2022-2023學年江蘇省南京外國語學校高一下學期期中數(shù)學試題 一、單選題1．復數(shù)在復平面內(nèi)對應(yīng)的點在（    ）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限【答案】D【分析】根據(jù)復數(shù)的除法運算化簡即可求解.【詳解】，故對應(yīng)的點為故選:D．2．在平行四邊形中，對角線與交于點，，則（    ）．A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)向量的線性運算直接計算.【詳解】由已知對角線與交于點，，則，所以，故選：A.3．復數(shù)的三角形式是（    ）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)復數(shù)的三角形公式可求解.【詳解】解：故選：C.4．已知，，且，則（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用兩角和差的正弦公式和二倍角進行化簡，結(jié)合角的范圍即可求解【詳解】，因為，，所以，所以，故．故選：D5．古希臘數(shù)學家特埃特圖斯（Theaetetus，大約公元前417年一公元前369年）通過下圖來構(gòu)造無理數(shù)，記，則（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用銳角三角函數(shù)求出，再利用兩角和的余弦公式和二倍角公式計算可得.【詳解】由圖可知，，，，，，.故選：A.6．已知銳角的內(nèi)角的對邊分別為，若，，則面積的取值范圍是（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】結(jié)合式子的特點，聯(lián)系余弦定理，以及，表示出三角形ABC的面積，，結(jié)合三角函數(shù)的圖像求出范圍.【詳解】由于 ，， ，且 ，所以 ，那么外接圓半徑為 ， 由于 ，所以 ，，故 .故選：A7．設(shè)，，，則有（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】先利用余弦的差角和倍角公式，正弦的二倍角公式以及商數(shù)關(guān)系，對進行化簡，再利用的性質(zhì)即可得到結(jié)果.【詳解】因為，，，由的性質(zhì)可知，，故選：A.8．的三個內(nèi)角，，的對邊分別為，，，若三角形中，，且，則（    ）A．3 B． C．2 D．4【答案】D【分析】易知，利用兩角差的正弦公式化簡原等式，可推出，從而知和的值，再結(jié)合三角形的內(nèi)角和定理與兩角和的正弦公式，求得的值，然后由正弦定理，知，最后由，得解．【詳解】，且，，，，即，，，，，，，由正弦定理知，，，即，，．故選：D 二、多選題9．若，為復數(shù)，則下列四個結(jié)論中正確的是（    ）A． B．是純虛數(shù)或零C．恒成立 D．存在復數(shù)，，使得【答案】BC【分析】對于選項A，可通過舉反例說明選項A錯誤；對于選項B，設(shè)，通過復數(shù)與其共軛復數(shù)間的關(guān)系及復數(shù)的運算，可判斷出選項B正確；對于選項C，利用復數(shù)的幾何意義即可判斷出結(jié)果的正誤；對于選項D，利用復數(shù)模的運算即可判斷出結(jié)果的正誤.【詳解】選項A，，顯然不一定等于，如，，選項A錯誤；選項B，設(shè)，則，選項B正確；C選項，設(shè)，在復平面內(nèi)對應(yīng)點為，，則，，，則，選項C正確；D選項，由復數(shù)模的運算性質(zhì)，選項D錯誤.故選：BC.10．的內(nèi)角A，，的對邊分別為a，b，c，下列說法正確的是 （    ）A．若，則B．若，則此三角形為等腰三角形C．若，，，則解此三角形必有兩解D．若是銳角三角形，則【答案】AD【分析】由正弦定理可求A，然后可判斷A；根據(jù)角的范圍直接求解可判斷B；正弦定理直接求解可判斷C；利用誘導公式和正弦函數(shù)單調(diào)性可判斷D.【詳解】由正弦定理可知，又，所以，可得，因為，所以，A正確；因為，且角2A，2最多有一個大于，所以由可知，或，即或，所以為等腰三角形或直角三角形，故B錯誤；由正弦定理可得，因為，所以，故此三角形有唯一解，C錯誤；因為是銳角三角形，所以，即，又在上單調(diào)遞增，所以，同理，所以，D正確.故選：AD11．已知函數(shù)，則下列說法正確的是（    ）A．的最小正周期是B．若為奇函數(shù)，則的一個可取值是C．的一條對稱軸可以是直線D．在上的最大值是1【答案】AC【分析】化簡的解析式，根據(jù)周期公式求出最小周期可知A正確；由得到，，不存在整數(shù)使得，可知B不正確；根據(jù)可知C正確；根據(jù)正弦函數(shù)的圖象求出最大值，可知D不正確.【詳解】，所以的最小正周期是，故A正確；若為奇函數(shù)，則，，，，由得不是整數(shù)，故B不正確；因為，故C正確；當時，，，所以當時，在上的最大值是，故D不正確；故選：AC12．已知，，是單位圓上的三點，滿足，，且，其中為非零常數(shù)，則下列結(jié)論一定正確的有（    ）A．若，則 B．若，則C． D．【答案】ABC【分析】先利用條件，得，再對選項AB逐一取值判斷，即可得出選項AB的正誤；對于選項CD，利用兩向量相等的坐標表示，得到和，再適當?shù)臉?gòu)角變形化簡即可判斷選項CD的正誤.【詳解】因為，，是單位圓上的三點，所以，，，由，可得，即，選項A，當時，，所以，又，可得，選項A正確；選項B，當時，，則，由，可得，選項B正確；選項C，由，可得，，由，可得，則，則，，則，選項C正確；選項D，，D顯然錯誤；故選：ABC. 三、填空題13．設(shè)復數(shù)滿足，則的模為____________.【答案】【分析】設(shè)，則，即，解得答案【詳解】設(shè)，則，即，解得，故，故答案為：14．已知是第二象限角，且，則______．【答案】【分析】利用同角三角函數(shù)關(guān)系和二倍角正弦公式可直接求得結(jié)果.【詳解】是第二象限角，，，，.故答案為：.15．已知向量，，若與共線且方向相反，則__________．【答案】/【分析】根據(jù)向量共線且方向相反可構(gòu)造方程求得，利用向量模長的坐標運算可求得結(jié)果.【詳解】共線，，解得：或；又方向相反，，即，，，，.故答案為：.16．在中，，，，為的外心，若，，，則______.【答案】【分析】利用三角形外心的性質(zhì)及數(shù)量積的幾何意義計算即可.【詳解】如圖所示，取AB中點E，則由三角形的外心的性質(zhì)及數(shù)量積的幾何意義，可得：，同理可知：，故，，而，，，則，即，，則，，則，所以.故答案為： 四、解答題17．計算：（1）已知，求的值．（2）求的值．【答案】（1）；（2）-1.【解析】（1）先求得,由,分子分母同除,再將代入求解即可；（2）先化切為弦,通分后利用差角公式化簡,再利用誘導公式和倍角公式化簡求值即可.【詳解】解:（1）因為,所以,所以（2）【點睛】本題考查三角函數(shù)的化簡求值,考查正切,正弦的和（差）角公式的應(yīng)用,考查利用分式齊次式求值.18．已知向量，．(1)若，求的值(2)若與的夾角為鈍角，求的取值范圍．【答案】(1)；(2). 【分析】（1）根據(jù)給定條件，利用向量的坐標運算及向量垂直的坐標表示計算作答.（2）利用向量夾角是鈍角，結(jié)合向量數(shù)量積，列出不等式求解作答.【詳解】（1）依題意，，，因，即，于是得，解得，所以的值是.（2）因為與的夾角為鈍角，則，且與不共線，由得：，解得，當與共線時，，解得，于是得且，所以的取值范圍是.19．已知是復數(shù)，和都是實數(shù)，（1）求復數(shù)；（2）設(shè)關(guān)于的方程有實根，求純虛數(shù).【答案】（1）；（2）.【分析】（1）設(shè)，根據(jù)復數(shù)代數(shù)形式的除法、加法運算法則化簡和，若為實數(shù)，則虛部為零，即可得到方程組，解得即可；（2）設(shè)，根據(jù)復數(shù)代數(shù)形式的運算法則化簡方程，即可得到方程組，解得即可.【詳解】（1）設(shè)，則，因為和都是實數(shù)，則，解得，，所以.（2）設(shè)，則方程為，即，若方程有實數(shù)根，則，解得，，所以純虛數(shù).20．復數(shù)，，為虛數(shù)單位，；(1)若是實數(shù)，求的值；(2)若復數(shù)、對應(yīng)的向量分別是、，存在使等式成立，求實數(shù)的取值范圍．【答案】(1)(2) 【分析】（1）計算，然后令虛部為0，解方程即可（2）通過向量等式建立與的關(guān)系，然后結(jié)合的范圍，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)值域問題，再得不等式得出的范圍【詳解】（1），因為為實數(shù)，所以，，結(jié)合θ范圍，解得，所以.（2）復數(shù)，復數(shù)、對應(yīng)的向量分別是，，，，又，，所以，得，因為，所以，所以．所以，解得或．所以實數(shù)的取值范圍是．21．如圖所示，某鎮(zhèn)有一塊空地，其中，，.當?shù)劓?zhèn)政府規(guī)劃將這塊空地改造成一個旅游景點，擬在中間挖一個人工湖，其中都在邊上，且，挖出的泥土堆放在地帶上形成假山，剩下的地帶開設(shè)兒童游樂場.為安全起見，需在的周圍安裝防護網(wǎng).(1)當時，求防護網(wǎng)的總長度；(2)若要求挖人工湖用地的面積是堆假山用地的面積的倍，試確定的大?。?/span>(3)為節(jié)省投入資金，人工湖的面積要盡可能小，問如何設(shè)計施工方案，可使的面積最小？最小面積是多少？【答案】(1)(2)(3)時，面積取最小值為 【分析】（1）在中利用余弦定理可求得，由勾股定理得，知為正三角形，由此可得結(jié)果；（2）設(shè)，由可得；在中，利用正弦定理可得；由此可構(gòu)造方程求得；（3）設(shè)，由（2）知；在中，利用正弦定理可得，根據(jù)，結(jié)合三角恒等變換知識可化簡得到，由正弦函數(shù)的最值可確定所求最小值.【詳解】（1）在中，，，，，在中，由余弦定理得：，；，則，，為正三角形，則的周長為，即防護網(wǎng)的總長度為.（2）設(shè)，，，即，在中，由得：，，即，又，，解得：，即.（3）設(shè)，由（2）知：，在中，由得：，，當且僅當，即時，面積取最小值為.22．如圖，設(shè)中角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，AD為BC邊上的中線，已知且，．(1)求b邊的長度；(2)求的面積；(3)設(shè)點E，F分別為邊AB，AC上的動點（含端點），線段EF交AD于G，且的面積為面積的，求的取值范圍．【答案】(1)(2)(3) 【分析】（1）根據(jù)正弦定理的“角化邊”把已知條件中的等式進行轉(zhuǎn)化，再運用余弦定理得出和的關(guān)系式，進而求出的長度即可；（2）根據(jù)向量的運算性質(zhì)和兩向量的夾角公式求出，進而求出，再根據(jù)三角形面積公式求出面積即可；（3）首先設(shè)，，（），根據(jù)三點共線公式得到，再根據(jù)面積的倍數(shù)關(guān)系求出，因此求出的表達式后，可以根據(jù)函數(shù)值域的求解方法解決取值范圍即可．【詳解】（1）由已知條件可知：在中，由正弦定理得在中，由余弦定理得，又（2）設(shè)為BC邊上中線則 ①或由①，得（3）設(shè)，，（），根據(jù)三點共線公式，得（，為∠BAC）【點睛】本題考查了正弦定理，余弦定理的應(yīng)用，考查向量的運算性質(zhì)以及求函數(shù)值域問題，需要一定的分析和解決問題的能力． 

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