考點14 函數(shù)模型及其應用10種常見考法歸類-備戰(zhàn)高考數(shù)學一輪題型歸納與解題策略(新高考地區(qū)專用)-試卷下載-教習網(wǎng)

?考點14 函數(shù)模型及其應用10種常見考法歸類

考點一用函數(shù)圖象刻畫變化過程
考點二已知函數(shù)模型解決實際問題
考點三根據(jù)實際問題增長率選擇合適的函數(shù)模型
考點四指數(shù)、對數(shù)、冪函數(shù)模型的增長差異
考點五利用二次函數(shù)模型解決實際問題
考點六利用分段函數(shù)模型解決實際問題
考點七利用分式函數(shù)模型解決實際問題
考點八利用指數(shù)函數(shù)模型解決實際問題
考點九利用對數(shù)函數(shù)模型解決實際問題
考點十利用冪函數(shù)模型解決實際問題

1. 幾類函數(shù)模型
函數(shù)模型
函數(shù)解析式
一次函數(shù)模型
f(x)＝ax＋b(a，b為常數(shù)，a≠0)
反比例函數(shù)模型
f(x)＝＋b(k，b為常數(shù)，且k≠0)
二次函數(shù)模型
f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c為常數(shù)，a≠0)
指數(shù)型函數(shù)模型
f(x)＝bax＋c(a，b，c為常數(shù)，a＞0且a≠1，b≠0)
對數(shù)型函數(shù)模型
f(x)＝blogax＋c(a，b，c為常數(shù)，a＞0且a≠1，b≠0)
冪型函數(shù)模型
f(x)＝axn＋b(a，b為常數(shù)，a≠0)

2. 三種函數(shù)模型性質(zhì)比較
函數(shù)
性質(zhì)
y＝ax(a＞1)
y＝logax(a＞1)
y＝xn(n＞0)
在(0，＋∞)上的單調(diào)性
增函數(shù)
增函數(shù)
增函數(shù)
增長速度
越來越快
越來越慢
相對平穩(wěn)
圖象的變化
隨x值增大，圖象與y軸
接近平行
隨x值增大，圖象與x軸接近平行
隨n值變化而不同

3. 判斷函數(shù)圖象與實際問題變化過程相吻合的兩種方法：
①構建函數(shù)模型法：當根據(jù)題意易構建函數(shù)模型時，先建立函數(shù)模型，再結合模型選圖象；②驗證法：根據(jù)實際問題中兩變量的變化快慢等特點，結合圖象的變化趨勢，驗證是否吻合，從中排除不符合實際的情況(或誤差更大者).
4. 用函數(shù)建立數(shù)學模型解決實際問題的基本過程
生活中遇到的實際問題，其運算往往不簡潔，故由所給函數(shù)模型解決跨學科領域的交匯問題(常涉及近似計算)是近幾年高考熱點問題，解此類問題的關鍵點：
(1)分析和理解實際問題的增長情況(是“對數(shù)增長”“直線上升”還是“指數(shù)爆炸”或其他)；
(2)根據(jù)增長情況選擇函數(shù)類型構建數(shù)學模型，將實際問題化歸為數(shù)學問題；
(3)通過運算、推理求解函數(shù)模型，根據(jù)已知條件，利用待定系數(shù)法確定模型中的待定系數(shù)；,
(4)用得到的函數(shù)模型描述實際問題的變化規(guī)律、解決有關問題.
注：解函數(shù)應用問題的步驟：
(1)審題：弄清題意，識別條件與結論，弄清數(shù)量關系，初步選擇數(shù)學模型；
(2)建模：將自然語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學語言，將文字語言轉(zhuǎn)化為符號語言，利用已有知識建立相應的數(shù)學模型;
(3)解模：求解數(shù)學模型，得出結論；
(4)還原：將數(shù)學問題還原為實際問題．
5. 二次函數(shù)模型解析式的選擇策略
根據(jù)已知條件確定二次函數(shù)解析式，一般用待定系數(shù)法，選擇規(guī)律如下：

6. 分段函數(shù)模型的求解策略
在現(xiàn)實生活中，很多問題的兩變量之間的關系，不能用同一個關系式給出，而是由幾個不同的關系式構成分段函數(shù)．如出租車票價與路程之間的關系，就是分段函數(shù)．分段函數(shù)主要是每一段上自變量變化所遵循的規(guī)律不同，可以先將其作為幾個不同問題，將各段的規(guī)律找出來，再將其合在一起．要注意各段變量的范圍，特別是端點．構造分段函數(shù)時，要力求準確、簡捷，做到分段合理、不重不漏．分段函數(shù)的最值是各段最大值(或最小值)中的最大者(或最小者)．
7. 指數(shù)、對數(shù)函數(shù)模型的求解策略
(1)指數(shù)函數(shù)模型，常與增長率相結合進行考查，在實際問題中有人口增長、銀行利率、細胞分裂等增長問題可以利用指數(shù)函數(shù)模型來表示．
(2)應用指數(shù)函數(shù)模型時，關鍵是對模型的判斷，先設定模型將有關數(shù)據(jù)代入驗證，確定參數(shù)，從而確定函數(shù)模型．
(3)y＝a(1＋x)n通常利用指數(shù)運算與對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求解．
(4)對于直線上升、指數(shù)增長、對數(shù)增長的特點要注意區(qū)分：
與指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)兩類函數(shù)模型有關的實際問題，在求解時，要先學會合理選擇模型，在兩類模型中，指數(shù)函數(shù)模型是增長速度越來越快(底數(shù)大于1)的一類函數(shù)模型，與增長率、銀行利率有關的問題都屬于指數(shù)函數(shù)模型．
直線上升：勻速增長，其增長量固定不變；指數(shù)增長：先慢后快，其增長量成倍增加，常用“指數(shù)爆炸”來形容；對數(shù)增長：先快后慢，其增長速度緩慢．公司的利潤選擇直線上升或指數(shù)模型增長，而員工獎金選擇對數(shù)模型增長．
(5)在解決指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)模型問題時，一般需要先通過待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式，再借助函數(shù)的圖象求解最值問題，必要時可借助導數(shù)．

考點一用函數(shù)圖象刻畫變化過程
1．（2023春·北京·高三北京市第五中學?？茧A段練習）圖中實線是某景點收支差額關于游客量的圖像，由于目前虧損，景點決定降低成本，同時提高門票價格，決策后的圖像用虛線表示，以下能說明該事實的是（????）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根據(jù)直線的縱截距表示成本，傾斜角與門票價格的關系判斷.
【詳解】對于A，當時，虛線值減小，說明成本提高了，不滿足題意，A錯誤；
對于B，兩函數(shù)圖象平行，說明票價不變，不合題意，B錯誤；
對于C，當時，值不變，說明成本不變，不滿足題意，C錯誤；
對于D，當時，虛線值變大，說明成本見減小，又因為虛線的傾斜角變大，
說明提高了門票的價格，符合題意，D正確，
故選:D.
2．（2023秋·四川廣安·高三統(tǒng)考期末）在2h內(nèi)將某種藥物注射進患者的血液中，在注射期間，血液中的藥物含量呈線性增加：停止注射后，血液中的藥物含量呈指數(shù)衰減．能反映血液中藥物含量隨時間變化的圖象是（????）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根據(jù)在注射期間，血液中的藥物含量呈線性增加；停止注射后，血液中的藥物含量呈指數(shù)衰減即可得出．
【詳解】在注射期間，血液中的藥物含量呈線性增加，則第一段圖象為線段，且為增函數(shù)，排除A，D，
停止注射后，血液中的藥物含量呈指數(shù)衰減．排除B．
能反映血液中藥物含量隨時間變化的圖象是C．
故選：C．
3．（2023·高三課時練習）如圖所示，已知正方形ABCD的邊長為4，動點P從B點開始沿折線BCDA向A點運動．設P點運動的路程為x，△ABP的面積為S，則函數(shù)S＝f(x)的圖像是(????)

A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】數(shù)形結合，分P點在BC、CD、DA三種情況，依次求出S＝f(x)的解析式，根據(jù)解析式即可作出圖像﹒
【詳解】由題意：
P點在BC上時，0≤x＜4，S＝＝2x；
P點在CD上時，4≤x≤8，S＝＝8；
P點在DA上時，8＜x≤12，S＝24－2x．
故選：D﹒
4．（2023·全國·高三專題練習）已知正四面體的棱長為，為棱上的動點（端點、除外），過點作平面垂直于，與正四面體的表面相交．記，將交線圍成的圖形面積表示為的函數(shù)，則的圖象大致為（????）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】取線段的中點，連接、，證明出平面，分析可知平面與平面平行或重合，分、、三種情況討論，計算出的面積，利用三角形相似可得出的表達式，即可得出合適的選項.
【詳解】取線段的中點，連接、，
因為、為等邊三角形，為的中點，則，，
，、平面，平面，
因為平面，所以，平面與平面平行或重合，
且，
取的中點，連接，則，
且，故.
①當時，平面平面，平面平面，
平面平面，，同理可知，，，
所以，，故，
如下圖所示：

則，則；
②當時，；
③當時，平面平面，平面平面，
平面平面，，同理可知，，，
所以，，故，
如下圖所示：

則，則.
綜上所述，，故函數(shù)的圖象如C選項中的圖象.
故選：C.
【點睛】關鍵點點睛：本題考查函數(shù)圖象的識別，解題的關鍵對分類討論，求出函數(shù)的解析式，進而辨別出函數(shù)的圖象.
考點二已知函數(shù)模型解決實際問題
5．（2023·河南商丘·商丘市實驗中學校聯(lián)考模擬預測）已知電磁波在空間中自由傳播時的損耗公式為，其中D為傳輸距離（單位：km），F(xiàn)為載波頻率（單位：MHz），L為傳輸損耗（單位：dB）．若載波頻率變?yōu)樵瓉淼?00倍，傳輸損耗增加90dB，則傳輸距離約為原來的（????）參考數(shù)據(jù)：．
A．倍 B．倍 C．倍 D．倍
【答案】B
【分析】設出變化前后的相關量，再結合已知列式，借助對數(shù)運算求解作答.
【詳解】設原來的傳輸損耗、載波頻率、傳輸距離分別為，
變化后的傳輸損耗、載波頻率、傳輸距離分別為，
則，，
因此，
于是，解得
所以傳輸距離約為原來的倍.
故選：B
6．（2023·北京通州·統(tǒng)考模擬預測）聲強級（單位：）與聲強x（單位：）滿足．一般噪音的聲強級約為80，正常交談的聲強級約為50，那么一般噪音的聲強約為正常交談的聲強的（????）
A．倍 B．倍 C．倍 D．倍
【答案】A
【分析】根據(jù)題中公式，分別求出一般噪音的聲強和正常交談的聲強，從而可得出答案.
【詳解】當時，即，解得，
即一般噪音的聲強約，
當時，即，解得，
即正常交談的聲強約，
所以一般噪音的聲強約為正常交談的聲強的倍.
故選：A.
7．（2023春·湖南·高三校聯(lián)考階段練習）住房的許多建材都會釋放甲醛.甲醛是一種無色、有著刺激性氣味的氣體，對人體健康有著極大的危害.新房入住時，空氣中甲醛濃度不能超過0.08，否則，該新房達不到安全入住的標準.若某套住房自裝修完成后，通風周與室內(nèi)甲醛濃度y（單位：）之間近似滿足函數(shù)關系式，其中，且，，則該住房裝修完成后要達到安全入住的標準，至少需要通風（????）
A．17周 B．24周 C．28周 D．26周
【答案】D
【分析】由已知數(shù)據(jù)求得參數(shù)，然后解不等式即可得．
【詳解】，由，，得，，
兩式相減得，則，所以，.
該住房裝修完成后要達到安全入住的標準，則，
則，即，解得，
故至少需要通風26周.
故選：D．
8．（2023春·陜西榆林·高三綏德中學?？茧A段練習）昆蟲信息素是昆蟲用來表示聚集、覓食、交配、警戒等信息的化學物質(zhì)，是昆蟲之間起化學通訊作用的化合物，是昆蟲交流的化學分子語言，包括利它素、利己素、協(xié)同素、集合信息素、追蹤信息素、告警信息素、疏散信息素、性信息素等．人工合成的昆蟲信息素在生產(chǎn)中有較多的應用，尤其在農(nóng)業(yè)生產(chǎn)中的病蟲害的預報和防治中較多使用．研究發(fā)現(xiàn)，某昆蟲釋放信息素t秒后，在距釋放處x米的地方測得的信息素濃度y滿足，其中k，a為非零常數(shù)．已知釋放信息素1秒后，在距釋放處2米的地方測得信息素濃度為m；若釋放信息素4秒后，距釋放處b米的位置，信息素濃度為，則b＝（????）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【分析】根據(jù)已知的濃度解析式，代入變量，結合對數(shù)的運算，化簡求值.
【詳解】由題意，，
所以），
即．又，所以．
因為，所以．
故選：B．
9．（2023秋·北京朝陽·高三統(tǒng)考期末）2023年10月31日，長征五號B遙四運載火箭帶著中華民族千百年來探索浩瀚宇宙的夢想，將中國空間站夢天實驗艙準確送入預定軌道在不考慮空氣阻力的條件下，若火箭的最大速度v（單位：）和燃料的質(zhì)量M（單位：t）、火箭（除燃料外）的質(zhì)量m（單位：t）的關系滿足，M，m，v之間的關系如圖所示，則下列結論正確的是（????）

A．當時， B．當時，
C．當時， D．當時，
【答案】C
【分析】由題及圖象關系可知，在中，當一定時，越大，則越大，
當一定時，越小，則越大，代入對應的，逐項判斷選項即可得到答案.
【詳解】由題及圖象關系可知，在中，當一定時，越大，則越大，
當一定時，越小，則越大，
對于A，當時，，故A錯誤.
對于B，當時，，故B錯誤.
對于C，當時，，故C正確.
對于D，因為，令,，，故D錯誤.
故選：C.
10．【多選】（2023·全國·高三專題練習）某醫(yī)藥研究機構開發(fā)了一種新藥，據(jù)監(jiān)測，如果患者每次按規(guī)定的劑量注射該藥物，注射后每毫升血液中的含藥量y（微克）與時間t（小時）之間的關系近似滿足如圖所示的曲線．據(jù)進一步測定，當每毫升血液中含藥量不少于0.125微克時，治療該病有效，則（????）

A．
B．注射一次治療該病的有效時間長度為6小時
C．注射該藥物小時后每毫升血液中的含藥量為0.4微克
D．注射一次治療該病的有效時間長度為時
【答案】AD
【分析】利用圖象分別求出兩段函數(shù)解析式，再進行逐個分析，即可解決．
【詳解】由函數(shù)圖象可知，
當時，，即，解得，
，故正確，
藥物剛好起效的時間，當，即，
藥物剛好失效的時間，解得，
故藥物有效時長為小時，
藥物的有效時間不到6個小時，故錯誤，正確；
注射該藥物小時后每毫升血液含藥量為微克，故錯誤，
故選：．
考點三根據(jù)實際問題增長率選擇合適的函數(shù)模型
11．（2023·高三單元測試）下表顯示出函數(shù)值隨自變量變化的一組數(shù)據(jù)，由此可判斷它最可能的函數(shù)模型為（????）
x
-2
-1
0
1
2
3
y

0.26
1.11
3.96
16.05
63.98

A．一次函數(shù)模型 B．二次函數(shù)模型
C．對數(shù)函數(shù)模型 D．指數(shù)函數(shù)模型
【答案】D
【分析】利用各類型函數(shù)的特點，取點，設出函數(shù)解析式，代入其他對應值驗證即可求解.
【詳解】由變量可取負數(shù)，故函數(shù)模型暫排除對數(shù)函數(shù)模型；故C錯誤；
取點，
設一次函數(shù)，則
，解得，即，
而當時，，所以不是一次函數(shù)模型；故A錯誤；
設二次函數(shù)，則
??解得，即.
當時，，故不滿足題意；故B錯誤；
設指數(shù)函數(shù)，則
，解得，即，
代入其他值，驗證：接近；接近；接近；接近，故D正確.
故選：D .
12．（2023秋·高三單元測試）下列函數(shù)中，隨著的增大，增長速度最快的是（????）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根據(jù)不同函數(shù)增長的差異直接判斷即可.
【詳解】A選項是常數(shù)函數(shù)，B選項是一次函數(shù)，C、D選項都是指數(shù)型函數(shù)，
C選項的指數(shù)型函數(shù)的底數(shù)是2，D選項的指數(shù)型函數(shù)的底數(shù)是，且，
所以隨著的增大，增長速度最快的是D.
故選：D.
13．（2023秋·浙江·高三校聯(lián)考期末）有一組實驗數(shù)據(jù)如下表所示：
t
3.0
6.0
9.0
12.0
15.0
v
1.5
2.5
2.9
3.6
4.0
現(xiàn)準備用下列函數(shù)中的一個近似地表示這些數(shù)據(jù)滿足的規(guī)律，其中最接近的一個是（????）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根據(jù)題設中表格中的數(shù)據(jù)畫出散點圖，結合圖象和選項，得到答案.
【詳解】由表格中的數(shù)據(jù)，作出數(shù)據(jù)的散點圖，如圖所示，

數(shù)據(jù)散點圖和對數(shù)函數(shù)的圖象類似，所以選項D最能反映之間的函數(shù)關系.
故選：D.
14．（2023秋·重慶九龍坡·高三統(tǒng)考期末）某同學參加研究性學習活動，得到如下實驗數(shù)據(jù)：

3
9
27
81

2

以下函數(shù)中最符合變量與的對應關系的是（????）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根據(jù)表格給出的數(shù)據(jù)，函數(shù)的增長速度越來越慢，再依次判斷每個選項函數(shù)的增長速度得到答案.
【詳解】根據(jù)表格給出的數(shù)據(jù)，函數(shù)的增長速度越來越慢，
對選項A：增長速度不變，不滿足；
對選項B：時，增長速度越來越大，不滿足；
對選項C：時，增長速度越來越大，不滿足；
對選項D：函數(shù)的增長速度越來越慢，滿足.
故選：D
15．（2023·高三課時練習）已知三個變量，，隨變量的變化數(shù)據(jù)如下表：

1
2
4
6
8
…

2
4
16
64
256
…

1
4
16
36
64
…

0
1
2
2.585
3
…
則反映，，隨x變化情況擬合較好的一組函數(shù)模型是（　?。?br /> A．，， B．，，
C．，， D．，，
【答案】B
【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)與對數(shù)函數(shù)圖像變化的性質(zhì)可得.
【詳解】從題表可以看出，三個變量，，都隨x的增大而增大，但是增長速度不同，其中變量的增長呈指數(shù)函數(shù)型變化，變量的增長呈冪函數(shù)型變化，變量的增長呈對數(shù)函數(shù)型變化．
此外，也可以使用第五組數(shù)據(jù)代入檢驗得到答案.
故選：B.
16．（2023秋·貴州黔東南·高三統(tǒng)考期末）1766年人類已經(jīng)發(fā)現(xiàn)太陽系中的行星有金星、地球、火星、木星和土星．科學家在研究了各行星離太陽的距離（單位：，是天文學中計量天體之間距離的一種單位）的排列規(guī)律后，預測在火星和木星之間應該還有一顆未被發(fā)現(xiàn)的行星（后被命名為谷神星）存在，并按離太陽的距離從小到大列出了如下表所示的數(shù)據(jù)：

行星編號
1（金星）
2（地球）
3（火星）
4（????）
5（木星）
6（土星）
離太陽的距離

(1)為了描述行星離太陽的距離與行星編號之間的關系，根據(jù)表中已有的數(shù)據(jù)畫出散點圖，并根據(jù)散點圖的分布狀況，從以下三種模型中選出你認為最符合實際的一種函數(shù)模型（直接給出結論）；
①；②；③．
(2)根據(jù)你的選擇，依表中前三組數(shù)據(jù)求出函數(shù)解析式，并用剩下的兩組數(shù)據(jù)檢驗模型的吻合情況；（誤差小于0.2的為吻合）
(3)請用你求得的模型，計算谷神星離太陽的距離．
【答案】(1)散點圖見解析，模型②符合題意
(2)，模型與數(shù)據(jù)吻合
(3)
【分析】（1）根據(jù)已知作出散點圖，根據(jù)散點圖結合所給函數(shù)模型圖像性質(zhì)得出答案；
（2）將三點代入所選函數(shù)模型，求出參數(shù)，在根據(jù)后兩點驗證即可；
（3）根據(jù)（2）求出的函數(shù)模型，令，即可求出.
【詳解】（1）散點圖如圖所示：

根據(jù)散點圖可知，模型②符合題意；
（2）將，，分別代入，
得，解得，，
所以
當時，，誤差，吻合，
當時，，誤差，吻合，
所以，模型與數(shù)據(jù)吻合；
（3）當時，，
即谷神星距太陽的距離為.
考點四指數(shù)、對數(shù)、冪函數(shù)模型的增長差異
17．（2023·全國·高三專題練習）下列函數(shù)中，隨著的增大，函數(shù)值的增長速度最快的是(????)
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根據(jù)指對冪函數(shù)的增長速度即可判斷.
【詳解】當x＞1時，指數(shù)函數(shù)增長最快，冪函數(shù)其次，對數(shù)函數(shù)最慢，故函數(shù)的增長速度最快．
故選：D.
18．【多選】（2023秋·廣東廣州·高三廣東實驗中學?？计谥校┮阎瘮?shù)，，，下列關于這三個函數(shù)的描述中，當在上逐漸增大時，下列說法正確的是（????）
A．的增長速度越來越快 B．的增長速度越來越快
C．的增長速度一直快于 D．的增長速度有時慢于
【答案】BD
【分析】在同一坐標系中畫出3個函數(shù)圖象，然后根據(jù)圖象逐個分析判斷即可.
【詳解】在同一平面直角坐標系中畫出函數(shù)，，的圖象，如圖所示，

由圖可知的增長速度沒有變，所以A錯誤，
在上的增長速度越來越快，所以B正確，
由圖可知在上的增長速度最慢，而在上的增長速度最快，所以C錯誤，D正確，
故選：BD
19．【多選】（2023秋·高三單元測試）函數(shù)，，，在區(qū)間上（????）
A．遞減速度越來越慢 B．遞減速度越來越慢
C．遞減速度越來越慢 D．的遞減速度慢于遞減速度
【答案】ABC
【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)，對數(shù)函數(shù)及冪函數(shù)的性質(zhì)即得.
【詳解】根據(jù)指數(shù)函數(shù)，對數(shù)函數(shù)及冪函數(shù)的性質(zhì)結合圖象可知在區(qū)間上，

遞減速度越來越慢，故A正確；
遞減速度越來越慢，故B正確；
遞減速度越來越慢，故C正確；
的遞減速度慢于遞減速度，故D錯誤.
故選：ABC.
20．（2023春·江蘇南通·高三南通一中?？茧A段練習）已知，則下列命題中正確的是（????）
A．，，有成立
B．，，有成立
C．，，有成立
D．，，有成立
【答案】A
【分析】根據(jù)不同函數(shù)類型的增長速度，即可得到答案.
【詳解】因為，所以函數(shù)、、均為單調(diào)遞增函數(shù).
而且各類函數(shù)的增長速度為：指數(shù)函數(shù)快于冪函數(shù)，冪函數(shù)快于對數(shù)函數(shù).
所以，，，有成立.
故選：A.
21．（2023·高三課時練習）若，則使成立的的取值范圍是________，使成立的的取值范圍是________．
【答案】
【分析】畫出指對冪函數(shù)的圖象，數(shù)形結合法判斷不等關系下對應x的范圍即可.
【詳解】在同一平面直角坐標系中作出，，在上的圖象如下．

由圖得，若，則，
若，則或．
故答案為：，
考點五利用二次函數(shù)模型解決實際問題
22．（2023·全國·高三專題練習）某小型服裝廠生產(chǎn)一種風衣，日銷售量x（件）與單價P（元）之間的關系為，生產(chǎn)x件所需成本為C（元），其中，若要求每天獲利不少于1300元，則日銷量x的取值范圍是（????）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】B
【分析】由題意求得利潤函數(shù)，然后解不等式即可得．
【詳解】由題意日銷量x件時，利潤是，
，，．
故選：B．
23．（2023·全國·高三專題練習）勞動實踐是大學生學習知識?鍛煉才干的有效途徑，更是大學生服務社會?回報社會的一種良好形式某大學生去一服裝廠參加勞動實踐，了解到當該服裝廠生產(chǎn)的一種衣服日產(chǎn)量為x件時，售價為s元/件，且滿足，每天的成本合計為元，請你幫他計算日產(chǎn)量為___________件時，獲得的日利潤最大，最大利潤為___________萬元.
【答案】 200 7.94
【分析】將利潤表示為關于的一個二次函數(shù)，求出該函數(shù)的最值即可.
【詳解】由題意易得日利潤，
故當日產(chǎn)量為200件時，獲得的日利潤最大，最大利潤為7.94萬元，
故答案為：200，7.94.
24．（2023·全國·高三專題練習）某企業(yè)生產(chǎn)，兩種產(chǎn)品，根據(jù)市場調(diào)查和預測，產(chǎn)品的利潤（萬元）與投資額（萬元）成正比，其關系如圖（1）所示；產(chǎn)品的利潤（萬元）與投資額（萬元）的算術平方根成正比，其關系如圖（2）所示．

(1)分別將，兩種產(chǎn)品的利潤表示為投資額的函數(shù)；
(2)該企業(yè)已籌集到10萬元資金，并全部投入，兩種產(chǎn)品的生產(chǎn)，問：怎樣分配這10萬元投資，才能使企業(yè)獲得最大利潤？其最大利潤約為多少萬元（精確到1萬元）？
【答案】(1)，；
(2)當產(chǎn)品投入3.75萬元，產(chǎn)品投入6.25萬元，企業(yè)獲得最大利潤約為4萬元．
【分析】（1）由已知給出的函數(shù)模型設出解析式，代入已知數(shù)據(jù)即可算出結果；
（2）設產(chǎn)品投入萬元，則產(chǎn)品投入萬元，設企業(yè)的利潤為萬元，則有，再利用換元法轉(zhuǎn)化為求二次函數(shù)在給定區(qū)間上的最值問題即可求解．
【詳解】（1）設投資額為萬元，產(chǎn)品的利潤為萬元，產(chǎn)品的利潤為萬元，
由題設，，
由圖可知（1），所以，又（4），所以，
所以，；
（2）設產(chǎn)品投入萬元，則產(chǎn)品投入萬元，設企業(yè)的利潤為萬元，
，，
令，則，，
所以當時，，此時，
所以當產(chǎn)品投入3.75萬元，產(chǎn)品投入6.25萬元，企業(yè)獲得最大利潤為萬元，約為4萬元．
25．（2023·江西鷹潭·二模）某公司為了對某種商品進行合理定價，需了解該商品的月銷售量（單位：萬件）與月銷售單價（單位：元/件）之間的關系，對近6個月的月銷售量和月銷售單價數(shù)據(jù)進行了統(tǒng)計分析，得到一組檢測數(shù)據(jù)如表所示：
月銷售單價（單位：元/件）
4
5
6
7
8
9
月銷售量（萬件）
89
83
82
79
74
67
(1)若用線性回歸模型擬合與之間的關系，現(xiàn)有甲、乙、丙三位實習員工求得回歸直線方程分別為：，和，其中有且僅有一位實習員工的計算結果是正確的.請結合統(tǒng)計學的相關知識，判斷哪位實習員工的計算結果是正確的，并說明理由；
(2)已知該商品的月銷售額為（單位：萬元），利用（1）中的計算正確的結果回答問題：當月銷售單價為何值時，啇品的月銷值額預報值最大，并求出其最大值.
【答案】(1)甲，理由見解析
(2)時，商品的月銷售額預報值最大，最大值為萬元
【分析】（1）首先由數(shù)據(jù)可得，負相關，排除乙，再計算樣本中心點，代入方程檢驗即可；
（2）由題意知，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)計算可得.
【詳解】（1）根據(jù)數(shù)據(jù)知，負相關，故排除乙，
又，，
由，可得過點，
由，可得不過點，
所以甲滿足，丙不滿足，故甲計算正確.
（2）根據(jù)題意
，
當時有最大值，
故當時，商品的月銷售額預報值最大，最大值為萬元.
26．（2023秋·重慶萬州·高三重慶市萬州第二高級中學?？计谀┬滦凸跔畈《靖腥镜姆窝字委熯^程中，需要某醫(yī)藥公司生產(chǎn)的某種藥品．該公司每年產(chǎn)生此藥品不超過300千件，此藥品的年固定成本為250萬元，每生產(chǎn)x千件需另投入成本為（萬元）．每千件藥品售價為50萬元，在疫情期間，該公司生產(chǎn)的藥品能全部售完．
（Ⅰ）當年產(chǎn)量為多少千件時，在這一藥品的生產(chǎn)中所獲利潤最大？利潤最大是多少？
（Ⅱ）當年產(chǎn)量為多少千件時，每千件藥品的平均利潤最大？并求最大平均利潤．
【答案】（Ⅰ）當年產(chǎn)量為200千件時，所獲利潤最大為3750萬元；（Ⅱ）當年產(chǎn)量為50千件時，每千件藥品的平均利潤最大為30萬元．
【解析】（Ⅰ）根據(jù)題意可得利潤，根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)即可求出最大值；
（Ⅱ）利用基本不等式可求出最大值.
【詳解】（Ⅰ）設所獲利潤為萬元，
則由題可得（），
當時，，
所以當年產(chǎn)量為200千件時，在這一藥品的生產(chǎn)中所獲利潤最大為3750萬元；
（Ⅱ）可知平均利潤為，
當且僅當，即時等號成立，
所以當年產(chǎn)量為50千件時，每千件藥品的平均利潤最大為30萬元．
考點六利用分段函數(shù)模型解決實際問題
27．（2023·全國·高三專題練習）黨的二十大報告將“完成脫貧攻堅?全面建成小康社會的歷史任務，實現(xiàn)第一個百年奮斗目標”作為十年來對黨和人民事業(yè)具有重大現(xiàn)實意義和深遠歷史意義的三件大事之一.某企業(yè)積極響應國家的號召，對某經(jīng)濟欠發(fā)達地區(qū)實施幫扶，投資生產(chǎn)A產(chǎn)品，經(jīng)過市場調(diào)研，生產(chǎn)A產(chǎn)品的固定成本為200萬元，每生產(chǎn)萬件，需可變成本萬元，當產(chǎn)量不足50萬件時，；當產(chǎn)量不小于50萬件時，.每件A產(chǎn)品的售價為100元，通過市場分析，生產(chǎn)的A產(chǎn)品可以全部銷售完，則生產(chǎn)該產(chǎn)品能獲得的最大利潤為__________萬元.
【答案】1000
【分析】依題意求得利潤，借助導數(shù)和基本不等式可求得最大值.
【詳解】由題意得，銷售收入為萬元，
當產(chǎn)量不足50萬件時，利潤；
當產(chǎn)量不小于50萬件時，利潤.
所以利潤
因為當時，，
當時，單調(diào)遞增；
當時，單調(diào)遞減；
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
則；
當時，，當且僅當時取等號.
又，故當時，所獲利潤最大，最大值為1000萬元.
故答案為：1000
28．（2023·全國·高三專題練習）某公司生產(chǎn)一種電子儀器的固定成本為20000元，每生產(chǎn)一臺儀器需增加投入100元，已知總收益滿足函數(shù)，其中x是儀器的月產(chǎn)量．
(1)將利潤表示為月產(chǎn)量的函數(shù)；
(2)當月產(chǎn)量為何值時，公司所獲利潤最大？最大利潤為多少元？（總收益=總成本+利潤）
【答案】(1)
(2)當月產(chǎn)量為時, 最大利潤為元.
【分析】（1）利用利潤=總收益固定成本投入成本，即可求解利潤關于月產(chǎn)量x的函數(shù)；
（2）分段求解利潤關于月產(chǎn)量的最大值并比較即可.
【詳解】（1）
當時，，
當時，，
；
（2）當時，
當時，；
當時，在定義域內(nèi)單調(diào)遞減，
，

當時，；
當月產(chǎn)量為臺時，公司所獲利潤最大，最大利潤為元.
29．（2023·全國·高三專題練習）某鄉(xiāng)鎮(zhèn)響應“綠水青山就是金山銀山”的號召，因地制宜的將該鎮(zhèn)打造成“生態(tài)水果特色小鎮(zhèn)”.經(jīng)調(diào)研發(fā)現(xiàn)：某珍稀水果樹的單株產(chǎn)量W（單位：千克）與施用肥料（單位：千克）滿足如下關系：肥料成本投入為元，其它成本投入（如培育管理、施肥等人工費）元.已知這種水果的市場售價大約為15元/千克，且銷路暢通供不應求.記該水果樹的單株利潤為（單位：元）.
(1)求的函數(shù)關系式；
(2)當施用肥料為多少千克時，該水果樹的單株利潤最大？最大利潤是多少？
【答案】(1)
(2)當施用肥料為4千克時，該水果樹的單株利潤最大，最大利潤為480元
【分析】（1）利用，即可求解；
（2）對進行化簡，得到，然后，分類討論和時，的取值，進而得到答案.
【詳解】（1）根據(jù)題意，，化簡得，

（2）由（1）得

當時，
當時，
當且僅當時，即時等號成立.
因為，所以當時，.
故當施用肥料為4千克時，該水果樹的單株利潤最大，最大利潤為480元.
30．（2023·全國·高三專題練習）第24屆冬季奧林匹克運動會，又稱2023年北京冬季奧運會，是由中國舉辦的國際性奧林匹克賽事，于2023年2月4日開幕，2月20日閉幕.本屆奧運會共設7個大項，15個分項，109個小項.北京賽區(qū)承辦所有的冰上項目和自由式滑雪大跳臺，延慶賽區(qū)承辦雪車?雪橇及高山滑雪項目，張家口賽區(qū)承辦除雪車?雪橇?高山滑雪和自由式滑雪大跳臺之外的所有雪上項目，冬奧會的舉辦可以帶動了我國3億人次的冰雪產(chǎn)業(yè)，這為冰雪設備生產(chǎn)企業(yè)帶來了新的發(fā)展機遇，某冰雪裝備器材生產(chǎn)企業(yè)，生產(chǎn)某種產(chǎn)品的年固定成本為2000萬元，每生產(chǎn)x千件，需另投入成本（萬元）.經(jīng)計算若年產(chǎn)量x千件低于100千件，則這x千件產(chǎn)品成本；若年產(chǎn)量x千件不低于100千件時，則這x千件產(chǎn)品成本.每千件產(chǎn)品售價為100萬元，為了簡化運算我們假設該企業(yè)生產(chǎn)的產(chǎn)品能全部售完.
(1)寫出年利潤（萬元）關于年產(chǎn)量（千件）的函數(shù)解析式；
(2)當年產(chǎn)量為多少千件時，企業(yè)所獲得利潤最大？最大利潤是多少？
【答案】(1)
(2)當該企業(yè)年產(chǎn)量為105千件時，所獲得利潤最大，最大利潤是1000萬元
【分析】（1）年利潤為銷售收入減去生產(chǎn)成本，分情況討論計算即可；（2）當時，根據(jù)二次函數(shù)單調(diào)性求最大值；當時，根據(jù)基本不等式求最大值，繼而求出最大值.
【詳解】（1）當時，；
當時，.
所以
（2）當時，.
當時，取得最大值，且最大值為950.
當時，當且僅當時，等號成立.
因為，所以當該企業(yè)年產(chǎn)量為105千件時，所獲得利潤最大，最大利潤是1000萬元.
31．（2023·全國·高三專題練習）2023年11月5日至10日，第三屆中國國際進口博覽會在上海舉行，經(jīng)過三年發(fā)展，進博會讓展品變商品，讓展商變投資商，交流創(chuàng)意和理念，聯(lián)通中國和世界，國際采購、投資促進、人文交流，開放合作四大平臺作用不斷凸顯，成為全球共享的國際公共產(chǎn)品.在消費品展區(qū)，某企業(yè)帶來了一款新型節(jié)能環(huán)保產(chǎn)品參展，并決定大量投放市場.已知該產(chǎn)品年固定研發(fā)成本為150萬元，每生產(chǎn)1萬臺需另投入380萬元.設該企業(yè)一年內(nèi)生產(chǎn)該產(chǎn)品萬臺且全部售完，每萬臺的銷售收入為萬元，且.
(1)寫出年利潤（萬元）關于年產(chǎn)量（萬臺）的函數(shù)解析式；（利潤 = 銷售收入—成本）
(2)當年產(chǎn)量為多少萬臺時，該企業(yè)獲得的年利潤最大？并求出最大年利潤.
【答案】(1)
(2)當年產(chǎn)量為25萬臺時，該企業(yè)獲得的年利潤最大，最大為1490萬元
【分析】（1）分和兩種情況，由利潤 = 銷售收入—成本，知，再代入的解析式，進行化簡整理即可，
（2）當時，利用配方法求出的最大值，當時，利用基本不等式求出的最大值，比較兩個最大值后，取較大的即可
【詳解】（1）當時，

，
當時，

，
所以年利潤（萬元）關于年產(chǎn)量（萬臺）的函數(shù)解析式為

（2）當時，，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以當時，取得最大值1450，
當時，
，
當且僅當，即時取等號，此時取得最大值1490，
因為，
所以當年產(chǎn)量為25萬臺時，該企業(yè)獲得的年利潤最大，最大為1490萬元
32．（2023·全國·高三專題練習）某鄉(xiāng)鎮(zhèn)響應“綠水青山就是金山銀山”的號召，因地制宜的將該鎮(zhèn)打造成“生態(tài)水果特色小鎮(zhèn)”．經(jīng)調(diào)研發(fā)現(xiàn)：某珍惜水果樹的單株產(chǎn)量(單位：千克)與施用肥料(單位：千克)滿足如下關系：，肥料成本投入為元，其它成本投入(如培育管理、施肥等人工費)元．已知這種水果的市場售價大約15元/千克，且銷售暢通供不應求，記該水果單株利潤為(單位：元)
(1)寫單株利潤(元)關于施用肥料(千克)的關系式；
(2)當施用肥料為多少千克時，該水果單株利潤最大？最大利潤是多少？
【答案】(1)；
(2)4千克，480元﹒
【分析】（1）用銷售額減去成本投入得出利潤的解析式；
（2）根據(jù)二次函數(shù)的單調(diào)性和基本不等式求出的最大值即可．
【詳解】（1）依題意，又，
∴．
（2）當時，，開口向上，對稱軸為，
在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
在上的最大值為．
當時，，
當且僅當時，即時等號成立．
∵，∴當時，．
∴當投入的肥料費用為40元時，種植該果樹獲得的最大利潤是480元．
考點七利用分式函數(shù)模型解決實際問題
33．（2023·全國·高三對口高考）某工廠統(tǒng)計資料顯示,一種產(chǎn)品的次品率p與日產(chǎn)量x（件）（且）之間的關系如下表:
日產(chǎn)量x
1
2
3
4
5
…
98
99
100
次品率p

…

已知生產(chǎn)一件正品盈利a元,生產(chǎn)一件次品損失元．
(1)將該廠的日贏利額y（元）表示為日產(chǎn)量x（件）的函數(shù);
(2)為使日贏利最大,該廠的日產(chǎn)量應定為多少？
【答案】(1),（,）
(2)96
【分析】(1)根據(jù)表格得到次品率p與日產(chǎn)量x之間的關系,再寫出關于日贏利額y和日產(chǎn)量x的函數(shù)即可;
(2)根據(jù)(1)中的結論，對進行換元,分離常數(shù),用基本不等式求出最值,以及取等條件即可.
【詳解】（1）解:由表可知次品率(,）,
故
（,）．
（2）由(1)可得: ,（,）
設,則,,
可得

,
當且僅當,即時等號成立,
由,得,
所以日產(chǎn)量定為96件時可使日贏利最大．
34．（2023·上?！じ呷龑ｎ}練習）某便民超市經(jīng)銷一種小袋裝地方特色桃酥食品，每袋桃酥的成本為6元，預計當一袋桃酥的售價為元時，一年的銷售量為萬袋，并且全年該桃酥食品共需支付萬元的管理費. 一年的利潤一年的銷售量售價（一年銷售桃酥的成本一年的管理費）.（單位：萬元）
(1)求該超市一年的利潤（萬元）與每袋桃酥食品的售價的函數(shù)關系式；
(2)當每袋桃酥的售價為多少元時，該超市一年的利潤最大，并求出的最大值.
【答案】(1)；
(2)售價為9元時，利潤最大為9萬元
【分析】（1）直接由題目所給關系即可求得利潤（萬元）與售價的函數(shù)關系式；
（2）將函數(shù)關系式變形整理得，結合基本不等式即可求出最大值.
【詳解】（1）由題意知，分公司一年的利潤L（萬元）與售價x的函數(shù)關系式為；
（2），因為，所以，
當且僅當即時取等號，此時最大為9萬元.當每件產(chǎn)品的售價為9元時，該分公司一年的利潤最大，且最大利潤9萬元.
35．（2023·全國·高三專題練習）首屆世界低碳經(jīng)濟大會在南昌召開，本屆大會以“節(jié)能減排，綠色生態(tài)”為主題.某單位在國家科研部門的支持下進行技術攻關，采取了新工藝，把二氧化碳轉(zhuǎn)化為一種可利用的化工產(chǎn)品.已知該單位每月的處理量最少為400噸，最多為600噸，月處理成本 (元)與月處理量 (噸)之間的函數(shù)關系可近似的表示為，且處理每噸二氧化碳得到可利用的化工產(chǎn)品價值為100元.
(1)該單位每月處理量為多少噸時，才能使每噸的平均處理成本最低？
(2)該單位每月能否獲利？如果獲利，求出最大利潤；如果不獲利，則需要國家至少補貼多少元才能使單位不虧損？
【答案】(1)400噸；
(2)不獲利，需要國家每個月至少補貼40000元才能不虧損.
【分析】（1）由題設平均每噸二氧化碳的處理成本為，應用基本不等式求其最小值，注意等號成立條件.
（2）根據(jù)獲利，結合二次函數(shù)的性質(zhì)判斷是否獲利，由其值域確定最少的補貼額度.
【詳解】（1）由題意知，平均每噸二氧化碳的處理成本為；
當且僅當，即時等號成立，
故該當每月處理量為400噸時，才能使每噸的平均處理成本最低為200元.
（2）不獲利，設該單位每個月獲利為S元，則，
因為，則，
故該當單位每月不獲利，需要國家每個月至少補貼40000元才能不虧損.
36．（2023春·云南曲靖·高三宣威市第三中學?？茧A段練習）2023 年初至今，新冠肺炎疫情襲擊全球，對人民生命安全和生產(chǎn)生活造成嚴重影響. 在黨和政府強有力的抗疫領導下，我國控制住疫情后，一方面防止境外疫情輸入，另一方面逐步復工復產(chǎn)，減輕經(jīng)濟下降對企業(yè)和民眾帶來的損失. 為降低疫情影響，某廠家擬在2023年舉行某產(chǎn)品的促銷活動，經(jīng)調(diào)查測算，該產(chǎn)品的年銷售量(即該廠的年產(chǎn)量) x萬件與年促銷費用m萬元(m≥0)滿足 x= 4?. 已知生產(chǎn)該產(chǎn)品的固定成本為 8萬元，生產(chǎn)成本為16萬元 / 萬件，廠家將產(chǎn)品的銷售價格定為萬元 / 萬件 (產(chǎn)品年平均成本)的1.5倍.
(1)將2023年該產(chǎn)品的利潤y萬元表示為年促銷費用m萬元的函數(shù)；
(2)該廠家2023年的促銷費用投入多少萬元時，廠家的利潤最大？
【答案】(1)
(2)3萬元
【分析】（1）依據(jù)題意列出該產(chǎn)品的利潤y萬元關于年促銷費用m萬元的解析式即可；
（2）依據(jù)均值定理即可求得促銷費用投入3萬元時，廠家的利潤最大.
【詳解】（1）由題意知，每萬件產(chǎn)品的銷售價格為（萬元），x= 4?
則2023年的利潤．
（2）∵當時，，
∴，（當且僅當時等號成立）
∴，當且僅當萬元時，（萬元）．
故該廠家2023年的促銷費用投入3萬元時，廠家的利潤最大為29萬元．
37．（2023·全國·高三專題練習）如圖所示，設矩形的周長為cm，把沿折疊，折過去后交于點，設cm，cm．

(1)建立變量與之間的函數(shù)關系式，并寫出函數(shù)的定義域;
(2)求的最大面積以及此時的的值．
【答案】(1)，定義域為
(2)，的最大面積為
【分析】（1）由題意可得，再由可求出的取值范圍，
（2）設，在直角三角形ADP中利用勾股定理可得，從而可求得，化簡后利用基本不等式可求得結果
【詳解】（1）因為，，矩形ABCD的周長為20cm，
所以，因為，所以，
解得．所以，定義域為．
（2）因為ABCD是矩形，所以有，．
因為是沿折起所得，
所以有，，因此有，
，所以≌，因此，．
設．而ABCD是矩形，所以，
因此．
在直角三角形ADP中，有，．
所以，
化簡得，
當且僅當時取等號，即時，的最大面積為．
考點八利用指數(shù)函數(shù)模型解決實際問題
38．（2023·甘肅武威·統(tǒng)考三模）2023年8月，中科院院士陳發(fā)虎帶領他的團隊開始了第二次青藏高原綜合科學考察．在科考期間，陳院士為同行的科研人員講解專業(yè)知識，在空氣稀薄的高原上開設了“院士課堂”．已知某地大氣壓強與海平面大氣壓強之比為b，b與該地海拔高度（單位：米）滿足關系：（k為常數(shù)，e為自然對數(shù)的底）．若科考隊算得A地，海拔8700米的B地，則A，B兩地的高度差的絕對值約為（，）（????）
A．3164米 B．4350米 C．5536米 D．6722米
【答案】A
【分析】設地海拔高度為，由題意可得，，解方程可得，進而求解.
【詳解】設地海拔高度為，
由已知可得，，
則，，
所以，
所以（米）.
故選：A.
39．（2023屆福建省福州市高三質(zhì)量檢測數(shù)學試題）為落實黨的二十大提出的“加快建設農(nóng)業(yè)強國，扎實推動鄉(xiāng)村振興”的目標，銀行擬在鄉(xiāng)村開展小額貸款業(yè)務.根據(jù)調(diào)查的數(shù)據(jù)，建立了實際還款比例關于貸款人的年收入（單位：萬元）的Logistic，模型：，已知當貸款大的年收入為8萬元時，其實際還款比例為50%.若銀行希望實際還款比例為40%，則貸款人的年收入為（????）（精確到0.01萬元，參考數(shù)據(jù)：，）
A．4.65萬元 B．5.63萬元 C．6.40萬元 D．10.00萬元
【答案】A
【分析】先根據(jù)題中數(shù)據(jù)代入計算函數(shù)中參數(shù)的值，然后計算時的值即可.
【詳解】由題意，即，得，所以.
令，
得，
得，
得
得.
故選：A.
40．（2023春·江西贛州·高三校聯(lián)考期中）贛南臍橙，江西省贛州市特產(chǎn)，中國國家地理標志產(chǎn)品.贛南臍橙年產(chǎn)量達百萬噸，原產(chǎn)地江西省贛州市已經(jīng)成為臍橙種植面積世界第一，年產(chǎn)量世界第三，全國最大的臍橙主產(chǎn)區(qū).假設某贛南臍橙種植區(qū)的臍橙產(chǎn)量平均每年比上一年增長，若要求該種植區(qū)的臍橙產(chǎn)量高于當前臍橙產(chǎn)量的6倍，則至少需要經(jīng)過的年數(shù)為（????）（參考數(shù)據(jù)：?。?br /> A．9 B．10 C．11 D．12
【答案】B
【分析】先根據(jù)條件建立對數(shù)不等式，從而得到，再利用換底公式即可求出的值，進而求出的范圍得到結果.
【詳解】假設當前該種植區(qū)的臍橙產(chǎn)量為1，經(jīng)過年該種植區(qū)的臍橙產(chǎn)量為，
由題意得，得到，
又因為，
所以，故至少需要經(jīng)過的年數(shù)為10.
故選：B.
41．（2023春·云南玉溪·高三云南省玉溪第一中學?？茧A段練習）酒駕是嚴重危害交通安全的違法行為.根據(jù)國家有關規(guī)定：駕駛人血液中的酒精含量大于（或等于）毫克/毫升，小于毫克/毫升的情況下駕駛機動車屬于飲酒駕車；含量大于（或等于）毫克/毫升的情況下駕駛機動車屬于醉酒駕車.假設某駕駛員一天晚上點鐘喝了一定量的酒后，其血液中酒精含量上升到了毫克/毫升.如果在停止喝酒后，他血液中酒精含量以每小時的速度減少，那么他次日上午最早幾點（結果取整數(shù)）開車才不構成酒駕？（參考數(shù)據(jù)：，）（????）
A．8點 B．9點 C．10點 D．11點
【答案】C
【分析】假設經(jīng)過小時后，駕駛員開車才不構成酒駕，則，由對數(shù)的運算性質(zhì)解不等式即可得出答案.
【詳解】假設經(jīng)過小時后，駕駛員開車才不構成酒駕，
則，即，，
則，
，次日上午最早點，該駕駛員開車才不構成酒駕.
故選：C.
42．（2023·貴州·統(tǒng)考模擬預測）某工廠產(chǎn)生的廢氣經(jīng)過過濾后排放，已知在過濾過程中的污染物的殘留含量（單位：）與過濾時間（單位：）之間的函數(shù)關系為，其中是自然對數(shù)的底數(shù)，為常數(shù)，為原污染物總量.若前5個小時廢氣中的污染物被過濾掉了，則污染物被過濾掉了所需時間約為（????）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據(jù)題意列出方程，求出，得到函數(shù)解析式，再設出未知數(shù)，解方程，求出答案.
【詳解】由題意得，化簡得，
兩邊取對數(shù)，，故，
故
設污染物被過濾掉了所需時間約為，
則，化簡得，
即，解得，
故污染物被過濾掉了所需時間約為77h.
故選：C
考點九利用對數(shù)函數(shù)模型解決實際問題
43．（2023·全國·高三專題練習）某地為了抑制一種有害昆蟲的繁殖，引入了一種以該昆蟲為食物的特殊動物，已知該動物的繁殖數(shù)量（只）與引入時間（年）的關系為，若該動物在引入一年后的數(shù)量為180只，則15年后它們發(fā)展到（????）
A．300只 B．400只 C．600只 D．720只
【答案】D
【分析】根據(jù)題意求得，當時即可求解.
【詳解】由題知，該動物的繁殖數(shù)量（只）與引入時間（年）的關系為，
當代入得，，得，
所以，
所以當時，，
所以15年后它們發(fā)展到720只.
故選：D
44．（2023春·山西·高三校聯(lián)考階段練習）凈水機通過分級過濾的方式使自來水逐步達到純凈水的標準，其中的核心零件是多層式結構的棉濾芯（聚丙烯熔噴濾芯），主要用于去除鐵銹?泥沙?懸浮物等各種大顆粒雜質(zhì).假設每一層棉濾芯可以過濾掉的大顆粒雜質(zhì)，過濾前水中大顆粒雜質(zhì)含量為，若要滿足過濾后水中大顆粒雜質(zhì)含量不超過，則棉濾芯層數(shù)最少為（????）（參考數(shù)據(jù)：，）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據(jù)指數(shù)與對數(shù)的運算直接求解.
【詳解】由題意得，經(jīng)層濾芯過濾后水中大顆粒雜質(zhì)含量為，，
則，得，所以，
即，所以，
解得，，
所以的最小值為，
故選：C.
45．（2023·貴州黔東南·凱里一中?？既＃┚岂{是嚴重危害交通安全的違法行為．為了保障交通安全，根據(jù)國家有關規(guī)定：100mL血液中酒精含量達到20~79mg的駕駛員即為酒后駕車，80mg及以上認定為醉酒駕車．假設某駕駛員喝了一定量酒后，其血液中的酒精含量上升到了1mg/mL．如果在停止喝酒以后，他血液中酒精含量會以每小時20%的速度減少，那他至少經(jīng)過（????）小時才能駕駛．（參考數(shù)據(jù)）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】D
【分析】由題意可得，由對數(shù)的運算性質(zhì)求解即可.
【詳解】解析：設該駕駛員x小時后100mL血液中酒精含量為ymg，
則，
當時，有，即，
∴，
故選：D．
46．（2023秋·內(nèi)蒙古阿拉善盟·高三阿拉善盟第一中學?？计谀┠车劐i礦石原有儲量為a萬噸，計劃每年的開采量為本年年初儲量的m（，且m為常數(shù)）倍，第n（）年開采后剩余儲量為，按該計劃使用10年時間開采到剩余儲量為原有儲量的一半.若開采到剩余儲量為原有儲量的70%，則需開采約（參考數(shù)據(jù)：）（????）
A．3年 B．4年 C．5年 D．6年
【答案】C
【分析】設第n年開采后剩余儲量為y，則，計算，得到，解得答案.
【詳解】設第n年開采后剩余儲量為y，則，
當時，，所以，，故，即，
，設第n年時，，
故，，，故.
故選：C
47．（2023·江蘇·高三統(tǒng)考學業(yè)考試）2023年2月6日，土耳其發(fā)生強烈地震，造成重大人員傷亡和財產(chǎn)損失，江蘇救援隊伍緊急赴當?shù)亻_展救報行動.盡管日前人類還無法準確預報地震，但科學家通過研究，已經(jīng)對地震有所了解，例如，地震時釋放的能量E（單位：焦耳）與地震里氏震級M之間的關系為.里氏8.0級地震所釋放出來的能量是里氏6.0級地震所釋放出來的能量的（????）
A．6倍 B．倍 C．倍 D．倍
【答案】C
【分析】代入數(shù)據(jù)計算，，計算得到答案.
【詳解】，；，，
.
故選：C
48．（2023·北京·高三專題練習）在不考慮空氣阻力的條件下，火箭的最大速度和燃料的質(zhì)量以及火箭（除燃料外）的質(zhì)量間的關系為．若火箭的最大速度為，則下列各數(shù)中與最接近的是（????）（參考數(shù)據(jù)：）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根據(jù)所給關系式，求出，近似計算得解.
【詳解】由題意，火箭的最大速度為時，可得，
即，
因為，所以近似計算可得，
故選：B
考點十利用冪函數(shù)模型解決實際問題

49．（2023·全國·高三專題練習）某公司的收入由保險業(yè)務收入和理財業(yè)務收入兩部分組成.該公司年總收入為億元，其中保險業(yè)務收入為億元，理財業(yè)務收入為億元.該公司經(jīng)營狀態(tài)良好、收入穩(wěn)定，預計每年總收入比前一年增加億元.因越來越多的人開始注重理財，公司理財業(yè)務發(fā)展迅速.要求從年起每年通過理財業(yè)務的收入是前一年的倍，若要使得該公司年的保險業(yè)務收入不高于當年總收入的，則的值至少為（????）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】求出年通過理財業(yè)務的收入為億元，根據(jù)題意可得出關于的不等式，解出的范圍即可得解.
【詳解】因為該公司年總收入為億元，預計每年總收入比前一年增加億元，所以年的總收入為億元，
因為要求從年起每年通過理財業(yè)務的收入是前一年的倍，
所以年通過理財業(yè)務的收入為億元，所以，解得.故的值至少為，
故選：A.
50．（2023·全國·高三專題練習）2023年底，國務院扶貧辦確定的貧困縣全部脫貧摘帽，脫貧攻堅取得重大勝利！為進一步鞏固脫貧攻堅成果，持續(xù)實施鄉(xiāng)村振興戰(zhàn)略，某企業(yè)響應政府號召，積極參與幫扶活動．該企業(yè)2023年初有資金150萬元，資金的年平均增長率固定，每三年政府將補貼10萬元．若要實現(xiàn)2024年初的資金達到270萬元的目標，資金的年平均增長率應為（參考值：）（????）
A．10% B．20% C．22% D．32%
【答案】B
【分析】設年平均增長率為，依題意列方程求即可.
【詳解】由題意，設年平均增長率為，則，
所以，故年平均增長率為20%.
故選：B
51．（2023·全國·高三專題練習）異速生長規(guī)律描述生物的體重與其它生理屬性之間的非線性數(shù)量關系通常以冪函數(shù)形式表示．比如，某類動物的新陳代謝率與其體重滿足，其中和為正常數(shù)，該類動物某一個體在生長發(fā)育過程中，其體重增長到初始狀態(tài)的16倍時，其新陳代謝率僅提高到初始狀態(tài)的8倍，則為（????）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】初始狀態(tài)設為，變化后為，根據(jù)，的關系代入后可求解．
【詳解】設初始狀態(tài)為，則，，
又，，即，
，，，，．
故選：D．

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