2023屆河南省名校青桐鳴高三下學(xué)期4月聯(lián)考數(shù)學(xué)（文）試題 一、單選題1．已知集合，，則（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)單調(diào)性求集合N，再結(jié)合集合的交集運(yùn)算求解.【詳解】由，則，得，解得，即，故.故選：C.2．復(fù)數(shù)滿足，則（    ）A．1 B． C．2 D．【答案】B【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)除法運(yùn)算法則和復(fù)數(shù)模的含義即可得到答案.【詳解】，則，故.故選：B.3．已知命題：，命題：，則是的（    ）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【分析】先由和解出的范圍，再由充分必要的定義判斷即可.【詳解】由題意得，命題：，命題：，故是的必要不充分條件.故選:B.4．已知正實(shí)數(shù)，，點(diǎn)在直線上，則的最小值為（    ）A．4 B．6 C．9 D．12【答案】C【分析】根據(jù)題意可得，結(jié)合基本不等式運(yùn)算求解.【詳解】由題意得，且，故，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)，等號(hào)成立.故選：C.5．已知，，則（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)切化弦以及兩角和差公式解出，代入兩角差的余弦公式即可.【詳解】由題意可得，即，，故.故選：A.6．函數(shù)的圖像大致是（    ）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性和特殊值，逐一判斷，即可得到本題答案.【詳解】由，又，可知為偶函數(shù)，排除B；因?yàn)?/span>，可排除D，又由，可排除C.故選:A7．若執(zhí)行下面的程序框圖，則輸出的（    ）A．有6個(gè)值，分別為6，10，28，36，66，78B．有7個(gè)值，分別為6，10，28，36，66，78，91C．有7個(gè)值.分別為6，10，28，36，66，78，120D．有8個(gè)值，分別為6，10，28，36，66，78，120，136【答案】C【分析】，當(dāng)結(jié)果為偶數(shù)時(shí)，輸出，直到，依次計(jì)算得到答案.【詳解】，當(dāng)結(jié)果為偶數(shù)時(shí)，輸出，直到，則當(dāng)時(shí)，輸出；當(dāng)時(shí)，輸出；當(dāng)時(shí)，輸出；當(dāng)時(shí)，輸出；當(dāng)時(shí)，輸出；當(dāng)時(shí)，輸出；當(dāng)時(shí)，，輸出，結(jié)束.故選：C.8．已知圓為的外接圓，，，則（    ）A．2 B． C．4 D．【答案】B【分析】先利用正弦定理求外接圓的半徑，再根據(jù)數(shù)量積的定義分析運(yùn)算.【詳解】如圖，圓的直徑為，故，，故.故選：B.9．函數(shù)的最大值為（    ）A．1 B． C． D．【答案】A【分析】結(jié)合和差公式和輔助角公式，恒等變形，即可得到本題答案.【詳解】，所以的最大值為1.故選：A10．在長(zhǎng)方體中，，為的中點(diǎn)，平面，則與所成角的余弦值為（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】由題目條件，先求出的大小，然后根據(jù)異面直線所成角的定義，可知即為所求角，再利用余弦定理，即可求得本題答案.【詳解】連接，，，連接，如圖，平面，平面，則，又平面，平面，則，因?yàn)?/span>，平面，平面， 則平面，又平面，則，所以，則，則，解得，由長(zhǎng)方體的性質(zhì)易知，且，所以四邊形為平行四邊形，所以，則即為所求角，在中，，，故，所以與所成角的余弦值為.故選：B.11．已知函數(shù)滿足，，，，則（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】結(jié)合，，可得是首項(xiàng)為，公比為2的等比數(shù)列，然后利用通項(xiàng)公式先求，再代入到，即可求得本題答案.【詳解】因?yàn)?/span>，所以是首項(xiàng)為，公比為2的等比數(shù)列，所以，則.故選：B12．已知拋物線上有三點(diǎn)，，，點(diǎn)的縱坐標(biāo)為2，，且，，則面積的最大值為（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】分別用表示出和點(diǎn)到直線的距離，然后利用導(dǎo)數(shù)求最值，即可得到本題答案.【詳解】由題意得，，則，由，得，設(shè)直線：，代入拋物線方程得，可得，得，，點(diǎn)到的距離為，故，由，，得，即，又，則，設(shè)，則，易得當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取得最大值，為，故最大值為.故選：C 二、填空題13．已知的一條切線是，則實(shí)數(shù)______.【答案】【分析】設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，根據(jù)導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得出關(guān)于、的方程組，即可解得實(shí)數(shù)的值.【詳解】因?yàn)?/span>，則，設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，則滿足①，，則，代入①得，解得，所以，.故答案為：.14．已知一個(gè)球的表面上有四點(diǎn)、、、，，，，平面平面，則該球的表面積為______.【答案】【分析】分析可知球心在平面內(nèi)，計(jì)算出的外接圓半徑，即為球的半徑，在利用球體的表面積公式可求得結(jié)果.【詳解】設(shè)球心為，球的半徑為，設(shè)的中點(diǎn)為，因?yàn)?/span>，則為的外心，過(guò)點(diǎn)在平面內(nèi)作直線，使得，因?yàn)槠矫?/span>平面，平面平面，，平面，所以，平面，由球的幾何性質(zhì)可知平面，所以，，即平面，故的外接圓的半徑即為球的半徑，由正弦定理可得，因此，該球的表面積為.故答案為：.15．已知數(shù)列滿足，則______.【答案】【分析】先求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，再用錯(cuò)位相減法求出的值.【詳解】由可得當(dāng)時(shí)，，所以，滿足，故，.令，則，兩式相減得：，所以.故答案為：16．已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)位于雙曲線的右支上，交左支于，的內(nèi)切圓的半徑為1，與，分別切于點(diǎn)，，則______.【答案】/【分析】根據(jù)內(nèi)切圓的性質(zhì)結(jié)合雙曲線的定義求得，再根據(jù)三角恒等變換運(yùn)算求解.【詳解】設(shè)內(nèi)切圓與切于點(diǎn)，，，，，如圖，則，即，化簡(jiǎn)得①，，即②，①＋②得，∵，且，則，故，又∵平面分，則.故答案為：. 三、解答題17．已知銳角三角形的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，，，.(1)求A；(2)若，求的取值范圍.【答案】(1)(2) 【分析】（1）根據(jù)結(jié)合三角恒等變換分析運(yùn)算；（2）利用正弦定理進(jìn)行邊化角，再利用三角恒等變換結(jié)合正弦函數(shù)分析運(yùn)算.【詳解】（1）∵，即，由于，則，即，兩邊同乘以可得：，則，且，解得.（2）由題意及正弦定理，得，，則，由（1）可知，且為銳角三角形，則，解得，則，所以，故的取值范圍是.18．為鞏固拓展脫貧攻堅(jiān)成果，全面推進(jìn)鄉(xiāng)村振興，在國(guó)家產(chǎn)業(yè)扶貧政策的大力支持下，某貧困村利用當(dāng)?shù)刈匀粭l件，在南、北兩山上種植蘋果，現(xiàn)已開始大量結(jié)果，蘋果成熟時(shí)，將蘋果分為“一級(jí)”、“二級(jí)”、“三級(jí)”，價(jià)格從高到低，有一水果商人要收購(gòu)這里的蘋果，收購(gòu)前，將南山和北山上的蘋果各隨機(jī)摘取了200千克，按等級(jí)分開后得到的數(shù)據(jù)為：南山上的“一級(jí)”蘋果40千克，“二級(jí)”蘋果150千克；南、北山上的“三級(jí)”蘋果共40千克；北山上的“一級(jí)”蘋果50千克.（假設(shè)兩山上的蘋果總產(chǎn)量相同，以樣本的頻率估計(jì)概率）(1)若種植蘋果的成本為5元/千克，蘋果收購(gòu)價(jià)格如下表：等級(jí)“一級(jí)”“二級(jí)”“三級(jí)”價(jià)格（元/千克）1281①分別計(jì)算南山和北山各隨機(jī)摘取的200千克蘋果的平均利潤(rùn)；②若按個(gè)數(shù)算，“一級(jí)”蘋果平均每千克有3個(gè)，“二級(jí)”蘋果平均每千克有4個(gè)，“三級(jí)”蘋果平均每千克有6個(gè)，以此計(jì)算該村南山上的200千克蘋果的個(gè)數(shù)，并按各等級(jí)蘋果的個(gè)數(shù)以分層抽樣的方式從中抽取13個(gè)蘋果，分別放在13個(gè)外形完全一樣的包裝內(nèi)，水果商人在這13個(gè)蘋果中隨機(jī)取2個(gè)，求恰有1個(gè)“三級(jí)”蘋果的概率.(2)判斷能否有的把握認(rèn)為“三級(jí)”蘋果的多少與南、北山有關(guān).附：，.0.10.050.010.0052.7063.8416.6357.879 【答案】(1)①（元/千克），（元/千克）；②(2)有的把握認(rèn)為“三級(jí)”蘋果的多少與南、北山有關(guān). 【分析】(1)①先由題目所給的數(shù)據(jù)分別算出南山，北山的“一級(jí)”、“二級(jí)”、“三級(jí)”蘋果的重量，再結(jié)合種植蘋果的成本和蘋果收購(gòu)價(jià)格即可求平均利潤(rùn)；②求出南山“一級(jí)”、“二級(jí)”、“三級(jí)”蘋果的個(gè)數(shù)，用分層抽樣計(jì)算抽取的13個(gè)蘋果中“一級(jí)”、“二級(jí)”、“三級(jí)”蘋果的個(gè)數(shù)，再用列舉的方法求概率.(2)由(1)列出2×2列聯(lián)表，根據(jù)列聯(lián)表的數(shù)據(jù)代入的公式求出的值，結(jié)合題目的表格數(shù)據(jù)即可判斷.【詳解】（1）①由題意得，南山：“一級(jí)”蘋果40千克，“二級(jí)”蘋果150千克，“三級(jí)”蘋果（千克），南山隨機(jī)摘取的200千克蘋果的平均利潤(rùn)為（元/千克），北山：“一級(jí)”蘋果50千克，“三級(jí)”蘋果（千克），“二級(jí)”蘋果（千克），北山隨機(jī)摘取的200千克蘋果的平均利潤(rùn)為（元/千克）②南山“一級(jí)”蘋果有（個(gè)），“二級(jí)”蘋果有（個(gè)），“三級(jí)”蘋果有（個(gè)），共有個(gè)，按分層抽樣的方式抽取的13個(gè)蘋果中，“一級(jí)”蘋果有（個(gè)），“二級(jí)”蘋果有（個(gè)），“三級(jí)”蘋果有（個(gè)），2個(gè)“一級(jí)”蘋果分別記為，，10個(gè)“二級(jí)”蘋果分別記為，，…，，“三級(jí)”蘋果記為，抽取2個(gè)蘋果有，，，…，，，，，…，，，，，…，，，，，…，，，…，，，.共78種可能.恰有1個(gè)“三級(jí)”蘋果有，，，，…，（，共12種可能.故所求概率為.（2）由（1）可得以下2×2列聯(lián)表： “三級(jí)”蘋果“一級(jí)”和“二級(jí)”蘋果合計(jì)南山10190200北山30170200合計(jì)40360400則，故有的把握認(rèn)為“三級(jí)”蘋果的多少與南、北山有關(guān).19．在四棱錐中，，，，，，.(1)證明：平面平面；(2)求點(diǎn)到平面的距離.【答案】(1)證明見解析(2) 【分析】（1）過(guò)點(diǎn)作于，確定，平面，得到平面，得到面面垂直.（2）取的中點(diǎn)為，連接，，確定平面ABCD，計(jì)算，根據(jù)等體積法，計(jì)算得到答案.【詳解】（1），，故，故.過(guò)點(diǎn)作于，如圖：則，，故.又，，故，即，又，，，平面，故平面.平面，故.，，故，故.，，平面，故平面，又平面，故平面平面.（2）平面，平面，故，即，，，則，.取的中點(diǎn)為，連接，，則.又平面，平面，則平面平面ABCD，平面，平面平面，故平面ABCD，且，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，，即，解得.20．已知點(diǎn)在橢圓上，A，分別是橢圓的左、右頂點(diǎn)，直線和的斜率之和滿足：.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)斜率為1的直線交橢圓于，兩點(diǎn)，橢圓上是否存在定點(diǎn)，使直線和的斜率之和滿足（，與均不重合）？若存在，求出點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由.【答案】(1)(2)存在，或 【分析】（1）先求得，進(jìn)而得到橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)出直線的方程為，并與橢圓方程聯(lián)立，利用設(shè)而不求的方法和題給條件即可求得定點(diǎn)坐標(biāo).【詳解】（1），解得，將代入橢圓方程，得，故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）假設(shè)存在定點(diǎn)，則設(shè)，，，直線的方程為，由題意得，將，代入整理得（*），聯(lián)立，整理得，則，，代入（*）式整理得，由解得或代入驗(yàn)證得，都在橢圓上，故存在定點(diǎn)，使，點(diǎn)的坐標(biāo)為或.21．設(shè)函數(shù).(1)求的單調(diào)區(qū)間；(2)若函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，，，且，證明：.【答案】(1)答案見解析(2)證明見解析 【分析】（1）求得，對(duì)進(jìn)行分類討論，由此即可求得的單調(diào)區(qū)間；（2）把證逐步轉(zhuǎn)化為證，然后構(gòu)造函數(shù)，，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性以及最值，即可得到本題答案.【詳解】（1），令，得.①若，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，則的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為.②若，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，則的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為.（2）證明：因?yàn)楹瘮?shù)有三個(gè)零點(diǎn)，所以方程有三個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，又易知為方程的一個(gè)實(shí)根，所以方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，即有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.令，則，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，所以.又因?yàn)楫?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以，則，，.要證，即證，即證，只需證.因?yàn)?/span>，所以只需證，即證，即證，.令，，則，當(dāng)時(shí)，，故，為增函數(shù)，所以，原式得證，故，即.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查討論含參數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，利用導(dǎo)數(shù)證明不等式的問題；本題證明不等式的關(guān)鍵是將多個(gè)變量的不等式轉(zhuǎn)化為關(guān)于一個(gè)變量的不等式的形式，采用構(gòu)造函數(shù)的方式可將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值的求解問題.22．在直線坐標(biāo)系中國(guó)，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)且），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的非負(fù)半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，且，直線的極坐標(biāo)方程為.(1)求直線的直角坐標(biāo)方程和曲線的普通方程；(2)若直線與曲線有公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)；，(2) 【分析】（1）應(yīng)用參數(shù)方程和普通方程及極坐標(biāo)方程和普通方程間的互化可得；（2）根據(jù)直線和拋物線有公共點(diǎn)求參數(shù)范圍即可.【詳解】（1）且，得，，∴，即，∴直線的直角坐標(biāo)方程為；由得，則，又，∴曲線的普通方程為，.（2）將代入，整理得，，，則，∴實(shí)數(shù)的取值范圍為.23．已知函數(shù)的圖像如圖所示，當(dāng)時(shí)，取得最小值3，.(1)求實(shí)數(shù)的值；(2)若恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)(2) 【分析】由于當(dāng)時(shí)，取得最小值3，即函數(shù)過(guò)點(diǎn)，將點(diǎn)代入函數(shù)中化簡(jiǎn)，再由取絕對(duì)值即可求得實(shí)數(shù)的值.由，可得，又恒成立，可知函數(shù)的圖像始終在的下方，即小于等于的最小值，當(dāng)函數(shù)過(guò)的最低點(diǎn)時(shí)取臨界值，即可求得實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】（1）因?yàn)?/span>，所以，即，解得，故實(shí)數(shù)的值為.（2）由題意知，當(dāng)時(shí)，取得最小值3，要使恒成立，則當(dāng)函數(shù)的圖像過(guò)點(diǎn)時(shí)，取得臨界值，此時(shí)時(shí)，，要使恒成立，則，故. 

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