2023屆福建省高三聯(lián)合測(cè)評(píng)數(shù)學(xué)試題 一、單選題1．已知全集，，，則（    ）A． B．C． D．【答案】C【分析】利用集合的交并補(bǔ)運(yùn)算即可求解.【詳解】，，故．故選：C．2．若復(fù)數(shù)，，在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第四象限，則（    ）A．6 B．4 C． D．【答案】A【分析】先對(duì)復(fù)數(shù)進(jìn)行化簡(jiǎn)，然后結(jié)合復(fù)數(shù)的幾何意義及模長(zhǎng)公式求解即可.【詳解】，，由在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第四象限，故舍去，．故選：A．3．已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，，則（    ）A．11 B．12 C．13 D．14【答案】C【分析】通過(guò)已知求出，再利用等差數(shù)列的前n項(xiàng)求和公式即可求出【詳解】設(shè)的公差為，則，．故選：C．4．已知，恒成立，則的一個(gè)充分不必要條件是（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】先通過(guò)選項(xiàng)求出是什么條件，選出符合題目要求的充分不必要條件即可.【詳解】，，得，A是的必要不充分條件，B是的必要不充分條件，C：是的充要條件，D：是的充分不必要條件．故選：D．5．函數(shù)的圖像大致是（    ）A． B．C． D．【答案】A【分析】先根據(jù)函數(shù)的奇偶性排除部分選項(xiàng)，再對(duì)求導(dǎo)得單調(diào)性來(lái)確定選項(xiàng).【詳解】易知函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱且，所以為奇函數(shù)，的圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，排除B，D，又，故在，上都為增函數(shù)，故選：A．6．在中，，，，為所在平面上的一點(diǎn)，，則的最大值為（    ）A． B．25 C． D．【答案】B【分析】構(gòu)建以為原點(diǎn)，，分別為軸，軸的正方向建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示及定點(diǎn)到圓上點(diǎn)最值求的最大值.【詳解】以為原點(diǎn)，，分別為軸，軸的正方向建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則，，設(shè)，則，，，所以，而與的距離為，故其最大值為，的最大值為．故選：B7．已知雙曲線（，）的漸近線與交于第一象限內(nèi)的兩點(diǎn)，，若為等邊三角形，則雙曲線的離心率（    ）A． B． C．2 D．【答案】B【分析】利用雙曲線的漸近線公式和角度之間的關(guān)系求出進(jìn)而求出雙曲線的離心率即可.【詳解】滿足，又滿足，故，軸，，可得，．故選：B．8．已知數(shù)列滿足，，恒成立，則的最小值為（    ）A．3 B．2 C．1 D．【答案】C【分析】通過(guò)等差數(shù)列的定義求出的通項(xiàng)公式，再利用裂項(xiàng)相消法求出，進(jìn)而確定m的最小值.【詳解】，是等差數(shù)列，又∵，∴，故對(duì)，，也符合上式，，故，即的最小值為1．故選：C． 二、多選題9．已知，則下列結(jié)論正確的是（    ）A． B． C． D．的最小值為6【答案】AC【分析】解不等式和可判斷A，C，取特值可排除B，利用將轉(zhuǎn)化為來(lái)求解最小值，確定D.【詳解】A：，因?yàn)?/span>，所以故A正確；B：，顯然滿足條件，故B錯(cuò)誤；C：，故C正確；D：，由于在上為增函數(shù)，故最小值為，D錯(cuò)誤．故選AC．10．已知，，則下列說(shuō)法正確的是（    ）A．若，兩圓的公切線過(guò)點(diǎn)B．若，兩圓的相交弦長(zhǎng)為C．若兩圓的一個(gè)交點(diǎn)為，分別過(guò)點(diǎn)的兩圓的切線相互垂直，則D．若時(shí)，兩圓的位置關(guān)系為內(nèi)含【答案】AD【分析】當(dāng)時(shí)，根據(jù)兩圓半徑比可確定Q的位置，可判斷A；由兩圓方程作差可得公共弦所在直線方程確定B的正誤，根據(jù)兩圓交點(diǎn)處的切線垂直可知兩圓圓心距，半徑可構(gòu)成直角三角形即可判斷C；通過(guò)圓心距與半徑差的大小關(guān)系可判斷D.【詳解】當(dāng)時(shí)，兩圓公切線分別與，切于點(diǎn)，，交軸于點(diǎn)，，故，故A正確；當(dāng)時(shí)，兩圓公共弦所在的直線方程可由兩圓方程相減得到，相交弦直線方程為，相交弦長(zhǎng)為，故B錯(cuò)誤；若，則，故C錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，故兩圓關(guān)系是內(nèi)含，D正確.故選AD．11．已知一組個(gè)數(shù)據(jù)：，，…，，滿足：，平均值為，中位數(shù)為，方差為，則（    ）A．B．C．函數(shù)的最小值為D．若，，…，成等差數(shù)列，則【答案】BCD【分析】A特例{1,2,4,17}即可判斷；B由中位數(shù)定義判斷；C由均值與數(shù)據(jù)總和關(guān)系展開函數(shù)式，結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)確定最小值；D利用等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式，及平均數(shù)、中位數(shù)定義判斷.【詳解】A：當(dāng)時(shí)，一組數(shù)據(jù)1,2,4,17，則，不在2，4之間，故錯(cuò)誤；B：由中位數(shù)定義知：，正確；C：，當(dāng)時(shí)，最小值為，正確；D：若，，…，成等差數(shù)列，則，故正確．故選：BCD12．已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（    ）A．為增函數(shù)B．的最小值為C．函數(shù)有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)D．若，且，則【答案】BCD【分析】利用導(dǎo)數(shù)研究的單調(diào)性和最值判斷A、B；由過(guò)原點(diǎn)且與曲線相切為臨界點(diǎn)，設(shè)切點(diǎn)為并求出對(duì)應(yīng)切線方程，進(jìn)而有，構(gòu)造研究單調(diào)性易得，結(jié)合只需判斷的大小關(guān)系，數(shù)形結(jié)合即可判斷C；利用極值點(diǎn)偏移，構(gòu)造研究單調(diào)性，判斷即可判斷D.【詳解】A：令，，即遞增，所以，在上，為減函數(shù)，錯(cuò)誤；B：在上，故的最小值為，正確；C：由上知，過(guò)原點(diǎn)且與曲線相切為臨界點(diǎn)，設(shè)切點(diǎn)為，點(diǎn)處的切線為，代入原點(diǎn)坐標(biāo)化簡(jiǎn)得，令，有，則函數(shù)單調(diào)遞增，記方程的根為，又知：，令，有，得單調(diào)遞增，有，由圖象知，函數(shù)有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)，故正確；D：設(shè)，有，所以，而，故為減函數(shù)，由，故為增函數(shù)，故為減函數(shù)，即，，故，又，，且該區(qū)間上遞增，，故正確．故選：BCD【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：C首先確定臨界情況下的切線方程，再由其過(guò)原點(diǎn)有，進(jìn)而確定該方程根的范圍，最后由單調(diào)性判斷的大小關(guān)系，數(shù)形結(jié)合確定零點(diǎn)個(gè)數(shù)；D應(yīng)用極值點(diǎn)偏移構(gòu)造方程證不等式. 三、填空題13．5個(gè)人站成一排，小王不站兩端的概率為__________．【答案】/0.6【分析】利用排列和古典概型的知識(shí)求解即可.【詳解】5個(gè)人站成一排共有種情況，5個(gè)人站成一排，小王不站兩端共有種情況，所以5個(gè)人站成一排，小王不站兩端的概率為．故答案為：.14．已知，角的終邊上有點(diǎn)，則_____．【答案】【分析】利用三角函數(shù)定義求出，再由坐標(biāo)的正負(fù)判斷所在象限，可得的具體值.【詳解】，故，，，故在第四象限，，故答案為：.15．函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是_______．【答案】(或也對(duì))【分析】，由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性知：的增區(qū)間即為所求.【詳解】，由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性知：的增區(qū)間即為所求，．故答案為：(或也對(duì)）16．如圖，正四面體的棱長(zhǎng)為3，，，分別是，，上的點(diǎn)，，，，截去三棱錐，同理，分別以，，為頂點(diǎn)，各截去一個(gè)棱長(zhǎng)為1的小三棱錐，截后所得的多面體的外接球的表面積為_____．【答案】【分析】截后所得的多面體的底面為正六邊形，利用對(duì)稱性分析球心的位置可得球半徑.【詳解】中心為，底面正六邊形中心為，球心O在上，設(shè)多面體的外接球半徑為，正三角形外接圓半徑，底面正六邊形外接圓半徑為1，原正四面體高為，故，則解得，故．故答案為：. 四、解答題17．已知等差數(shù)列，等比數(shù)列，滿足，，．(1)求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；(2)令，求滿足的最小的正整數(shù)的值．【答案】(1)答案見解析(2)8 【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求解即可；（2）化簡(jiǎn)，由，分析滿足條件的最小的正整數(shù)的值即可．【詳解】（1）設(shè)公差為，由．當(dāng)時(shí)，不符合題意，舍去；故，所以，；（2）由題意，可得，所以，由，又，所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故的最小值為8．18．在中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為，，，．(1)證明：；(2)若，當(dāng)A取最大值時(shí)，求的面積．【答案】(1)證明見解析(2) 【分析】（1）根據(jù)題意結(jié)合三角恒等變換整理得，再利用正、余弦定理邊化角分析運(yùn)算；（2）利用余弦定理結(jié)合基本不等式可得A取最大值時(shí)，，，進(jìn)而可求三角形的面積.【詳解】（1）∵，則，可得，∴，又∵，則，由正弦定理可得：，由余弦定理可得：，整理得.（2）由（1）可得：，即，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取最大值，此時(shí)，則，∵，則，可得，故．19．如圖，在三棱柱中，為等邊三角形，，．(1)證明：平面；(2)求與平面所成的角的正弦值．【答案】(1)證明見解析(2) 【分析】（1）取的中點(diǎn)為，證明平面，得，從而可得四邊形為正方形，有結(jié)論，再證明，然后可證得線面垂直；（2）取的中點(diǎn)，連接，過(guò)作的平行線，以為原點(diǎn)，、、分別為，，軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，用空間向量法求得線面角．【詳解】（1）不妨設(shè)，取的中點(diǎn)為，則，，，同理，,平面，則平面，平面，四邊形為正方形，，且，，易求得，在中，由勾股定理可得，故與，而，平面，所以平面；（2）取的中點(diǎn)，連接，過(guò)作的平行線，由（1）知：，，兩兩垂直，以為原點(diǎn)，、、分別為，，軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，由，，得，，，，設(shè)平面的法向量為，由，，有取，，，有，又，故所求線面角的正弦值為．20．疫情過(guò)后，某工廠快速恢復(fù)生產(chǎn)，該工廠生產(chǎn)所需要的材料價(jià)錢較貴，所以工廠一直設(shè)有節(jié)約獎(jiǎng)，鼓勵(lì)節(jié)約材料，在完成生產(chǎn)任務(wù)的情況下，根據(jù)每人節(jié)約材料的多少到月底發(fā)放，如果1個(gè)月節(jié)約獎(jiǎng)不少于1000元，為“高節(jié)約獎(jiǎng)”，否則為“低節(jié)約獎(jiǎng)”，在該廠工作滿15年的為“工齡長(zhǎng)工人”，不滿15年的為“工齡短工人”，在該廠的“工齡長(zhǎng)工人”中隨機(jī)抽取60人，當(dāng)月得“高節(jié)約獎(jiǎng)”的有20人，在“工齡短工人”中隨機(jī)抽取80人，當(dāng)月得“高節(jié)約獎(jiǎng)”的有10人．(1)若以“工齡長(zhǎng)工人”得“高節(jié)約獎(jiǎng)”的頻率估計(jì)概率，在該廠的“工齡長(zhǎng)工人”中任選取5人，估計(jì)下個(gè)月得“高節(jié)約獎(jiǎng)”的人數(shù)不少于3人的概率；(2)根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，分析得“高節(jié)約獎(jiǎng)”是否與工人工作滿15年有關(guān)．參考數(shù)據(jù)：附表及公式：，0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828 【答案】(1)(2)得“高節(jié)約獎(jiǎng)”與工人工作滿15年有關(guān)． 【分析】（1）以“工齡長(zhǎng)工人”得“高節(jié)約獎(jiǎng)”的頻率估計(jì)概率，求出每個(gè)“工齡長(zhǎng)工人”得“高節(jié)約獎(jiǎng)”的概率，然后分別求出3 人、4 人、5 人得“高節(jié)約獎(jiǎng)”的概率后相加即得；（2）列出列聯(lián)表，計(jì)算出，比較臨界值即可得．【詳解】（1）以“工齡長(zhǎng)工人”得“高節(jié)約獎(jiǎng)”的頻率估計(jì)概率，每個(gè)“工齡長(zhǎng)工人”得“高節(jié)約獎(jiǎng)”的概率為，5人中，恰有3人得“高節(jié)約獎(jiǎng)”概率為，恰有4人得“高節(jié)約獎(jiǎng)”概率為，5人都得“高節(jié)約獎(jiǎng)”概率為，所求概率為；（2）列出列聯(lián)表如下： “高節(jié)約獎(jiǎng)”“低節(jié)約獎(jiǎng)”合計(jì)“工齡長(zhǎng)工人”204060“工齡短工人”107080合計(jì)30110140零假設(shè)：得“高節(jié)約獎(jiǎng)”是否與工人工作滿15年有關(guān)．，根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，得“高節(jié)約獎(jiǎng)”與工人工作滿15年有關(guān)．21．已知橢圓的上頂點(diǎn)為，右頂點(diǎn)為，直線的斜率為，，，，是橢圓上4個(gè)點(diǎn)（異于點(diǎn)），，直線與的斜率之積為，直線與的斜之和為1．(1)證明：，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；(2)求直線與之間的距離的取值范圍．【答案】(1)證明見解析(2) 【分析】（1）確定橢圓方程，取橢圓下頂點(diǎn)為，計(jì)算，確定，得到證明.（2）設(shè)直線方程，聯(lián)立方程根據(jù)韋達(dá)定理得到根與系數(shù)的關(guān)系，根據(jù)斜率和為1得到，根據(jù)得到的范圍，設(shè)，計(jì)算，計(jì)算得到范圍.【詳解】（1）由題意得，，，故橢圓方程為，取橢圓下頂點(diǎn)為，設(shè)，則，而，則，故，故，由橢圓關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱可知：，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；（2）設(shè)直線方程為，設(shè)，兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，，聯(lián)立方程，消去后整理為，有，，又由，有，即，整理得到，即，故，可得，，故，又由，可得，由點(diǎn)不在直線上，可得，故的取值范圍為．，之間的距離，即原點(diǎn)到的距離：，設(shè)，，則，則，故，即所求范圍為．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查了求橢圓方程，對(duì)稱問(wèn)題，距離的取值范圍，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力，轉(zhuǎn)化能力和綜合應(yīng)用能力，其中根據(jù)設(shè)而不求的思想，利用韋達(dá)定理得到根與系數(shù)的關(guān)系，可以簡(jiǎn)化運(yùn)算，是解題的關(guān)鍵，韋達(dá)定理法是考試的?？純?nèi)容，需要熟練掌握.22．已知函數(shù)．(1)求的單調(diào)區(qū)間和極值；(2)若有零點(diǎn)，求的最小值．【答案】(1)單調(diào)區(qū)間見解析，極小值為；(2) 【分析】（1）利用函數(shù)的單調(diào)性和極值求解即可；（2）有零點(diǎn)，則，，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出的最小值．【詳解】（1），故在上，，為減函數(shù)；在上，，為減函數(shù)；在上，，為增函數(shù)．當(dāng)時(shí)，有極小值為；（2）對(duì)，，，，，則，故取，，則，設(shè)為零點(diǎn)，則，則，，令，由定義域，設(shè)，由（1）知：僅當(dāng)時(shí)，取最小值為，的最小值為，僅當(dāng)，時(shí)成立． 

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