2023屆天津市耀華中學(xué)高三一模數(shù)學(xué)試題 一、單選題1．設(shè)全集，集合，，則（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用補集和交集的定義即可求解.【詳解】因為，，所以，所以．故選：C.2．設(shè)，則“”是“”的（   ）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【分析】根據(jù)對數(shù)函數(shù)定義域可知充分性不成立；由對數(shù)函數(shù)單調(diào)性可確定必要性成立.【詳解】當(dāng)時，若，則無意義，充分性不成立；當(dāng)時，，成立，必要性成立；綜上所述：，則“”是“”的必要不充分條件.故選：B.3．函數(shù)y=sin2x的圖象可能是A． B．C． D．【答案】D【詳解】分析:先研究函數(shù)的奇偶性，再研究函數(shù)在上的符號，即可判斷選擇.詳解：令， 因為，所以為奇函數(shù)，排除選項A,B;因為時，，所以排除選項C，選D.點睛：有關(guān)函數(shù)圖象的識別問題的常見題型及解題思路：（1）由函數(shù)的定義域，判斷圖象的左、右位置，由函數(shù)的值域，判斷圖象的上、下位置；（2）由函數(shù)的單調(diào)性，判斷圖象的變化趨勢；（3）由函數(shù)的奇偶性，判斷圖象的對稱性；（4）由函數(shù)的周期性，判斷圖象的循環(huán)往復(fù)．4．已知且，則a的值為（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】令，利用指對數(shù)互化，換底公式及對數(shù)的運算法則可得，即得.【詳解】令，則，，又，∴，即，∴.故選：C.5．已知，記，則的大小關(guān)系是（    ）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)，利用指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求解.【詳解】解：因為，所以，所以，故選：A6．在中國古代數(shù)學(xué)經(jīng)典著作《九章算術(shù)》中，稱圖中的多面體ABCDEF為“芻甍”，書中描述了芻甍的體積計算方法：求積術(shù)曰，倍下袤，上袤從之，以廣乘之，又以高乘之，六而一，即，其中h是芻甍的高，即點F到平面ABCD的距離.若底面ABCD是邊長為4的正方形，且平面ABCD，和是等腰三角形，，則該芻甍的體積為（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)給定的幾何體，取中點，證明平面平面，求出點到平面的距離，再求出芻甍的體積作答.【詳解】取中點，連接，如圖，由正方形知，，，而為等腰三角形，且，即有平面，則平面，同理平面，而，于是平面，則點在平面內(nèi)，而平面，于是平面平面，在平面內(nèi)過作于，而平面平面，因此平面， 因為，是等腰三角形，則，因為平面，平面平面，平面，則，四邊形為等腰梯形，，因此，所以該芻甍的體積為.故選：B7．已知雙曲線，拋物線的焦點為，拋物線的準(zhǔn)線與雙曲線的兩條漸近線分別交于點，若為正三角形，則雙曲線的漸近線方程為（    ）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)雙曲線方程，把漸近線表示出來，推出兩點坐標(biāo)，利用為正三角形，列方程解系數(shù)既可.【詳解】雙曲線的兩條漸近線方程為，拋物線的焦點為，準(zhǔn)線方程為，不妨取，，為正三角形，由對稱性可知，直線的傾斜角為，則，解得，所以雙曲線的兩條漸近線方程為.故選：C8．已知函數(shù)的最小正周期為，其圖象關(guān)于直線對稱．給出下面四個結(jié)論：①將的圖象向右平移個單位長度后得到函數(shù)圖象關(guān)于原點對稱；②點為圖象的一個對稱中心；③；④在區(qū)間上單調(diào)遞增．其中正確的結(jié)論為（    ）A．①② B．②③ C．②④ D．①④【答案】C【解析】根據(jù)題設(shè)條件，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)，求得函數(shù)的解析式，再結(jié)合三角函數(shù)的圖象變換和三角函數(shù)的性質(zhì)，逐項判定，即可求解.【詳解】因為函數(shù)的最小正周期為，其圖象關(guān)于直線對稱，所以 ，解得，因為，所以，因此，①將的圖象向右平移個單位長度后函數(shù)解析式為，由，得，所以其對稱中心為：，故①錯；②由，解得，即函數(shù)的對稱中心為；令，則，故②正確；③由，故③錯；④由，得，即函數(shù)的增區(qū)間為，因此在區(qū)間上單調(diào)遞增，故④正確.故選：C.【點睛】本題主要考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用，其中解答中熟記三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，準(zhǔn)確運算是解答的關(guān)鍵，著重考查推理與運算能力.9．如圖，在中，，，P為CD上一點，且滿足，若，則的最小值為（    ）A．2 B．3 C． D．【答案】A【分析】設(shè)，可得出，可得出關(guān)于、的方程組，即可解得實數(shù)的值；利用數(shù)量積得出，利用平面向量數(shù)量積的運算性質(zhì)結(jié)合基本不等式可求得的最小值.【詳解】設(shè)，則，所以，，解得.，，，當(dāng)且僅當(dāng)時，即當(dāng)時，等號成立.所以，的最小值為.故選：A. 二、填空題10．若，則__________.【答案】【分析】先求出，再利用復(fù)數(shù)的模長公式求解即可.【詳解】，故答案為：11．在的展開式中，的系數(shù)為，則______．【答案】/【分析】根據(jù)二項式展開式的通項公式求得正確答案.【詳解】的展開式中，含的項為，所以.故答案為：12．圓與圓的公共弦的長為_________．【答案】【分析】將兩圓方程作差可得出相交弦所在直線的方程，求出圓的圓心到相交弦所在直線的距離，利用勾股定理可求得相交弦長.【詳解】將圓與圓的方程作差可得，所以，兩圓相交弦所在直線的方程為，圓的圓心為原點，半徑為，原點到直線的距離為，所以，兩圓的公共弦長為.故答案為：.13．已知，則的最小值是______．【答案】【分析】變形條件等式得，然后展開，利用基本不等式求最小值.【詳解】，，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，的最小值是.故答案為：.14．高三年級某8位同學(xué)的體重分別為90，100，110，120，140，150，150，160（單位：），現(xiàn)在從中任選3位同學(xué)去參加拔河，則選中的同學(xué)中最大的體重恰好為這組數(shù)據(jù)的第70百分位數(shù)的概率是__________．【答案】【分析】利用第百分位數(shù)的定義及求法得到第70百分位數(shù)，根據(jù)古典概型的概率計算公式，組合數(shù)公式計算可得概率.【詳解】因為， 第70百分位數(shù)是第六個數(shù)，即150 ， 事件“選中的同學(xué)中最大體重恰好為這組數(shù)據(jù)的第70百分位數(shù)”的概率故答案為: .15．函數(shù)，其中表示x，y，z中的最小者.若函數(shù)有12個零點，則b的取值范圍是______.【答案】【分析】將問題轉(zhuǎn)化為有個不等實根，設(shè)，可知方程有兩個不等實根，結(jié)合函數(shù)圖象可確定的范圍，結(jié)合二次函數(shù)零點的分布可構(gòu)造不等式組求得結(jié)果.【詳解】題意轉(zhuǎn)化為有個不等實根，作出圖象如下圖所示，設(shè)，則有兩個不等實根，；記的兩根為，；所以，解得：；綜上所述：實數(shù)的取值范圍為.故答案為：. 三、解答題16．已知，.(1)求的大??；(2)設(shè)函數(shù)，，求的單調(diào)區(qū)間及值域.【答案】(1)(2)答案見詳解 【分析】（1）根據(jù)切化弦公式與二倍角公式化簡進(jìn)行求值；（2）根據(jù)正弦型函數(shù)的單調(diào)區(qū)間公式求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，由，求整體角的取值范圍得到的值域.【詳解】（1）由得，則，因為，所以，所以，解得，即，又，所以，則.（2）函數(shù)，，令，解得，所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增；令，解得，所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減；因為，，當(dāng)時，即，取最大值1；當(dāng)時，即，取最小值.所以值域為.17．如圖，三棱柱中，，，.(1)證明；(2)若平面平面，，求直線與平面所成角的正弦值；(3)在（2）的條件下，求平面與平面夾角的余弦值.【答案】(1)證明見解析；(2)；(3). 【分析】（1）取中點，根據(jù)給定條件，利用線面垂直的判定、性質(zhì)推理作答.（2）由已知證得平面，再以O為原點建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求出線面角的正弦作答.（3）利用（2）的條件，借助空間向量求出兩個平面夾角的余弦作答.【詳解】（1）在三棱柱中，取中點，連接，因為，則，而，即為正三角形，則有，又平面，于是平面，而平面，所以.（2）由（1）知，，又平面平面，且交線為，則平面內(nèi)直線平面，則兩兩垂直，以為坐標(biāo)原點，射線的方向分別為軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，令，則,，則，設(shè)為平面的一個法向量，則，令，得，直線與平面所成的角為，則，所以直線與平面所成角的正弦值為.（3）由（2）知，平面的法向量，，令為平面的一個法向量，則，令，得，所以平面與平面夾角的余弦值為.18．在平面直角坐標(biāo)系中，已知，分別是橢圓C：的左焦點和右焦點.(1)設(shè)T是橢圓C上的任意一點，求取值范圍；(2)設(shè)，直線l與橢圓C交于B，D兩點，若是以A為直角頂點的等腰直角三角形，求直線l的方程.【答案】(1)；(2)或. 【分析】（1）求出焦點坐標(biāo)，設(shè)點，利用數(shù)量積的運算律得到關(guān)于的函數(shù)，再確定其范圍作答.（2）當(dāng)垂直于y軸時，求出的方程；當(dāng)不垂直于y軸時，設(shè)出的方程并與橢圓方程聯(lián)立，結(jié)合韋達(dá)定理和等腰直角三角形的性質(zhì)確定直線的斜率即可求得直線方程.【詳解】（1）在橢圓：中，，，設(shè)，則有，即，，于是，顯然，所以的取值范圍是.（2）顯然直線不垂直于x軸，當(dāng)直線垂直于y軸時，由對稱性知，點關(guān)于y軸對稱，不妨令點在y軸右側(cè)，因為是以A為直角頂點的等腰直角三角形，則直線方程為：，由消去y得：，于是得，點，直線的方程為，當(dāng)直線與坐標(biāo)軸不垂直時，設(shè)直線的方程為，設(shè)，由消去y得：，則，即，，，因為是以為直角頂點的等腰直角三角形，則，有，而，于是，即，整理得，從而，化為，解得，又線段BD的中垂線過點及點A，因此，即，解得，而當(dāng)時，成立，即，因此直線的方程為，所以滿足條件的直線的方程為或.【點睛】思路點睛：解答直線與橢圓的題目時，時常把兩個曲線的方程聯(lián)立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根與系數(shù)的關(guān)系，并結(jié)合題設(shè)條件建立有關(guān)參變量的等量關(guān)系．涉及到直線方程的設(shè)法時，務(wù)必考慮全面，不要忽略直線斜率為0或不存在等特殊情形．19．設(shè)數(shù)列的前n項和為，.(1)求的通項公式；(2)求；(3)若，抽去數(shù)列中的第1項，第4項，第7項，……，第項，……余下的項順序不變，組成一個新數(shù)列，若的前n項和為，求證：當(dāng)n為奇數(shù)時，.【答案】(1)(2)(3)證明見解析 【分析】(1)利用已知得出，兩式相減即可得出，再檢驗時是否成立，即可得出答案.(2)化簡，然后利用裂項相消法求和即可.(3)根據(jù)題意判斷出數(shù)列奇數(shù)項和偶數(shù)項各自成等比數(shù)列，按照n為奇數(shù)，表示出，即可得出結(jié)論.【詳解】（1）由，得，，兩式相減得，當(dāng)時，代入上式，求得，所以.（2）由(1)知，，則，則.（3）由題知，，所以數(shù)列為，它的奇數(shù)項組成以4為首項，公比為8的等比數(shù)列；偶數(shù)項組成以8為首項，公比為8的等比數(shù)列；當(dāng)為奇數(shù)，即時，，，，，.20．設(shè)，，.(1)求函數(shù)，的單調(diào)區(qū)間和極值；(2)若關(guān)于x不等式在區(qū)間上恒成立，求實數(shù)a的值；(3)若存在直線，其與曲線和共有3個不同交點，，（），求證：成等比數(shù)列.【答案】(1)增區(qū)間為，減區(qū)間為，，極小值，極大值；(2)；(3)證明見解析. 【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解不等式得函數(shù)的遞增區(qū)間，解不等式得函數(shù)的遞減區(qū)間，再求出極值作答.（2）令，問題轉(zhuǎn)化為在區(qū)間上恒成立，證明當(dāng)時，函數(shù)單調(diào)遞增，再判斷時，不滿足要求，由此確定的范圍.（3）利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)，的單調(diào)性，作出函數(shù)的圖象，證明曲線與有唯一交點，結(jié)合圖象證明，再證明，，，由此完成證明.【詳解】（1）依題意，，求導(dǎo)得，由，得，解得，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增；由，得，解得，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減；由，得，解得，而，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在，上單調(diào)遞減，所以函數(shù)在上的遞增區(qū)間為；遞減區(qū)間為：，，當(dāng)時，函數(shù)取極小值，極小值為，當(dāng)時，函數(shù)取極大值，極大值為.（2）關(guān)于的不等式在區(qū)間上恒成立，即：在區(qū)間上恒成立，令，求導(dǎo)得，令，求導(dǎo)得，由（1）知：在上的極大值為，又，從而在上的最大值為1，即在上恒成立，于是在上恒成立，則在上單調(diào)遞增，從而，當(dāng)時，，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，因此在上單調(diào)遞增，從而在上恒成立，則當(dāng)時，在上恒成立；當(dāng)時，令，則，即函數(shù)在上遞增，，即當(dāng)時，，于是，又，則存在，使得，當(dāng)時，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，又，即當(dāng)時，，與已知矛盾，所以.（3）對于函數(shù)，令，則，從而當(dāng)時，，函數(shù)在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，則當(dāng)時，取最大值，最大值為，對于函數(shù)，令，則，從而當(dāng)時，，函數(shù)在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，故當(dāng)時，取最大值，最大值為，因此，函數(shù)與有相同的最大值，其圖象如下圖所示，下面先證明：曲線與有唯一交點，由，得，即證明方程有唯一實數(shù)根，因為當(dāng)時，，，則曲線與在區(qū)間上沒有交點，即方程在上沒有實根，令，求導(dǎo)得，令，求導(dǎo)得，令，求導(dǎo)得，顯然在上遞減，，函數(shù)在上遞減，，函數(shù)在上遞減，，于是當(dāng)時，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，由，，從而函數(shù)在上存在唯一零點，則方程在上有唯一實數(shù)根，且，由于直線與曲線，共有3個不同交點，則直線必過點，且，，，由，得，即，而函數(shù)在上遞增，，，則①，由，得，即，而函數(shù)在上遞減，，，則②，由①②得：③，由，得，于是有④，所以由③④得，即成等比數(shù)列.【點睛】關(guān)鍵點睛：導(dǎo)函數(shù)中常用的兩種常用的轉(zhuǎn)化方法：一是利用導(dǎo)數(shù)研究含參函數(shù)的單調(diào)性，?；癁椴坏仁胶愠闪栴}．注意分類討論與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用；二是函數(shù)的零點、不等式證明常轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性、極(最)值問題處理． 

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