2022-2023學(xué)年江西省宜春市豐城市高二上學(xué)期1月期末考試數(shù)學(xué)試題 一、單選題1．向量，，若，則（    ）A． B．，C．， D．，【答案】C【分析】根據(jù)題意，設(shè)，即，即可求得、的值【詳解】因?yàn)橄蛄?/span>，，且，則設(shè)，即，則有，則，，解得，，故選：C2．直線，當(dāng)變動時，所有直線都通過定點(diǎn)（     ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)直線過定點(diǎn)問題分析運(yùn)算.【詳解】直線可以為，表示過點(diǎn)，斜率為的直線，所以所有直線都通過定點(diǎn)為.故選：A.3．已知，則原點(diǎn)到平面的距離是（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】先求出平面的法向量，再用點(diǎn)到平面的距離公式可得答案.【詳解】設(shè)其法向量為，取得又故選：A4．拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，對稱軸是軸，點(diǎn)在拋物線上，則拋物線的方程為A． B． C． D．或【答案】B【分析】首先根據(jù)題意設(shè)出拋物線的方程，利用點(diǎn)在曲線上的條件為點(diǎn)的坐標(biāo)滿足曲線的方程，代入求得參數(shù)的值，最后得到答案.【詳解】根據(jù)題意設(shè)出拋物線的方程，因?yàn)辄c(diǎn)在拋物線上，所以有，解得，所以拋物線的方程是：，故選B.【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)拋物線的方程的求解問題，涉及到的知識點(diǎn)有根據(jù)拋物線所過的一個點(diǎn)，以及拋物線的對稱軸求拋物線的方程的問題，注意開口方向不明確時拋物線方程的設(shè)法，屬于簡單題目.5．已知雙曲線的一條漸近線經(jīng)過點(diǎn)，則該雙曲線的離心率為（    ）A． B． C． D．3【答案】C【分析】求得雙曲線的漸近線方程，再由離心率公式，計(jì)算可得所求值．【詳解】解：∵雙曲線的一條漸近線經(jīng)過點(diǎn)，∴，∴，可得，所以．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的方程和性質(zhì)，主要是漸近線方程和離心率的求法，考查方程思想和運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．6．為抗擊新冠肺炎疫情，全國各地的醫(yī)護(hù)人員紛紛請戰(zhàn)支援武漢，某醫(yī)院從請戰(zhàn)的5名醫(yī)護(hù)人員中隨機(jī)選派2名支援武漢，已知這5名醫(yī)護(hù)人員中有一對夫妻，則這對夫妻恰有一人被選中的概率為（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】直接利用古典概型公式求解即可.【詳解】該事件的基本事件為,符合條件的事件分為夫妻中男方被選中和女方被選中兩種情況，其中男方被選中的事件數(shù)為,女方被選中的事件數(shù)為,根據(jù)古典概型公式可知，這對夫妻恰有一人被選中的概率為,故選：.7．若二項(xiàng)式的展開式中的各項(xiàng)系數(shù)之和為，則的值為（    ）A．1 B． C．2 D．【答案】D【分析】賦值法解決即可.【詳解】令，得二項(xiàng)式的展開式中的各項(xiàng)系數(shù)之和為，所以，解得，故選：D8．如圖，在正方體中，點(diǎn)M，N分別是，的中點(diǎn)，則下述結(jié)論中正確的個數(shù)為（    ）①∥平面；    ②平面平面；③直線與所成的角為；    ④直線與平面所成的角為．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用法向量的性質(zhì)，結(jié)合空間向量夾角公式逐一判斷即可.【詳解】建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)該正方體的棱長為，，由正方體的性質(zhì)可知：平面，則平面的法向量為，，因?yàn)?/span>，所以，而平面，因此∥平面，故①對；設(shè)平面的法向量為，，，所以有，同理可求出平面的法向量，因?yàn)?/span>，所以，因此平面平面，故②正確；因?yàn)?/span>，，所以，因?yàn)楫惷嬷本€所成的角范圍為，所以直線與所成的角為，故③正確；設(shè)直線與平面所成的角為，因?yàn)?/span>，平面的法向量為，所以，所以直線與平面所成的角不是，因此④錯誤，一共有個結(jié)論正確，故選：C 二、多選題9．已知M是橢圓上一點(diǎn)，，是其左右焦點(diǎn)，則下列選項(xiàng)中正確的是（    ）A．橢圓的焦距為2 B．橢圓的離心率C．橢圓的短軸長為4 D．的面積的最大值是4【答案】BCD【分析】由題意可得，即可判斷A，B，C；當(dāng)M為橢圓短軸的一個頂點(diǎn)時，以為底時的高最大，面積最大，求出面積的最大值即可判斷.【詳解】解：因橢圓方程為，所以，所以橢圓的焦距為，離心率，短軸長為，故A錯誤，B,C正確；對于D，當(dāng)M為橢圓短軸的一個頂點(diǎn)時，以為底時的高最大，為2,此時的面積取最大為,故正確.故選：BCD.10．如圖，在正四棱柱中，，為四邊形對角線的交點(diǎn)，下列結(jié)論正確的是（    ）A．點(diǎn)到側(cè)棱的距離相等 B．正四棱柱外接球的體積為C．若，則平面 D．點(diǎn)到平面的距離為【答案】BD【分析】利用正四棱柱的體對角線等于外接球直徑，以及空間位置關(guān)系的向量方法證明和空間距離的向量方法計(jì)算方法即可求解.【詳解】對于A, 到側(cè)棱的距離等于,到側(cè)棱的距離相等且等于,故A錯誤；對于B，設(shè)正四棱柱外接球的直徑為，則有,即，所以外接球的體積等于，故B正確；對于C，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，則,因?yàn)?/span>，所以,所以，，,所以，所以與平面不垂直，故C錯誤；對于D,由以上知，設(shè)平面的法向量為，則有，,,即，令則，所以，因?yàn)?/span>,所以點(diǎn)到平面的距離為，故D正確.故選:BD.11．已知空間中三點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的有（    ）A． B．與共線的單位向量是C．與夾角的余弦值是 D．平面的一個法向量是【答案】AD【分析】根據(jù)空間向量垂直的坐標(biāo)運(yùn)算可判斷AD，根據(jù)共線向量和單位向量判斷B，根據(jù)向量夾角的坐標(biāo)運(yùn)算判斷C.【詳解】由題意可得，，，選項(xiàng)A：，故，正確；選項(xiàng)B：不是單位向量，且與不共線，錯誤；選項(xiàng)C：，錯誤；選項(xiàng)D：設(shè)，則，，所以，，又，所以平面的一個法向量是，正確；故選：AD12．已知點(diǎn)在雙曲線上，分別是左?右焦點(diǎn)，若的面積為20，則下列判斷正確的有（    ）A．點(diǎn)到軸的距離為B．C．為鈍角三角形D．【答案】BC【分析】根據(jù)雙曲線的方程、定義與性質(zhì)，結(jié)合三角形的面積求出P的坐標(biāo)，結(jié)合兩點(diǎn)的距離公式、斜率公式以及余弦定理，對選項(xiàng)逐一判斷即可．【詳解】設(shè)點(diǎn)．因?yàn)殡p曲線，所以．又，所以，故A錯誤．將代入得，得．由雙曲線的對稱性，不妨取點(diǎn)P的坐標(biāo)為，得．由雙曲線的定義得，所以，故B正確．在中，，且，則為鈍角，所以為鈍角三角形，故C正確．由余弦定理得，所以，故D錯誤．故選：BC． 三、填空題13．若，則＝______．【答案】【分析】利用空間向量的運(yùn)算的坐標(biāo)表示求解即可【詳解】解：因?yàn)?/span>所以，所以故答案為：．14．橢圓C: 的離心率為，焦距為2，則橢圓的短軸長為_____【答案】【分析】由焦距可得c，離心率得到a，再根據(jù)可得答案.【詳解】因?yàn)闄E圓的離心率為，焦距為2， ，所以，由，得，則橢圓的短軸長，故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查了橢圓的簡單幾何性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.15．從3個女生4個男生中選取3人參加某項(xiàng)活動，男生女生都要有人參加，共有_______種選法．【答案】30【分析】分兩類：1男2女和2男1女，每類用分步乘法計(jì)數(shù)原理，然后再根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理可得總的選法數(shù)量.【詳解】分兩類：一類是1男2女共有種情況，另一類是2男1女共有情況，由加法原理得共有種情況，故答案為：3016．直線l過點(diǎn)且與圓相切，則直線l的方程為______________．【答案】或.【分析】先求出圓的圓心和半徑，然后分直線的斜率不存在和存在兩種情況求解即可.【詳解】由，得圓心為，半徑，當(dāng)直線的斜率不存在時，直線的方程為，此時直線恰好與圓相切，符合題意，當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)直線的方程為，則，，解得，所以直線的方程為，即，綜上，直線l的方程為或，故答案為：或. 四、解答題17．某班級甲組有5名男生，3名女生；乙組有6名男生，2名女生．(1)若從甲、乙兩組中各選1人擔(dān)任組長，則有多少種不同的的選法？(2)若從甲、乙兩組中各選1人擔(dān)任正副班長，則有多少種不同的的選法？(3)若從甲、乙兩組中各選2人參加核酸檢測，則選出的4人中恰有1名男生的不同選法共有多少種？【答案】(1)64；(2)128；(3)51. 【分析】（1）利用分步原理即得；（2）利用先選后排可求；（3）先分類再分步即得【詳解】（1）利用分步原理可得從甲、乙兩組中各選1人擔(dān)任組長，共有種不同的的選法；（2）先選后排，可得從甲、乙兩組中各選1人擔(dān)任正副班長有種不同的的選法；（3）先分類再分步：第一類：甲組1男生：，第二類：乙組1男生：，則選出的4人中恰有1名男生的不同選法共有51種.18．如圖，在四棱錐中，平面，底面為正方形，，E，F分別為PD，PC的中點(diǎn)．請用空間向量知識解答下面問題：(1)求證：平面PAD；(2)求平面AEF與底面所成角的余弦值．【答案】(1)證明見解析(2) 【分析】（1）以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，以AB，AD，AP分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，再利用空間向量法求解即可.（2）利用空間向量法求解即可.【詳解】（1）由題知AB，AD，AP兩兩相互垂直．以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，以AB，AD，AP分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，則，，，，，．∴，，．∴，，∴，．又平面，平面，．∴平面．（2）易知平面的一個法向量為，設(shè)平面AEF的法向量為，∵，，∴即取，解得則平面的一個法向量為．.因?yàn)槠矫?/span>與平面所成角為銳角，所以平面與平面所成角的余弦值為.19．已知對任意給定的實(shí)數(shù)，都有.求值：(1)；(2).【答案】(1)(2) 【分析】（1）利用賦值法求解，令可得結(jié)果；（2）利用賦值法求解，令可得結(jié)果；【詳解】（1）因?yàn)?/span>，令，則；（2）令，則，由（1）知，兩式相減可得.20．已知雙曲線與雙曲線有相同的漸近線，且經(jīng)過點(diǎn).（1）求雙曲線的方程；（2）求雙曲線的實(shí)軸長，離心率，焦點(diǎn)到漸近線的距離.【答案】（1）；（2）實(shí)軸長2，離心率為，距離為【解析】（1）先求出雙曲線的漸近線方程，從而由題意可得，所以雙曲線的方程可化為，再把坐標(biāo)代入方程中求出的值，從而可得雙曲線的方程；（2）由雙曲線方程可得，，，從而可得實(shí)軸長，離心率，焦點(diǎn)，再利用點(diǎn)到直線的距離公式可求出焦點(diǎn)到漸近線的距離【詳解】（1）解：在雙曲線中，，，則漸近線方程為，∵雙曲線與雙曲線有相同的漸近線，，∴方程可化為，又雙曲線經(jīng)過點(diǎn)，代入方程，，解得，，∴雙曲線的方程為. （2）解；由（1）知雙曲線中，，，，∴實(shí)軸長，離心率為，設(shè)雙曲線的一個焦點(diǎn)為，一條漸近線方程為，，即焦點(diǎn)到漸近線的距離為.【點(diǎn)睛】此題考查雙曲線簡單的幾何性質(zhì)的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題21．已知拋物線與直線相交于點(diǎn)AB.(1)求弦AB的中點(diǎn)；(2)求弦AB的長.【答案】(1)弦AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為(2)線段的長為8 【分析】（1）設(shè),，,,聯(lián)立拋物線和直線方程，消去可得到，從而有，根據(jù)直線方程求解，根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式即可得；（2）根據(jù)拋物線方程可看出直線過焦點(diǎn)，從而根據(jù)拋物線定義可得到，結(jié)合（1）中結(jié)論這樣便可求得線段的長．【詳解】（1）解：設(shè),，,，由方程組得：，則：；則，所以弦AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為，即為，所以弦AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為；（2）：拋物線的焦點(diǎn)為點(diǎn)，則直線過焦點(diǎn)，如圖：設(shè)，到準(zhǔn)線的距離分別為，；由拋物線定義可知；即線段的長為8．22．直三棱柱中，，，點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，直線與的交點(diǎn)為，若點(diǎn)在線段上運(yùn)動，的長度為．(1)求點(diǎn)到平面的距離；(2)是否存在點(diǎn)，使得二面角的余弦值為，若存在，求出的值，若不存在，說明理由．【答案】(1)(2)存在， 【分析】（1）建系，求平面的法向量，利用空間向量求點(diǎn)到面的距離；（2）設(shè)點(diǎn)，求平面PBD的法向量，利用空間向量處理二面角的問題.【詳解】（1）由題意可知：四邊形為矩形，則M為中點(diǎn)，以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，為x，y，z軸的正方向，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則，，，，∴，，，設(shè)平面的法向量，則，令，則，，即，∴點(diǎn)M到平面的距離．（2）存在，設(shè)點(diǎn)，平面PBD的法向量，∵， ，則，令，則，，即，∴，解得：或，當(dāng)時，P與重合，此時二面角為銳二面角，不合題意；當(dāng)時，二面角為鈍二面角，符合題意；綜上所述：存在點(diǎn)，使得二面角的余弦值為，此時． 

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