2023屆廣西壯族自治區(qū)南寧市第三中學(xué)高三模擬數(shù)學(xué)（理）試題（一）一、單選題1．設(shè)集合，，則（    ）．A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)對數(shù)函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求出集合，再利用并集的運算即可求解.【詳解】集合，又因為集合，由交集的定義可得，，故選：C.2． 是虛數(shù)單位，已知與互為共軛復(fù)數(shù)，則（    ）A．-1 B．1 C．-2 D．2【答案】D【分析】計算出的代數(shù)形式，然后根據(jù)共軛復(fù)數(shù)概念求解即可.【詳解】，與互為共軛復(fù)數(shù)，，.故選：D.3．已知向量， ，若，則等于（    ）A． B．C． D．【答案】B【分析】由，則，可求得，然后利用誘導(dǎo)公式求解即可.【詳解】因為，所以，即，則，所以.故選：B.4．如圖所示，一個水平放置的四邊形OABC的斜二測畫法的直觀圖是邊長為2的正方形，則原四邊形的面積是（    ）A． B． C．16 D．8【答案】B【分析】根據(jù)斜二測畫法規(guī)則求出，判斷的形狀，確定，由此求出原四邊形的面積.【詳解】在正方形中可得，由斜二測畫法可知，，且，，所以四邊形為平行四邊形，所以．故選：B.5．甲、乙、丙、丁、戊共5名同學(xué)參加勞動技術(shù)比賽，決出第一名到第五名的名次．甲和乙去詢問成績，回答者對甲說：“很遺憾，你和乙都沒有得到冠軍，”對乙說：“你不是最差的．”從這兩個回答分析，5人的名次排列可能有（    ）不同的排列A．36 B．54 C．60 D．72【答案】B【分析】利用特殊元素特殊位置優(yōu)先考慮，結(jié)合分步乘法計數(shù)原理即可求解.【詳解】分三步完成：冠軍有種可能，乙的名次有種可能，余下人有種可能，所以5人的名次排列有種不同情況.故選：B.6．已知實數(shù)，滿足，則的最小值為（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】由均值定理即可求得的最小值.【詳解】，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，所以的最小值為.故選：A.7．設(shè)x，y滿足約束條件則的取值范圍為（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】先作出可行域，把看作與連線的斜率，結(jié)合圖形可求答案.【詳解】畫出可行域如圖，表示可行域內(nèi)的點與連線的斜率，由圖知，直線的斜率最大，直線的斜率最?。?/span>由可得；由可得；所以的取值范圍為．故選：D.8．設(shè)函數(shù)，若，，，則（    ）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)條件判斷出函數(shù)的單調(diào)性，再判斷出，，的大小關(guān)系，進(jìn)而求得結(jié)論．【詳解】解函數(shù)，當(dāng)時，由和在定義域上單調(diào)遞減，所以在上單調(diào)遞減，當(dāng)時，單調(diào)遞減，又因為，函數(shù)在上單調(diào)遞減，，，，.故選：D．9．在銳角△中，角所對的邊分別為，若，則的取值范圍是（    ）A． B．C． D．【答案】A【分析】由正弦邊角關(guān)系、三角恒等變換及三角形內(nèi)角性質(zhì)可得，進(jìn)而有，再把化為并確定的范圍，應(yīng)用余弦函數(shù)性質(zhì)求范圍即可.【詳解】由，則，所以，則，所以或（舍），故，綜上，，且所以，，由銳角△，則，可得，則，所以，故.故選：A【點睛】關(guān)鍵點點睛：將條件由邊化角求角的關(guān)系，即，再把目標(biāo)式，由邊化角得求范圍.10．設(shè)，這兩個正態(tài)分布密度曲線如圖所示.下列結(jié)論中正確的是（    ）A．對任意正實數(shù)，B．對任意正實數(shù)，C．D．【答案】B【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合正態(tài)分布的對稱性即可求解.【詳解】依題意，由圖可得，對任意正實數(shù)，，因為，所以，故A錯誤，B正確；，故C錯誤；因為，所以，故D錯誤；故選：B.11．已知四棱錐的底面是矩形，高為，則四棱錐的外接球的體積為（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】作出輔助線，求出平面外接圓半徑，再利用勾股定理求出外接球的半徑，即可求出球的體積.【詳解】如圖，在矩形中，連接對角線，記，則點為矩形的外接圓圓心，取的中點，連接，記的外接圓圓心為，易知，且共線.因為，平面，所以平面，所以平面，平面，，，平面，所以平面，所以，所以，易得，所以由正弦定理得的外接圓半徑為，即.過作平面，且，連接，由平面，可知，則四邊形為矩形，所以，則平面.根據(jù)球的性質(zhì)，可得點為四棱錐的外接球的球心.因為，所以四棱錐的外接球的體積為.故選：B12．已知、是橢圓與雙曲線的公共頂點，是雙曲線上一點，，交橢圓于，.若過橢圓的焦點，且，則雙曲線的離心率為（    ）A．2 B． C． D．【答案】D【分析】設(shè)出點P，M的坐標(biāo)，借助雙曲線、橢圓的方程及斜率坐標(biāo)公式可得軸，再利用和角的正切公式求出a，b的關(guān)系作答.【詳解】如圖，設(shè)，點共線，點共線，所在直線的斜率分別為，點在雙曲線上，即，有，因此，點在橢圓上，即，有，直線的斜率，有，即，于是，即直線與關(guān)于軸對稱，又橢圓也關(guān)于軸對稱，且過焦點，則軸，令，由得，顯然，，，解得，所以雙曲線的離心率.故選：D【點睛】方法點睛：求解橢圓或雙曲線的離心率的三種方法：定義法：通過已知條件列出方程組，求得得值，根據(jù)離心率的定義求解離心率；齊次式法：由已知條件得出關(guān)于的二元齊次方程，然后轉(zhuǎn)化為關(guān)于的一元二次方程求解；特殊值法：通過取特殊值或特殊位置，求出離心率. 二、填空題13．的二項式展開中，系數(shù)最大的項為______．【答案】【分析】根據(jù)二項式展開式中系數(shù)的性質(zhì)即可求解.【詳解】由題意知：的二項式展開中，各項的系數(shù)和二項式系數(shù)相等，因為展開式的通項為，所以時，系數(shù)最大，該項為，故答案為：.14．已知斜率為的直線過拋物線的焦點，且與該拋物線交于兩點，若為該拋物線上一點，為圓上一點，則的最小值為__________.【答案】/【分析】利用直線的點斜式方程寫出直線的方程，聯(lián)立直線與拋物線方程，利用韋達(dá)定理及焦點弦公式，結(jié)合三點共線線段最小及兩點間的距離公式即可求解.【詳解】由題可知直線的方程為，設(shè)，則由,消去，整理得，，所以，所以，解得，所以，而圓的圓心,因為，當(dāng)且僅當(dāng)點在同一條直線上取等號，且點位于點之間，如圖所示：又，所以的最小值為.故答案為：.15．若過點有條直線與函數(shù)的圖象相切，則當(dāng)取最大值時，的取值范圍為__________.【答案】【分析】設(shè)過點的直線與的圖象的切點為，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線方程，再根據(jù)切線過點，可得，則方程解的個數(shù)即為切線的條數(shù)，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及極值，作出函數(shù)的大致圖象，結(jié)合圖象即可得解.【詳解】設(shè)過點的直線與的圖象的切點為，因為，所以切線的斜率為，所以切線的方程為，將代入得，即，設(shè)，則，由，得或，當(dāng)或時，，所以在上單調(diào)遞減；當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞增，所以，又0，所以恒成立，所以的圖象大致如圖所示，由圖可知，方程最多個解，即過點的切線最多有條，即的最大值為3，此時.故答案為：.【點睛】方法點睛：利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)零點問題的方法：（1）直接法：先對函數(shù)求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的方法求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值，根據(jù)函數(shù)的基本性質(zhì)作出圖象，然后將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象與軸的交點問題，突出導(dǎo)數(shù)的工具作用，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化與化歸思想、數(shù)形結(jié)合思想和分類討論思想的應(yīng)用；（2）構(gòu)造新函數(shù)法：將問題轉(zhuǎn)化為研究兩函數(shù)圖象的交點問題；（3）參變量分離法：由分離變量得出，將問題等價轉(zhuǎn)化為直線與函數(shù)的圖象的交點問題.16．已知函數(shù)有兩個零點，則實數(shù)a的取值范圍為_____________．【答案】【分析】令，問題化為與在上有兩個交點，且互為反函數(shù)，則它們有交點的臨界情況為與相切，設(shè)切點，利用導(dǎo)數(shù)幾何意義求切點坐標(biāo)，進(jìn)而確定臨界情況下值，即可得范圍.【詳解】由題設(shè)，令，則與在上有兩個交點，則、交點都在上，它們互為反函數(shù)，設(shè)、與相切，，，若切點為，所以，可得，此時，綜上，、之間，在時有兩個交點，在時有一個交點，在時無交點，所以.故答案為： 三、解答題17．已知數(shù)列的前項和為，且．(1)求的通項公式；(2)設(shè)，數(shù)列的前項和為，證明：．【答案】(1)(2)證明見解析 【分析】（1）利用數(shù)列的遞推關(guān)系式求出數(shù)列的通項公式. （2）利用錯位相減法求出數(shù)列的和，根據(jù)不等式的性質(zhì)可證明.【詳解】（1）當(dāng)時，，解得；當(dāng)時，，兩式相減得；所以是，的等比數(shù)列，故．（2）證明：因為，所以①，②①-②得所以．因為，所以．18．為了迎接4月23日“世界圖書日”，寧波市將組織中學(xué)生進(jìn)行一次文化知識有獎競賽，競賽獎勵規(guī)則如下，得分在內(nèi)的學(xué)生獲三等獎，得分在[80，90）內(nèi)的學(xué)生獲二等獎，得分在內(nèi)的學(xué)生獲一等獎，其他學(xué)生不得獎．為了解學(xué)生對相關(guān)知識的掌握情況，隨機抽取100名學(xué)生的競賽成績，并以此為樣本繪制了如下樣本頻率分布直方圖．(1)求a的值；若現(xiàn)從該樣本中隨機抽取兩名學(xué)生的競賽成績，求這兩名學(xué)生中恰有一名學(xué)生獲獎的概率；(2)若我市所有參賽學(xué)生的成績近似服從正態(tài)分布，其中為樣本平均數(shù)的估計值，利用所得正態(tài)分布模型解決以下問題：①若我市共有10000名學(xué)生參加了競賽，試估計參賽學(xué)生中成績超過79分的學(xué)生數(shù)（結(jié)果四舍五入到整數(shù)）；②若從所有參賽學(xué)生中（參賽學(xué)生數(shù)大于10000）隨機抽取3名學(xué)生進(jìn)行訪談，設(shè)其中競賽成績在64分以上的學(xué)生數(shù)為，求隨機變量的分布列?均值．附參考數(shù)據(jù)：若隨機變量服從正態(tài)分布，則，．【答案】(1)；(2)① ；②分布列見解析；期望為 【分析】（1）由頻率分布直方圖的性質(zhì)求，根據(jù)樣本頻率分布直方圖確定獲獎人數(shù)，再求得從該樣本中隨機抽取的兩名學(xué)生的競賽成績基本事件總數(shù)，與“抽取的兩名學(xué)生中恰有一名學(xué)生獲獎”情況數(shù)，利用古典概型計算概率即可；（2）由樣本頻率分布直方圖得，求解樣本平均數(shù)的估計值，即可得正態(tài)分布的均值，按照正態(tài)分布的性質(zhì)求解參賽學(xué)生中成績超過79分的學(xué)生數(shù)；由樣本估計總體可知隨機變量服從二項分布，根據(jù)二項分布確定概率分布列與數(shù)學(xué)期望即可.【詳解】（1）由頻率分布直方圖性質(zhì)可得：所以，，由樣本頻率分布直方圖得，樣本中獲一等獎的有人，獲二等獎的有人，獲三等獎的有人，共有30人獲獎，70人沒有獲獎，從該樣本中隨機抽取兩名學(xué)生的競賽成績，基本事件總數(shù)為，設(shè)“抽取的兩名學(xué)生中恰有一名學(xué)生獲獎”為事件，則事件包含的基本事件的個數(shù)為，因為每個基本事件出現(xiàn)的可能性都相等，所以，即抽取的兩名學(xué)生中恰有一名學(xué)生獲獎的概率為（2）由樣本頻率分布直方圖得樣本平均數(shù)的估計值，則所有參賽學(xué)生的成績近似服從正態(tài)分布，①因為，，所以，故參賽學(xué)生中成績超過79分的學(xué)生數(shù)約為．②由，得，即從所有參賽學(xué)生中隨機抽取1名學(xué)生，該生競賽成績在64分以上的概率為，所以隨機變量服從二項分布，所以，，，，所以隨機變量的分布列為：0123.19．如圖，在三棱錐中，分別為的中點，為正三角形，平面平面．(1)求點到平面的距離；(2)在線段上是否存在異于端點的點，使得平面和平面夾角的余弦值為若存在，確定點的位置；若不存在，說明理由．【答案】(1)；(2)存在點，為中點. 【分析】（1）連接，即可得到，由面面垂直的性質(zhì)得到平面，即可得到，，再由得到，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法計算可得；（2），且，求出平面的法向量，利用空間向量法得到方程，解得的值，即可得解.【詳解】（1）連接，∵為正三角形，又為中點，∴，∵平面平面，平面平面，平面，∴平面，又平面，∴，因為分別為的中點，所以，∴，∴如圖，以為原點，分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，∵，則，設(shè)平面的法向量為，∵，則，令，則又，則點到平面的距離為；（2）由（1）可知是平面的一個法向量，由題可設(shè)，且，則，∴，設(shè)平面的法向量為，由于，則，令，則，∴，整理得，解得或（舍），故存在點，使得平面和平面夾角的余弦值為，此時為中點.20．設(shè)函數(shù).(1)求在區(qū)間上的極值點個數(shù)；(2)若為的極值點，則，求整數(shù)的最大值.【答案】(1)1(2)1 【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，令求出，分，兩種情況討論，分別說明函數(shù)的單調(diào)性，即求出函數(shù)的極值點數(shù)；（2）依題意可得，則，令，則轉(zhuǎn)化為，令，即為在上恒成立，利用導(dǎo)數(shù)說明函數(shù)的單調(diào)性，即可得解.【詳解】（1）因為，所以，令，則， ①當(dāng)時，，單調(diào)遞增，無極值點； ②當(dāng)時，，單調(diào)遞減，，.故存在唯一，使得.當(dāng)時，；當(dāng)時，，故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，有極大值點； 綜上在區(qū)間上有1個極值點.（2）若為的極值點，則，， 所以，令 ，，即，記)，即；①當(dāng)時，故g(t)在上單調(diào)遞增，，符合題意； ②當(dāng)時，若，則，故在上單調(diào)遞減.由（1）知在區(qū)間上存在極值點，記為，則，故，不符題意； 綜上，整數(shù)的最大值為1.【點睛】方法點睛，導(dǎo)函數(shù)中常用的兩種常用的轉(zhuǎn)化方法：一是利用導(dǎo)數(shù)研究含參函數(shù)的單調(diào)性，?；癁椴坏仁胶愠闪栴}．注意分類討論與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用；二是函數(shù)的零點、不等式證明常轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性、極(最)值問題處理．21．已知雙曲線的離心率為，左?右焦點分別為，點坐標(biāo)為，且.(1)求雙曲線的方程；(2)過點的動直線與的左?右兩支分別交于兩點，若點在線段上，滿足，證明：在定直線上.【答案】(1)(2)證明見解析 【分析】（1）根據(jù)離心率設(shè)，代入得到，得到答案.（2）設(shè)，聯(lián)立方程得到根與系數(shù)的關(guān)系，根據(jù)得到，代入數(shù)據(jù)整理得到，得到答案.【詳解】（1）設(shè)，因為雙曲線的離心率為，設(shè)，所以，所以，解得或（舍），所以雙曲線的方程為，（2）設(shè)，當(dāng)直線斜率不存在時不成立，設(shè)，即，由，可得，由于點在雙曲線內(nèi)部，易得，所以.設(shè)，根據(jù)題意，，又，可得，整理得：，即，化簡得又，消去，得，所以點在定直線上.【點睛】關(guān)鍵點睛：本題考查了求雙曲線方程，定直線問題，意在考查學(xué)生的計算能力，轉(zhuǎn)化能力和綜合應(yīng)用能力，其中根據(jù)設(shè)而不求的思想，利用韋達(dá)定理得到根與系數(shù)的關(guān)系可以簡化運算，是解題的關(guān)鍵.22．在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以坐標(biāo)原點為極點，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線的極坐標(biāo)方程為.(1)求曲線的普通方程與直線的直角坐標(biāo)方程；(2)設(shè)、分別為曲線和直線上的任意一點，求的最小值.【答案】(1)曲線的普通方程為或，直線的直角坐標(biāo)方程為(2) 【分析】（1）在曲線的參數(shù)方程中消去參數(shù)，可得出曲線的普通方程，利用極坐標(biāo)方程與普通方程之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系可得出直線的普通方程；（2）設(shè)是曲線上任一點，利用點到直線的距離公式結(jié)合二次函數(shù)的基本性質(zhì)可求得的最小值.【詳解】（1）解：由，消去，得或.由，得，將，代入，得.故曲線的普通方程為或，直線的直角坐標(biāo)方程為.（2）解：設(shè)是曲線上任一點，則點到直線的距離為，所以當(dāng)，即時，點到直線的距離最小，即取得最小值為.23．已知函數(shù)．(1)求不等式的解集；(2)若的最大值為，正數(shù)，滿足，求的最小值．【答案】(1)(2)3 【分析】（1）將函數(shù)寫成分段函數(shù)，再分類討論，分別計算即可；（2）利用絕對值三角不等式求出的最大值，再利用乘“1”法及基本不等式計算即可.【詳解】（1），不等式等價于或或，解得或或，故不等式的解集為．（2）因為，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，故，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，故的最小值為. 

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