2023屆青海省西寧市高三一模數(shù)學(xué)（理）試題 一、單選題1．已知集合，，且，則（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】解出集合，利用交集含義即可得到答案.【詳解】由題意得，又因?yàn)?/span>，，且.所以.故選：B.2．設(shè)，則“”是“”的（    ）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【分析】先解絕對(duì)值不等式和一元二次不等式，再根據(jù)充分、必要條件的知識(shí)求得正確答案.【詳解】；，解得，所以“”是“”的充分而不必要條件.故選：A3．1977年是高斯誕辰200周年，為紀(jì)念這位偉大的數(shù)學(xué)家對(duì)復(fù)數(shù)發(fā)展所做出的杰出貢獻(xiàn)，德國特別發(fā)行了一枚郵票，如圖，這枚郵票上印有4個(gè)復(fù)數(shù)，設(shè)其中的兩個(gè)復(fù)數(shù)的積，則（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算可求得的值，即可得答案.【詳解】由，故，則，故選：D4．香農(nóng)-威納指數(shù)（）是生態(tài)學(xué)中衡量群落中生物多樣性的一個(gè)指數(shù)，其計(jì)算公式是，其中是該群落中生物的種數(shù)，為第個(gè)物種在群落中的比例，下表為某個(gè)只有甲?乙?丙三個(gè)種群的群落中各種群個(gè)體數(shù)量統(tǒng)計(jì)表，根據(jù)表中數(shù)據(jù)，該群落的香農(nóng)-威納指數(shù)值為（    ）物種甲乙丙合計(jì)個(gè)體數(shù)量 A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)已知公式和對(duì)數(shù)運(yùn)算直接計(jì)算求解即可.【詳解】由題意知：.故選：A.5．如圖，在矩形中，是的中點(diǎn)，若，則（    ）A． B．1 C． D．2【答案】C【分析】由向量的平行四邊形法則以及三角形法則得出，進(jìn)而得出.【詳解】，∴，，∴，故選：C．6．2022年卡塔爾世界杯足球賽落幕，這是歷史上首次在卡塔爾和中東國家境內(nèi)舉行、也是第二次在亞洲舉行的世界杯足球賽．有甲，乙，丙，丁四個(gè)人相互之間進(jìn)行傳球，從甲開始傳球，甲等可能地把球傳給乙，丙，丁中的任何一個(gè)人，以此類推，則經(jīng)過三次傳球后乙只接到一次球的概率為（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】將所有傳球的結(jié)果列出，再利用古典概型求結(jié)果.【詳解】傳球的結(jié)果可以分為：分別傳給3人時(shí)：乙丙丁，乙丁丙，丙乙丁，丙丁乙，丁乙丙，丁丙乙，共6種；若傳給2人時(shí)：乙丙乙，丙乙丙，乙丁乙，丁乙丁，丁丙丁，丙丁丙，共6種；再傳給甲的：乙甲乙，丙甲丙，丁甲丁，乙丙甲，乙甲丙，乙丁甲，乙甲丁，丙乙甲，丙甲乙，丁乙甲，丁甲乙，丙丁甲，丙甲丁，丁甲丙，丁丙甲，共15種；共27種，只傳乙一次的有16種，所以所求概率為故選：D.7．在空間中，給出下面四個(gè)命題，則其中正確命題的個(gè)數(shù)為（    ）①過平面外的兩點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面與平面垂直；②若平面內(nèi)有不共線三點(diǎn)到平面的距離都相等，則；③若直線與平面內(nèi)的無數(shù)條直線垂直，則；④兩條異面直線在同一平面內(nèi)的射影一定是兩條相交直線．A．0 B．1 C．2 D．3【答案】A【分析】利用空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系直接判斷．【詳解】解：對(duì)于①，當(dāng)過平面外的兩點(diǎn)在垂直于平面的直線上時(shí)，命題①不成立；對(duì)于②，當(dāng)不共線三點(diǎn)在平面，的兩側(cè)時(shí)，命題②不成立；對(duì)于③，當(dāng)直線與平面內(nèi)的無數(shù)條平行線垂直時(shí)，命題③不成立；對(duì)于④，當(dāng)兩條異面直線中有一條垂直于這個(gè)平面時(shí)，它們?cè)谶@平面內(nèi)的射影就不再是兩條直線，而是一條直線和一個(gè)點(diǎn)．故命題④不成立．所以正確命題的個(gè)數(shù)為0個(gè).故選：A．8．直角三角形的三邊滿足，分別以，，三邊為軸將三角形旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積記為、、，則（    ）A． B． C． D．【答案】A【解析】求出，，，推導(dǎo)出，從而得到．【詳解】直角三角形的三邊滿足，分別以、、三邊為軸將三角形旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積記為、、，，，該直角三角形斜邊上的高滿足，可得，，，，，，故選：A.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查旋轉(zhuǎn)體體積的大小比較，解題的關(guān)鍵就是確定旋轉(zhuǎn)體的形狀，并據(jù)此求出對(duì)應(yīng)的旋轉(zhuǎn)體的體積，結(jié)合作差法比較即可.9．古希臘數(shù)學(xué)家特埃特圖斯（Theaetetus，大約公元前417年一公元前369年）通過下圖來構(gòu)造無理數(shù)，記，則（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用銳角三角函數(shù)求出，再利用兩角和的余弦公式和二倍角公式計(jì)算可得.【詳解】由圖可知，，，，，，.故選：A.10．已知函數(shù)在區(qū)間上的極值點(diǎn)有且僅有2個(gè)，則的取值范圍是（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)以及整體代換的技巧進(jìn)行處理.【詳解】因?yàn)?/span>，所以當(dāng)時(shí)，有，因?yàn)?/span>在區(qū)間上的極值點(diǎn)有且僅有2個(gè)，結(jié)合函數(shù)圖象得，解得，所以的取值范圍為，故A，B，D錯(cuò)誤；故選：C.11．已知，分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，直線l經(jīng)過且與C左支交于P，Q兩點(diǎn)，P在以為直徑的圓上，，則C的離心率是（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)P在以為直徑的圓上，得到，設(shè)，，得到，由雙曲線定義得到，求出，由勾股定理求出，從而求出離心率.【詳解】不妨設(shè)，，因?yàn)?/span>P在以為直徑的圓上，所以，即，則．因?yàn)?/span>Q在C的左支上，所以，即，解得，則．因?yàn)?/span>，所以，即，故，故．故選：A12．已知定義在上的函數(shù)滿足，函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，且，則（    ）A． B．0 C．1 D．2【答案】C【分析】利用函數(shù)的周期性及函數(shù)的對(duì)稱性進(jìn)行計(jì)算求解.【詳解】由，得  ①又函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，所以函數(shù)的圖象關(guān)于軸對(duì)稱，即  ②聯(lián)立①②兩式，可得，所以，所以函數(shù)的一個(gè)周期為8，又，所以，故A，B，D錯(cuò)誤.故選：C. 二、填空題13．某市有30000人參加階段性學(xué)業(yè)水平檢測(cè)，檢測(cè)結(jié)束后的數(shù)學(xué)成績X服從正態(tài)分布，若，則成績?cè)?/span>140分以上的大約為______人．【答案】150【分析】根據(jù)考試的成績X服從正態(tài)分布．得到考試的成績X的正太密度曲線關(guān)于對(duì)稱，根據(jù)，得到，根據(jù)頻率乘以樣本容量得到這個(gè)分?jǐn)?shù)段上的人數(shù)．【詳解】由題意，考試的成績X服從正態(tài)分布．考試的成績X的正太密度曲線關(guān)于對(duì)稱，，，，該市成績?cè)?/span>140分以上的人數(shù)為．故答案為：150.14．曲線的切線中，斜率最小的切線方程為______．【答案】【分析】先計(jì)算，再由基本不等式求出的最小值以及此時(shí)的值，即可得切點(diǎn)和斜率，進(jìn)而可得所求的切線方程.【詳解】的定義域?yàn)?/span>，由可得：，因?yàn)?/span>，所以，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號(hào)成立，取得最小值，即切線方程斜率最小為，因?yàn)?/span>，所以切點(diǎn)為，所以切線方程為，即，故答案為：.15．在銳角中，角所對(duì)的邊分別為，若，則的取值范圍為______．【答案】【分析】根據(jù)正弦定理得到關(guān)于的等式，根據(jù)銳角，求得角的范圍，進(jìn)而求得的取值范圍即可.【詳解】解：在中，由正弦定理得，所以，即，因?yàn)殇J角，所以，即，解得，所以，所以，故，即.故答案為：16．1955年10月29日新疆克拉瑪依1號(hào)油井出油，標(biāo)致著新中國第一個(gè)大油田的誕生，克拉瑪依大油泡是一號(hào)油井廣場(chǎng)上的標(biāo)志性建筑，成為市民與游客的打卡網(wǎng)紅地，形狀為橢球型，中心截面為橢圓，已知?jiǎng)狱c(diǎn)在橢圓上，若點(diǎn)A的坐標(biāo)為，點(diǎn)滿足，，則的最小值是___________.【答案】【分析】先根據(jù)得到點(diǎn)M的軌跡方程，利用和幾何意義要想使最小，只需最小，設(shè)出，用兩點(diǎn)間距離公式得到，根據(jù)求出，進(jìn)而求出的最小值.【詳解】因?yàn)?/span>，所以點(diǎn)M的軌跡為以A為圓心，半徑為1的圓，因?yàn)?/span>，所以，要想使最小，只需最小，設(shè)，，則，其中，因?yàn)?/span>，所以當(dāng)時(shí)，取得最小值，，此時(shí).故答案為： 三、解答題17．為慶祝黨的二十大的勝利召開，培養(yǎng)擔(dān)當(dāng)民族復(fù)興的時(shí)代新人，某高校在全校開展“不負(fù)韶華，做好社會(huì)主義接班人”的宣傳活動(dòng)．為進(jìn)一步了解學(xué)生對(duì)黨的“二十大”精神的學(xué)習(xí)情況，學(xué)校開展了“二十大”相關(guān)知識(shí)的競(jìng)賽活動(dòng)，現(xiàn)從參加該活動(dòng)的學(xué)生中隨機(jī)抽取100人，將他們的競(jìng)賽成績（滿分為100分）分為5組：，，，，，得到如圖所示的頻率分布直方圖：(1)估計(jì)這100名學(xué)生的競(jìng)賽成績的中位數(shù)（結(jié)果保留整數(shù)）；(2)在抽取的100名學(xué)生中，規(guī)定：競(jìng)賽成績不低于70分為“優(yōu)秀”，競(jìng)賽成績低于70分為“非優(yōu)秀”．請(qǐng)將下面的2×2列聯(lián)表補(bǔ)充完整，并判斷是否有99%的把握認(rèn)為“競(jìng)賽成績是否優(yōu)秀與性別有關(guān)”？（精確到0.001） 優(yōu)秀非優(yōu)秀合計(jì)男 30 女  50合計(jì)  100參考公式及數(shù)據(jù)：，其中．0.100.050.0250.0100.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.828 【答案】(1)中位數(shù)為72(2)表格見解析，有99%的把握認(rèn)為“競(jìng)賽成績是否優(yōu)秀與性別有關(guān)”． 【分析】（1）運(yùn)用頻率分布直方圖中位數(shù)計(jì)算公式可求得結(jié)果.（2）計(jì)算出優(yōu)秀人數(shù)完成列聯(lián)表，再運(yùn)用獨(dú)立性檢驗(yàn)判斷即可.【詳解】（1）因?yàn)?/span>，所以競(jìng)賽成績的中位數(shù)在內(nèi)．設(shè)競(jìng)賽成績的中位數(shù)為m，則，解得，所以估計(jì)這100名學(xué)生的競(jìng)賽成績的中位數(shù)為72．（2）由（1）知，在抽取的100名學(xué)生中，競(jìng)賽成績?yōu)?/span>“優(yōu)秀”的有：人，由此可得完整的2×2列聯(lián)表： 優(yōu)秀非優(yōu)秀合計(jì)男203050女401050合計(jì)6040100零假設(shè)：競(jìng)賽成績是否優(yōu)秀與性別無關(guān).因?yàn)?/span>，所以有99%的把握認(rèn)為“競(jìng)賽成績是否優(yōu)秀與性別有關(guān)”．18．如圖，在直三棱柱中，，E為的中點(diǎn)，，.(1)證明：；(2)求平面與平面ABC所成角的余弦值.【答案】(1)證明見解析(2) 【分析】（1）證明平面，根據(jù)線面垂直的性質(zhì)定理即可證明結(jié)論；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，求得相關(guān)點(diǎn)坐標(biāo)，求得平面的法向量，根據(jù)空間角的向量求法即可求得答案.【詳解】（1）證明：在直三棱柱中,平面，平面，故 ,又，平面,故平面,平面,所以.（2）由題意知平面，，分別以所在直線為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，由已知得E為的中點(diǎn)，，,所以,故,設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，即，令，則，所以，因?yàn)?/span>平面，故平面ABC的一個(gè)法向量可取為，故 ，由圖可知平面與平面ABC所成角為銳角，故平面與平面ABC所成角的余弦值為.19．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足.（1）證明數(shù)列是等比數(shù)列；（2）若數(shù)列滿足，記數(shù)列前項(xiàng)和為，證明.【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析.【分析】（1）根據(jù)，利用數(shù)列通項(xiàng)與前n項(xiàng)和關(guān)系，得到，再利用等比數(shù)列的定義求解. （2）由（1）得到，則，然后利用裂項(xiàng)相消法求得，再根據(jù)為遞增數(shù)列求解.【詳解】（1）由題意得，當(dāng)時(shí)，，∴，即，當(dāng)時(shí)，，∴故是以3為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列（2）由（1）可知，∴，∴∴因?yàn)?/span>時(shí)，，所以為遞增數(shù)列，故因?yàn)?/span>，則，故所以【點(diǎn)睛】本題主要考查數(shù)列通項(xiàng)與前n項(xiàng)和的關(guān)系，等比數(shù)列的定義，裂項(xiàng)相消法求和，還考查了運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題.20．已知橢圓C：的離心率為，右焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)重合.(1)求橢圓C的方程；(2)設(shè)橢圓C的左焦點(diǎn)為，過點(diǎn)的直線l與橢圓C交于兩點(diǎn)，A關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)為M，證明：三點(diǎn)共線.【答案】(1)(2)證明見解析 【分析】（1）根據(jù)題意求得c，結(jié)合離心率求得，即得答案；（2）判斷直線l的斜率存在，設(shè)出直線方程，并和橢圓方程聯(lián)立，可得根與系數(shù)的關(guān)系式，表示出，的坐標(biāo)，利用向量的共線證明三點(diǎn)共線，即得結(jié)論.【詳解】（1）∵橢圓C的右焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)重合，拋物線的焦點(diǎn)為,∴,又，∴,∴,∴橢圓C的方程為.（2）證明：由（1）知橢圓C的左焦點(diǎn)為，當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，其方程為：，此時(shí)直線l與橢圓C沒有交點(diǎn)，不符合題意；當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線l的方程為，，，則.聯(lián)立，消去y得，∴，解得,∴，,∵，，又，，∴，∵與共線，而與有公共點(diǎn),即、、 三點(diǎn)共線.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：本題涉及到直線和橢圓的位置關(guān)系的問題，解答并不困難，要證明三點(diǎn)共線，一般結(jié)合向量的共線來證明，利用向量共線的坐標(biāo)表示，計(jì)算即可.21．已知函數(shù)，.(1)討論的單調(diào)性；(2)任取兩個(gè)正數(shù)，當(dāng)時(shí)，求證：.【答案】(1)答案見解析；(2)證明見解析. 【分析】（1）根據(jù)函數(shù)解析式求出定義域以及導(dǎo)數(shù)，對(duì)參數(shù)進(jìn)行討論，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)取值情況得出函數(shù)的單調(diào)性；（2）求出，運(yùn)用分析法將需要證明成立的不等式轉(zhuǎn)化，再利用換元法寫出表達(dá)式，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而證明原不等式成立.【詳解】（1）.當(dāng)時(shí)，，令，得；令，得.所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.當(dāng)，即時(shí)，令，得或；令，得.所以在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.當(dāng)，即時(shí)，恒成立，所以在上單調(diào)遞增.當(dāng)，即時(shí)，令，得或；令，得.所以在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.綜上所述，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)， 在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；（2）證明：由題意得，.要證，只需證，即證，即證.令，所以只需證在上恒成立，即證在上恒成立.令，則，令，則.所以在上單調(diào)遞減，即在上單調(diào)遞減，所以，所以在上單調(diào)遞增，所以.所以.22．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線l的極坐標(biāo)方程是.(1)求曲線C的普通方程和直線l的直角坐標(biāo)方程；(2)若直線l與曲線C交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)，求的值.【答案】(1)；(2) 【分析】（1）曲線C的參數(shù)方程通過平方消元得到普通方程；通過極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程關(guān)系得到直線l的直角坐標(biāo)方程；（2）由題可知點(diǎn)P過直線l，利用直線的參數(shù)方程中參數(shù)與定點(diǎn)位置關(guān)系即可列式計(jì)算.【詳解】（1），得，根據(jù)極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程關(guān)系可知直線l的直角坐標(biāo)方程為：.（2）由（1）可知點(diǎn)過直線l，故直線l的參數(shù)方程可寫為（t為參數(shù)），代入曲線C的普通方程得，由韋達(dá)定理可知：，，所以.23．已知函數(shù)(1)當(dāng)時(shí)，求不等式的解集；(2)若，求的取值范圍【答案】(1)(2) 【分析】（1）分類討論去絕對(duì)值求解；（2）根據(jù)求的最小值，運(yùn)算求解.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，由，即當(dāng)時(shí)，，解得；當(dāng)時(shí)，，無解；當(dāng)時(shí)，，解得，綜上所述：不等式的解集為（2）∵，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，則的最小值為因?yàn)?/span>，所以所以或解得或綜上，即的取值范圍為. 

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