為：．
先利用拋物線求出，，的坐標(biāo)，再利用，以及勾股定理求出點(diǎn)的坐標(biāo)，最后用待定系數(shù)法求出的表達(dá)式即可．
本題考查待定系數(shù)法求拋物線解析式，解答時涉及拋物線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，勾股定理，掌握待定系數(shù)法求函數(shù)解析式是解題的關(guān)鍵．
 18.【答案】 【解析】解：、點(diǎn)，
，，，
連接，，取的中點(diǎn)，即的坐標(biāo)，

連接，
又分別是、的中點(diǎn)，
，
是定點(diǎn)，，即點(diǎn)的運(yùn)動軌跡是以點(diǎn)為中心，為半徑的圓．
，

點(diǎn)坐標(biāo)，
，
的取值范圍是，即，
即．
故答案為：．
根據(jù)分別是、的中點(diǎn)，，是定點(diǎn)，，即點(diǎn)的運(yùn)動軌跡是以點(diǎn)為中心，為半徑的圓，由此解答即可．
本題考查了點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，掌握點(diǎn)與圓的位置關(guān)系是解題的關(guān)鍵．
 19.【答案】解：原式

，
，，，
、、，
當(dāng)時，原式，
當(dāng)時，原式． 【解析】根據(jù)分式的混合運(yùn)算法則把原式化簡，根據(jù)分式有意義的條件確定的值，代入計算即可．
本題考查的是分式的化簡求值、分式有意義的條件，掌握分式的混合運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．
 20.【答案】解：，
解不等式得：，
解不等式得，
不等式組的解集為，
則不等式組整數(shù)解有、、、、、、． 【解析】分別求出不等式組中每個不等式的解集，從而得到不等式組的解集，即可得出答案．
本題考查的是解一元一次不等式組，正確求出每一個不等式解集是基礎(chǔ)，熟知“同大取大；同小取??；大小小大中間找；大大小小找不到”的原則是解答此題的關(guān)鍵．
 21.【答案】解：是邊上中線，，
．
是邊上的高，，
是等腰直角三角形，，
，
設(shè)，則，．
，
，
解得，
的長為；
如圖，作于．
由知，，
，
．
在中，，
可設(shè)，則．
，
，
解得，
，
． 【解析】根據(jù)三角形中線的定義得出根據(jù)正切函數(shù)的定義設(shè)，則，由，列出方程，求出即可得到的長；
如圖，作于利用勾股定理求出在中，利用正切函數(shù)定義以及勾股定理求出，然后根據(jù)正弦函數(shù)定義即可求出．
本題考查了解直角三角形，勾股定理，銳角三角函數(shù)定義，三角形的中線和高，掌握相關(guān)定義及定理是解題的關(guān)鍵．
 22.【答案】解：如圖，過點(diǎn)作，作，，垂足分別為，，

，
，
，
厘米，
厘米，厘米，
厘米，
，
，
，
厘米，
厘米，
答：水流噴射到地面的位置點(diǎn)與墻面的距離為厘米；
設(shè)每個花灑的原價是元，則現(xiàn)在的價格是元，
根據(jù)題意得：，
解得或舍去，
經(jīng)檢驗(yàn)：是原方程的解，
答：這個此款花灑的原價是元． 【解析】過點(diǎn)作，作，，垂足分別為，，分別求出厘米，厘米，即可得出答案；
設(shè)每個花灑的原價是元，則現(xiàn)在的價格是元，根據(jù)題意得：，解方程即可．
本題考查了解直角三角形的應(yīng)用和分式方程的應(yīng)用，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出直角三角形，利用銳角三角函數(shù)的定義求解是解答此題的關(guān)鍵．
 23.【答案】證明：延長，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，如圖，
，
，
，
∽，
．
，
，
，
，
，
，
；
解：依題意畫出圖形如圖：
，
，
，
，，
．
，
，
，
∽，
．
，
，
． 【解析】延長，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，利用相似三角形的判定定理與性質(zhì)定理得到，利用同圓的半徑相等，等腰三角形的性質(zhì)得到，利用圓周角定理得到，利用垂徑定理和圓心角，弧，弦，弦心距之間的關(guān)系定理解答即可得出結(jié)論；
依題意畫出圖形，利用等腰三角形的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)得到，利用相似三角形的判定與性質(zhì)和等量代換解答，即可得出結(jié)論．
本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)圓的有關(guān)性質(zhì)，圓周角定理，垂徑定理，平行線的性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．
 24.【答案】解：拋物線經(jīng)過點(diǎn)，點(diǎn)，
，
解得：，
，
拋物線的頂點(diǎn)的坐標(biāo)為；
設(shè)，且，如圖，連接，設(shè)拋物線的對稱軸交軸于，
則，

點(diǎn)、關(guān)于直線對稱，
，
，，，
由翻折得：，，
點(diǎn)在拋物線的對稱軸上，
，
，
是等邊三角形，
，
，
，
，
，
；
取中的點(diǎn)，連接，，設(shè)直線交軸于點(diǎn)，
，
為等邊三角形，
，
，
，

點(diǎn)在拋物線的對稱軸上，點(diǎn)是拋物線上位于第四象限內(nèi)的點(diǎn)，為等邊三角形，
，，
，即，
≌，
，
在中，，，，
，
，
，
設(shè)直線的函數(shù)表達(dá)式為，把、代入，得：，
解得：，
直線的表達(dá)式為． 【解析】運(yùn)用待定系數(shù)法即可求得拋物線解析式為，再運(yùn)用配方法化為頂點(diǎn)式即可得出拋物線的頂點(diǎn)的坐標(biāo)為；
設(shè)，且，連接，設(shè)拋物線的對稱軸交軸于，利用拋物線的對稱性可得，由翻折的性質(zhì)可得：，，推出是等邊三角形，得出，，再運(yùn)用解直角三角形即可求得答案；
取中的點(diǎn)，連接，，設(shè)直線交軸于點(diǎn)，可得為等邊三角形，再證得≌，得出，利用解直角三角形求得，再運(yùn)用待定系數(shù)法即可求得直線的表達(dá)式．
本題是二次函數(shù)綜合題，考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，一次函數(shù)和二次函數(shù)的應(yīng)用，等邊三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形等，解本題的關(guān)鍵，熟練掌握代入法求二次函數(shù)解析式，添加輔助線構(gòu)造全等三角形．
 25.【答案】證明：延長、交于點(diǎn)，

，
，
，
，即，
，
，
，
即，
，
，
，
，
與不平行，
四邊形是梯形，
，
梯形是等腰梯形；
解：連接，
則，
，

，
，
∽，
四邊形是等腰梯形，
，
，即，
，
，
，，
，
，
，
，
∽，
，
設(shè)，則，，，
，即，
解得：，或不符合題意，舍去，
；
延長、交于點(diǎn)，過點(diǎn)作，交于，作于，設(shè)與的交點(diǎn)為，
若點(diǎn)在線段上，則點(diǎn)為的中點(diǎn)，為等腰梯形的中位線，
則，
，這與矛盾；
若點(diǎn)在線段的延長線上，如圖，

，
又，
，
設(shè)，，則，，
，
，
，
，
，
，，，
，
，，
，，
，
整理得，
解得：，
，
，
． 【解析】延長、交于點(diǎn)，證明，與不平行，且即可；
連接，證明∽，設(shè)，則，，，則，即可求得答案；
延長、交于點(diǎn)，過點(diǎn)作，交于，作于，設(shè)與的交點(diǎn)為，若點(diǎn)在線段上，則點(diǎn)為的中點(diǎn)，為等腰梯形的中位線，，這與矛盾；若點(diǎn)在線段的延長線上，由，則，設(shè)，，則，，由，可得，利用解直角三角形可得，求得，即可求得答案．
本題是四邊形綜合題，考查了等腰梯形的判定和性質(zhì)，線段的垂直平分線的性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，一元二次方程的解法等，綜合性強(qiáng)，難度大，屬于中考壓軸題．
 

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