2023屆江西省南昌市穩(wěn)派高三二輪復(fù)習(xí)驗(yàn)收考試（4月聯(lián)考）數(shù)學(xué)（理）試題一、單選題1．已知集合，，則（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】先化簡集合A和B，再根據(jù)交集的定義求解．【詳解】由題得，，所以.故選：A.2．已知復(fù)數(shù)滿足，則的虛部為（    ）A． B． C．3 D．【答案】C【分析】利用復(fù)數(shù)定義及運(yùn)算法則計(jì)算即可.【詳解】因?yàn)?/span>，所以的虛部為3，故選：C.3．已知，，，則（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)中間值和符號求解.【詳解】因?yàn)?/span> ，，，所以；故選：D.4．在統(tǒng)計(jì)中，月度同比是指本月和上一年同月相比較的增長率，月度環(huán)比是指本月和上一個(gè)月相比較的增長率，如圖是2022年1月至2022年12月我國居民消費(fèi)價(jià)格月度漲跌幅度統(tǒng)計(jì)圖，則以下說法錯(cuò)誤的是（    ）A．在這12個(gè)月中，我國居民消費(fèi)價(jià)格月度同比數(shù)據(jù)的中位數(shù)為 B．在這12個(gè)月中，月度環(huán)比數(shù)據(jù)為正數(shù)的個(gè)數(shù)比月度環(huán)比數(shù)據(jù)為負(fù)數(shù)的個(gè)數(shù)多3C．在這12個(gè)月中，我國居民消費(fèi)價(jià)格月度同比數(shù)據(jù)的均值為 D．在這12個(gè)月中，我國居民消費(fèi)價(jià)格月度環(huán)比數(shù)據(jù)的眾數(shù)為 【答案】C【分析】根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖分別求出消費(fèi)價(jià)格月度同比數(shù)據(jù)的中位數(shù)和平均值；求出月度環(huán)比數(shù)據(jù)為正數(shù)的個(gè)數(shù)、月度環(huán)比數(shù)據(jù)為負(fù)數(shù)的個(gè)數(shù)，再求出月度環(huán)比數(shù)據(jù)的眾數(shù)，即可得答案.【詳解】在這12個(gè)月中，我國居民消費(fèi)價(jià)格月度同比數(shù)據(jù)由小到大依次為，，中位數(shù)為，平均數(shù)為,由數(shù)據(jù)可知我國居民消費(fèi)價(jià)格月度環(huán)比的數(shù)據(jù)中，有6個(gè)月的數(shù)據(jù)為正數(shù)，3個(gè)月的數(shù)據(jù)為，3個(gè)月的數(shù)據(jù)為負(fù)數(shù)，所以月度環(huán)比數(shù)據(jù)為正數(shù)的個(gè)數(shù)比月度環(huán)比數(shù)據(jù)為負(fù)數(shù)的個(gè)數(shù)多3，且出現(xiàn)次數(shù)最多，故眾數(shù)為 ，故選項(xiàng)A，B，D正確，C錯(cuò)誤，故選：C.5．已知數(shù)列為等比數(shù)列，，，則數(shù)列的前10項(xiàng)和為（    ）A．352 B．401 C．625 D．913【答案】D【分析】根據(jù)條件構(gòu)造數(shù)列，再根據(jù)條件列出等比數(shù)列的基本量的方程組，再根據(jù)通項(xiàng)公式求和.【詳解】令，設(shè)數(shù)列的公比為，因?yàn)?/span>，所以，即，所以.由，得，所以，聯(lián)立，解得，所以，所以，所以的前10項(xiàng)和為.故選：D.6．黃地綠彩云龍紋盤是收藏于中國國家博物館的一件明代國寶級瓷器.該龍紋盤敞口，弧壁，廣底，圈足.器內(nèi)施白釉，外壁以黃釉為地，刻云龍紋并填綠彩，美不勝收.黃地綠彩云龍紋盤可近似看作是圓臺和圓柱的組合體，其口徑22.5cm，足徑14.4cm，高3.8cm，其中底部圓柱高0.8cm，則黃地綠彩云龍紋盤的側(cè)面積約為（    ）（附：圓臺的側(cè)面積，，為兩底面半徑，為母線長，其中的值取3，）A． B． C． D．【答案】B【分析】首先求圓臺母線長，再代入圓臺和圓柱側(cè)面積公式，即可求解.【詳解】設(shè)該圓臺的母線長為，兩底面圓半徑分別為，（其中），則，，，所以，故圓臺部分的側(cè)面積為，圓柱部分的側(cè)面積為，故該黃地綠彩云龍紋盤的側(cè)面積約為.故選：B.7．已知非零向量，，滿足，，，，則（    ）A． B．2 C． D．4【答案】C【分析】根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律結(jié)合模的計(jì)算，即可求得答案.【詳解】由，得，所以，，即，，兩式聯(lián)立得，結(jié)合，所以，所以，故選：C.8．已知定義在上的函數(shù)滿足，為奇函數(shù)，則（    ）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【分析】由題意推出函數(shù)的周期以及滿足等式，賦值求得，利用函數(shù)的周期性即可求得答案.【詳解】因?yàn)?/span>，所以，所以的周期為6，又為奇函數(shù)，所以，所以，令，得，所以,所以，故選：C.9．已知，，，則的最小值為（    ）A．4 B．6 C．8 D．12【答案】B【分析】條件等式兩邊取對數(shù)后，得，再結(jié)合換底公式，以及基本不等式“1”的妙用，即可求解.【詳解】因?yàn)?/span>，所以，即，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)等號成立，所以的最小值為6.故選：B.10．正割（Secant）及余割（Cosecant）這兩個(gè)概念是由伊朗數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家阿布爾·威發(fā)首先引入，，這兩個(gè)符號是荷蘭數(shù)學(xué)家基拉德在《三角學(xué)》中首先使用，后經(jīng)歐拉采用得以通行.在三角中，定義正割，余割.已知函數(shù)，給出下列說法：①的定義域?yàn)?/span>；②的最小正周期為；③的值域?yàn)?/span>；④圖象的對稱軸為直線.其中所有正確說法的序號為（    ）A．②③ B．①④C．③ D．②③④【答案】A【分析】首先化簡函數(shù)，再結(jié)合原函數(shù)的特征，求函數(shù)的定義域，以及根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)判斷周期，值域和對稱性.【詳解】，由，，得，即的定義域?yàn)?/span>，①錯(cuò)誤；的定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱，故的最小正周期與函數(shù)的最小正周期一致，均為，②正確；當(dāng)，，，時(shí)，的值分別為1，1，，，考慮周期性可知，的值域?yàn)?/span>，③正確；令，得，即圖象的對稱軸為直線，④錯(cuò)誤，故選：A.11．已知函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，其導(dǎo)函數(shù)為，，，則（    ）A．無極值 B．有極大值，也有極小值C．有極大值，無極小值 D．有極小值，無極大值【答案】D【分析】根據(jù)題意賦值可求得，根據(jù)結(jié)構(gòu)特征，構(gòu)造函數(shù)，從而判斷的函數(shù)值情況，即可判斷的單調(diào)性，確定極值，即可得答案.【詳解】由已知知，又，所以，令，則，又，令，所以，所以在上單調(diào)遞增，又，所以當(dāng)時(shí)，，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，，單調(diào)遞增，所以的極小值為，無極大值，故選：D.12．已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，直線經(jīng)過點(diǎn)交于 ，兩點(diǎn)，點(diǎn)在上，，，，則的離心率為（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】分別取，關(guān)于軸的對稱點(diǎn)，，連接，，，，利用橢圓的對稱性，推出四邊形是平行四邊形，從而求出，，利用余弦定理求得的關(guān)系式，可得答案.【詳解】分別取，關(guān)于軸的對稱點(diǎn)，，連接，，，，由以及橢圓的對稱性及幾何知識可得，且關(guān)于y軸對稱，則關(guān)于原點(diǎn)對稱，則四邊形是平行四邊形，所以，，又，所以，所以是等邊三角形，又的周長為，所以，，中，由余弦定理，得，整理得，所以，故選：B. 二、填空題13．若命題“，”為真命題，則實(shí)數(shù)的取值范圍為___________.（用區(qū)間表示）【答案】【分析】求出函數(shù)的值域，結(jié)合存在量詞命題為是真命題作答.【詳解】因?yàn)?/span>，即函數(shù)的值域?yàn)?/span>，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.故答案為：14．已知雙曲線（，）的一條漸近線恰好平分第一、三象限，若的虛軸長為4，則的實(shí)軸長為____________.【答案】4【分析】由雙曲線的漸近線方程得出，即可得出結(jié)果.【詳解】由題意可知，雙曲線的一條漸近線為直線，故，故其實(shí)軸長為.15．2023年9月第19屆亞運(yùn)會將在杭州舉辦，在杭州亞運(yùn)會三館（杭州奧體中心的體育館、游泳館和綜合訓(xùn)練館）對外免費(fèi)開放預(yù)約期間將含甲、乙在內(nèi)的5位志愿者分配到這三館負(fù)責(zé)接待工作，每個(gè)場館至少分配1位志愿者，且甲、乙分配到同一個(gè)場館，則甲分配到游泳館的概率為_________.【答案】【分析】利用計(jì)數(shù)原理和排列組合公式，分別計(jì)算甲、乙分配到同一個(gè)場館的方法數(shù)和甲分配到游泳館的方法數(shù)，根據(jù)古典概型的計(jì)算公式計(jì)算.【詳解】甲、乙分配到同一個(gè)場館有以下兩種情況：（1）場館分組人數(shù)為1，1，3時(shí)，甲、乙必在3人組，則方法數(shù)為種；（2）場館分組人數(shù)為2，2，1時(shí)，其中甲、乙在一組，則方法數(shù)為種，即甲、乙分配到同一個(gè)場館的方法數(shù)為.若甲分配到游泳館，則乙必然也在游泳館，此時(shí)的方法數(shù)為，故所求的概率為.故答案為：16．在平面四邊形中，，，，現(xiàn)將 沿著折起，得到三棱錐，若二面角的平面角為135°，則三棱錐的外接球表面積為__________.【答案】【分析】先求出外接球的球心，根據(jù)幾何關(guān)系求出外接球的半徑即可.【詳解】如圖，取的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，連接，，因?yàn)?/span>，所以 ，因?yàn)?/span>， ，所以 ，；過點(diǎn)作平面，過點(diǎn)作平面， ，因?yàn)辄c(diǎn)，分別是 和的外心，所以點(diǎn)是三棱錐的外接球的球心；由，得，，，所以，，，，，則三棱錐的外接球的半徑，所以外接球的表面積 ；故答案為： . 三、解答題17．在①；②，這兩個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問題中，并加以解答.已知的內(nèi)角，，所對的邊分別為，，，___________.(1)求的值；(2)若的面積為2，，求的周長.注：如選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.【答案】(1)(2) 【分析】（1）根據(jù)所選條件，利用正弦定理邊化角，結(jié)合兩角和的正弦公式化簡，可求的值；（2）由面積公式求得，再利用余弦定理求得，可得的周長.【詳解】（1）若選①，由已知得，所以，由正弦定理得，又，所以，所以，又，由，，解得.若選②，由已知及正弦定理得，所以，所以，所以，又，所以，所以，又，由，，解得.（2）由的面積為2，得，所以，由（1）可得，由余弦定理得，所以，所以，所以的周長為.18．如圖，在多面體中，平面，，為的中點(diǎn).，.(1)證明：平面；(2)求二面角的平面角的余弦值.【答案】(1)證明見解析(2). 【分析】（1）證明一條直線垂直于一個(gè)平面只要證明該直線垂直于平面內(nèi)兩條相交的直線即可；（2）建立空間坐標(biāo)系，運(yùn)用數(shù)量積求解.【詳解】（1）因?yàn)?/span>，為的中點(diǎn)，所以，又平面，平面，所以，又 ，， 平面，所以平面，又 平面，所以，在 中， ，在 中， ，在直角梯形 中，運(yùn)用勾股定理可得 ， 所以，所以，又 ，，平面，所以 平面；（2）由題知，過作 交于，則 平面，可得 ，，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，向量，，的方向分別為，，軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，所以，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，由得，取，則，，所以.由（1）知平面的一個(gè)法向量為，設(shè)二面角的平面角為，易知為銳角，則；綜上，二面角的平面角的余弦值為.19．為更好保障消費(fèi)者的食品安全，某蛋糕總店開發(fā)了、兩種不同口味的生態(tài)戚風(fēng)蛋糕，制作主料均為生態(tài)有機(jī)原料.已知蛋糕的成本為元/個(gè)，蛋糕的成本為元/個(gè)，兩種蛋糕的售價(jià)均為元/個(gè)，兩種蛋糕的保質(zhì)期均為一天，一旦過了保質(zhì)期，則銷毀處理.為更好了解市場的需求情況，、兩種蛋糕分別在甲、乙兩個(gè)分店同時(shí)進(jìn)行了為期一個(gè)月（天）的試銷，假設(shè)兩種蛋糕的日銷量相互獨(dú)立，統(tǒng)計(jì)得到如下統(tǒng)計(jì)表.蛋糕的銷售量（個(gè)）天數(shù)蛋糕的銷售量（個(gè)）天數(shù)(1)以銷售頻率為概率，求這兩種蛋糕的日銷量之和不低于個(gè)的概率；(2)若每日生產(chǎn)、兩種蛋糕各個(gè)，根據(jù)以上數(shù)據(jù)計(jì)算，試問當(dāng)與時(shí)，哪種情況下兩種蛋糕的獲利之和最大？【答案】(1)(2)當(dāng)時(shí)，兩種蛋糕的獲利之和最大 【分析】（1）設(shè)這兩種蛋糕的日銷量之和為，計(jì)算出、、，相加可得所求事件的概率；（2）計(jì)算出與時(shí)兩種蛋糕所獲利潤的期望值，比較大小后可得出結(jié)論.【詳解】（1）解：設(shè)這兩種蛋糕的日銷量之和為，則，，.所以這兩種蛋糕的日銷量之和不低于個(gè)的概率為.（2）解：當(dāng)時(shí)，兩種蛋糕獲利之和為元；當(dāng)時(shí)，兩種蛋糕獲利之和為元，因?yàn)?/span>，所以當(dāng)時(shí)，兩種蛋糕的獲利之和最大.20．已知拋物線的焦點(diǎn)為，分別為上兩個(gè)不同的動點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，當(dāng)為等邊三角形時(shí)，.(1)求的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)拋物線在第一象限的部分是否存在點(diǎn)，使得點(diǎn)滿足，且點(diǎn)到直線的距離為2？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)及直線的方程；若不存在，請說明理由.【答案】(1)(2)存在，點(diǎn)，直線的方程為. 【分析】（1）由對稱性可知當(dāng)為等邊三角形時(shí)，兩點(diǎn)關(guān)于軸對稱，可得點(diǎn)在上，代入，解得，即得的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)直線的方程為，與拋物線聯(lián)立，結(jié)合韋達(dá)定理和條件，得，由點(diǎn)到直線的距離為2，可得，聯(lián)立可解得答案．【詳解】（1）由對稱性可知當(dāng)為等邊三角形時(shí)，兩點(diǎn)關(guān)于軸對稱，當(dāng)為等邊三角形時(shí)，的高為，由題意知點(diǎn)在上，代入，得，解得，所以的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）由（1）知，根據(jù)題意可知直線的斜率不為0，設(shè)直線的方程為，，，，聯(lián)立，得，所以，即，且，，所以，由，得，所以，所以，即，又點(diǎn)在上，所以，即，①所以，解得，又點(diǎn)在第一象限，所以，所以.又點(diǎn)到直線的距離，化簡得，②聯(lián)立①②解得，或（舍去），或（舍去）.此時(shí)點(diǎn)，直線的方程為.21．已知函數(shù)，其中.(1)當(dāng)時(shí)，求的極值；(2)若不等式對任意恒成立，證明：.【答案】(1)極小值為，無極大值(2)證明見解析 【分析】（1）將 代入 的解析式，運(yùn)用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值；（2）將不等式 看作一元二次不等式，運(yùn)用一元二次不等式的解法求解.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，所以 ，令，所以 ，當(dāng)時(shí)， ， 單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)， ，單調(diào)遞增，所以，，所以當(dāng)時(shí)，， ，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，， ，單調(diào)遞增，所以的極小值為，無極大值；（2）由題意，對于 ，不等式 恒成立，即 恒成立，將上不等式看作以a為主元的一元二次不等式，對于任意的x恒成立， ，當(dāng) 時(shí)， ，上不等式顯然成立，此時(shí) ；當(dāng) 時(shí)，方程 的解為 ，即 或 ； 就是a要大于函數(shù) 的最大值，令 ，則 ， ， ，當(dāng) 時(shí)， 單調(diào)遞減，當(dāng) 時(shí)， 單調(diào)遞增， ，即 ； ，即a小于函數(shù) 的最小值，令，則 ， ， ，當(dāng) 時(shí)， 單調(diào)遞增，當(dāng) 時(shí)， 單調(diào)遞減， ，由條件 ， ；綜上，當(dāng) 時(shí)，的極小值為e，無極大值.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：本題的難點(diǎn)在于換個(gè)角度思考問題，運(yùn)用參數(shù)分離顯然不行，運(yùn)用分類討論會比較繁瑣，將原不等式看作一元二次不等式來求解相對容易.22．在平面直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線的極坐標(biāo)方程為，其中.(1)求的普通方程與直線的直角坐標(biāo)方程；(2)直線與曲線交于A，兩點(diǎn)，且A，兩點(diǎn)對應(yīng)的極角分別為，，求的值.【答案】(1)，(2) 【分析】（1）利用參數(shù)方程、極坐標(biāo)方程、普通方程的轉(zhuǎn)化即可得出結(jié)果；（2）先將的極坐標(biāo)方程寫出，再與聯(lián)立解方程，由圖象分析即可得出結(jié)果.【詳解】（1）由得，消去得為的普通方程；由，得，令，，得為直線的直角坐標(biāo)方程.（2）在中，令，，所以，即為的極坐標(biāo)方程，聯(lián)立得，所以，所以，又，所以，所以或或或，解得或或或，由圖可知，兩交點(diǎn)位于第一、四象限，所以或，所以.23．已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，求不等式的解集；(2)若的最小值為10，求實(shí)數(shù)的值.【答案】(1)(2)或5. 【分析】（1）首先討論去絕對值，寫成分段函數(shù)的形式，再求不等式的解集；（2）利用絕對值三角不等式，求函數(shù)的最小值，即可求解【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，又，所以或或解得或，所以，所以不等式的解集為.（2），因?yàn)?/span>，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立，所以，解得或5. 

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