2023年上海市徐匯區(qū)中考數(shù)學(xué)一模試卷1.  在中，，，下列四個(gè)選項(xiàng)，正確的是(    )A.  B.  C.  D. 2.  下列命題中假命題是(    )A. 任意兩個(gè)等腰直角三角形都相似
B. 任意兩個(gè)含內(nèi)角的等腰三角形相似
C. 任意兩個(gè)等邊三角形都相似
D. 任意兩個(gè)直角邊之比為1：2的直角三角形相似3.  如圖，，若，則下面結(jié)論錯(cuò)誤的是(    )A.
B.
C.
D. 4.  二次函數(shù)的圖象如圖所示，點(diǎn)P在x軸的正半軸上，且，下列選項(xiàng)中正確的是(    )A.
B.
C.
D. 5.  將拋物線經(jīng)過(guò)下列平移能得到拋物線的是(    )A. 向右平移1個(gè)單位，向下平移3個(gè)單位 B. 向左平移1個(gè)單位，向下平移3個(gè)單位
C. 向右平移1個(gè)單位，向上平移3個(gè)單位 D. 向左平移1個(gè)單位，向上平移3個(gè)單位6.  如圖，點(diǎn)D在邊AB上，，點(diǎn)F是的角平分線AE與CD的交點(diǎn)，且，則下列選項(xiàng)中不正確的是(    )A.
B.
C.
D. 7.  已知，則______ .8.  計(jì)算：______ .9.  兩個(gè)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊上的中線之比4：5，則這兩個(gè)三角形面積之比為______ .10.  大自然巧奪天工，一片樹(shù)葉也蘊(yùn)含著“黃金分割”.如圖，P為線段AB的黃金分割點(diǎn)；如果AB的長(zhǎng)度為8cm，那么葉片部分AP的長(zhǎng)度是______
 11.  如圖，已知G為的重心，過(guò)點(diǎn)G作BC的平行線交邊AB和AC于點(diǎn)D、設(shè)，，試用、y為實(shí)數(shù)的形式表示向量______ .
 12.  小明和小杰去公園游玩，小明給站在觀景臺(tái)邊緣的小杰拍照時(shí)，發(fā)現(xiàn)他的眼睛、涼亭頂端、小杰的頭頂三點(diǎn)恰好在一條直線上如圖所示已知小明的眼睛離地面的距離AB為米，涼亭的高度CD為米，小明到?jīng)鐾さ木嚯xBD為12米，涼亭與觀景臺(tái)底部的距離DF為42米，小杰身高為米.那么觀景臺(tái)的高度為______ 米.
 13.  已知點(diǎn)、在拋物線上，則m ______ 填“>”、“=”或“<”14.  小球沿著坡度為：的坡面滾動(dòng)了13m，則在這期間小球滾動(dòng)的水平距離是______ 15.  計(jì)算：______ .16.  如圖，在由正三角形構(gòu)成的網(wǎng)格圖中，A、B、C三點(diǎn)均在格點(diǎn)上，則的值為______ .
 17.  如圖，點(diǎn)E是矩形ABCD紙片邊CD上一點(diǎn)，如果沿著AE折疊矩形紙片，恰好使點(diǎn)D落在邊BC上的點(diǎn)F處，已知，，那么折痕AE的長(zhǎng)是______ .
 18.  規(guī)定：如果經(jīng)過(guò)三角形一個(gè)頂點(diǎn)的直線把這個(gè)三角形分成兩個(gè)小三角形，其中一個(gè)小三角形是等腰三角形，另一個(gè)小三角形和原三角形相似，那么符合這樣條件的三角形稱為“和諧三角形”，這條直線稱為這個(gè)三角形的“和諧分割線”.例如，如圖所示，在中，，，CD是斜邊AB上的高，其中是等腰三角形，且和相似，所以是“和諧三角形”，直線CD為的“和諧分割線”.請(qǐng)依據(jù)規(guī)定求解問(wèn)題：已知是“和諧三角形”，，當(dāng)直線EG是的“和諧分割線”時(shí)，的度數(shù)是______ 寫出所有符合條件的情況19.  如圖，在中，已知，點(diǎn)D為邊AC上一點(diǎn)，，，求CD的長(zhǎng).
20.  如圖，點(diǎn)E在平行四邊形ABCD的邊BC的延長(zhǎng)線上，且，AE與CD交于點(diǎn)設(shè)，
用向量、表示向量；
求作：向量分別在向量、方向上的分向量.
不要求寫作法，但要保留作圖痕跡，并指出所作圖中表示結(jié)論的分向量
21.  已知二次函數(shù)
用配方法把二次函數(shù)化為的形式，并指出這個(gè)函數(shù)圖象的開(kāi)口方向、對(duì)稱軸和頂點(diǎn)的坐標(biāo)；
如果將該函數(shù)圖象向右平移2個(gè)單位，所得的新函數(shù)的圖象與x軸交于點(diǎn)A、點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè)，與y軸交于點(diǎn)C，頂點(diǎn)為D，求四邊形DACB的面積.
22.  如圖，是一個(gè)放置于水平桌面的平板支架的示意圖，底座的高AB為5cm，寬MN為10cm，點(diǎn)A是MN的中點(diǎn)，連桿BC、CD的長(zhǎng)度分別為和15cm，，且連桿BC、CD與AB始終在同一平面內(nèi).
求點(diǎn)C到水平桌面的距離；
產(chǎn)品說(shuō)明書(shū)提示，若點(diǎn)D與A的水平距離超過(guò)AN的長(zhǎng)度，則該支架會(huì)傾倒.現(xiàn)將調(diào)節(jié)為，此時(shí)支架會(huì)傾倒嗎？
參考數(shù)據(jù)：，，，
23.  如圖，已知是等邊三角形，D、E分別是邊BC、AC上的點(diǎn)，且在DE的延長(zhǎng)線上取點(diǎn)F，使得，聯(lián)結(jié)
求證：；
求證：
24.  已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)、，與y軸相交于點(diǎn)
求拋物線的表達(dá)式；
點(diǎn)P是第一象限內(nèi)拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作直線軸，垂足為點(diǎn)D，直線PD與直線BC相交于點(diǎn)
①當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
②聯(lián)結(jié)AC，過(guò)點(diǎn)P作直線AC的平行線，交x軸于點(diǎn)F，當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo).
25.  如圖1，已知菱形ABCD，點(diǎn)E在邊BC上，，AE交對(duì)角線BD于點(diǎn)
求證：∽；
如圖2，聯(lián)結(jié)
①當(dāng)為直角三角形時(shí)，求的大??；
②如圖3，聯(lián)結(jié)當(dāng)時(shí)，求的值.

答案和解析 1.【答案】C 【解析】解：如圖，根據(jù)勾股定理得：，
，
，
，
，
故選：
根據(jù)勾股定理求出BC的長(zhǎng)，根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義判斷即可．
本題考查了勾股定理，銳角三角函數(shù)的定義，掌握是解題的關(guān)鍵．
 2.【答案】B 【解析】解：A、任意兩個(gè)等腰直角三角形都相似，正確，故A不符合題意；
B、任意兩個(gè)含內(nèi)角的等腰三角形不一定相似，故B符合題意；
C、任意兩個(gè)等邊三角形都相似，正確，故C不符合題意；
D、任意兩個(gè)直角邊之比為1：2的直角三角形相似，正確，故D不符合題意．
故選：
由相似三角形的判定方法，即可判斷．
本題考查相似三角形的判定，等邊三角形，等腰直角三角形的性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握相似三角形的判定方法．
 3.【答案】C 【解析】解：由，得，故A不符合題意；
，
，故B不符合題意；
根據(jù)已知條件得不出，故C符合題意；
由，得，故D不符合題意；
故選：
已知，根據(jù)平行線分線段成比例定理，對(duì)各項(xiàng)進(jìn)行分析即可．
本題考查了平行線分線段成比例定理：三條平行線截兩條直線，所得的對(duì)應(yīng)線段成比例．
 4.【答案】D 【解析】解：A、二次函數(shù)的圖像開(kāi)口向下，，故A不符合題意；
B、當(dāng)時(shí)，，故B不符合題意；
C、當(dāng)時(shí)，故C不符合題意；
D、拋物線的對(duì)稱軸是直線，由，得到，故D符合題意．
故選：
由二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)，即可判斷．
本題考查二次函數(shù)的圖像與系數(shù)的關(guān)系，關(guān)鍵是掌握：二次函數(shù)的性質(zhì)．
 5.【答案】B 【解析】解：將拋物線向左平移1個(gè)單位，向下3個(gè)單位得到拋物線
故選：
由圖象平移的，上加下減，左加右減的法則，即可得到答案．
本題考查二次函數(shù)圖象與幾何變換，關(guān)鍵是掌握函數(shù)圖象平移的方法：上加下減，左加右減．
 6.【答案】D 【解析】解：過(guò)C作交AE延長(zhǎng)線于G，
，
平分，
，
，
，
，，
，
≌，
，，
，
，
令，則，，
∽，
：：：：3，
，
故A正確．
，
：：：：3，
，
故B正確．
，，
∽，
，
故C正確．
，AC和BD不一定相等，
不一定等于
故選：
過(guò)C作交AE延長(zhǎng)線于G，由條件可以證明≌，得到，，由∽，再由平行線分線段成比例，即可解決問(wèn)題．
本題考查角的平分線，相似三角形的判定和性質(zhì)，關(guān)鍵是通過(guò)輔助線構(gòu)造相似三角形．
 7.【答案】 【解析】解：，
，

故答案為：
由題干可得，再把代入式子即可解得答案．
本題考查了比例的性質(zhì)，熟練掌握比例的性質(zhì)是關(guān)鍵．
 8.【答案】 【解析】解：


故答案為：
由平面向量的加減運(yùn)算法則，即可計(jì)算．
本題考查平面向量，關(guān)鍵是掌握平面向量的加減運(yùn)算方法．
 9.【答案】16：25 【解析】解：兩個(gè)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊上的中線之比4：5，則這兩個(gè)相似三角形的相似比是4：5，
這兩個(gè)三角形面積之比為：：
故答案為：16：
由相似三角形的性質(zhì)：相似三角形面積的比等于相似比的平方，即可計(jì)算．
本題考查相似三角形的性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握相似三角形的性質(zhì)：相似三角形面積的比等于相似比的平方．
 10.【答案】 【解析】解：
故答案為：
由黃金分割的定義，即可計(jì)算．
本題考查黃金分割，關(guān)鍵是掌握黃金分割的定義．
 11.【答案】 【解析】解：連接AG并延長(zhǎng)交BC于M，
為的重心，
：：3，
，
：：：3，
∽，
：：：3，
，
，

故答案為：
由三角形重心的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，平面向量的減法公式，即可求解．
本題考查平面向量，三角形的重心，關(guān)鍵是掌握平面向量的有關(guān)公式．
 12.【答案】 【解析】解：作于M，交DC于N，

米，米，
米，米，
，
∽，
：：AM，
：：54，
米，
米，
觀景臺(tái)的高度為米．
故答案為：
作于M，交DC于N，由∽，求出EM的長(zhǎng)，即可解決問(wèn)題．
本題考查相似三角形的應(yīng)用，關(guān)鍵是通過(guò)輔助線構(gòu)造相似三角形．
 13.【答案】< 【解析】解：拋物線的對(duì)稱軸是直線，，
拋物線在對(duì)稱軸是直線左側(cè)時(shí)，圖象上升，y隨x的增大而增大，
，

故答案為：
由開(kāi)口向下的拋物線的性質(zhì)：拋物線在對(duì)稱軸左側(cè)時(shí)，圖象上升，y隨x的增大而增大，即可判斷．
本題考查二次函數(shù)圖象上的點(diǎn)的坐標(biāo)特征，關(guān)鍵是掌握：二次函數(shù)的性質(zhì)．
 14.【答案】 【解析】解：設(shè)坡面的鉛直高度是h m和水平寬度是l m，
：：：3，
令，則，
，
，
，

故答案為：
坡度是坡面的鉛直高度h和水平寬度l的比，又叫做坡比，由此即可計(jì)算．
本題考查解直角三角形的應(yīng)用-坡度，關(guān)鍵是掌握坡度的定義．
 15.【答案】 【解析】解：原式

故答案為：
把特殊角的三角函數(shù)值，代入原式即可計(jì)算
本題考查特殊角的三角函數(shù)值，關(guān)鍵是要熟記特殊角的三角函數(shù)值，
 16.【答案】 【解析】解：令正三角形的邊長(zhǎng)是“1”，
，，
，

故答案為：
由等邊三角形的性質(zhì)，求出BC長(zhǎng)，由勾股定理求出AB長(zhǎng)，由銳角的正弦定義即可計(jì)算．
本題考查等邊三角形的性質(zhì)，解直角三角形，勾股定理，關(guān)鍵是掌握三角函數(shù)定義．
 17.【答案】 【解析】解：矩形ABCD中，，
，
，

由題意得：，
令，則，
，
，
，
，
，
，

故答案為：
由銳角的正切求出AB的長(zhǎng)，由勾股定理求出AF的長(zhǎng)，由軸對(duì)稱的性質(zhì)，勾股定理列出關(guān)于DE的方程，求出ED長(zhǎng)，由勾股定理即可求出AE的長(zhǎng)．
本題考查矩形的性質(zhì)，勾股定理，折疊問(wèn)題，解直角三角形，熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．
 18.【答案】或或或 【解析】解：若是等腰三角形，與相似，
如圖1，

當(dāng)，時(shí)，
，
，
如圖2，

當(dāng)，時(shí)，
，
，
當(dāng)是等腰三角形，與相似時(shí)，
如圖3，

當(dāng)，時(shí)，
，
，
如圖4，

當(dāng)，時(shí)，
，
設(shè)，
，
，
，
，
綜上所述：或或或，
故答案為或或或
分為是等腰三角形，與相似及是等腰三角形，與相似；當(dāng)是等腰三角形時(shí)，又分為和兩種；當(dāng)是等腰三角形時(shí)，也分為和兩種進(jìn)行討論．
本題考查了等腰三角形的分類，相似三角形的判定等知識(shí)，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是畫出圖形，正確分類．
 19.【答案】解：，
，
令，，
，
，，
，
，
，
，
 【解析】令，，由的正弦得到，是等腰直角三角形，，得到，求出x的值，即可得到答案．
本題考查解直角三角形，關(guān)鍵是掌握三角函數(shù)定義．
 20.【答案】解：四邊形是平行四邊形，
，，，，
，
，
，
，
；
過(guò)F作，交DE于M，交CE于N，
向量分別在向量、方向上的分向量是向量和向量 【解析】由平面向量的三角形法則，即可計(jì)算；
由平面向量的平行四邊形法則，即可作圖．
本題考查平面向量，平行四邊形的性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握平行四邊形的性質(zhì)，平面向量的運(yùn)算法則．
 21.【答案】解：


，
，
，
圖象開(kāi)口向下，
則對(duì)稱軸，頂點(diǎn)坐標(biāo)為；
根據(jù)題意可得平移后的解析式為：，
頂點(diǎn)坐標(biāo)為，即，
當(dāng)時(shí)，即，解得：，，
新函數(shù)的圖像與x軸交于點(diǎn)A、點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè)，
，，
當(dāng)是，，
點(diǎn)C的坐標(biāo)為，
如圖所示

，
四邊形DACB的面積為 【解析】利用配方法把一般式配成頂點(diǎn)式，即可得出對(duì)稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)即可得出圖象開(kāi)口向下；
根據(jù)題意先求出平移后的拋物線的解析式，即可寫出頂點(diǎn)D的坐標(biāo)，求出當(dāng)時(shí)對(duì)應(yīng)的x值，即可寫出點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，求出當(dāng)時(shí)對(duì)應(yīng)的y值，即可求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，然后根據(jù)坐標(biāo)畫出圖象，即可求出四邊形的面積．
本題考查的是二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)，解題關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)頂點(diǎn)式的配法．
 22.【答案】解：作于E，于F，
，
，
，

點(diǎn)C到水平桌面的距離是；
作交FB延長(zhǎng)線于K，作于H，
，
，
，
，
，
，
，
此時(shí)支架不會(huì)傾倒． 【解析】作于E，于F，由銳角的正弦求出FC的長(zhǎng)，即可解決問(wèn)題；
作交FB延長(zhǎng)線于K，作于H，由銳角的余弦求出CH的長(zhǎng)，而，即可求出BK的長(zhǎng)，從而解決問(wèn)題．
本題考查解直角三角形的應(yīng)用，關(guān)鍵是通過(guò)輔助線構(gòu)造直角三角形．
 23.【答案】證明：是等邊三角形，
，，
，
：：CE，
∽，
，
，

連接AF，
，，
是等邊三角形，
，，
，
，
，
≌，
，
，
 【解析】由條件可以證明∽，得到，又，；
由證明條件可以≌，得到，因此，即可證明
本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．
 24.【答案】解：拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)、，
，
，
拋物線的表達(dá)式：；
①過(guò)C作于H，
，
，
，
，
，
，
令，則，，，
的坐標(biāo)是，
在拋物線上，
，
或舍，
的坐標(biāo)是；
②，
，
，，
，
，
，
，
，
在拋物線上，
設(shè)，
，
，
，
，
或舍，
當(dāng)時(shí)，，
的坐標(biāo)是 【解析】拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)、，把A，B坐標(biāo)代入拋物線解析式，求出a，b的值即可；
①過(guò)C作于H，由，得到EH：：4，令，表示出P的坐標(biāo)，代入函數(shù)關(guān)系式求出k的值即可；
②由條件得到，推出，由，得到，設(shè)出P的坐標(biāo)，得到，求出a的值即可得到答案．
本題考查二次函數(shù)的綜合知識(shí)，熟練掌握幾何知識(shí)，二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
 25.【答案】證明：四邊形ABCD是菱形，
，
，
，
，
，
，
，
∽；
①菱形是軸對(duì)稱圖形，
，
令，則，
當(dāng)時(shí)，，
，
；
當(dāng)時(shí)，，
，不符合題意；
當(dāng)時(shí)，，
，
，
當(dāng)為直角三角形時(shí)，或；
②連接AC交BD于O，交DE于H，
四邊形ABCD是菱形，
，
，
，
，
，，，
，
，
垂直平分FC，
，
∽，
：：AB，
，
設(shè)，菱形邊長(zhǎng)是a，
，
，或舍，
，
，

的值是 【解析】由菱形的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)即可證明；
①分情況討論，即可求出的度數(shù)；
②由條件可以證明DE垂直平分CF，得到，由∽，設(shè)，菱形邊長(zhǎng)是a，得到，求出x，即可解決問(wèn)題．
本題考查相似形綜合題，熟練掌握菱形的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
 

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