2023屆廣西南寧市第三中學(xué)高三一模測(cè)試數(shù)學(xué)（理）試題 一、單選題1．設(shè)集合，，則（    ）A． B．C． D．【答案】C【分析】化簡集合M，N，再由集合的交集運(yùn)算得解.【詳解】集合，又因?yàn)榧?/span>，由交集的定義可得，，故選：C．2．已知函數(shù)，那么（    ）A．7 B．6 C．5 D．4【答案】D【分析】根據(jù)分段函數(shù)的概念代入解析式計(jì)算即可.【詳解】因?yàn)?/span>，所以，所以，故選：D．3．已知直線是曲線的切線，則（    ）A． B．1 C． D．2【答案】B【分析】根據(jù)給定條件，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，再利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解作答.【詳解】函數(shù)，求導(dǎo)得，令直線與曲線相切的切點(diǎn)為，于是且，所以.故選：B4．在平面直角坐標(biāo)系中，角與的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，始邊與x軸非負(fù)半軸重合，它們的終邊關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且，則（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題意可得，，再利用誘導(dǎo)公式以及二倍角余弦公式求值，即可得答案.【詳解】由題意，角與的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，終邊構(gòu)成一條直線，所以，，所以，又，所以,故選：C5．已知a，b，c，d，e成等比數(shù)列，1和4是其中的兩項(xiàng)，則e的最小值為（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)，當(dāng)公比小于0，1,4為第2,4項(xiàng)時(shí)，e最小，再由等比數(shù)列通項(xiàng)公式計(jì)算即可得解.【詳解】由題意，要使e最小，則a，c，e都是負(fù)數(shù)，則b和d選擇1和4，設(shè)等比數(shù)列的公比為，當(dāng)時(shí)，，，所以當(dāng)時(shí)，，，所以，故選：B6．有下列四個(gè)命題，其中是假命題的是（    ）A．已知，其在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)落在第四象限B．“全等三角形的面積相等”的否命題C．在中，“”是“”的必要不充分條件D．命題“，”的否定是“，”【答案】B【分析】對(duì)于A項(xiàng)，利用復(fù)數(shù)的幾何意義來判定；對(duì)于B項(xiàng)，利用原命題與否命題的關(guān)系判定；對(duì)于C項(xiàng)，利用充分必要條件的定義來判定；對(duì)于D項(xiàng)，利用全稱命題的否定的定義來判定.【詳解】對(duì)于A：，所以對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，在第四象限，故A正確；對(duì)于B：“全等三角形的面積相等”的否命題是，不全等三角形的面積不相等，這顯然是假命題．對(duì)于C：在中，，由，可得，所以“”是“”的必要不充分條件．故C正確；對(duì)于D：命題“，”是全稱量詞命題，其否定是存在量詞命題，所以命題“，”的否定是：“，”．故D正確；故選：B7．如圖所示的是古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德的墓碑上刻著的一個(gè)圓柱，圓柱內(nèi)有一個(gè)內(nèi)切球，這個(gè)球的直徑恰好與圓柱的高相等.相傳這個(gè)圖形表達(dá)了阿基米德最引以為榮的發(fā)現(xiàn).設(shè)圓柱的體積與球的體積之比為，圓柱的表面積與球的表面積之比為，則的展開式中的常數(shù)項(xiàng)是（    ）A． B． C．15 D．20【答案】C【分析】設(shè)球的半徑為，分別表達(dá)出球，圓柱的體積和表面積，求出，利用二項(xiàng)式定理得到通項(xiàng)公式，求出常數(shù)項(xiàng).【詳解】設(shè)球的半徑為，則球的體積為，圓柱的底面積為，高為，故圓柱的體積為，故，球的表面積為，圓柱的表面積為，故，故，展開式中的通項(xiàng)公式為，令，解得，故常數(shù)項(xiàng)為.故選：C8．如圖，網(wǎng)格紙上用粗實(shí)線繪制了一個(gè)幾何體的三視圖，每一個(gè)小正方形的邊長為1，則該幾何體的體積為（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】由三視圖知，該幾何體是由一個(gè)棱長為4的正方體截去兩個(gè)相同三棱柱與兩個(gè)相同圓柱而得到的，用正方體體積減截去部分的體積得幾何體的體積.【詳解】由三視圖知，該幾何體是由一個(gè)棱長為4的正方體截去兩個(gè)相同三棱柱與兩個(gè)相同圓柱而得到的，其中三棱柱的底面是腰長為2的等腰直角三角形，圓柱的底面半徑為2，所以該幾何體的體積為.故選：B.9．某人決定就近打車前往目的地，前方開來三輛車，且車況分別為“好”“中”“差”．有以下兩種方案：方案一：決定不乘第一輛車，若第二輛車的車況好于第一輛車，就乘坐此車；否則直接乘坐第三輛車．方案二：直接乘坐第一輛車．若三輛車開過來的先后次序等可能，記方案一和方案二坐到車況為“好”的車的概率分別為，則（    ）A． B．C． D．【答案】A【分析】列表后可求相應(yīng)的概率.【詳解】記好、中、差分別為A，B，C，方案一包含的基本事件數(shù)為，方案二包含的基本事件數(shù)為，則123ABC √ACB √BAC√ BCA√ CAB√ CBA  于是．故選：A10．已知拋物線的焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)F作兩條互相垂直的直線，，且直線，分別與拋物線C交于A，B和D，E，則四邊形ADBE面積的最小值是（    ）A．32 B．64 C．128 D．256【答案】A【分析】設(shè)出直線，的方程，聯(lián)立拋物線，利用韋達(dá)定理和拋物線的定義求出弦長，再根據(jù)四邊形ADBE對(duì)角線垂直求出面積，利用均值不等式求最值即可.【詳解】由題意拋物線的焦點(diǎn)為，顯然，斜率存在且不為0，設(shè)直線方程為，設(shè)，，由，得，則，即，設(shè)直線的方程為，設(shè)，，則，即，∴，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立．故選：A．11．若，則（    ）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)已知等式的特點(diǎn)構(gòu)造新函數(shù)，然后利用新函數(shù)的單調(diào)性分別確定和的大小關(guān)系.【詳解】設(shè)，則為增函數(shù)，因?yàn)?/span>，所以，所以，所以，所以A正確，B錯(cuò)誤；，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，有，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，有，所以C、D錯(cuò)誤．故選：A．12．已知，分別為定義在R上的，的導(dǎo)函數(shù)，且，，若是偶函數(shù)，則下列結(jié)論一定正確的是（    ）A．函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱B．函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱C．3是的一個(gè)周期D．【答案】B【分析】根據(jù)求導(dǎo)法則，利用函數(shù)的對(duì)稱性、奇偶性、周期性，即可求出、、、的性質(zhì)，進(jìn)而判斷各選項(xiàng)的正誤.【詳解】因?yàn)?/span>，，所以，所以函數(shù)的對(duì)稱中心為點(diǎn)，又，所以函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，A不正確；是偶函數(shù)，所以，所以，即為奇函數(shù)，對(duì)稱中心為，函數(shù)的另一個(gè)對(duì)稱中心為點(diǎn)，所以的周期為2，C不一定正確；函數(shù)及的周期與相同，周期為2．的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，，所以，函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，則的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，B正確；因?yàn)?/span>，，故，D不正確．故選：B. 二、填空題13．已知向量，，若與方向相反，則______．【答案】【分析】根據(jù)向量共線的坐標(biāo)表示，列方程即可求得答案.【詳解】由，共線，則，得，即，又與方向相反，故，故答案為：14．設(shè)實(shí)數(shù)x、y滿足約束條件，在點(diǎn)處取得最大值，寫出滿足條件的一個(gè)m的值______．【答案】0（答案不唯一）【分析】作出不等式組表示的可行域，根據(jù)線性規(guī)劃的幾何意義可確定m的取值范圍，即可得答案.【詳解】作出不等式組所表示的可行域如下圖所示：聯(lián)立可得，即點(diǎn)，化直線方程為，當(dāng)，且，過有最大的縱截距，即在點(diǎn)取得最大值，則；當(dāng)，且，過有最大的縱截距，此時(shí)在點(diǎn)取得最大值，則，∴，故可取，故答案為：0（答案不唯一）15．設(shè)雙曲線的右焦點(diǎn)為，點(diǎn)A滿足，點(diǎn)P、Q在雙曲線上，且．若直線PQ，PF的斜率之積為，則雙曲線的離心率為______．【答案】/【詳解】如圖，取P，Q的中點(diǎn)為M，連接OM，PF，則由題意可得，，，所以，相似，所以，因?yàn)橹本€PQ，PF的斜率之積為，所以，設(shè)，，則,且，兩式相減可得,即，即，即，所以雙曲線的離心率為．故答案為：.16．唐代酒宴上的助興游戲“擊鼓傳花”，也稱傳彩球．游戲規(guī)則為：鼓響時(shí)，眾人開始依次傳花，至鼓停為止，此時(shí)花在誰手中，誰就上臺(tái)表演節(jié)目．甲、乙、丙三人玩擊鼓傳花，鼓響時(shí)，第1次由甲將花傳出，每次傳花時(shí)，傳花者都等可能地將花傳給另外兩人中的任何一人，經(jīng)過6次傳遞后，花又在甲手中的概率為______．【答案】【分析】設(shè)第n次傳球后球在甲手中的概率為，根據(jù)題意找出的遞推關(guān)系，寫出的通項(xiàng)公式，然后求即可.【詳解】設(shè)第n次傳球后球在甲手中的概率為，.則，得，.一次傳球后，花不在甲手上，故，所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，公比為的等比數(shù)列，所以.即，所以．故答案為： 三、解答題17．在中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知，且．(1)求的外接圓半徑R；(2)求內(nèi)切圓半徑r的取值范圍．【答案】(1)(2) 【分析】（1）由正弦邊角關(guān)系可得，應(yīng)用余弦定理即可求，進(jìn)而確定其大??；（2）由正弦定理有，，根據(jù)余弦定理有，結(jié)合（1）及，應(yīng)用三角恒等變換有，由三角形內(nèi)角性質(zhì)、正弦函數(shù)性質(zhì)求范圍即可.【詳解】（1）因?yàn)?/span>，由正弦邊角關(guān)系得，即，由余弦定理，得，又，所以，由，則.（2）由正弦定理得，所以，，由余弦定理，得，所以，利用等面積法可得，則，∵，∴，故，則，所以，故.18．如圖，在四棱錐中，平面平面，底面為菱形，為等邊三角形，且，，O為的中點(diǎn)．(1)若E為線段上動(dòng)點(diǎn)，證明：；(2)G為線段PD上一點(diǎn)，是否存在實(shí)數(shù)，當(dāng)使得二面角的余弦值是？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】(1)證明見解析(2)存在， 【分析】（1）根據(jù)線面垂直的判定定理證明平面，即可證明結(jié)論；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，求得相關(guān)點(diǎn)坐標(biāo)，表示出平面的法向量，根據(jù)空間角的向量求法可求解參數(shù)，即可得結(jié)論.【詳解】（1）連接OC，OP，∵為等邊三角形，，O為的中點(diǎn),∴，，，∵，而底面為菱形，則，∴，又∵，平面，平面POC，，∴平面，又∵平面，∴.（2）∵平面平面，平面平面，平面，∴平面，又∵平面，∴，又由（1）知平面，平面，故,故，分別以為x軸，y軸，z軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．則，，，，，，設(shè)，，由，即，得，則，，設(shè)平面的法向量，則，取，則，又平面，則取平面的法向量為，設(shè)與平面所成的角為，由題意知為銳角，則，解得，，（舍去）.即存在實(shí)數(shù)，當(dāng)使得二面角的余弦值是.19．春季氣溫逐漸攀升，甲流開始快速傳播，為了預(yù)防甲流感染，學(xué)校組織學(xué)生進(jìn)行病毒的篩查．采用分組檢測(cè)法可有效減少工作量，具體操作如下：將待檢學(xué)生隨機(jī)等分成若干組，先將每組的血樣混在一起化驗(yàn)，若結(jié)果呈陰性，則可斷定本組血樣合格，不必再做進(jìn)一步的檢測(cè)；若結(jié)果呈陽性，則本組中的每名學(xué)生再逐個(gè)進(jìn)行檢測(cè)．現(xiàn)有兩個(gè)分組方案：方案一：將30人分成5組，每組6人；方案二：將30人分成6組，每組5人．已知隨機(jī)抽一人血檢呈陽性的概率為0.5%，且每個(gè)人血檢是否呈陽性相互獨(dú)立．(1)已知甲流的患病率為0.45%，一個(gè)同學(xué)患病的條件下血檢呈陽性的概率為99.9%，若檢測(cè)中一同學(xué)血檢呈陽性，求其患甲流的概率；(2)請(qǐng)幫學(xué)校計(jì)算一下哪一個(gè)分組方案的檢測(cè)次數(shù)期望較少？（參考數(shù)據(jù)：，）【答案】(1)0.8991(2)方案一檢測(cè)次數(shù)更少． 【分析】（1）利用條件概率公式計(jì)算即可；（2）利用離散型隨機(jī)變量的分布列及期望公式分別計(jì)算兩組檢測(cè)的期望即可.【詳解】（1）設(shè)事件A：血檢呈陽性，事件B：患疾病，則由題意得，，，由條件概率公式可得，∴該同學(xué)確實(shí)患甲流的概率．（2）設(shè)方案一中每組的化驗(yàn)次數(shù)為X，則X的取值為1，7，，∴X的分布列為：X17P0.9700.030．故方案一的化驗(yàn)總次數(shù)的期望值為：次．設(shè)方案二中每組的化驗(yàn)次數(shù)為Y，則Y的取值為1，6，，，∴Y的分布列為：X16P0.9750.025∴．∴方案二的化驗(yàn)總次數(shù)的期望為次．∵，∴方案一檢測(cè)次數(shù)更少．20．已知F是橢圓的右焦點(diǎn)，動(dòng)直線l過點(diǎn)F交橢圓C于A，B兩點(diǎn)，已知的最大值為8，且在橢圓C上．(1)求橢圓C的方程；(2)當(dāng)A，B都異于點(diǎn)P時(shí)，D為直線l上一點(diǎn)．設(shè)直線PA，PD，PB的斜率分別為，，，若，，成等差數(shù)列，證明：點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為定值．【答案】(1)(2)證明見解析 【分析】（1）由條件先得，再代入點(diǎn)坐標(biāo)計(jì)算可得橢圓方程；（2）設(shè)直線AB的方程為，點(diǎn)D的坐標(biāo)為，，，與橢圓聯(lián)立結(jié)合兩點(diǎn)斜率公式可得：，計(jì)算的值即可.【詳解】（1）由的最大值為8，知，即將點(diǎn)代入，可得，，因?yàn)?/span>，則所以橢圓C的方程為；（2）由可知，，則橢圓C的右焦點(diǎn)坐標(biāo)為．由題意，顯然AB的斜率存在，設(shè)直線AB的方程為，點(diǎn)D的坐標(biāo)為設(shè)，，將直線AB的方程與橢圓C的方程聯(lián)立得：，恒成立，由韋達(dá)定理知，，又，，所以因?yàn)?/span>，則，所以，解得即點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為定值.21．已知．(1)求的單調(diào)區(qū)間；(2)當(dāng)時(shí)，為較小的零點(diǎn)，求證：．【答案】(1)減區(qū)間為，增區(qū)間為(2)證明見解析 【分析】（1）直接求導(dǎo)得，利用韋達(dá)定理和求根公式得，利用導(dǎo)函數(shù)正負(fù)和函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系即可得到答案；（2）根據(jù)的范圍判斷出，再利用零點(diǎn)存在定理得，使得，從而有，將原不等式轉(zhuǎn)化為證明于，再次設(shè)新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)證明即可.【詳解】（1）由令，當(dāng)時(shí)，當(dāng)設(shè)，是的兩根，，，則，，∴當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，∴的減區(qū)間為，增區(qū)間為（2）由，，則，，由（1）得在上單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，∵，則，，∴，使得，要證：下證：當(dāng)，有∵，，∴，原不等式等價(jià)于設(shè)，，∴在單調(diào)遞減，.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題第二問的關(guān)鍵是通過零點(diǎn)存在定理得到另一個(gè)零點(diǎn)，從而將代換為，然后將不等式轉(zhuǎn)化為證明成立，再設(shè)新函數(shù)利用導(dǎo)數(shù)即可證明.22．在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線的參數(shù)方程為（t為參數(shù)且），分別與x軸、y軸交于A、B兩點(diǎn)．以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為．(1)與坐標(biāo)軸交于A，B兩點(diǎn)，求；(2)求上的點(diǎn)到直線AB距離的最小值．【答案】(1)(2) 【分析】（1）令，求出，即可求得點(diǎn)的坐標(biāo)，令，求出，即可求得點(diǎn)的坐標(biāo)，即可得出；（2）根據(jù)，求得的普通方程為，設(shè)上點(diǎn)的坐標(biāo)為，根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)即可得解.【詳解】（1）令，則，解得，或（舍），則，即，令，則，解得，或（舍），則，即，∴；（2）曲線的極坐標(biāo)方程為，即，由，得的普通方程為，設(shè)上點(diǎn)的坐標(biāo)為，由（1）知直線AB的方程為，則上的點(diǎn)到直線AB的距離，當(dāng)時(shí)，d取最小值.23．已知．(1)求不等式的解集；(2)若不等式的解集為，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【答案】(1)(2) 【分析】（1）通過討論，去掉絕對(duì)值化簡函數(shù)解析式，分段解出不等式，即可得到結(jié)果；（2）由（1）可知，原問題轉(zhuǎn)化為，解不等式，即可求出結(jié)果.【詳解】（1），當(dāng)時(shí)，不等式可化為，解得，故；當(dāng)時(shí)，不等式可化為，得，此時(shí)無解；當(dāng)時(shí)，不等式可化為，解得，故綜上所述：原不等式的解集是（2）不等式的解集為，即，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以∴，解得，∴a的取值范圍是 

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