2021-2022學(xué)年四川省成都市樹德中學(xué)高二下學(xué)期4月階段性測試數(shù)學(xué)（理）試題一、單選題1．已知，，為虛數(shù)單位，且，則的值為（       ）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)相等的概念可求解.【詳解】因為，，所以，得，所以.故選：B2．函數(shù)在區(qū)間上的平均變化率等于（       ）A． B．C． D．【答案】C【分析】依據(jù)平均變化率定義去求解即可.【詳解】函數(shù)在區(qū)間上的平均變化率等于故選：C3．設(shè)函數(shù)在上可導(dǎo)，則等于（       ）A． B．C． D．以上都不對【答案】A【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義求解即可.【詳解】因為，所以.故選：A.4．吹氣球時，氣球的半徑（單位：）與體積（單位：）之間的函數(shù)關(guān)系是，則氣球在時的瞬時膨脹率為（       ）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)瞬時變化率的概念和復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則計算可得解.【詳解】因為,所以氣球在時的瞬時膨脹率為.故選：C5．用數(shù)學(xué)歸納法證明等式“”，當(dāng)時，等式左邊應(yīng)在的基礎(chǔ)上加上（       ）A．B．C．D．【答案】C【分析】根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法的步驟，比較和時式子的結(jié)構(gòu)特征，即可得到正確答案.【詳解】當(dāng)時，等式左邊應(yīng)為；當(dāng)時，等式左邊應(yīng)為.所以當(dāng)時，等式左邊應(yīng)在的基礎(chǔ)上加上.故選:C6．（       ）A． B．C． D．【答案】B【分析】利用微積分基本定理求出原函數(shù)，代入即可求解.【詳解】由微積分基本定理可得：.故選：B7．已知函數(shù)，則的導(dǎo)函數(shù)的圖象大致是（       ）A． B．C． D．【答案】A【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，再探討的性質(zhì)，結(jié)合性質(zhì)及取時的函數(shù)值即可判斷作答.【詳解】函數(shù)定義域為R，求導(dǎo)得，顯然，因此，函數(shù)是R上奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點對稱，選項C，D不滿足，又，選項B不滿足，選項A符合題意.故選：A8．已知函數(shù)滿足，則的值為（       ）A． B． C． D．【答案】A【分析】求導(dǎo)后代入可求得；將代入可求得結(jié)果.【詳解】，，解得：；，解得：.故選：A.9．已知，，，則以下不等式正確的是（       ）A． B．C． D．【答案】A【分析】先構(gòu)造函數(shù)判斷出b最小，再依據(jù)函數(shù)單調(diào)性去比較的大小即可解決.【詳解】令，則，由，得，由，得即當(dāng)時單調(diào)遞減，當(dāng)時單調(diào)遞增即當(dāng)時取得最小值則有，，即，又，由，可得則，即綜上，的大小關(guān)系為故選：A10．若函數(shù)有兩個極值點，則實數(shù)的取值范圍是（       ）A． B．C． D．【答案】D【分析】由，可得出，可知直線與函數(shù)的圖象有兩個交點（非切點），利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性與極值，數(shù)形結(jié)合可得出實數(shù)的取值范圍.【詳解】因為，則，令，可得，由題意可知，直線與函數(shù)的圖象有兩個交點（非切點），，當(dāng)時，，此時函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時，，此時函數(shù)單調(diào)遞減，所以，函數(shù)的極大值為，且當(dāng)時，，如下圖所示：所以，當(dāng)時，即當(dāng)時，直線與函數(shù)的圖象有兩個交點（非切點），因此，實數(shù)的取值范圍是.故選：D.11．是定義在上的函數(shù)，是的導(dǎo)函數(shù)，已知，且，，則不等式的解集為（       ）A． B．C． D．【答案】B【分析】構(gòu)造函數(shù)，進而結(jié)合條件判斷出函數(shù)的單調(diào)性，然后將原不等式變形并根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性解出答案.【詳解】因為，可化簡為，令函數(shù)，則.因為，所以，在R上單調(diào)遞增.又，而等價于，即，所以，解得.故選：B12．已知函數(shù)，則下列命題為真的個數(shù)是（       ）①的極小值點為；②若存在，使得，則整數(shù)的最小值為；③若，則當(dāng)時，有兩個零點，且其中一個零點所在的區(qū)間為．A． B． C． D．【答案】C【分析】利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的極小值點，可判斷①的正誤；利用參變量分離法得出，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)在上的最小值，可判斷②的正誤；利用導(dǎo)數(shù)結(jié)合零點存在定理可判斷③的正誤.【詳解】對于①，，則，當(dāng)時，，此時函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時，，此時函數(shù)單調(diào)遞增，所以，函數(shù)的極小值點為，①錯；對于②，若存在，使得，當(dāng)時，由可得，令，其中，則，令，其中，則，即函數(shù)在上單調(diào)遞增，因為，，所以，存在，使得，當(dāng)時，，此時函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時，，此時函數(shù)單調(diào)遞增，所以，，所以，，故整數(shù)的最小值為，②對；對于③，，當(dāng)時，，且，當(dāng)時，，此時函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時，，此時函數(shù)單調(diào)遞增，所以，，，，令，則，令，則，，則，，則，即，因此，當(dāng)時，有兩個零點，且其中一個零點所在的區(qū)間為，③對.故選：C.【點睛】方法點睛：利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)零點問題的方法：（1）直接法：先對函數(shù)求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的方法求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值，根據(jù)函數(shù)的基本性質(zhì)作出圖象，然后將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象與軸的交點問題，突出導(dǎo)數(shù)的工具作用，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化與化歸思想、數(shù)形結(jié)合思想和分類討論思想的應(yīng)用；（2）構(gòu)造新函數(shù)法：將問題轉(zhuǎn)化為研究兩函數(shù)圖象的交點問題；（3）參變量分離法：由分離變量得出，將問題等價轉(zhuǎn)化為直線與函數(shù)的圖象的交點問題. 二、填空題13．函數(shù)，的單調(diào)遞減區(qū)間為______．【答案】【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的符號求解即可.【詳解】當(dāng)時，，所以的單調(diào)遞減區(qū)間為.故答案為：14．把復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)記作，已知（其中是虛數(shù)單位），則______．【答案】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運算求出，再根據(jù)共軛復(fù)數(shù)的概念可得解.【詳解】因為，所以，所以.故答案為：15．已知在R上可導(dǎo)的函數(shù)的圖象如下圖所示，則不等式的解集為______．【答案】【分析】依據(jù)三個代數(shù)式的正負(fù)變化情況去求不等式的解集.【詳解】由函數(shù)的圖象可知當(dāng)時，；當(dāng)或時，當(dāng)或時，；當(dāng)時，則當(dāng)時，，則當(dāng)時，，則當(dāng)時，，則當(dāng)時，，則當(dāng)時，，則綜上的解集為.故答案為：16．已知是函數(shù)的極大值點，則的值為______．【答案】【分析】依據(jù)極大值點定義分類討論去求實數(shù)的值.【詳解】，則(1)時，，當(dāng)時，恒成立，函數(shù)單調(diào)遞減，則不是函數(shù)的極大值點，舍去(2)時，若，則，恒成立， 函數(shù)在單調(diào)遞減，則不是函數(shù)的極大值點，舍去(3)時如果，則當(dāng)且時，，恒成立，函數(shù)單調(diào)遞減，則不是函數(shù)的極大值點，舍去如果，則方程存在根，故當(dāng)，且時，恒成立，函數(shù)單調(diào)遞增，故不是的極大值點；如果，即時，當(dāng)時，，則，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)時，，則，函數(shù)單調(diào)遞減，故是的極大值點.綜上，的值為故答案為： 三、解答題17．已知函數(shù)．(1)寫出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)討論函數(shù)的極大值和極小值是否存在．如果存在，求出極值．【答案】(1)增區(qū)間為和；減區(qū)間為(2)存在.極大值，極小值【分析】（1）依據(jù)導(dǎo)函數(shù)與原函數(shù)之間的關(guān)系去求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）利用導(dǎo)數(shù)去求函數(shù)的極大值和極小值.【詳解】(1)．令，得或．則當(dāng)時，，單調(diào)遞增；則當(dāng)時，，單調(diào)遞減；則當(dāng)時，，單調(diào)遞增．故函數(shù)的增區(qū)間為和，減區(qū)間為．(2)由（1）知，當(dāng)時，有極小值；當(dāng)時，有極大值．18．已知．(1)求曲線在處切線的方程；(2)求函數(shù)在區(qū)間上的最值．【答案】(1)(2)，．【分析】（1）依據(jù)導(dǎo)函數(shù)幾何意義去求曲線在處切線的方程；（2）利用導(dǎo)數(shù)去求函數(shù)在區(qū)間上的最值．【詳解】(1)，則切線斜率為又，即切點坐標(biāo)為故所求切線方程為，即(2)當(dāng)時，，所以．故函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減．所以，．19．已知函數(shù)．(1)當(dāng)時，求函數(shù)的最小值；(2)若，求的最小值．【答案】(1)0(2)【分析】（1）求導(dǎo)算最值即可（2）運用第一問的結(jié)論，再同構(gòu)函數(shù)即可獲解【詳解】(1)當(dāng)時,,其定義域為.當(dāng)單調(diào)遞減當(dāng)單調(diào)遞增所以.(2)由（1）知,所以有,即.因為,所以,當(dāng)且僅當(dāng)時取等。所以所以最小值為,此時20．已知函數(shù)．(1)若，當(dāng)時，試比較與的大??；(2)若的兩個不同零點分別為、，求證：．【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)在上的單調(diào)性，由可求得的取值范圍，即可得出與的大??；（2）先證明對數(shù)平均不等式，其中，由已知可得出，變形可得出，結(jié)合對數(shù)平均不等式可證得結(jié)論成立.【詳解】(1)解：因為，，當(dāng)時，，且，又當(dāng)時，，即函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以．(2)證明：先證明，其中，即證，令，，其中，則，所以，函數(shù)在上為增函數(shù)，當(dāng)時，，所以，當(dāng)時，，由題知，取對數(shù)有，即，又，所以．【點睛】思路點睛：應(yīng)用對數(shù)平均不等式證明極值點偏移：①由題中等式中產(chǎn)生對數(shù)；②將所得含對數(shù)的等式進行變形得到；③利用對數(shù)平均不等式來證明相應(yīng)的問題.21．已知函數(shù)．(1)若函數(shù)，且最大值為，求實數(shù)的值；(2)若不等式在上恒成立，求實數(shù)的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）求導(dǎo)，再對分兩種情況討論，利用函數(shù)的單調(diào)性求解可得答案；（2）等價于不等式在上恒成立，令，再通過二次求導(dǎo)，對分兩種情況討論得解.【詳解】(1)，其定義域為，且．①若，則在上遞增，此時，不合題意，舍去．②若，則在上遞增，在上遞減．所以，令，得．綜上得：．(2)因為不等式在上恒成立，所以不等式在上恒成立．令，則，令，則，所以在上遞減．①若，則，即，所以在上遞減，所以符合題意．②若，則，，，又，在上單調(diào)遞減，所以存在唯一實數(shù)，使得．當(dāng)時，，即，所以在上單調(diào)遞增，所以，不合題意．綜上，綜上實數(shù)的取值范圍為．【點睛】本題考查了用導(dǎo)數(shù)解決恒成立的問題，可以直接法分類討論利用函數(shù)的單調(diào)性解決問題，也可以常量分離，構(gòu)造函數(shù)利用導(dǎo)數(shù)求值域解決問題，考查了學(xué)生的運算能力和推理能力.22．已知函數(shù)，其中．(1)求的單調(diào)區(qū)間；(2)討論函數(shù)的零點個數(shù)．【答案】(1)答案見解析；(2)答案見解析【分析】（1）依據(jù)導(dǎo)函數(shù)與原函數(shù)的關(guān)系分類討論去求的單調(diào)區(qū)間；（2）依據(jù)函數(shù)的單調(diào)性和零點存在定理，分類討論去判斷函數(shù)的零點個數(shù)．【詳解】(1)當(dāng)時，由，得；由，得則的增區(qū)間為，減區(qū)間為當(dāng)時，由，得或；由，得則的增區(qū)間為和，減區(qū)間為 當(dāng)時，恒成立，的增區(qū)間為(2)當(dāng)時，由（1）可知：的增區(qū)間為，減區(qū)間為則①若，則，此時函數(shù)無零點；②若，，此時函數(shù)有且僅有一個零點；③若，，又所以函數(shù)在和各有一個零點，共兩個零點；當(dāng)時，由（1）可知，的增區(qū)間為和，減區(qū)間為 則，所以函數(shù)在無零點，而當(dāng)時，只需取，則有，故函數(shù)在上有一個零點．當(dāng)時，，由（1）可知，的增區(qū)間為，故函數(shù)在上有一個零點．綜上，當(dāng)時，函數(shù)無零點；當(dāng)或時，函數(shù)有唯一零點；當(dāng)時，函數(shù)有兩個零點．

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