?海南省海口市2023屆高三模擬考試數(shù)學(xué)試題
學(xué)校:___________姓名：___________班級(jí)：___________考號(hào)：___________

一、單選題
1．已知，，則（????）
A． B． C． D．
2．復(fù)數(shù)滿足，則（????）
A． B． C． D．
3．二項(xiàng)式的展開(kāi)式中，的系數(shù)為（????）
A． B． C． D．
4．函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是（????）
A． B．和
C． D．和
5．設(shè)，若函數(shù)圖象上任意一點(diǎn)滿足，則（????）
A． B． C． D．
6．設(shè)點(diǎn)在等邊△內(nèi)（含△的三條邊），，，則的最大值為（????）
A． B． C． D．
7．已知數(shù)列滿足，，數(shù)列滿足，，設(shè)數(shù)列和的前項(xiàng)和分別為和，若，則（????）
A． B． C． D．
8．瓊中蜂蜜是海南省瓊中黎族苗族自治縣特產(chǎn).人們贊美蜜蜂是自然界的建筑師，是因?yàn)槊鄯浣ㄔ斓姆浞渴且哉庵鶠閱挝坏膸缀误w.18世紀(jì)初，法國(guó)天文學(xué)家通過(guò)觀測(cè)發(fā)現(xiàn)蜜蜂蜂房的每個(gè)單位并非六棱柱.如圖1，左側(cè)的正六棱柱底面邊長(zhǎng)為，高為.蜜蜂的蜂房實(shí)際形狀是一個(gè)十面體，如圖2，它的頂部是邊長(zhǎng)為的正六邊形，底部由三個(gè)全等的菱形，和構(gòu)成，其余側(cè)面由個(gè)全等的直角梯形構(gòu)成，，，蜜蜂的高明之處在于圖2的構(gòu)造在容積上與圖1相等，但所用的材料最省.圖2中，（????）
??
A． B． C． D．

二、多選題
9．隨著社會(huì)的發(fā)展，人們的環(huán)保意識(shí)越來(lái)越強(qiáng)了，某市環(huán)保部門(mén)對(duì)轄區(qū)內(nèi)A、B、C、D四個(gè)地區(qū)的地表水資源進(jìn)行檢測(cè)，按照地表水環(huán)境質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)，若連續(xù)10天，檢測(cè)到地表水糞大腸菌群都不超過(guò)200個(gè)/L，則認(rèn)為地表水糞大腸菌群指標(biāo)環(huán)境質(zhì)量穩(wěn)定達(dá)到Ⅰ類標(biāo)準(zhǔn)，否則不能稱穩(wěn)定達(dá)到Ⅰ類標(biāo)準(zhǔn).已知連續(xù)10天檢測(cè)數(shù)據(jù)的部分?jǐn)?shù)字特征為：A地區(qū)的極差為20，75%分位數(shù)為180；B地區(qū)的平均數(shù)為170，方差為90；C地區(qū)的中位數(shù)為150，極差為60；D地區(qū)的平均數(shù)為150，眾數(shù)為160.根據(jù)以上數(shù)字特征推斷，地表水糞大腸菌群指標(biāo)環(huán)境質(zhì)量穩(wěn)定達(dá)到Ⅰ類標(biāo)準(zhǔn)的地區(qū)是（????）
A．A地區(qū) B．B地區(qū) C．C地區(qū) D．D地區(qū)
10．已知銳角，，滿足，則（????）
A．，可能是方程的兩根
B．若，則
C．
D．
11．如圖，正方體的棱長(zhǎng)為，，，分別是，和的中點(diǎn)，在線段上，則（????）
??
A．，，，，五點(diǎn)在同一個(gè)球面上
B．直線與平面的交點(diǎn)為線段靠近點(diǎn)的四等分點(diǎn)
C．三棱錐的體積為
D．存在點(diǎn)，使平面
12．已知，，，下面結(jié)論正確的是（????）
A． B．
C． D．

三、填空題
13．已知直線與圓交于，兩點(diǎn)，則______.
14．在正三棱錐中，，則該三棱錐外接球的表面積為_(kāi)_____.

四、雙空題
15．已知點(diǎn)，分別是雙曲線的左右焦點(diǎn)，過(guò)的直線與該雙曲線交于，兩點(diǎn)（點(diǎn)位于第一象限），點(diǎn)是△內(nèi)切圓的圓心，則______；若的傾斜角為，△的內(nèi)切圓面積為，△的內(nèi)切圓面積為，則為_(kāi)_____.

五、填空題
16．已知正實(shí)數(shù)，滿足：，則的最小值為_(kāi)_____.

六、解答題
17．將數(shù)列按照一定的規(guī)則，依順序進(jìn)行分組，得到一個(gè)以組為單位的序列稱為數(shù)列的一個(gè)分群數(shù)列，稱為這個(gè)分群數(shù)列的原數(shù)列.如，，，，，是數(shù)列的一個(gè)分群數(shù)列，其中第個(gè)括號(hào)稱為第群.已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為.
(1)若數(shù)列的一個(gè)分群數(shù)列每個(gè)群都含有項(xiàng)，該分群數(shù)列第群的最后一項(xiàng)為，求數(shù)列的通項(xiàng)公式.
(2)若數(shù)列的一個(gè)分群數(shù)列滿足第群含有項(xiàng)，為的該分群數(shù)列第群所有項(xiàng)構(gòu)成的數(shù)集，設(shè)，求集合中所有元素的和.
18．在△中，角，，所對(duì)的邊分別為，，，已知，.
(1)若，求△的面積；
(2)若，點(diǎn)為中點(diǎn)，求的長(zhǎng).
19．?？谑心持袑W(xué)一研究性學(xué)習(xí)小組為了解?？谑忻衩磕曷糜蜗M(fèi)支出費(fèi)用（單位：千元），寒假期間對(duì)游覽某簽約景區(qū)的100名?？谑杏慰瓦M(jìn)行隨機(jī)問(wèn)卷調(diào)查，并把數(shù)據(jù)整理成如下表所示的頻數(shù)分布表：
組別








頻數(shù)
3
4
8
11
41
20
8
5
(1)從樣本中隨機(jī)抽取兩位市民的旅游支出數(shù)據(jù)，求兩人旅游支出均低于6000元的概率；
(2)若?？谑忻竦穆糜沃С鲑M(fèi)用近似服從正態(tài)分布，近似為樣本平均數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中間值代表），近似為樣本標(biāo)準(zhǔn)差，并已求得，利用所得正態(tài)分布模型解決以下問(wèn)題：
（?。┘俣ê？谑谐Ｗ∪丝跒?00萬(wàn)人，試估計(jì)?？谑杏卸嗌偈忻衩磕曷糜钨M(fèi)用支出在15000元以上；
（ⅱ）若在?？谑须S機(jī)抽取3位市民，設(shè)其中旅游費(fèi)用在9000元以上的人數(shù)為，求隨機(jī)變量的分布列和均值.
附：若，則，，.
20．如圖，四棱錐中，，，平面平面.
??
(1)證明：平面平面；
(2)若，，，與平面所成的角為，求的最大值.
21．已知橢圓的左、右兩個(gè)頂點(diǎn)分別為、，左、右兩個(gè)焦點(diǎn)分別為、，.動(dòng)點(diǎn)是上異于、的一點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，.
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)設(shè)直線的方程為，直線和分別交于點(diǎn)和點(diǎn).從以下三個(gè)條件中任選一個(gè)作為已知條件，證明另外兩個(gè)條件成立：①；②；③以為直徑的圓與相切于.
22．已知函數(shù).
(1)求的最小值；
(2)設(shè).
（?。┳C明：存在兩個(gè)零點(diǎn)，；
（ⅱ）證明：的兩個(gè)零點(diǎn)，滿足.

參考答案：
1．D
【分析】解一元二次不等式化簡(jiǎn)集合，再利用并集的定義求解作答.
【詳解】解不等式，得，即，而，
所以.
故選：D
2．C
【分析】先求出，再由復(fù)數(shù)的乘法和除法運(yùn)算化簡(jiǎn)即可得出答案.
【詳解】由可得，
.
故選：C.
3．A
【分析】先求出二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)，再令的指數(shù)為3得到的值，從而得到答案.
【詳解】的展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為.
令，解得,
所以的系數(shù)為.
故選：A.
4．B
【分析】將絕對(duì)值函數(shù)轉(zhuǎn)化成分段函數(shù)，由二次函數(shù)的性質(zhì)即可求
【詳解】，
則由二次函數(shù)的性質(zhì)知，當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞減區(qū)間為；
當(dāng)，的單調(diào)遞減區(qū)間為，
故的單調(diào)遞減區(qū)間是和.
故選：B
5．C
【分析】根據(jù)題意結(jié)合兩點(diǎn)間距離公式分析運(yùn)算.
【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)在函數(shù)圖象上，則，即，
又因?yàn)?，則，
整理得，
由于對(duì)恒成立，則，解得.
故選：C.
6．D
【分析】記BC中點(diǎn)為D，將化為，由已知可得，根據(jù)數(shù)量積定義直接求解，結(jié)合點(diǎn)P在內(nèi)可得最大值.
【詳解】記BC中點(diǎn)為D，
為正三角形，，

所以，且
所以，即，

因?yàn)辄c(diǎn)P在內(nèi)（含三邊），所以，

所以，

即的最大值為3.
故選：D


7．A
【分析】由遞推關(guān)系可得數(shù)列和的周期為4，結(jié)合條件可得，即得.
【詳解】因?yàn)?，?br /> 所以，，，，
所以數(shù)列的周期為4，
同理可得數(shù)列的周期為4，且，，，，
所以，又，
所以，又，
所以或(舍去).
故選：A.
8．D
【分析】先用把蜂房的表面積表示出來(lái)，然后把當(dāng)作自變量，求導(dǎo)確定蜂房表面積取最小值時(shí)的即為結(jié)果.
【詳解】設(shè)，則由題意知蜂房的表面積為，
求導(dǎo)得，
令，得，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，
所以當(dāng)時(shí)，取得極小值，也是最小值，即此時(shí)蜂房最省料.
故選：D.
9．AB
【分析】根據(jù)平均數(shù)、方差、眾數(shù)、中位數(shù)、極差、百分位數(shù)的知識(shí)對(duì)各地區(qū)進(jìn)行分析，從而確定正確選項(xiàng).
【詳解】根據(jù)題意，設(shè)數(shù)據(jù)的最大值為，最小值為，每天的檢測(cè)數(shù)據(jù)為，
對(duì)于地區(qū)，極差為，，又由分位數(shù)為，則，則，丁地區(qū)一定達(dá)標(biāo)；
對(duì)于地區(qū)，由，則，
如果這個(gè)數(shù)據(jù)中有一個(gè)數(shù)據(jù)大于，則必有，矛盾，
所以這個(gè)數(shù)據(jù)均不大于，地區(qū)一定達(dá)標(biāo)；
對(duì)于地區(qū)，數(shù)據(jù)150、150、150、150、150、150、150、150、150，210，滿足中位數(shù)為150，極差為60，地區(qū)可能沒(méi)有達(dá)標(biāo)；
對(duì)于地區(qū)，數(shù)據(jù)140、150、150、100、100、160、160、160、160，220，滿足平均數(shù)為150，眾數(shù)為160，地區(qū)可能沒(méi)有達(dá)標(biāo)；
故選：AB
10．BD
【分析】由，的符號(hào)即可判斷A；由正弦函數(shù)的單調(diào)性可判斷B；
由正、余弦的降冪公式化二次為一次，結(jié)合三角函數(shù)值的符號(hào)可判斷C；
用兩角和的正切公式的變形可判斷D.
【詳解】因?yàn)?，為銳角，所以，，
若，是方程的兩根，
由韋達(dá)定理得，故A錯(cuò)誤；
因?yàn)?，為銳角且，函數(shù)在上單調(diào)遞增，故B正確；
因?yàn)?，為銳角，所以，，
故，C錯(cuò)誤；
因?yàn)?，所以?br /> 又，所以，
所以
，故D正確.
故選：BD.
11．AC
【分析】利用棱錐的體積計(jì)算公式，線面垂直的性質(zhì)、直線與平面的交點(diǎn)等有關(guān)知識(shí)逐項(xiàng)進(jìn)行驗(yàn)證即可求解.
【詳解】對(duì)于A，分別取，的中點(diǎn)，構(gòu)造長(zhǎng)方體，
則經(jīng)過(guò)點(diǎn)，，，，五點(diǎn)的球即為長(zhǎng)方體的外接球，
故，，，，五點(diǎn)在同一個(gè)球面上，
??
故選項(xiàng)A正確；
對(duì)于B，取的中點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線與點(diǎn)，連接，
點(diǎn)即為直線與平面的交點(diǎn)，而點(diǎn)并不是線段靠近點(diǎn)的四等分點(diǎn)，
??
故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，連接，
??
因?yàn)椋?br /> 所以，故選項(xiàng)C正確；
對(duì)于D，假設(shè)存在點(diǎn)，使平面，因?yàn)槠矫妫?br /> 所以，又因?yàn)?，所以，此時(shí)與重合，
因?yàn)槠矫?，平面，所以，也即?br /> 由正方體的性質(zhì)可知，此時(shí)與不可能垂直，故假設(shè)錯(cuò)誤，
所以不存在這樣的點(diǎn)，使平面，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤，
故選：AC.
12．BCD
【分析】A選項(xiàng)，變形得到，由基本不等式求出最值，A錯(cuò)誤；B選項(xiàng)，先推出和，結(jié)合得到，同理得到，可得結(jié)論；C選項(xiàng)，先根據(jù)基本不等式得到，從而證明出結(jié)論；D選項(xiàng)，由B選項(xiàng)得到，由導(dǎo)函數(shù)得到函數(shù)最值，求出，從而得到，證明出結(jié)論.
【詳解】A選項(xiàng)，變形得到，
因?yàn)?，所以，故?br /> 解得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，A錯(cuò)誤；
B選項(xiàng)，因?yàn)?，所以，即?br /> 又，所以，即，
因?yàn)?，所以，同理可得?br /> 由可得，故，
，所以，
故，解得，
又，即，所以，即，解得，
解得，綜上，，同理可得，
所以，故B正確；
C選項(xiàng)，因?yàn)?，所以，解得?br /> 當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，
，C正確；
D選項(xiàng)，由B可知，，
設(shè)，，則，
故當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，
又，所以，
所以，即，解得，
，
故選：BCD
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：不等式證明或比較大小經(jīng)常用到基本不等式及其變形：
，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，
解題中要結(jié)合題目條件靈活運(yùn)用.
13．
【分析】首先求出圓的圓心坐標(biāo)和半徑，計(jì)算圓心到直線的距離，再計(jì)算弦長(zhǎng)即可.
【詳解】圓，即為，
圓心，半徑.
圓心到直線的距離，
所以.
故答案為：.
14．
【分析】畫(huà)出正三棱錐，設(shè)出球心，由勾股定理建立等量關(guān)系求得外接球半徑，由球的表面積公式求解即可.
【詳解】如圖：在正三棱錐，.

在等邊三角形中，為中點(diǎn)，，
所以，在直角三角形中，
，設(shè)三棱錐外接球半徑為，
在直角三角形中，，.
由勾股定理得：，解得：，
所以該三棱錐外接球的表面積為：.
故答案為：.
15． 2 9
【分析】利用平面幾何圖形的性質(zhì)解題，由同一點(diǎn)出發(fā)的圓的切線長(zhǎng)相等，可得，再結(jié)合雙曲線的定義得，從而可求得的內(nèi)心的橫坐標(biāo)2，即有軸，在，中，運(yùn)用解直角三角形知識(shí)，及正切函數(shù)的定義和二倍角公式化簡(jiǎn)即可得到直線的斜率．
【詳解】由雙曲線，可得，,
記的內(nèi)切圓圓心為，
內(nèi)切圓在邊上的切點(diǎn)分別為，
易知兩點(diǎn)橫坐標(biāo)相等，，
??
由，即，
得，即，
記點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，則，
則，得．
記的內(nèi)切圓圓心為，同理得內(nèi)心的橫坐標(biāo)也為，則軸，
已知直線的傾斜角為，則，
設(shè)△的內(nèi)切圓半徑為，△的內(nèi)切圓半徑為
在中，，
同理，在中，，
所以，所以.
故答案為：2;9.
16．
【分析】將變形為，設(shè)，對(duì)求導(dǎo)可知在上單調(diào)遞增，所以，則，所以，令，對(duì)求導(dǎo)，即可求出的最小值
【詳解】由可得：,
所以，，
設(shè)，，
所以在上單調(diào)遞增，所以，
則，所以，
所以，所以，令，
令，解得：；令，解得：；
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以.
故的最小值為.
故答案為：.
17．(1)
(2)26

【分析】（1）由分群數(shù)列的定義推導(dǎo)即可求解；
（2）根據(jù)該分群數(shù)列第k群含有k項(xiàng)，求出該分群數(shù)列的前6群，從而得到集合即可求解.
【詳解】（1）由題意，該分群數(shù)列第k群的最后一項(xiàng)，
由，所以，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為
（2）由題意，該分群數(shù)列第k群含有k項(xiàng)，所以該分群數(shù)列的前6群為:
，
又，顯然有．
當(dāng)時(shí)滿足，即.
所以集合中所有元素之和為
18．(1)2
(2)或

【分析】（1）由正弦定理結(jié)合兩角和的正弦公式化簡(jiǎn)已知式可得，可判斷△為等腰直角三角形，即可求出△的面積；
（2）由正弦定理求出，結(jié)合（1）可得或，分情況討論，由余弦定理和三角形的面積公式即可得出答案.
【詳解】（1）因?yàn)?，由正弦定理得，?br /> 即．
整理得，
又，故，即．
若，則．
又，所以，此時(shí)．
所以△為等腰直角三角形，即．
（2）若，則，所以．
由，所以．由（1），，由，
所以或．
①當(dāng)時(shí)，，此時(shí)△為直角三角形，且．
所以．
②時(shí)，，此時(shí)△為等腰三角形．
在△中，由余弦定理得，，
所以．綜上，或．
19．(1)
(2)（i）68250人（ii）分布列見(jiàn)解析，均值為

【分析】（1）根據(jù)古典概型即可求解；（2）（ⅰ）根據(jù)正態(tài)分布即可進(jìn)行估計(jì)；（ⅱ）根據(jù)二項(xiàng)分布即可求解.
【詳解】（1）樣本中旅游支出低于6000元的市民有15人，記A為“從樣本中任選兩人，兩人旅游支出均低于6000元”，則．
（2），所以．
（?。┮?yàn)椋?br /> 所以?？谑忻衩磕曷糜钨M(fèi)用支出在15000元以上的人數(shù)．
（ⅱ），所以．
，，
，，
所以的分布列為：

0
1
2
3
P




所以．
20．(1)證明見(jiàn)解析
(2)

【分析】（1）根據(jù)面面垂直和線面垂直的性質(zhì)可得，由已知可證，再利用線面垂直和面面垂直的判定定理可證平面平面；
（2）法1：設(shè)，利用向量法求出平面的一個(gè)法向量，并根據(jù)線面角的公式轉(zhuǎn)化為函數(shù)問(wèn)題分析最值即可；法2：設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，利用等面積法得到，進(jìn)而得到，分析取最小值的情況，即可求出的最大值.
【詳解】（1）證明：過(guò)點(diǎn)A作于，
??
因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，所以平面?br /> 又平面，所以，
由，，可知，
而，平面
所以平面，
因?yàn)槠矫?，所以平面平面?br /> （2）法1：由（1）知平面，平面，所以，
又，所以，
所以，，所以，
由平面ABCD，所以平面．
如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，設(shè)，
平面的一個(gè)法向量為，，
，所以，，即，
得 令，得，
，所以，
顯然，當(dāng)時(shí)，取最小值，
綜上，當(dāng)時(shí)，的最大值為．
法2：設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，因?yàn)椋矫妫?br /> 所以平面，所以點(diǎn)A到平面的距離也為，
由（1），平面，所以，又，所以，
所以，所以，所以，
由（1），平面，所以，
由，在四邊形中，當(dāng)時(shí)，取最小值，
此時(shí)四邊形顯然為矩形，，所以的最大值為．
21．(1)
(2)條件選擇見(jiàn)解析，證明見(jiàn)解析

【分析】（1）設(shè)，根據(jù)可得出的值，當(dāng)，求出的值，根據(jù)以及橢圓的定義可求得的值，由此可得出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）設(shè)、，的中點(diǎn)，設(shè)，推導(dǎo)，化簡(jiǎn)點(diǎn)的坐標(biāo).
證明命題①②③成立：由可求出的值，可證得②成立，再證明出，并說(shuō)明點(diǎn)在以為直徑的圓上，且為圓心，可證得③成立；
證明命題②①③成立：當(dāng)時(shí)，寫(xiě)出點(diǎn)、、的坐標(biāo)，證明出，可證得①成立，再由①③成立，如上即可；
證明命題③①②成立：由圓的幾何性質(zhì)可證得命題①成立，再由①②，如上即可.
【詳解】（1）解：設(shè)，則，，所以．
當(dāng)時(shí)，不妨設(shè)點(diǎn)，，代入橢圓方程得，
化簡(jiǎn)得，所以，
在直角△中，由得，
所以，解得，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．
（2）解：設(shè)、，的中點(diǎn)，
由（1）知，、、，

設(shè)，其中，由可得．
則直線的斜率，直線的方程為，
在直線的方程中，令可得，
同理可得，
所以，即．
【情況1】
下面證明命題①②③成立：
，，
因?yàn)?，所以?br /> 又，
即，化簡(jiǎn)得，解得．
的中點(diǎn)為，所以，，
所以，即，
又，點(diǎn)在以為直徑的圓上，且為圓心，
所以以為直徑的圓與相切于．
【情況2】
下面證明命題②①③成立：
當(dāng)時(shí)，、、，
，，
所以，即成立．
下面①③同情況1．
【情況3】
下面證明命題③①②成立：
由③，點(diǎn)在以為直徑的圓上，所以有，即③①成立．
下同情況1．
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求定值問(wèn)題常見(jiàn)的方法有兩種：
（1）從特殊入手，求出定值，再證明這個(gè)值與變量無(wú)關(guān)；
（2）直接推理、計(jì)算，并在計(jì)算推理的過(guò)程中消去變量，從而得到定值．
22．(1)
(2)（i）證明見(jiàn)解析（ii）證明見(jiàn)解析

【分析】（1）用導(dǎo)數(shù)求出單調(diào)性即可求解；
（2）（?。┣蟪龅膯握{(diào)區(qū)間，用零點(diǎn)存在性定理判斷每個(gè)單調(diào)區(qū)間上零點(diǎn)的個(gè)數(shù)；
（ⅱ）用的單調(diào)性把需證明的不等式轉(zhuǎn)化為即證，然后構(gòu)造函數(shù)證明即可.
【詳解】（1），
所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以的最小值為．
（2）（ⅰ）證明：，，，
因?yàn)椋?，所以?dāng)時(shí)，，時(shí)，，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
則函數(shù)有最小值．
由，，
下面證明，在上，對(duì)，只要足夠小，必存在，
使得：
實(shí)際上，當(dāng)時(shí)，，令，得，
所以對(duì)，取，必有，即，
所以在區(qū)間上，存在唯一的，，
又，所以在區(qū)間上，存在唯一的，，
綜上，存在兩個(gè)零點(diǎn)．
（ⅱ）要證，需證，由，所以，
因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，因此需證：，
，，
所以，，
設(shè)，，
則，
所以在上單調(diào)遞減，，即
，
結(jié)論得證，所以．
【點(diǎn)睛】雙變量不等式證明問(wèn)題，通常結(jié)合變量間的關(guān)系、函數(shù)的單調(diào)性等方法轉(zhuǎn)化為單變量不等式證明問(wèn)題，同時(shí)注意構(gòu)造函數(shù)的技巧方法.

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