第二單元《圓柱和圓錐》（原卷版+解析版）——【期末復(fù)習(xí)】2022-2023學(xué)年六年級(jí)下冊(cè)數(shù)學(xué)單元復(fù)習(xí)知識(shí)點(diǎn)+練習(xí)學(xué)案（蘇教版）-學(xué)案下載-教習(xí)網(wǎng)

?2022-2023學(xué)年蘇教版六年級(jí)下冊(cè)同步重難點(diǎn)講義精講精練
第二單元圓柱和圓錐

知識(shí)點(diǎn)一：圓柱、圓錐的認(rèn)識(shí)
①圓柱由一個(gè)上底面、一個(gè)下底面和一個(gè)側(cè)面組成。上下底面是兩個(gè)完全相同的圓形；側(cè)面是一個(gè)曲面。
②圓柱的高：上下底面之間的距離。圓柱有無數(shù)條高，每條高相等。
③圓錐由一個(gè)底面和一個(gè)側(cè)面組成。底面是一個(gè)圓形；側(cè)面是一個(gè)曲面。
④圓錐的高：圓錐的定點(diǎn)到底面圓心的距離。圓錐只有一條高。
知識(shí)點(diǎn)二：圓柱側(cè)面積的計(jì)算方法
圓柱的側(cè)面展開圖：有可能是長方形，也有可能是正方形。
①假如是長方形，那么長方形的長 a，就是圓柱底面的周長 C，寬 b 就是圓柱的高h(yuǎn)。
長方形的面積 S=a×b=C×h=2πr×h=2πrh，就是圓柱的側(cè)面積。
②假如是正方形，那么正方形的邊長 a 既等于圓柱底面的周長C，也等于圓柱的高h(yuǎn)，也就是說底面周長和高相等。
正方形的面積 S=a×a=C×h=2πr×h=2πrh，就是圓柱的側(cè)面積。所以圓柱的側(cè)面積公式=Ch 或者=2πrh 或者=πdh
知識(shí)點(diǎn)三：圓柱表面積的計(jì)算方法
圓柱的表面積由一個(gè)側(cè)面加上兩個(gè)底面組成，計(jì)算方法是S 表=S 側(cè)+2S 底，因?yàn)镾側(cè)=Ch，S 底=πr2，所以 S 表=Ch+2πr2 =2πrh+2πr2
用乘法分配率得圓柱的表面積公式 =2πr(h+r)
知識(shí)點(diǎn)四：圓柱體積的計(jì)算方法
利用我們以前學(xué)過的長方體的體積公式V 長方體=S 底×h，可以得到圓柱的體積公式V 圓柱= S 底×h，長方體的底面積是長方形或正方形，而圓柱的底面積是圓。
相關(guān)公式：①已知半徑和高，V 圓柱=πr2h
②已知直徑和高，V 圓柱=π(d÷2)2h
③已知周長和高，V 圓柱=π(C÷2π)2h
難點(diǎn)解析：把圓柱的底面平均分成n 份，切開后平成一個(gè)近似的長方體。得到的結(jié)論：圓柱的底面周長等于長方體的兩條長的和;
圓柱的半徑等于長方體的寬;
圓柱的高等于長方體的高;
圓柱的體積等于長方體的體積;
★圓柱的側(cè)面=長方體的前、后兩個(gè)面積的和(長×高)；圓柱的上、下底面和等于長方體的上、下底面和(長×寬)，所以圓柱的表面積比長方體的表面積少左右兩個(gè)側(cè)面(寬×高)。
知識(shí)點(diǎn)五：圓錐體積的計(jì)算方法
根據(jù)書本上的實(shí)驗(yàn)可以得到結(jié)論：等底等高的圓柱和圓錐，圓柱的體積是圓錐的 3 倍，或者說圓錐的體積是圓柱的三分之一。
用字母表示為V 圓柱=3V 圓錐或者V 圓錐=1/3V 圓柱。相關(guān)公式：只需要在圓柱的相關(guān)公式前面乘以三分之一。
①已知半徑和高，V 圓錐=1/3πr2h
②已知直徑和高，V 圓錐=1/3π(d÷2)2h
③已知周長和高，V 圓錐=1/3π(C÷2π)2h
知識(shí)點(diǎn)六：圓柱和圓錐的橫截面理解掌握：★圓柱橫截面的分割方法：
① 按底面的直徑分割，這樣分割的橫截面是長方形或者是正方形，如果橫截面是正方形說明圓柱的底面直徑和高相等。
② 按平行于底面分割，這樣分割的橫截面是圓。圓錐橫截面的分割方法：
① 按圓錐的高分割，這樣分割的橫截面是等腰三角形。
② 按平行于底面分割，這樣分割的橫截面是圓。

考點(diǎn)1：圓柱的特征
【典例分析01】（2022·磐石）一個(gè)邊長為4厘米的正方形，沿其中的一條邊長旋轉(zhuǎn)一周，形成的立體圖形是　　，這個(gè)圖形的側(cè)面積是　　平方厘米。（π取3.14）
【答案】圓柱；100.48
【規(guī)范解答】解：形成的立體圖形是圓柱，這個(gè)圖形的側(cè)面積是4×2×3.14×4=100.48平方厘米。
故答案為：圓柱；100.48。
【思路引導(dǎo)】沿著正方形的一條邊長旋轉(zhuǎn)一周，形成的立體圖形是圓柱，其中圓柱的底面半徑=圓柱的高=正方形的邊長；
圓柱的側(cè)面積=2πrh。
【典例分析02】（2022·寶安）把一個(gè)直徑是6厘米，高是10厘米的圓柱，切拼成一個(gè)近似的長方體（如圖），那么這個(gè)長方體的長是　　厘米，寬是　　厘米，高是　　厘米。

【答案】9.42；3；10
【規(guī)范解答】解：這個(gè)長方體的長是6×3.14÷2=9.42厘米，寬是6÷2=3厘米，高是10厘米。
故答案為：9.42；3；10。
【思路引導(dǎo)】把圓柱切拼成一個(gè)近似的長方體，這個(gè)長方體的長=圓柱的底面周長÷2=直徑×π÷2，長方體的寬=圓柱的半經(jīng)=圓柱的直徑÷2，長方體的高=圓柱的高。
【變式訓(xùn)練01】（2022·寶安）（如圖）在圓柱體水桶中裝滿水后倒入一個(gè)無蓋的長方體玻璃魚缸中，正好將魚缸裝滿。已知圓柱體水桶內(nèi)部的底面積等于長方體魚缸內(nèi)部的底面積。（π取3.14）

（1）長方體魚缸內(nèi)部的長和高分別是多少？
（2）水桶和魚缸的容積分別是多少立方分米？
【答案】（1）解：3.14×202÷20
＝3.14×400÷20
＝1256÷20
＝62.8（厘米）
答：長方體魚缸內(nèi)部的長是62.8厘米，高是40厘米。
（2）解：3.14×202×40
＝3.14×400×40
＝1256×40
＝50240（立方厘米）
50240立方厘米＝50.24立方分米
答：水桶和魚缸的容積都是50.24立方分米。
【思路引導(dǎo)】（1）圓柱體水桶內(nèi)部的底面積等于長方體魚缸內(nèi)部的底面積，所以圓柱的高=長方體的高；長方體魚缸內(nèi)部的長=長方體的底面積÷長方體的寬，其中長方體的底面積=圓柱的底面積=圓柱的底面半徑2×π；
（2）在圓柱體水桶中裝滿水后倒入一個(gè)無蓋的長方體玻璃魚缸中，正好將魚缸裝滿，說明水桶的容積等于長方體的容積，所以水桶的容積=長方體的體積=圓柱的底面半徑2×π×h，然后進(jìn)行單位換算，即1立方分米=1000立方厘米。
【變式訓(xùn)練02】（2022六下·玉溪期中）（如圖）一個(gè)長方形，如果以AB邊為軸旋轉(zhuǎn)一周，所得到的幾何形體是一個(gè)　　，它的底面半徑是　　厘米，高是　　厘米，體積是　　立方厘米。

【答案】圓柱；3；2；56.52
【規(guī)范解答】解：一個(gè)長方形，如果以AB邊為軸旋轉(zhuǎn)一周，所得到的幾何形體是一個(gè)圓柱；
它的底面半徑是3厘米，高是2厘米，32×3.13×2=56.52（立方厘米），所以體積是56.52立方厘米。
故答案為：圓柱；3；2；56.52。
【思路引導(dǎo)】以長方形的一條邊為軸旋轉(zhuǎn)一周，得到的圖形是圓柱，這條邊是圓柱的高，相鄰的邊是圓柱的底面半徑；
圓柱的體積=πr2h。
考點(diǎn)2：圓柱的展開圖
【典例分析03】（2022·順義）制作一個(gè)無蓋的圓柱形水桶，有以下幾種鐵皮可供搭配，應(yīng)選擇（　　）。

A．①和③ B．①和④ C．②和③ D．②和④
【答案】C
【規(guī)范解答】解：③的周長：3.14×3=9.42（分米），即長方形的長是9.42分米。
故答案為：C。
【思路引導(dǎo)】圓的周長=長方形的長，就可以制作一個(gè)無蓋的圓柱形水桶。
【典例分析04】（2022·臨泉）圓柱的側(cè)面沿高展開一般是　　形，當(dāng)圓柱的底面周長與高　　時(shí)，它的側(cè)面展開圖是正方形。
【答案】長方；相等
【規(guī)范解答】解：圓柱的側(cè)面沿高展開一般是長方形，當(dāng)圓柱的底面周長與高相等時(shí)，它的側(cè)面展開圖是正方形。
故答案為：長方；相等。
【思路引導(dǎo)】圓柱體的側(cè)面展開是一個(gè)長方形，這個(gè)長方形的長相當(dāng)于圓柱的底面周長，寬相當(dāng)于圓柱的高；
圓柱體的側(cè)面展開是一個(gè)正方形，這個(gè)正方形的長相當(dāng)于圓柱的底面周長，寬相當(dāng)于圓柱的高。
【變式訓(xùn)練03】（2022·樊城）王師傅想用一張長方形鐵皮（如圖），裁剪出底面和側(cè)面，做一個(gè)容積最大的圓柱形無蓋水桶（接頭連接處及厚度均忽略不計(jì)）（π取3.14）。

（1）請(qǐng)你在圖中畫出這個(gè)水桶的底面和側(cè)面展開圖并標(biāo)出數(shù)據(jù)。
（2）從節(jié)約材料的角度出發(fā)，這個(gè)水桶的底面直徑是　　分米，高是　　分米。
（3）這個(gè)水桶實(shí)際用了多少平方分米的鐵皮？
（4）這個(gè)水桶最多能盛水多少升？
【答案】（1）解：3.14×8＝25.12（分米）
作圖如下：

（2）8；8
（3）解：3.14×8×8+3.14×（8÷2）2
＝25.12×8+3.14×16
＝200.96+50.24
＝251.2（平方分米）
答：這個(gè)水桶實(shí)際用了251.2平方分米的鐵皮。
（4）解：3.14×（8÷2）2×8
＝3.14×16×8
＝50.24×8
＝401.92（立方分米）
401.92立方分米＝401.92升
答：這個(gè)水桶最多能盛水401.92升。
【規(guī)范解答】（2）從節(jié)約材料的角度出發(fā)，這個(gè)水桶的底面直徑是8分米，高是8分米。
故答案為：（2）8；8。
【思路引導(dǎo)】（1）由題意可知，長方形的寬=水桶的底面直徑，那么水桶的底面周長=直徑×π，據(jù)此作圖即可；
（2）由題（1）的圖可以得到，長方形的寬=水桶的底面直徑=圓柱的高；
（3）這個(gè)水桶實(shí)際用鐵皮的面積=側(cè)面積+底面積，其中側(cè)面積=底面直徑×π×高，底面積=（底面直徑÷2）2×π，據(jù)此代入數(shù)值作答即可；
（4）這個(gè)水桶最多能盛水的升數(shù)=（底面直徑÷2）2×π×h，然后進(jìn)行單位換算，即1立方分米=1升。
【變式訓(xùn)練04】（2022·宣恩）一個(gè)圓柱的底面直徑是5厘米，它的側(cè)面展開圖是一個(gè)正方形，這個(gè)圓柱的高是（　?。├迕?。
A．31.4 B．15.7 C．5
【答案】B
【規(guī)范解答】解：3.14×5=15.7（厘米）
故答案為：B。
【思路引導(dǎo)】圓柱的底面直徑×高=底面周長；它的側(cè)面展開圖是一個(gè)正方形，說明圓柱的底面周長和高相等。
考點(diǎn)3：圓柱的側(cè)面積、表面積
【典例分析05】（2022·八步）一個(gè)圓柱形水池，如圖所示。

（1）這個(gè)水池的占地面積是多少平方米？
（2）這個(gè)水池最多能裝水多少升？
【答案】（1）解：3.14×32
=3.14×9
=28.26（平方米）
答：這個(gè)水池的占地面積是28.26平方米。
（2）解：28.26×4＝113.04（立方米）
113.04立方米＝113040升
答：這個(gè)水池最多能裝水113040升。
【思路引導(dǎo)】（1）這個(gè)水池的占地面積=π×半徑2；
（2）這個(gè)水池最多能裝水的體積=底面積×高，然后單位換算。
【典例分析06】（2022·開平）一個(gè)圓柱形的花瓶（如圖），從外面測(cè)量，底面半徑5厘米，高20厘米。

（1）給這個(gè)花瓶的整個(gè)側(cè)面涂上彩繪，彩繪的面積是多少平方厘米？
（2）花瓶的瓶身和瓶底的厚度都是1厘米，往花瓶里裝水，水面離瓶口9厘米，這個(gè)花瓶里裝了多少毫升水？
【答案】（1）解：3.14×5×2×20
＝3.14×200
＝628（平方厘米）
答：彩繪的面積是628平方厘米。
（2）解：5-1＝4（厘米）
3.14×42×（20-9-1）
＝3.14×16×10
＝502.4（立方厘米）
＝502.4毫升
答：花瓶里的水有502.4毫升。
【思路引導(dǎo)】（1）彩繪的面積=2πrh，據(jù)此代入數(shù)值作答即可；
（2）花瓶從里面量的底面半徑=從外面測(cè)量的底面半徑-瓶身的厚度，花瓶從里面量的高=從外面測(cè)量的高-瓶底的厚度，那么這個(gè)花瓶里裝水的體積=π×花瓶從里面量的底面半徑2×（花瓶從里面量的高-水面離瓶口的距離），然后進(jìn)行單位換算，即1毫升=1立方厘米。
【變式訓(xùn)練05】（2022·新榮）孫師傅用鐵皮做了一個(gè)圓柱形的無蓋水桶（如圖），現(xiàn)在要在這個(gè)水桶的桶壁和底面涂上防銹漆（內(nèi)外都涂），涂防銹漆部分的面積是　　平方分米。

【答案】75.36
【規(guī)范解答】3.14×4×5+3.14×（4÷2）2
=3.14×4×5+3.14×4
=62.8+12.56
=75.36（平方分米）
故答案為：75.36。
【思路引導(dǎo)】根據(jù)題意可知，要求涂防銹漆部分的面積，就是求一個(gè)無蓋圓柱的表面積，無蓋圓柱的表面積=底面積+側(cè)面積，據(jù)此列式解答。
【變式訓(xùn)練06】（2022·臺(tái)兒莊）如圖，把一個(gè)圓柱體的側(cè)面展開，得到一個(gè)長3.14分米、寬2分米的長方形，這個(gè)圓柱體的側(cè)面積是　　平方分米，體積是　　立方分米。

【答案】6.28；1.57
【規(guī)范解答】解：3.14×2=6.28平方分米，所以這個(gè)圓柱體的側(cè)面積是6.28平方分米；3.14÷3.14÷2=0.5分米，0.52×3.14×2=1.57立方分米，所以體積是1.57立方分米。
故答案為：6.28；1.57。
【思路引導(dǎo)】圓柱的側(cè)面積=側(cè)面展開的長×側(cè)面展開的寬；
從圖中可以看出，圓柱的底面周長比高長，所以3.14分米是圓柱的底面周長，所以圓柱的底面半徑=底面周長÷π÷2，所以圓柱的體積=πr2h。
考點(diǎn)4：圓柱的體積（容積）
【典例分析07】化工廠用鋼板焊一個(gè)圓柱形儲(chǔ)料罐，設(shè)計(jì)師在比例尺是1：1000的設(shè)計(jì)圖上畫出了儲(chǔ)料罐的側(cè)面展開圖和兩個(gè)底面（如下圖），這個(gè)儲(chǔ)料罐的實(shí)際容積是多少立方米？

【答案】解：3.14÷=3140（厘米）=31.4（米）
1.5÷=1500（厘米）=15（米）
31.4÷3.14÷2=5（米）
52×3.14×15
=78.5×15
=1177.5（立方米）
答：這個(gè)儲(chǔ)料罐的實(shí)際容積是1177.5立方米。
【思路引導(dǎo)】圓柱形儲(chǔ)料罐實(shí)際的底面周長=圓柱形儲(chǔ)料罐圖上的底面周長÷比例尺，圓柱形儲(chǔ)料罐實(shí)際的高=圓柱形儲(chǔ)料罐圖上的高÷比例尺，然后進(jìn)行單位換算，即1米=100厘米，那么圓柱形儲(chǔ)料罐實(shí)際的底面半徑=圓柱形儲(chǔ)料罐實(shí)際的底面周長÷π÷2，所以這個(gè)儲(chǔ)料罐的實(shí)際容積=底面半徑2×π×實(shí)際的高，據(jù)此代入數(shù)值作答即可。
【典例分析08】（2022·武安）一個(gè)不規(guī)則的酒杯裝滿酒，將酒倒入一個(gè)底面直徑是6cm的圓柱形杯子里，酒的高度是12cm，這個(gè)不規(guī)則酒杯的容積是　　mL。
【答案】339.12
【規(guī)范解答】解：6÷2=3（厘米）
3.14×3×3×12=28.26×12=339.12（立方厘米）
339.12立方厘米=339.12毫升
故答案為：339.12。
【思路引導(dǎo)】直徑÷2=半徑，π×半徑的平方×高=體積。
【變式訓(xùn)練07】（2022·安新）一種電熱水爐的水龍頭，內(nèi)直徑是1.2cm，打開水龍頭后水的流速是20厘米/秒。一個(gè)容積是1L的保溫壺，50秒能裝滿水嗎？

【答案】解：1升＝1000立方厘米
3.14×（1.2÷2）2×20×50
＝3.14×0.36×20×50
＝1.1304×20×50
＝1130.4（立方厘米）
1130.4立方厘米＞1000立方厘米
答：50秒能裝滿水。
【思路引導(dǎo)】水龍頭是圓柱形的，根據(jù)圓柱的體積公式計(jì)算出水龍頭每秒流出的水量，然后乘50求出50秒流出的總水量，再與保溫壺的容積比較后判斷能否裝滿即可。
【變式訓(xùn)練08】（2022·惠陽）求如圖（單位：厘米）圓柱的體積。

【答案】解：3.14×（8÷2）2×10
＝3.14×16×10
＝50.24×10
＝502.4（立方厘米）
答：它的體積是502.4立方厘米。
【思路引導(dǎo)】圓柱的體積=π×半徑2×高，其中，半徑=直徑÷2。
考點(diǎn)5：圓錐的特征
【典例分析09】（2022·江源）一個(gè)直角三角形紙板的兩條直角邊分別為a、b。以a為軸旋轉(zhuǎn)一周，在你的眼前出現(xiàn)一個(gè)　　體，它的體積是　　。
【答案】圓錐；πb2h
【規(guī)范解答】解：以a為軸旋轉(zhuǎn)一周，在你的眼前出現(xiàn)一個(gè)圓錐體，它的體積是πb2h。
故答案為：圓錐；πb2h。
【思路引導(dǎo)】以直角三角形的一條直角邊為軸旋轉(zhuǎn)，得到的就是圓錐；
圓錐的體積=πr2h。
【典例分析10】（2022·臨泉）一個(gè)圓錐的底面直徑是4厘米，高是6厘米，沿底面直徑將它切成完全相同的兩部分，表面積增加　　平方厘米。

【答案】24
【規(guī)范解答】解：4×6÷2×2=24（平方厘米）
故答案為：24。
【思路引導(dǎo)】表面積增加了2個(gè)三角形；三角形的底是4厘米，高是6厘米，三角形的面積=底×高÷2，三角形的面積×2=增加的面積。
【變式訓(xùn)練09】（2022六下·偃師期中）一個(gè)直角三角形的三條邊分別長3厘米、4厘米、5厘米，以任意一條直角邊為軸快速旋轉(zhuǎn)一周，得到的立體圖形是　　，較大的立體圖形的體積是　　立方厘米。
【答案】圓錐；50.24
【規(guī)范解答】解：以任意一條直角邊為軸快速旋轉(zhuǎn)一周，得到的立體圖形是圓錐；32×3.14×4×=37.68立方厘米，42×3.14×3×=50.24立方厘米，所以較大的立體圖形的體積是50.24立方厘米。
故答案為：圓錐；50.24。
【思路引導(dǎo)】直角三角形中，最長的邊是斜邊；
以直角三角形一條邊為軸旋轉(zhuǎn)一圈，得到的立體圖形是圓錐；
圓錐的體積=πr2h×。
【變式訓(xùn)練10】（2022六下·上蔡期中）圓錐有　　個(gè)底面和　　側(cè)面，從圓錐的　　到底面　　的距離是圓錐的高。
【答案】1；1個(gè)；頂點(diǎn)；圓心
【規(guī)范解答】解：圓錐有1個(gè)底面和1個(gè)側(cè)面，從圓錐的頂點(diǎn)到底面圓心的距離是圓錐的高。
故答案為：1；1個(gè)；頂點(diǎn)；圓心。
【思路引導(dǎo)】圓錐由1個(gè)底面和1個(gè)側(cè)面組成，底面是一個(gè)圓，側(cè)面是一個(gè)扇形；從圓錐的頂點(diǎn)到底面圓心的距離叫做圓錐的高，圓錐的高有1條。
考點(diǎn)6：圓錐的體積（容積）
【典例分析11】（2022·海港）計(jì)算下面圓錐的體積（單位：m）

【答案】解： ×3.14×42×6
＝ 3.14×16×6
＝100.48（立方米）
答：它的體積是100.48立方米。
【思路引導(dǎo)】π×底面半徑的平方×高÷3=圓錐的體積。
【典例分析12】（2022·安新）如圖中柱形瓶底的面積和錐形杯口的面積相等，將瓶中液體倒入錐形杯中，能倒?jié)M（　?。┍?br />
A．2 B．6 C．12
【答案】B
【規(guī)范解答】解：（S×2h）÷（Sh）=（2Sh）÷（Sh）=2÷6（杯）。
故答案為：B。
【思路引導(dǎo)】圓柱的體積=底面積×高，圓錐的體積=底面積×高×，假設(shè)它們的底面積都是S，用瓶子里面液體的量除以杯子的容積即可求出能倒?jié)M的杯數(shù)。
【變式訓(xùn)練11】（2022·中山）有一個(gè)近似于圓錐形的小麥堆，量得底面周長是12.56米，高是1.2米，若每立方米小麥約重740千克，這堆小麥約重多少千克？
【答案】解：由題意知，
r＝C÷2π
＝12.56÷2÷3.14
＝2（米）
S＝ Sh
＝ ×πr2h
＝ ×3.14×22×1.2
＝ ×3.14×4×1.2
＝5.024（立方米）
5.024×740＝3717.76（千克）
答：這堆小麥約重3717.76千克。
【思路引導(dǎo)】圓錐形的小麥堆的底面半徑=圓周的底面周長÷π÷2，那么圓錐形的小麥堆的體積=πr2h，所以這堆小麥的重量=圓錐形的小麥堆的體積×每立方米小麥的重量，據(jù)此代入數(shù)值作答即可。
【變式訓(xùn)練12】（2022·府谷）計(jì)算下面組合圖形的體積。

【答案】解：20÷2=10（厘米）
3.14×102×60＋3.14×102××30
=3.14×100×（60＋10）
=3.14×100×70
=314×70
=21980（立方厘米）
【思路引導(dǎo)】組合圖形的體積=圓錐的體積＋圓柱的體積；其中，圓柱的體積=π×半徑2×高，圓錐的體積=π×半徑2×高×。
考點(diǎn)7：圓柱與圓錐體積的關(guān)系
【典例分析13】（2022·羅湖）李老師在一個(gè)橡皮泥做成的圓柱中削出一個(gè)最大的圓錐，再用削下來的橡皮泥捏成一個(gè)“雪容融”，圓錐和“雪容融”的體積比是　　。
【答案】1：2
【規(guī)范解答】解：1：（3-1）=1：2，所以圓錐和“雪容融”的體積比是1：2。
故答案為：1：2。
【思路引導(dǎo)】在圓柱中削一個(gè)最大的圓錐，圓柱的體積是圓錐體積的3倍，那么削下來的橡皮泥的體積是圓錐體積的2倍，所以圓錐和“雪容融”的體積比是1：2。
【典例分析14】（2022·新榮）一個(gè)圓柱和一個(gè)圓錐的底面積相等，圓柱與圓錐高的比是1：2。
（1）如果圓柱的體積是18.84立方厘米，那么圓錐的體積是　　立方厘米。
（2）如果圓錐的體積是18.84立方厘米，那么圓柱的體積是　　立方厘米。
【答案】（1）12.56
（2）28.26
【規(guī)范解答】（1）設(shè)圓柱的高是h，則圓錐的高是2h，兩個(gè)圖形的底面積都是S，
圓柱的體積是Sh，
圓錐的體積是S×2h=Sh，
如果圓柱的體積是18.84立方厘米，那么圓錐的體積是18.84×=12.56（立方厘米）；
（2）如果圓錐的體積是18.84立方厘米，那么圓柱的體積是18.84÷=28.26（立方厘米）。
故答案為：（1）12.56；（2）28.26。
【思路引導(dǎo)】等底等高的圓錐體積是圓柱體積的，根據(jù)條件，設(shè)圓柱的高是h，則圓錐的高是2h，兩個(gè)圖形的底面積都是S，分別用含字母的式子表示出圓柱和圓錐的體積，然后根據(jù)體積關(guān)系列式解答。
【變式訓(xùn)練13】（2022·江源）一個(gè)圓錐的高是9厘米，體積是80立方厘米，與它等底等體積的圓柱的高是　　厘米。
【答案】3
【規(guī)范解答】解：9÷3=3（厘米），所以與它等底等體積的圓柱的高是3厘米。
故答案為：3。
【思路引導(dǎo)】等底等體積的圓椎和圓柱，圓錐的高是圓柱的高的3倍。
【變式訓(xùn)練14】（2022·北辰）把一個(gè)圓柱體削成一個(gè)最大的圓錐體，如果圓錐體的體積是54立方厘米，則削去的體積是（　?。┝⒎嚼迕住?
A．18 B．54 C．108 D．162
【答案】C
【規(guī)范解答】解：54×3-54
=162-54
=108（立方厘米）
故答案為：C。
【思路引導(dǎo)】把一個(gè)圓柱體削成一個(gè)最大的圓錐體，圓柱是圓錐體積的3倍，因此用圓錐的體積乘3求出圓柱的體積，再減去圓錐的體積就是削去的體積。

基礎(chǔ)練
一、選擇題
1．（2022六上·英德期中）人們通常把茶杯、茶壺的蓋子做成圓形，這是因?yàn)椋ā　。?
A．圓有無數(shù)條對(duì)稱軸
B．圓心到圓周上每一點(diǎn)的距離都相等
C．圓是曲線圖形
D．圓的每一條直徑都是對(duì)稱軸
【答案】B
【規(guī)范解答】解：人們通常把茶杯、茶壺的蓋子做成圓形，這是因?yàn)閳A心到圓周上每一點(diǎn)的距離都相等。
故答案為：B。
【思路引導(dǎo)】圓柱的高都相等，所以人們通常把茶杯、茶壺的蓋子做成圓形。
2．（2022·順義）媽媽榨了一大杯橙汁招待客人，倒入小杯子中（如圖），可以倒?jié)M（　?。┍?。

A．3 B．6 C．9 D．15
【答案】C
【規(guī)范解答】解：3.14×（8÷2）×（8÷2）×15=50.24×15=753.6（立方厘米）
3.14×（8÷2）×（8÷2）×5÷3=50.24×5÷3=≈83.73（立方厘米）
753.6÷83.73≈9（杯）
故答案為：B。
【思路引導(dǎo)】圓柱體積÷圓錐的體積，商采取去尾法得到的整數(shù)就是最多可以倒?jié)M的杯數(shù)。
3．（2022·盂縣）直角三角形ABC（如圖），以直角邊AB為軸旋轉(zhuǎn)360°后得到的圖形是（　　）。

A．底面半徑是3厘米，高是4厘米的圓錐
B．底面半徑是4厘米，高是3厘米的圓錐
C．底面半徑是6厘米，高是4厘米的圓錐
【答案】A
【規(guī)范解答】直角三角形ABC（如圖），以直角邊AB為軸旋轉(zhuǎn)360°后得到的圖形是底面半徑是3厘米，高是4厘米的圓錐。
故答案為：A。
【思路引導(dǎo)】一個(gè)直角三角形，以其中一條直角邊為軸旋轉(zhuǎn)一周得到的圖形是一個(gè)圓錐，這條直角邊是圓錐的高，另一條直角邊是圓錐的底面半徑，據(jù)此解答。
二、判斷題
4．（2022·涇縣）圓柱和圓錐的體積比是3：1。（　　）
【答案】（1）錯(cuò)誤
【規(guī)范解答】解：等底等高的圓柱和圓錐的體積比是3：1。原題說法錯(cuò)誤。
故答案為：錯(cuò)誤。
【思路引導(dǎo)】圓柱體積=底面積×高，圓錐體積=底面積×高÷3。
5．（2022·雙城）等底等高的圓柱和圓錐，它們的體積也相等。（　?。?br /> 【答案】（1）錯(cuò)誤
【規(guī)范解答】解：等底等高的圓柱和圓錐，它們的體積不相等。原題說法錯(cuò)誤。
故答案為：錯(cuò)誤。
【思路引導(dǎo)】等底等高的圓柱和圓錐，圓柱的體積是圓錐體積的3倍。
6．（2022六下·南召期中）如果兩個(gè)圓柱的側(cè)面積相等，那么它們的底面周長也一定相等。（　?。?br /> 【答案】（1）錯(cuò)誤
【規(guī)范解答】根據(jù)分析得：圓柱的側(cè)面積與底面周長、高兩個(gè)條件相關(guān)。
所以如果兩個(gè)圓柱的側(cè)面積相等，那么它們的底面周長不一定相等。
故答案為：錯(cuò)誤。
【思路引導(dǎo)】因?yàn)閳A柱的側(cè)面積=底面周長×高，若兩個(gè)圓柱的側(cè)面積相等，但底面周長和高不一定相等，所以它們的底面周長不一定相等。據(jù)此判斷。
三、填空題
7．（2022·紅塔）底面周長是9.42cm，高10cm的圓柱，側(cè)面積是　　cm2。
【答案】94.2
【規(guī)范解答】解：9.42×10=94.2（cm2）
故答案為：94.2。
【思路引導(dǎo)】圓柱的側(cè)面積=底面周長×高，根據(jù)公式計(jì)算側(cè)面積即可。
8．（2022·平山）一個(gè)圓柱的側(cè)面展開圖是一個(gè)邊長為12.56分米的正方形，這個(gè)圓柱的底面直徑是　　分米，高是　　分米。
【答案】4；12.56
【規(guī)范解答】解：12.56÷3.14=4（分米），這個(gè)圓柱的底面直徑是4分米，高是12.56分米。
故答案為：4；12.56。
【思路引導(dǎo)】這個(gè)圓柱的底面直徑=正方形的邊長÷π，高=正方形的邊長。
9．（2022六下·畢節(jié)期中）一個(gè)圓錐的體積是48立方厘米，底面積是16平方厘米，高是　　厘米。
【答案】9
【規(guī)范解答】解：48÷÷16
=144÷16
=9（厘米）。
故答案為：9。
【思路引導(dǎo)】圓錐的高=體積÷÷底面積。
10．（2022六下·濟(jì)南期中）一個(gè)長方形長6厘米，寬3厘米，以它的短邊所在的直線為軸旋轉(zhuǎn)一周，得到的這個(gè)立體圖形的底面半徑是　　厘米，高是　　厘米。
【答案】6；3
【規(guī)范解答】解：得到的這個(gè)立體圖形的底面半徑是6厘米，高是3厘米。
故答案為：6；3。
【思路引導(dǎo)】得到的這個(gè)立體圖形的底面半徑=長方形的長，高=長方形的寬。
四、解答題
11．（2020·農(nóng)安）標(biāo)出下面圓錐的頂點(diǎn)、高、底面半徑．

【答案】
【思路引導(dǎo)】根據(jù)圓錐的組成作答即可。
12．（2022·合陽）淘氣去摘草莓，發(fā)現(xiàn)草莓園大棚的外形是半個(gè)圓柱形。尺寸如圖（單位：米）。要用一層塑料膜覆蓋草莓園大棚和兩側(cè)的半圓，至少需要多少塑料膜？

【答案】解：3.14×4×30÷2+3.14×（4÷2）2
＝188.4+12.56
＝200.96（平方米）
答：至少需要200.96平方米塑料膜。
【思路引導(dǎo)】前后兩個(gè)面合在一起是一個(gè)直徑4米的圓的面積，上面的面積是圓柱的側(cè)面積的一半，由此根據(jù)圓面積和圓柱的側(cè)面積公式分別計(jì)算后再求出需要塑料膜的面積即可。
13．（2022·海滄）一個(gè)圓柱形茶葉罐的底面直徑是8厘米，高15厘米，這個(gè)茶葉罐的容積是多少立方厘米？（茶葉罐的厚度忽略不計(jì)）
【答案】解：3.14×（8÷2）2×15
＝50.24×15
＝753.6（立方厘米）
答：這個(gè)茶葉罐的容積是753.6立方厘米。
【思路引導(dǎo)】圓柱的體積=圓柱的底面積×圓柱的高，圓柱的底面積=π×圓柱的半徑的平方，圓柱的半徑=圓柱的直徑÷2，本題根據(jù)公式計(jì)算即可得出這個(gè)茶葉罐的容積。
14．（2022·淮上）天氣炎熱，蘭蘭從冰箱里拿出一瓶雪碧招待來家做客的東東和亮亮．這瓶雪碧能倒?jié)M2個(gè)這樣的水杯嗎？（直徑和高均為水杯里面測(cè)得的數(shù)據(jù)）

【答案】解：8÷2＝4（厘米）
2π×42×10
＝2×3.14×16×10
＝6.28×16×10
＝100.48×10
＝1004.8（立方厘米）
1004.8立方厘米＝1.0048升
1.0048＞1，所以這瓶雪碧倒不滿2個(gè)水杯．
答：這瓶雪碧能倒不滿2個(gè)這樣的水杯。
【思路引導(dǎo)】圓柱的體積=底面積×高，根據(jù)圓柱的體積公式計(jì)算出2杯雪碧的體積，然后與1L比較后判斷能否倒?jié)M即可。
15．一個(gè)工具箱的下半部分是棱長為20厘米的正方體，上半部分是圓柱體的一半。這個(gè)工具箱的體積是多少立方分米?

【答案】解：3.14×102×20÷2+20 X 20×20=11140(立方厘米)=11.41(立方分米)
【思路引導(dǎo)】這個(gè)工具箱的體積等于半個(gè)圓柱的體積加上下面正方體的體積。
提高練
一、選擇題
1．（2022·新榮）下圖是一張三角形卡紙，以三角形中5厘米長的直角邊為軸旋轉(zhuǎn)一周，形成的圓錐的體積是（　?。┝⒎嚼迕住?br />
A．47.1 B．78.5 C．141.3
【答案】A
【規(guī)范解答】×3.14×32×5
=×3.14×9×5
=9.42×5
=47.1（立方厘米）
故答案為：A。
【思路引導(dǎo)】以三角形中5厘米長的直角邊為軸旋轉(zhuǎn)一周，形成的圓錐的底面半徑是3cm，高是5cm，要求圓錐的體積，用公式：V=πr2h，據(jù)此列式解答。
2．（2022·蘄春）圓柱和圓錐的底面周長之比是1：3，體積比是1：3，則圓柱和圓錐的高之比是（　?。?br /> A．1：1 B．1：9 C．1：3 D．3：2
【答案】A
【規(guī)范解答】解：底面周長比是1：3，則底面積的比是1：9；
圓柱和圓柱的高之比：（1÷1）：（3×3÷9）=1：1。
故答案為：A。
【思路引導(dǎo)】根據(jù)圓面積公式可知，它們底面積的比是周長的平方比，所以底面積的比是1：9；把圓柱的底面積看作1，圓錐的底面積看作9；圓柱的體積看作1，圓錐的體積看作3；分別計(jì)算出它們的高并寫出高的最簡(jiǎn)整數(shù)比即可。
3．（2022·科爾沁左翼后旗）把30cm長的圓柱形木料鋸成三段，分成了三個(gè)小圓柱，表面積增加了1.2cm2，原來木料的體積是（　　）cm3。
A．36 B．12 C．6 D．9
【答案】D
【規(guī)范解答】解：1.2÷4×30
=0.3×30
=9（立方厘米）。
故答案為：9。
【思路引導(dǎo)】把圓柱形木料鋸成三段，分成了三個(gè)小圓柱，表面積增加了4個(gè)橫截面的面積，原來木料的體積= 增加的表面積÷4×原來的圓柱的長。
二、判斷題
4．（2022·泗水）一個(gè)圓柱的底面半徑擴(kuò)大3倍，高不變，體積擴(kuò)大6倍。（　?。?br /> 【答案】（1）錯(cuò)誤
【規(guī)范解答】解：3×3=9。
故答案為：錯(cuò)誤。
【思路引導(dǎo)】圓柱的體積=π×半徑2×高，圓柱的底面半徑擴(kuò)大3倍，高不變，體積擴(kuò)大9倍。
5．（2022·內(nèi)鄉(xiāng)）一個(gè)圓柱和一個(gè)圓錐等底、等高，圓錐的體積比圓柱的體積少1.2dm3，那么圓柱的體積是1.8dm3。（　?。?br /> 【答案】（1）正確
【規(guī)范解答】解：一個(gè)圓柱和一個(gè)圓錐等底、等高，圓錐的體積比圓柱的體積少1.2dm3，圓柱的體積：1.2÷2×3=1.8（dm3）。原題說法正確。
故答案為：正確。
【思路引導(dǎo)】等底等高的圓柱體積是圓錐體積的3倍。圓錐的體積是1份，等底等高的圓柱的體積就是3份。用體積差除以份數(shù)差即可求出一份的體積，也就是圓錐的體積，進(jìn)而求出圓柱的體積即可。
6．（2022·黔東南）壓路機(jī)滾筒在地上滾動(dòng)一周所壓的路面正好是壓路機(jī)滾筒的表面積。（　?。?br /> 【答案】（1）錯(cuò)誤
【規(guī)范解答】解：壓路機(jī)滾筒在地上滾動(dòng)一周所壓的路面正好是壓路機(jī)滾筒的側(cè)面積，所以原題錯(cuò)誤。
故答案為：錯(cuò)誤。
【思路引導(dǎo)】壓路機(jī)滾筒在地上滾動(dòng)一周所壓的路面正好是壓路機(jī)滾筒的側(cè)面積，不包括兩個(gè)圓面的面積。
7．（2020·啟東）把一個(gè)側(cè)面積是157平方厘米的圓柱，沿底面半徑平均分成若干等份切開，拼成一個(gè)近似的長方體，表面積增加25平方厘米。（）
【答案】（1）錯(cuò)誤
【規(guī)范解答】解：表面積增加：157÷3.14=50（平方厘米）。原題說法錯(cuò)誤。
故答案為：錯(cuò)誤。
【思路引導(dǎo)】拼成的近似長方體的表面積比原來的表面積增加的是2個(gè)長方形的面，每個(gè)長方形的長是底面半徑，寬就是高，兩個(gè)長方形拼在一起就是一個(gè)長是底面直徑，寬是圓柱高的長方形。圓柱的側(cè)面積=底面周長×高=底面直徑×3.14×高，所以用圓柱的側(cè)面積除以3.14就是底面直徑與高的乘積，也就是表面積增加的部分。
三、填空題
8．（2022·合陽）澇河公園有一個(gè)底面半徑是20米的人工圓柱形小湖。沿湖邊緣走一圈是　　米；這個(gè)小湖的面積是　　平方米；如果湖內(nèi)水深2.5米，這個(gè)湖最多能蓄水　　噸。（1立方米的水重1噸）
【答案】125.6；1256；3140
【規(guī)范解答】解：走一圈：3.14×20×2=125.6（米）；
小湖的面積：3.14×202=1256（平方米）；
蓄水的重量：1256×2.5×1=3140（噸）。
故答案為：125.6；1256；3140。
【思路引導(dǎo)】根據(jù)圓周長公式計(jì)算湖的周長就是一圈的長度；根據(jù)圓面積公式計(jì)算小湖的面積；用小湖的面積乘水的深度求出容納水的體積，再乘1即可求出能蓄水的重量。
9．（2022·競(jìng)秀）以如圖所示中長方形ABCD的AB邊為軸旋轉(zhuǎn)一周，得到的圖形是　　，它的體積是　　立方厘米。

【答案】圓柱；6.28
【規(guī)范解答】解：以如圖所示中長方形ABCD的AB邊為軸旋轉(zhuǎn)一周，得到的圖形是圓柱，體積：3.14×12×2=6.28（立方厘米）。
故答案為：圓柱；6.28。
【思路引導(dǎo)】以長方形的一條邊為軸旋轉(zhuǎn)一周，會(huì)得到一個(gè)圓柱。為軸的那條邊就是圓柱的高，另一條邊是圓柱的底面半徑；用底面積乘高求出圓柱的體積即可。
10．（2022·即墨）一個(gè)圓錐，底面半徑是4厘米，高是12厘米，從圓錐的頂點(diǎn)沿高將它切成相同的兩半后，表面積比原來圓錐的表面積增加了　　平方厘米。
【答案】96
【規(guī)范解答】解：4×2×12÷2×2
=8×12÷2×2
=96÷2×2
=48×2
=96（平方厘米）。
故答案為：96。
【思路引導(dǎo)】比原來圓錐增加的表面積=橫截面三角形的面積×2=圓錐的底面直徑×高÷2×2。
四、計(jì)算題
11．（2021六下·郯城月考）求圖形的體積．（單位：厘米）
（1）
（2）
（3）
【答案】（1）8×5×6.5
=40×6.5
=260（立方厘米）
（2）4×4×4
=16×4
=64（立方厘米）
（3）3.14×32×6.5
=3.14×9×6.5
=28.26×6.5
=183.69（立方厘米）
【思路引導(dǎo)】（1）長方體的體積=長×寬×高；
（2）正方體的體積=棱長×棱長×棱長；
（3）圓柱的體積=底面積×高；其中，底面積=π×半徑2。
五、解答題
12．（2022·開平）一堆沙成圓錐形，高1.8m，底面周長為18.84m。這堆沙的體積是多少立方米？
【答案】解：底面半徑：
18.84÷3.14÷2
＝6÷2
＝3（m）
體積：
×3.14×32×1.8
＝ ×3.14×9×1.8
＝3.14×3×1.8
＝9.42×1.8
＝16.956（m3）
答：這堆小麥的體積是16.956立方米。
【思路引導(dǎo)】底面半徑=底面周長÷π÷2，所以這堆沙的體積=×πr2h，據(jù)此代入數(shù)值作答即可。
13．（2022·包河）古代的銅錢都是“外圓內(nèi)方”，銅錢內(nèi)正方形的邊長是0.5厘米。小明把20枚相同的古代鋼錢疊在起的形狀如圖，每枚銅錢的體積是多少立方厘米？（π取值3.14）

【答案】解：3.14×（2÷2）2×4﹣0.5×0.5×4
＝12.25﹣1
＝11.25（立方厘米）
11.25÷20＝0.5625（立方厘米）
答：每枚銅錢的體積是0.5625立方厘米。
【思路引導(dǎo)】圓柱體積=底面積×高，正方體體積=底面積×高，圓柱體積-正方體的體積=銅錢的體積，銅錢的體積÷20枚=每枚銅錢的體積。
14．（2022·盂縣）母親節(jié)這天，康康親自動(dòng)手做了一個(gè)美味的草莓蛋糕準(zhǔn)備送給媽媽。這個(gè)蛋糕是直徑8厘米、高12厘米的圓柱形。
（1）這個(gè)蛋糕的體積是多少立方厘米？
（2）康康還想再做一個(gè)精美的長方體紙盒把這個(gè)蛋糕正好裝進(jìn)去，做這個(gè)紙盒至少需要多少硬紙？
【答案】（1）解：3.14×（）2×12
＝3.14×16×12
＝602.88（立方厘米）
答：這個(gè)蛋糕的體積是602.88立方厘米。
（2）解：（8×8+8×12+8×12）×2
＝（64+96+96）×2
＝256×2
＝512（平方厘米）
答：做這個(gè)紙盒至少需要512平方厘米硬紙。
【思路引導(dǎo)】（1）已知圓柱的底面直徑和高，要求圓柱的體積，應(yīng)用公式：圓柱的體積=V=π（）2h，據(jù)此列式解答；
（2）根據(jù)題意可知，要求做這個(gè)紙盒至少需要多少硬紙，就是求長方體的表面積，長方體的表面積=（長×寬+長×高＋寬×高）×2，據(jù)此列式解答。
15．（2022·府谷）一個(gè)圓柱形容器，從里面量，底面半徑是5厘米，高是25厘米，容器中放著一個(gè)底面直徑是6厘米，高是10厘米的圓錐形鐵塊。在容器中倒?jié)M水后，鐵塊完全被浸沒，當(dāng)鐵塊被撈走后，容器中的水面下降了多少厘米？
【答案】解： ×3.14×（6÷2）2×10÷（3.14×52）
＝ ×3.14×9×10÷（3.14×25）
=3.14×30÷78.5
＝94.2÷78.5
＝1.2（厘米）
答：容器中的水面下降了1.2厘米。
【思路引導(dǎo)】容器中水面下降的高度=圓錐的體積÷圓柱形容器的底面積；其中，圓錐的體積=底面積×高×，底面積=π×半徑2，半徑=直徑÷2。

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