2022屆江西省名校高三一輪復(fù)習(xí)驗(yàn)收考試數(shù)學(xué)（理）試題 一、單選題1．設(shè)集合，，則（    ）A． B．C． D．【答案】C【分析】解可得出，求出對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域即可得出，然后根據(jù)交集的運(yùn)算，即可得出答案.【詳解】解可得，所以.由可得，，所以.所以.故選：C．2．若復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)的值為（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，以及純虛數(shù)的定義，即可求解．【詳解】為純虛數(shù)，，解得．故選：A．3．已知隨機(jī)變量，且，則（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)已知條件求得，進(jìn)而求解結(jié)論．【詳解】隨機(jī)變量，且，，．故選：B．4．標(biāo)準(zhǔn)對(duì)數(shù)視力表采用的“五分記錄法”是我國(guó)獨(dú)創(chuàng)的視力記錄方式，此表由14行開(kāi)口方向各異的正方形“E”形視標(biāo)所組成，從上到下分別對(duì)應(yīng)視力，且從第一行開(kāi)始往下，每一行“E”形視標(biāo)邊長(zhǎng)都是下一行“E”形視標(biāo)邊長(zhǎng)的倍，若視力4.1的視標(biāo)邊長(zhǎng)為a，則視力4.9的視標(biāo)邊長(zhǎng)為（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)題意可知視標(biāo)邊長(zhǎng)從上到下是以為公比的等比數(shù)列，記視力的視標(biāo)邊長(zhǎng)為，則視力4.9的視標(biāo)邊長(zhǎng)為，從而可得出答案.【詳解】解：根據(jù)題意可知視標(biāo)邊長(zhǎng)從上到下是以為公比的等比數(shù)列，記視力的視標(biāo)邊長(zhǎng)為，則視力4.9的視標(biāo)邊長(zhǎng)為.故選：D.5．已知正方形的邊長(zhǎng)為，點(diǎn)在線段上，若，則（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系.由已知可推得，然后寫(xiě)出各點(diǎn)的坐標(biāo)，表示出向量的坐標(biāo)，根據(jù)向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示，即可得出答案.【詳解】建立如圖所示直角坐標(biāo)系，則，，.因?yàn)?/span>，即，所以，則，所以，，則.故選：D．6．已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，，公差，則數(shù)列的前項(xiàng)和為（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用條件得出等差數(shù)列前項(xiàng)和，從而得到，利用等差數(shù)列的定義知數(shù)列為等差數(shù)列，進(jìn)而可求出結(jié)果.【詳解】，公差，所以得到，所以為常數(shù)，即數(shù)列為等差數(shù)列，首項(xiàng)為，公差為，則數(shù)列的前項(xiàng)和為，故選：B．7．對(duì)正整數(shù)a，函數(shù)表示小于或等于a的正整數(shù)中與a互質(zhì)的數(shù)的數(shù)目，此函數(shù)以其首位研究者歐拉命名，故稱(chēng)為歐拉函數(shù)．例如：因?yàn)?/span>均和8互質(zhì)，所以．基于上述事實(shí)，（    ）A．8 B．12 C．16 D．24【答案】C【分析】先由對(duì)數(shù)的運(yùn)算計(jì)算，再由歐拉函數(shù)的定義求解即可.【詳解】∵小于或等于32的正整數(shù)中與32互質(zhì)的實(shí)數(shù)為，，共有16個(gè)，.故選：C8．已知雙曲線的上、下焦點(diǎn)分別為，，若存在點(diǎn)，使得，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用已知條件，推出是雙曲線上的點(diǎn)，通過(guò)的坐標(biāo)以及雙曲線的漸近線方程的關(guān)系，求解的范圍即可．【詳解】雙曲線的上、下焦點(diǎn)分別為，，若存在點(diǎn)，使得，所以是雙曲線上的點(diǎn)，雙曲線的漸近線的斜率為：，而在上，所以，解得．故選：D．9．已知四棱錐的底面為正方形，平面為等腰三角形，若分別為的中點(diǎn)，則異面直線與所成角的余弦值為（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題意畫(huà)出圖形，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，然后寫(xiě)出的坐標(biāo)，利用向量的夾角公式即可求解.【詳解】由題意可知，平面，底面為正方形，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，，因?yàn)?/span>分別為的中點(diǎn)，所以，所以異面直線與所成角的余弦值為.故選：B.10．已知函數(shù)，，若與的圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)依次為，，，，則（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)條件判斷函數(shù)和都是關(guān)于對(duì)稱(chēng)的，利用對(duì)稱(chēng)性進(jìn)行求解即可．【詳解】，而向左平移1個(gè)單位，再向上平移2個(gè)單位則得到，且的對(duì)稱(chēng)中心為，所以的對(duì)稱(chēng)中心為，又函數(shù)，所以也是函數(shù)的對(duì)稱(chēng)中心，所以函數(shù)與函數(shù)的圖象的交點(diǎn)兩兩關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，所以，，，，，，所以．故選：A．11．已知函數(shù)，現(xiàn)有如下說(shuō)法：的圖象關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)；為的一個(gè)周期；在上單調(diào)遞增．則上述說(shuō)法中正確的個(gè)數(shù)為（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】對(duì)于①，驗(yàn)證關(guān)于對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)為是否在圖像上即可.對(duì)于②，驗(yàn)證是否成立即可.對(duì)于③，根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，即可判斷.【詳解】①設(shè)為上的任意一點(diǎn)，則且此點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)為，，點(diǎn)不在函數(shù)上，故①錯(cuò)誤；②，為的一個(gè)周期，故②正確；③當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增且，∵在上單調(diào)遞增，∴由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，可知在上單調(diào)遞增，故③正確．∴說(shuō)法正確的有2個(gè).故選：．12．已知三棱錐的體積為，，若三棱錐外接球的球心恰為線段的中點(diǎn)，且，則球的表面積為（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】設(shè)球的半徑為，推導(dǎo)出，均為直角三角形，，作于，連接，可得，求出，由此能求出，進(jìn)而能求出球的表面積．【詳解】解：設(shè)球的半徑為，是球的直徑，，均為直角三角形，三棱錐的體積為，，，如圖所示，作于，連接，可得，，，，解得，球的表面積為．故選：B． 二、填空題13．若實(shí)數(shù)滿足 則的最大值為_______．【答案】14【分析】由約束條件畫(huà)出可行域，要使有最大值，即直線與可行域有交點(diǎn)時(shí)在y軸的截距最大，即可求的最大值.【詳解】由約束條件作出可行域如圖，聯(lián)立，解得，由，得，由圖可知，當(dāng)直線過(guò)時(shí)，直線在軸上的截距最大，有最大值為.故答案為：.14．的展開(kāi)式中的系數(shù)為______________.【答案】48【分析】由以及的展開(kāi)式的通項(xiàng)公式可得結(jié)果.【詳解】因?yàn)?/span>，又的展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為，.所以的展開(kāi)式中的系數(shù)為：.故答案為：48.【點(diǎn)睛】本題考查了二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式，屬于基礎(chǔ)題.15．已知拋物線的焦點(diǎn)為F，過(guò)F作斜率為的直線與C交于兩點(diǎn)，若線段中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，則F到C的準(zhǔn)線的距離為_______．【答案】【分析】設(shè)、，利用點(diǎn)差法可得出，最后根據(jù)線段中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為即可求出結(jié)果.【詳解】設(shè)，，則，，兩式相減得，即，因?yàn)?/span>、兩點(diǎn)在斜率為的直線上，所以，所以由得，因?yàn)榫€段中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，所以，則，，所以F到C的準(zhǔn)線的距離為.故答案為：.16．若不等式對(duì)任意恒成立，則實(shí)數(shù)的值為______．【答案】【分析】將不等式恒成立轉(zhuǎn)化為，令，利用導(dǎo)數(shù)求出的最大值為，從而可得，令，利用導(dǎo)數(shù)求出，從而可求得的值．【詳解】解：不等式對(duì)任意恒成立等價(jià)于不等式對(duì)任意恒成立，即，令，，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，所以，所以，即，令，，令，可得，令，可得，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，即，所以．故答案為：． 三、解答題17．在①，②，③這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問(wèn)題中，并作答．在中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，且_．(1)求B的大?。?/span>(2)若，求的最大值．注：如選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．【答案】(1)(2)8 【分析】（1）選①，利用余弦定理化角為邊，再利用余弦定理即可得解；選②，利用正弦定理化邊為角，即可得解；選③，利用正弦定理化邊為角，再根據(jù)三角形內(nèi)角的關(guān)系求得，即可得解；（2）利用余弦定理結(jié)合基本不等式即可得出答案.【詳解】（1）解：選①，因?yàn)?/span>，所以，即，所以，又，所以；選②，因?yàn)?/span>，所以，即，因?yàn)?/span>，所以，所以，所以；選③，因?yàn)?/span>，所以，則，則有，即，所以，因?yàn)?/span>，所以，所以，又，所以；（2）解：由（1）得，即，解得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號(hào)，所以的最大值為8．18．網(wǎng)課是一種新興的學(xué)習(xí)方式，它以互聯(lián)網(wǎng)為平臺(tái)，為學(xué)習(xí)者提供包含視頻、圖片、文字等多種形式的系列學(xué)習(xí)課程，由于具有方式多樣，靈活便捷等優(yōu)點(diǎn)，網(wǎng)課成為許多學(xué)生在假期實(shí)現(xiàn)自主學(xué)習(xí)的重要手段．為了調(diào)查地區(qū)高中生一周網(wǎng)課學(xué)習(xí)的時(shí)間，隨機(jī)抽取了名上網(wǎng)課的學(xué)生，將他們一周上網(wǎng)課的時(shí)間單位：h按，，，，分組，得到頻率分布直方圖如圖所示．(1)求的值，并估計(jì)這名學(xué)生一周上網(wǎng)課時(shí)間的平均數(shù)同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代表；(2)以頻率估計(jì)概率，若在地區(qū)所有上網(wǎng)課的高中生中任選人，記一周上網(wǎng)課時(shí)間在的人數(shù)為，求的分布列以及數(shù)學(xué)期望．【答案】(1)，(2)分布列見(jiàn)解析，期望值為1 【分析】（1）由頻率和等于1，可求的值，再由平均數(shù)計(jì)算公式可解；（2）由題意可得，，所有可能取值為，，，，，分別求出對(duì)應(yīng)的概率，再結(jié)合期望公式，即可求解.【詳解】（1）由頻率分布直方圖可得，，解得．這名學(xué)生上網(wǎng)課時(shí)間的平均數(shù)為．（2）由題意可得，一位學(xué)生一周上網(wǎng)課時(shí)間在的概率為：，則，所有可能取值為，，，，，故，，，，，故的分布列為：          故E．19．如圖，在三棱柱中，，，．(1)求證：；(2)若為線段的中點(diǎn)，求直線與平面所成角的正弦值．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2) 【分析】（1）根據(jù)已知可推得，，進(jìn)而得出平面，.然后根據(jù)勾股定理，可證得，進(jìn)而得出平面，即可得出證明；（2）設(shè)，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，寫(xiě)出點(diǎn)的坐標(biāo)，然后求出以及平面的法向量，根據(jù)向量法即可求出答案.【詳解】（1），，.，，.，平面，平面，平面.又平面，.在中，有.，，，，.又平面，平面，，平面.平面，．（2）由（1）知，平面，.設(shè)，則，，則以為原點(diǎn)，分別以所在直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系， 設(shè)，則，，，，，，，.設(shè)平面的一個(gè)法向量為，，即，取，則，，所以是平面的一個(gè)法向量，，直線與平面所成角的正弦值．20．已知橢圓，過(guò)點(diǎn)．(1)求C的方程；(2)若不過(guò)點(diǎn)的直線l與C交于M，N兩點(diǎn)，且滿足，試探究：l是否過(guò)定點(diǎn)，若是，求出定點(diǎn)坐標(biāo)；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)(2)直線過(guò)定點(diǎn) 【分析】（1）將代入橢圓方程求；（2）由可得，設(shè)直線l方程為，將韋達(dá)定理代入求得，從而知l恒過(guò)定點(diǎn).【詳解】（1）由題意，，解得，所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2）因?yàn)?/span>，兩邊平方，化簡(jiǎn)整理得，易知直線l的斜率存在，設(shè)其方程為，其中．由，得，，設(shè)，則，所以，所以，即，因?yàn)?/span>，所以，所以，得，解得，滿足，所以直線l的方程為：，即直線過(guò)定點(diǎn)【點(diǎn)睛】過(guò)橢圓上一定點(diǎn),作兩條直線分別與橢圓交于A,B兩點(diǎn),且兩直線斜率之積為,則  (1)當(dāng)時(shí),直線恒過(guò)一個(gè)定點(diǎn),且定點(diǎn)為.  (2) 當(dāng)時(shí),直線AB的斜率為定值.21．已知函數(shù).(1)判斷的零點(diǎn)個(gè)數(shù)；(2)當(dāng)時(shí)，證明：.【答案】(1)個(gè)(2)證明見(jiàn)解析 【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合函數(shù)的最值可得出結(jié)論；（2）所證不等式即為.當(dāng)時(shí)，可利用放縮法證明即可；在時(shí)，由（1）得出，并證明出，轉(zhuǎn)化為證明，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)證得，即可證得結(jié)論成立.綜合可得出結(jié)論.【詳解】（1）解：函數(shù)函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，，令，則且不恒為零，所以在上單調(diào)遞增，又因?yàn)?/span>，所以當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，所以，，故僅有個(gè)零點(diǎn).（2）證明：要證，即證.①當(dāng)時(shí)，則，則，而，所以原不等式成立；②當(dāng)時(shí)，，由（1）知時(shí)，，所以，則，所以只需證.令，，則且不恒為零，所以在上單調(diào)遞減，所以，即.故只需證，即證，令，其中，令，則，且不恒為零，故函數(shù)在上為增函數(shù)，故，且不恒為零，故在上為增函數(shù)，則，即，綜上所述，.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)證明不等式問(wèn)題，方法如下：（1）直接構(gòu)造函數(shù)法：證明不等式（或）轉(zhuǎn)化為證明（或），進(jìn)而構(gòu)造輔助函數(shù)；（2）適當(dāng)放縮構(gòu)造法：一是根據(jù)已知條件適當(dāng)放縮；二是利用常見(jiàn)放縮結(jié)論；（3）構(gòu)造“形似”函數(shù)，稍作變形再構(gòu)造，對(duì)原不等式同解變形，根據(jù)相似結(jié)構(gòu)構(gòu)造輔助函數(shù).22．在平面直角坐標(biāo)系中，直線的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的非負(fù)半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程是．(1)求的極坐標(biāo)方程以及C的直角坐標(biāo)方程；(2)設(shè)點(diǎn)分別在與C上，求的最小值．【答案】(1)的極坐標(biāo)方程為，C的直角坐標(biāo)方程為(2) 【分析】（1）將直線的參數(shù)方程化為普通方程，再化為極坐標(biāo)方程即可，根據(jù)將曲線C化為普通方程即可；（2）的最小值即為點(diǎn)到直線的距離，設(shè)，根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式及二次函數(shù)的性質(zhì)即可得解.【詳解】（1）解：因?yàn)橹本€的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），所以直線的普通方程為，所以，即，即的極坐標(biāo)方程為，因?yàn)榍€C的極坐標(biāo)方程是，所以，即，所以C的直角坐標(biāo)方程為；（2）解：的最小值即為點(diǎn)到直線的距離，設(shè)，則，所以點(diǎn)到直線的距離，所以當(dāng)時(shí)，，此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為，所以的最小值為.23．已知函數(shù)的最小值為m．(1)求m的值；(2)求證：當(dāng)時(shí)，．【答案】(1)5；(2)證明見(jiàn)解析. 【分析】（1）利用放縮法及絕對(duì)值不等式求解即可；（2）根據(jù)“1”的變形及均值不等式求最值即可得證.【詳解】（1），當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以有最小值5，即.（2）證明：，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，即當(dāng)時(shí)，. 

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