2023屆海南省陵水縣高三模擬考試數(shù)學(xué)試題 一、單選題1．已知集合，，則（    ）A． B．C．或 D．【答案】B【分析】求出或，從而求出交集.【詳解】或，則故選：B2．若i為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z滿足，則z的實部為（    ）．A． B．3 C． D．2【答案】D【分析】通過條件計算出復(fù)數(shù)z的代數(shù)形式，即可得實部.【詳解】，則，則z的實部為.故選：D.3．已知a、b都是正實數(shù), 那么""是"a>b"的A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】C【詳解】先討論充分性,當(dāng)時,,所以充分性成立.再討論必要性,當(dāng)a>b時，   所以，所以必要性成立.故選C.4．設(shè)，則                                     （　?。?/span>A． B． C． D．【答案】B【詳解】分析：先分析出ab<0,a+b<0，再利用作差法比較的大小關(guān)系得解.詳解：由題得＜ln1=0,>. 所以ab<0..所以，所以.故答案為B.點睛：（1）本題主要考查實數(shù)大小的比較和對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，考查對數(shù)的運(yùn)算，意在考查學(xué)生對這些知識的掌握水平和基本運(yùn)算能力.(2)解答本題的關(guān)鍵是對數(shù)的運(yùn)算.5．已知，，均為銳角，則（    ）A． B． C． D．【答案】D【解析】先根據(jù)已知條件求解，結(jié)合平方關(guān)系可得，然后利用倍角公式可得.【詳解】因為均為銳角，所以，又因為，，所以，.因為，所以，，所以.故選：D.【點睛】本題主要考查三角恒等變換，給值求值問題一般是先根據(jù)已知角與所求角的關(guān)系，結(jié)合相關(guān)公式可求，側(cè)重考查邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).6．如圖是一個圓柱，圓柱內(nèi)有一個內(nèi)切球，這個球的直徑恰好與圓柱的高相等.設(shè)圓柱的體積與球的體積之比為m，圓柱的表面積與球的表面積之比為n，則的展開式中的常數(shù)項是（    ）A．15 B．-15 C． D．【答案】A【分析】根據(jù)圓柱與球的體積公式、面積公式可得m,n，根據(jù)二項展開式的通項公式計算常數(shù)項即可.【詳解】設(shè)球的半徑為R，則圓柱的底面半徑為R，高為2R，所以圓柱的體積，球的體積，所以.又圓柱的表面積為，球的表面積為，所以，所以，則，展開式的通項公式，令，解得，其常數(shù)項為.故選：A7．若方程 ()表示雙曲線,則該雙曲線的離心率為A．1 B． C． D．2【答案】B【詳解】因為方程表示雙曲線,所以 因為，所以 ，選B.8．已知.則（     ）A．-30 B．30 C．-40 D．40【答案】B【解析】令，得，進(jìn)而得含的項為，從而得解.【詳解】令，則有：，即，展開式的通項公式為：，所以中含的項為：.故選：B.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題解題的關(guān)鍵是令，轉(zhuǎn)化為求的展開中含的項. 二、多選題9．2019年中國5G建設(shè)有序推進(jìn)，新型信息基礎(chǔ)設(shè)施能力不斷提升，有力支撐社會的數(shù)字化轉(zhuǎn)型，電信業(yè)務(wù)發(fā)展迅速，下圖是2010～2019年中國移動電話用戶數(shù)及增速走勢圖．根據(jù)該圖，下列說法正確的是（    ）A．2010～2019年中國移動電話用戶數(shù)逐年增加B．2011～2019年中國移動電話用戶數(shù)增速的中位數(shù)為7.2%C．2011～2019年中國移動電話用戶數(shù)在2011年增速最快D．中國移動電話用戶數(shù)在2011～2014年的增速逐年遞減，因此用戶數(shù)逐年減少【答案】BC【分析】由統(tǒng)計圖結(jié)合統(tǒng)計知識逐一判斷即可.【詳解】解：對于A，2015年與2014年相比中國移動電話用戶數(shù)減少，所以A不正確；對于B，2011～2019年中國移動電話用戶數(shù)的增速按從小到大的順序排列，為，2.3%，4.0%，4.6%，7.2%，，則增速的中位數(shù)為7.2%，故B正確；對于C，2011～2019年中國移動電話用戶數(shù)在2011年增速最快，故C正確；對于D，中國移動電話用戶數(shù)在2011～2014年的增速逐年遞減，但都是正增長，故D錯誤；故選：BC10．已知函數(shù)（a為常數(shù)，）的圖像關(guān)于直線對稱，函數(shù)，則下面說法正確的是（   ）A．將的圖像向左平移個單位可以得到的圖像B．的圖像關(guān)于點對稱C．在上單調(diào)遞減D．的最大值為1【答案】ABC【分析】由正弦函數(shù)的性質(zhì)，為的最大值，由此求得值，然后由兩角和的正弦公式化簡函數(shù)式，再根據(jù)三角函數(shù)的圖象變換，正弦函數(shù)的對稱性、單調(diào)性與最值判斷各選項．【詳解】由題意，，，，將的圖像向左平移個單位所得圖像的解析式為，A正確；，B正確；時，，此時是減函數(shù)，C正確；的最大值為，D錯誤．故選：ABC．11．已知向量，，則（    ）A．當(dāng)時，∥ B．的最小值為C．當(dāng)時， D．當(dāng)時，【答案】AC【分析】A選項，利用向量共線定理進(jìn)行判斷；B選項用坐標(biāo)表達(dá)出為關(guān)于x二次函數(shù)，配方求最小值；C選項利用向量夾角公式進(jìn)行求解；D選項利用，先求出，再求解.【詳解】當(dāng)時，，，此時，∥，選項A正確；，最小值為，故選項B錯誤；當(dāng)時，，，故 ，故，選項C正確；當(dāng)，解得：，此時，故D選項錯誤故選：AC12．已知向量，，若與共線，則下列說法正確的是（    ）A．函數(shù)的最小正周期為B．函數(shù)在上單調(diào)遞增C．直線是圖象的一條對稱軸D．將的圖像向左平移個單位得到函數(shù)的圖象【答案】ACD【分析】利用向量共線的坐標(biāo)運(yùn)算結(jié)合余弦的二倍角公式先求出，再根據(jù)余弦函數(shù)的性質(zhì)逐一判斷即可.【詳解】解：因為向量，，且與共線則即：所以對A，函數(shù)的最小正周期為，故A正確；對B，由，得，，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，，而，故B錯誤；對C，由，，得，，即的對稱軸為，，當(dāng)時，，所以是圖象的一條對稱軸，故C正確；對D，，將的圖像向左平移個單位得到，故D正確.故選：ACD. 三、填空題13．曲線在點處的切線方程為__________．【答案】【分析】先驗證點在曲線上，再求導(dǎo)，代入切線方程公式即可．【詳解】由題，當(dāng)時，，故點在曲線上．求導(dǎo)得：，所以．故切線方程為．故答案為：．14．若為實數(shù)，則實數(shù)___________.【答案】0【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法運(yùn)算化簡，再根據(jù)復(fù)數(shù)的類型求出參數(shù)的值；【詳解】解：因為為實數(shù)，所以，解得故答案為：15．某公司的廣告費(fèi)支出與銷售額（單位：萬元）之間有下列對應(yīng)數(shù)據(jù)：由資料顯示對呈線性相關(guān)關(guān)系．x24568y3040605070根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù)得到回歸方程中的，預(yù)測廣告費(fèi)支出10萬元時，銷售額約為 _____________萬元.（參考公式：）【答案】85                              【分析】求出樣本數(shù)據(jù)中心點，代入，即可求出線性回歸直線方程，當(dāng)時，代入方程求即可.【詳解】由所給表格可知，所以 ,即線性回歸直線方程為，當(dāng)時， ，即銷售額大約為85萬元，故填85.【點睛】本題主要考查了線性回歸直線方程的求法，及應(yīng)用線性回歸直線方程進(jìn)行估計，屬于中檔題.16．在四棱錐中，底面是邊長為2的正方形，，，則以該四棱錐外接球的球心為球心且與平面相切的球的體積為________________．【答案】【分析】先確定四棱錐外接球的球心，再利用等體積法求球體的半徑即可求解問題.【詳解】將四棱錐放入如下圖所示的正四棱柱中，可知其外接球的球心為與的交點，因此以該四棱錐外接球的球心為球心且與平面相切，其半徑為點到平面的距離.由題意可知，此正四棱柱的高，即為等腰直角三角形斜邊上的高，此高為，所以由，即，解得，所以此球的體積為.故答案為： 四、解答題17．在中，角所對的邊分別為，且，.(1)求角的大??；(2)若，求證：為等邊三角形.【答案】(1)；(2)見解析. 【分析】（1）利用向量的坐標(biāo)和向量的數(shù)量積的運(yùn)算求得關(guān)于的一元二次方程求得的值，則可求得．（2）根據(jù)已知條件，利用余弦定理可求得的值，和的關(guān)系，代入原式可求得，進(jìn)而判斷出,即三角形為等邊三角形．【詳解】（1）由，得．因為，所以，解得或．因為，所以，（2）在中，由余弦定理得，因為，，所以， ①                又，所以，代入①整理得，解得．                所以，于是，所以為等邊三角形．18．設(shè)等比數(shù)列的前項和為，且，．(1)求的通項公式；(2)若，求數(shù)列的前項和．【答案】(1)(2) 【分析】（1）結(jié)合題干條件求解基本量，利用等比數(shù)列的通項公式求解即可；（2）分組求和即可得解.【詳解】（1）設(shè)數(shù)列的公比為，則解得，．故．（2）由（1）可得．則．19．如圖，已知四棱錐S－ABCD的底面ABCD是正方形，SA⊥底面ABCD，E是SC上的一點.(1)求證：平面EBD⊥平面SAC；(2)設(shè)SA＝4，AB＝2，求點A到平面SBD的距離；【答案】(1)見解析（2）0.5· 【詳解】(1)證明：∵SA⊥底面ABCD，BDì底面ABCD，∴SA⊥BD∵ABCD是正方形，∴AC⊥BD∴BD⊥平面SAC，又BDì平面EBD∴平面EBD⊥平面SAC.   (2)解：設(shè)AC∩BD＝O，連結(jié)SO，則SO⊥BD由AB＝2，知BD＝SO＝∴S△SBD＝ BD·SO＝··＝6令點A到平面SBD的距離為h，由SA⊥平面ABCD, 則·S△SBD·h＝·S△ABD·SA∴6h＝·2·2·4 T h＝ ∴點A到平面SBD的距離為20．2022北京冬奧會即將開始，北京某大學(xué)鼓勵學(xué)生積極參與志愿者的選拔.某學(xué)院有6名學(xué)生通過了志愿者選拔，其中4名男生，2名女生.(1)若從中依次抽取2名志愿者，求在第1次抽到男生的條件下，第2次也抽到男生的概率；(2)若從6名志愿者中任選3人負(fù)責(zé)滑雪項目服務(wù)崗位，且所選3人中女生人數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.【答案】(1)(2)分布列答案見解析，數(shù)學(xué)期望： 【分析】（1）設(shè)“第1次抽到的男生”為事件A，“第2次抽到男生”為事件B，則“第1次和第2次都抽到男生”為事件AB，然后利用條件概率的公式求解即可，（2）由題意可得的取值可能為0，1，2，然后求出各自對應(yīng)的概率，從而可求出分布列和數(shù)學(xué)期望【詳解】（1）設(shè)“第1次抽到的男生”為事件A，“第2次抽到男生”為事件B，則“第1次和第2次都抽到男生”為事件AB.方法一根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，得，，所以.方法二易知，，所以.（2）的取值可能為0，1，2依題意，得所以的分布列為012.21．已知橢圓中心在原點，焦點在坐標(biāo)軸上，直線與橢圓在第一象限內(nèi)的交點是，點在軸上的射影恰好是橢圓的右焦點，橢圓另一個焦點是，且.（1）求橢圓的方程；（2）直線過點，且與橢圓交于兩點，求的內(nèi)切圓面積的最大值.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）利用將點的橫坐標(biāo)代入直線，求得點的坐標(biāo)，代入的坐標(biāo)運(yùn)算，求得的值，也即求得點的坐標(biāo)，將的坐標(biāo)代入橢圓，結(jié)合，解方程組求得的值，進(jìn)而求得橢圓方程.（2）設(shè)出直線的方程，聯(lián)立直線的方程和橢圓的方程并寫出根與系數(shù)關(guān)系，由此求得的面積，利用導(dǎo)數(shù)求得面積的最大值，并由三角形與內(nèi)切圓有關(guān)的面積公式，求得內(nèi)切圓的半徑的最大值.【詳解】（1）設(shè)橢圓方程為，點在直線上，且點在軸上的射影恰好是橢圓的右焦點，則點.∵∴又解得∴橢圓方程為（2）由（1）知，，過點的直線與橢圓交于兩點，則的周長為，又（為三角形內(nèi)切圓半徑），∴當(dāng)的面積最大時，其內(nèi)切圓面積最大.設(shè)直線的方程為：，，則消去得，∴∴令，則，∴令，當(dāng)時，，在上單調(diào)遞增，∴，當(dāng)時取等號，即當(dāng)時，的面積最大值為3，結(jié)合，得的最大值為，∴內(nèi)切圓面積的最大值為.【點睛】本小題主要考查橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的求解和橢圓的幾何性質(zhì)，考查直線和橢圓相交，所形成的三角形有關(guān)最值的計算，屬于中檔題.22．已知函數(shù).（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若，，試證：.【答案】（1）單調(diào)增區(qū)間為與，減區(qū)間為；（2）見解析【分析】（1）求導(dǎo)，令，可得增區(qū)間，令，可得減區(qū)間，要注意函數(shù)定義域為；（2）構(gòu)造函數(shù)，，求導(dǎo)后得，在上恒成立，即在上單調(diào)遞增，利用函數(shù)的單調(diào)性可得在上恒成立，因為，所以，即①；同理，構(gòu)造函數(shù)，，可證②，結(jié)合①②，結(jié)論可證.【詳解】（1）由題設(shè)知函數(shù)的定義域為且故當(dāng)時，；當(dāng)時，；所以的單調(diào)增區(qū)間為與，減區(qū)間為；（2）由（1）知：，先證.構(gòu)造函數(shù)，則故在上恒成立，即在上單調(diào)遞增所以在上恒成立，又，得，又且函數(shù)在上單調(diào)遞減故，即       ①再證.構(gòu)造函數(shù)，故在上恒成立，即在上單調(diào)遞增所以在上恒成立，又，得，又且函數(shù)在上單調(diào)遞增故，即       ②結(jié)合①②得：【點睛】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)求單調(diào)區(qū)間以及通過構(gòu)造函數(shù)證明不等式，難度較大. 

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