2023年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學模擬測試本試卷共22題，共150分，考試時間120分鐘，考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回.注意事項：1.答題前，考生先將自己的姓名、考生號、考場號和座位號填寫清楚，將條形碼準確粘貼在條形碼區(qū)域內.2.選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整，筆跡清楚.3.請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效.4.作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑.5.保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺.不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，，則（    ）A. B. C. D.2.設，其中，為實數(shù)，則（    ）A.，  B.，C.，  D.，3.為客觀反映建設創(chuàng)新型國家進程中我國創(chuàng)新能力的發(fā)展情況，國家統(tǒng)計局社科文司《中國創(chuàng)新指數(shù)（CII）研究》課題組研究設計了評價我國創(chuàng)新能力的指標體系和指數(shù)編制方法.中國創(chuàng)新指數(shù)（China Innovation Index，CII）中有4個分指數(shù)（創(chuàng)新環(huán)境指數(shù)、創(chuàng)新投人指數(shù)、創(chuàng)新產出指數(shù)、創(chuàng)新成效指數(shù)），下面是2005—2021年中國創(chuàng)新指數(shù)及分領域指數(shù)圖，由圖可知指數(shù)與年份正相關，則對4個分領域指數(shù)，在建立年份值與指數(shù)值的回歸模型中，相關系數(shù)最大的指數(shù)類型是（    ）A.創(chuàng)新環(huán)境指數(shù) B.創(chuàng)新投人指數(shù) C.創(chuàng)新產出指數(shù) D.創(chuàng)新成效指數(shù)4.已知，若，，則（    ）A. B. C. D.5.展開式中的系數(shù)為（    ）A.270 B.240 C.210 D.1806.下列四個函數(shù)中的某個函數(shù)在區(qū)間上的大致圖象如圖所示，則該函數(shù)是（    ）A. B. C. D.7.已知，分別是橢圓：（）的左，右焦點，是上的一點，若，且，則的離心率為（    ）A. B. C. D.8.已知，，是球的球面上三點，，，，若異面直線與所成角的余弦值為，則球的表面積為（    ）A. B. C. D.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.每小題有多個選項符合題目要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.已知，，且，則（    ）A.的最大值為  B.的最小值為4C.的最小值為2 D.的最大值為410.設為拋物線：（）的焦點，為坐標原點，為上一點，且，則（    ）A.  B.C.直線的斜率為 D.的面積為11.已知函數(shù)（）的圖象與函數(shù)的圖象的對稱中心完全相同，且在上，有極小值，則（    ）A.  B.C.函數(shù)是偶函數(shù) D.在上單調遞增12.已知函數(shù)（），則（    ）A.若，則函數(shù)在上單調遞增B.若在上有最小值，則在上有最大值C.過原點有且僅有一條直線與的圖象相切D.若函數(shù)存在大于1的極值點，則三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知向量，不共線，，，寫出一個符合條件的向量的坐標：______.14.已知，則______.15.工人甲將一底面半徑為4、高為4的圓柱型鋼料，車削成一下底面半徑為4、高為4的圓臺型鋼坯.經測量，車削下來的鋼料體積占圓柱型鋼料體積的，則圓臺型鋼壞所對應圓臺的母線長為______.16.已知圓：的圖象在第四象限，直線：，：.若上存在點，過點作圓的切線，，切點分別為，，使得為等邊三角形，則被圓截得的弦長的最大值為______.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.（10分）已知的內角，，的對邊分別為，，，，.（1）若，證明：；（2）若邊上的高為，求的周長.18.（12分）已知數(shù)列中，，是與9的等差中項，記為數(shù)列的前項和，滿足（）.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若，求實數(shù)的最小值.19.（12分）在以視覺為主導的社交媒體時代，人們常借助具有美顏功能的產品對自我形象進行美化.移動端的美顏拍攝類APP主要有兩類：類是以自拍人像、美顏美妝為核心功能的APP；類是圖片編輯、精修等圖片美化類APP.某機構為調查市民對上述，兩類APP的使用情況，隨機調查了部分市民.已知被調查的市民中使用過類APP的占60%，使用過B類APP的占50%，設個人對美顏拍攝類APP類型的選擇及各人的選擇之間相互獨立.（1）從樣本人群中任選1人，求該人使用過美顏拍攝類APP的概率；（2）從樣本人群中任選5人，記為5人中使用過美顏拍攝類APP的人數(shù)，設的數(shù)學期望為，求；（3）在單獨使用過，兩類APP的樣本人群中，按類型分甲、乙兩組，并在各組中隨機抽取8人，甲組對類APP，乙組對類APP分別評分如下：甲組評分9486929687939082乙組評分8583859175908380記甲、乙兩組評分的平均數(shù)分別為，，標準差分別為，，試判斷哪組評價更合理.（設（），越小，則認為對應組評價更合理.）參考數(shù)據(jù)：，.20.（12分）如圖，多面體中，四邊形是菱形，，，，，，平面.（1）求；（2）求二面角的正弦值.21.（12分）已知函數(shù)（）有兩個零點.（1）求實數(shù)的取值范圍；（2）設函數(shù)的兩個零點分別為，，證明：.22.（12分）已知雙曲線：（，）的離心率為2，右頂點到漸近線的距離等于.（1）求雙曲線的方程.（2）點，在上，且，直線是否過定點？若是，求出定點坐標；若不是，請說明理由.  2023年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學模擬測試參考答案1. B  【命題意圖】本題考查集合的基本運算，要求考生能用集合表示簡單不等式的解集，理解兩個集合交集的含義，能求兩個集合的交集.【解題分析】由題意得，.2. A  【命題意圖】本題考查復數(shù)的有關概念及運算，要求考生理解復數(shù)的有關概念和掌握復數(shù)代數(shù)形式的四則運算.【解題分析】，，.3. D  【命題意圖】本題考查成對數(shù)據(jù)的統(tǒng)計相關性，要求考生了解樣本相關系數(shù)的統(tǒng)計含義.【解題分析】由題圖易知4個分領域指數(shù)的起始位置相同，其中創(chuàng)新投入指數(shù)，創(chuàng)新產出指數(shù)從2014年起，指數(shù)增幅大，變化趨勢明顯大于另兩類指數(shù)；從2011年起，創(chuàng)新環(huán)境指數(shù)的波動幅度比創(chuàng)新成效指數(shù)的波動幅度大，創(chuàng)新成效指數(shù)對應的散點更趨近于某一條直線，故其對應的相關系數(shù)最大.（也可通過直尺度量比較）4. D  【命題意圖】本題考查指數(shù)、對數(shù)比較大小，要求考生理解對數(shù)的運算性質，指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的單調性.【解題分析】，，，，故選D.5. A  【命題意圖】本題考查二項式，要求考生會用二項式定理解決與二項展開式有關的簡單問題.【解題分析】展開式的通項公式為，則原展開式中的系數(shù)為.6. B  【命題意圖】本題考查函數(shù)的性質與圖象，要求考生了解函數(shù)奇偶性的概念與幾何意義，能比較函數(shù)圖像的變化規(guī)律，并能簡單應用.【解題分析】由圖象可知函數(shù)是奇函數(shù)，排除C；當時，，排除A；當時，，排除D.故選B.7. C  【命題意圖】本題考查橢圓的離心率，要求考生掌握橢圓的定義、標準方程及幾何性質.【解題分析】作軸，垂足為，在中，，設，由題意知，由余弦定理得，由橢圓定義知，則離心率.8. A  【命題意圖】本題考查立體幾何體初步，要求考生認識柱、錐、球的結構特征及表面積的計算公式，能用公式解決簡單的實際問題.【解題分析】由題意知，在中，，，，外接圓的圓心是的中點，易知平面.設，長方體如圖所示，易知，且，四邊形是平行四邊形，則，為異面直線與所成角（或補角），易知，，則在等腰中，，解得，則球的半徑，球的表面積為.9. AC  【命題意圖】本題考查基本不等式的應用，要求考生能用基本不等式解決簡單的最值問題.【解題分析】，得，當且僅當時取等號，選項A正確；，當且僅當時取等號，此時，選項B不正確；，當且僅當時取等號，選項C正確；，當且僅當時取等號，選項D不正確.10.  【命題意圖】本題考查拋物線，要求考生了解拋物線的定義、標準方程及簡單的幾何性質.【解題分析】由題意得，解得，的方程為，焦點，由拋物線定義及，得，，的面積，故選ABD.11. AD  【命題意圖】本題考查三角函數(shù)的圖象與性質，要求考生了解的實際意義，能借助圖象理解參數(shù)，，的意義，了解參數(shù)的變化對函數(shù)圖象的影響.【解題分析】由題意，函數(shù)與的最小正周期相同，則，且.當時，，，則，，，有極大值，無極小值，不合題意；當時，，，，，，有極小值，滿足題意.（或通過求對稱中心定的值.），，A項正確，B項不正確；，不是偶函數(shù)，C項不正確；當時，，函數(shù)在上單調遞減，則在上單調遞增，D項正確.12. BC  【命題意圖】本題考查導數(shù)在函數(shù)中的應用，要求考生能利用導數(shù)求三次的多項式函數(shù)的極值與最值，體會導數(shù)與單調性、極值、最值的關系.【解題分析】當，時，易知函數(shù)在上單調遞增，當，時，易知函數(shù)在上單調遞減，A項不正確；函數(shù)是奇函數(shù)，即函數(shù)滿足，B項正確；，設切點，切線方程為，切線過點，得，該方程有且僅有一解，C項正確；若函數(shù)有極值點，則有兩個不同的根，則，設兩根分別為，，則，若，則，當，時，，當，時，，D項不正確.13.（答案不唯一）  【命題意圖】本題考查平面向量，要求考生會計算平面向量的數(shù)量積，會用數(shù)量積判斷兩個平面向量垂直、共線的關系.【解題分析】由題意得，，則，設，得，且，滿足條件的向量的坐標可以為（答案不唯一）.14.  【命題意圖】本題考查三角恒等變換，要求考生理解同角三角函數(shù)的基本關系式，能運用三角公式進行簡單的恒等變換.【解題分析】，解得，.15. 5  【命題意圖】本題考查旋轉體，要求考生認識圓柱與圓臺的結構特征，并了解圓柱和圓臺體積的計算方法.【解題分析】設圓臺的上底面半徑為，由題意得，解得，則圓臺的母線長.16.  【命題意圖】本題考查直線與圓，要求考生能根據(jù)給定直線、圓的方程，判斷直線與圓的位置關系.【解題分析】由題意知，，直線：，直線與圓相離，圓心到直線的距離，由題意易知，則，，則，圓心到直線的距離，被圓截得的弦長為.17.【命題意圖】本題考查解三角形，要求考生掌握三角恒等變換及正、余弦定理.【解題分析】由正弦定理得，則，.…………1分（1）由，得，，，…………2分，…………3分，，，…………4分函數(shù)在上單調遞減，則.…………5分（2）由題意得的面積，…………6分又，則，…………7分由余弦定理，得，…………8分得，…………9分的周長為.…………10分18.【命題意圖】本題考查數(shù)列，要求考生理解等比數(shù)列的通項公式與前項和公式的關系，能解決相應的問題.【解題分析】（1）由題意知，當時，，得，…………1分當時，，又，得，…………2分易知數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，則數(shù)列是公比的等比數(shù)列，…………3分，即，解得或（舍去），…………5分故.…………6分（2）由（1）知，…………7分由題意得，設，…………8分，…………9分當時，，當時，，…………10分的最大值為.…………11分故的最小值為.…………12分19.【命題意圖】本題考查統(tǒng)計與概率，要求考生了解相互獨立事件，掌握二項分布及其數(shù)字特征，理解離散程度參數(shù)的統(tǒng)計含義，并能解決簡單的實際問題.【解題分析】（1）設事件表示“使用過類APP”，事件表示“使用過類APP”，由題意知，.…………2分任選一人，該人使用過美顏拍攝類APP的概率.…………4分（2）由題意知，…………5分則的數(shù)學期望.…………6分.…………8分（3），.…………9分，，…………10分，…………11分故甲組對類APP的評價更合理.…………12分20.【命題意圖】本題考查空間向量與立體幾何，要求考生了解空間中的平行和垂直的關系，能用向量方法解決簡單夾角問題，體會向量方法在研究兒何問題中的作用.【解題分析】（1）取的中點，連接，.在菱形中，，易知是正三角形，，…………1分平面，.…………2分，平面，.…………3分，，平面，…………4分，，，…………5分四邊形是正方形，，.…………6分（2）取的中點，連接.，易知是正三角形，，.平面，，，兩兩相互垂直.…………8分如圖，以為坐標原點，，，的方向分別為，，軸正方向建立空間直角坐標系，則，，，.…………9分設平面的法向量為，，，，即，令，則，…………10分設平面的法向量為，，，即，令，則，…………11分，二面角的正弦值為.…………12分21.【命題意圖】本題考查導數(shù)的綜合應用，要求考生了解函數(shù)的單調性與導數(shù)的關系，體會導數(shù)與單調性、極值、最值的關系.【解析分析】（1）當時，，若，則.…………1分設（），.…………2分當時，，當時，，函數(shù)在上單調遞減，在上單調遞增，.…………4分（當時，；當時，）當時，最多有一個解；…………5分當時，有兩個解.綜上，.…………6分（2）由題意知，，由（1）設，…………7分得，即，設，…………8分得，即，則.…………9分設（或設，解略），，設，，易知函數(shù)在上單調遞增，，則易知函數(shù)在上單調遞增，，…………10分則當時，，即，…………11分即.…………12分22.【命題意圖】本題考查雙曲線綜合，要求考生了解雙曲線的定義，標準方程即簡單的幾何性質.解題分析：（1）由題意，取漸近線，右頂點到該漸近線的距離，…………2分又，，解得，，，…………4分的方程為.…………5分（2）由題意知直線的斜率存在且不為0，設直線：，與的方程聯(lián)立，消去得，易知，…………6分由韋達定理得，則.…………7分，用代替（顯然此時），得，…………8分得，…………9分直線：，過定點.…………10分當時，直線的斜率不存在，易知直線的方程為，過左焦點.…………11分綜上，直線過定點.…………12分

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