2022-2023學年江蘇省南京外國語學校高二下學期期中數(shù)學試題（A卷） 一、單選題1．正方體中，為與的交點，若，則（    ）A． B．C． D．【答案】A【分析】利用空間向量的運算及基底表示進行求解.【詳解】因為在正方體中，為與的交點，所以為的中點；，由正方體的性質可知,所以.故選：A.2．某工廠有甲乙兩條生產線生產同一型號的機械零件，產品的尺寸分別記為X，Y，已知X，Y均服從正態(tài)分布，，，其正態(tài)分布密度曲線如圖所示，則下列結論中正確的是（    ）A．甲生產線產品的穩(wěn)定性高于乙生產線產品的穩(wěn)定性B．甲生產線產品的穩(wěn)定性低于乙生產線產品的穩(wěn)定性C．甲生產線的產品尺寸平均值大于乙生產線的產品尺寸平均值D．甲生產線的產品尺寸平均值小于乙生產線的產品尺寸平均值【答案】A【分析】根據(jù)正態(tài)分布密度曲線的對稱軸為，圖像越瘦高數(shù)據(jù)越穩(wěn)定可得.【詳解】由圖知甲乙兩條生產線的平均值相等，甲的正態(tài)分布密度曲線較瘦高，所以甲生產線產品的穩(wěn)定性高于乙生產線產品的穩(wěn)定性.故選：A3．醫(yī)院每周周一至周五這5天要安排3名醫(yī)生值夜班，每天只安排一名醫(yī)生，每周每名醫(yī)生至少值一天班，同一名醫(yī)生不能連續(xù)3天值班，那么不同的安排方案的種數(shù)為（    ）A．90 B．132 C．150 D．222【答案】B【分析】將3名醫(yī)生的值班天數(shù)分為，求出所有的安排方案，再減去同一名醫(yī)生連續(xù)3天值班的安排方案，即可得出答案.【詳解】第一種情況是某名醫(yī)生安排3天值班，其余2名醫(yī)生均安排1天值班，則共種；第二種情況是某名醫(yī)生安排1天值班，其余2名醫(yī)生均安排2天值班，種；綜上不同的安排方案共有種，同一名醫(yī)生連續(xù)3天值班的情況有種，所以同一名醫(yī)生不能連續(xù)3天值班安排方案的種數(shù)為：.故選：B.4．口袋中有6個球（除顏色外其他屬性都相同），其中3個黑球，2個紅球，1個白球，表示有放回的摸球3次，每次摸一個，取出紅球的數(shù)目，表示不放回的摸球3次，每次摸一個，取出黑球的數(shù)目，則下列結論成立的是（    ）A． B．C． D．無法判斷【答案】A【分析】分別求得與的值，進而得到二者間的關系.【詳解】表示有放回的摸球3次，每次摸一個，取出紅球的數(shù)目，的可能取值為0，1，2 ，則，則；表示不放回的摸球3次，每次摸一個，取出黑球的數(shù)目，的可能取值為0，1，2 ，3，滿足超幾何分布，則，則故選：A5．一次射擊比賽中，若連續(xù)2次未擊中目標，那么中止射擊，甲擊中目標的概率是，假設甲各次射擊是否擊中目標相互之間沒有影響，甲恰好射擊5次后被中止的概率為（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】分析甲恰好射擊5次后被中止的情況，然后利用獨立事件概率的計算公式求解.【詳解】甲擊中目標的概率是，所以甲沒有擊中目標的概率是，甲恰好射擊5次后被中止的情況是第一、二次至少擊中其中一次，第三次擊中，第四、五次沒有擊中，且相互之間是獨立的，所以甲恰好射擊5次后被中止的概率為.故選：A6．由數(shù)字組成的各位上沒有重復數(shù)字的五位數(shù)中，從小到大排列第88個數(shù)為（    ）A．42031 B．42103 C．42130 D．42301【答案】C【分析】利用排列數(shù)公式分類求得由數(shù)字組成的各位上沒有重復數(shù)字的五位數(shù)的各種情況，進而得到從小到大排列第88個數(shù)為.【詳解】由數(shù)字組成的各位上沒有重復數(shù)字的五位數(shù)中，1在萬位的有（個）；2在萬位的有（個）；3在萬位的有（個）；4在萬位的有（個）；則從小到大排列第88個數(shù)為4在萬位的五位數(shù).4在萬位0在千位的有（個）；4在萬位1在千位的有（個）；4在萬位2在千位的有（個），則從小到大排列第88個數(shù)為4在萬位2在千位的五位數(shù).4在萬位2在千位的五位數(shù)從小到大排列依次為：則從小到大排列第88個數(shù)為故選：C7．10張獎券中只有2張中獎，從中任取張，至少有一張中獎的概率大于0.5，則的最小值為（    ）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】根據(jù)題意可得可得，解之即可得出答案.【詳解】當或時，至少有一張中獎的概率為，當時，至少有一張中獎的概率為，由題意可得，即，即，整理得，解得，所以，又，所以，所以，所以至少有一張中獎的概率大于0.5，則的最小值為.故選：C.8．在四棱錐中，底面為矩形，側棱底面為的中點，點在平面內，且平面，則點到面的距離為（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】以點為原點建立空間直角坐標系，可設，再求出，根據(jù)平面，可求出點的坐標，即可得解.【詳解】如圖，以點為原點建立空間直角坐標系，則，，由點在平面內，則可設，所以，故，因為平面，所以，解得，所以，又因平面與面重合，所以點到面的距離為.故選：B. 二、多選題9．下列說法正確的是（    ）A．若隨機變量，其中，則B．若事件與互斥，且，則C．若事件發(fā)生，則事件一定發(fā)生，且則D．甲、乙兩個箱子里各裝有5個大小形狀都相同的球，其中甲箱中有3個紅球和2個白球，乙箱中有2個紅球和3個白球，先從甲箱中隨機取出一球放入乙箱中，再從乙箱中隨機取出一球，則取出的球是紅球的概率為【答案】BD【分析】由正態(tài)分布的對稱性可判斷A；由互斥事件的定義和條件概率的公式可判斷B；由事件的包含關系和條件概率的公式可判斷C；根據(jù)全概率公式可判斷D.【詳解】對于A，若隨機變量，其中，則或，故A不正確；對于B，若事件與互斥，則，，所以，因為，，故B正確；對于C，若事件發(fā)生，則事件一定發(fā)生，則，，，故C不正確；對于D，設事件表示從甲箱中隨機取出一紅球放入乙箱中，事件表示從甲箱中隨機取出一白球放入乙箱中，設事件表示從甲箱中隨機取出一球放入乙箱中，再從乙箱中隨機取出一球，則取出的球是紅球，則有,所以，故D正確.故選：BD.10．在的展開式中，各項系數(shù)和與二項式系數(shù)和相等均為64，則下列結論正確的是（    ）A． B．二項式系數(shù)最大的項為第3項C．有理項有3項 D．系數(shù)最小項為第2項【答案】AD【分析】先根據(jù)各項系數(shù)和與二項式系數(shù)和均為64求出，利用通項公式結合選項可得答案.【詳解】因為各項系數(shù)和與二項式系數(shù)和相等均為64，所以且；解得，或（舍），所以A正確；因為，所以二項式系數(shù)中最大，即二項式系數(shù)最大的項為第4項，所以B不正確；通項公式為，其中；當時為有理項，所以C不正確；由通項公式可知時，系數(shù)才可能最小，，，，比較發(fā)現(xiàn)系數(shù)最小項為第2項，所以D正確.故選：AD.11．如圖，在正方體中，是棱上的動點，則下列結論正確的是（    ）A．B．三棱錐的體積為定值C．隨著的增大，直線與面所成角增大D．二面角的平面角余弦值的最小值為【答案】ABC【分析】對于A項，通過線面垂直的性質即可判定；對于B項，通過等體積法轉化即可判定；對于C、D項，建立空間直角坐標系，利用空間向量求線面角與面面角即可.【詳解】對于A項，在正方體中易得AD1∥BC1，B1C⊥BC1，DC⊥BC1，如圖所示，所以有AD1⊥B1C ，AD1⊥DC，且面DB1C，面DB1C,∴AD1⊥面DB1C，而面DB1C，故AD1⊥B1E，即A正確；對于B項，易知，顯然三棱錐的頂點E到底面的距離不變，始終為正方體的棱長，且底面積不變，故體積不變，B正確；如圖建立以D為原點的空間直角坐標系，不妨設正方體棱長為1，則對于C項， 設面的法向量，則，即，不妨令，則，所以設直線與面所成角為，故，由對勾函數(shù)及復合函數(shù)的單調性可得在上單調遞增，故C正確；對于D項，由上知面的一個法向量，設平面的法向量，則，即，不妨令，則，所以，設二面角為，則，令，故在定義域上單調遞減，則，由圖象可知，故D錯誤.故選：ABC12．4個不同的小球隨機投入4個不同的盒子，設隨機變量為空盒的個數(shù)，下列說法正確的是（    ）A．隨機變量的取值為 B．C． D．【答案】BD【分析】寫出隨機變量的所有可能取值，求出對應概率，再根據(jù)期望公式求出期望，即可得出答案.【詳解】4個不同的小球隨機投入4個不同的盒子，則隨機變量可取，故A錯誤；則，，，，故B正確，C錯誤；，故D正確.故選：BD. 三、填空題13．某工廠有甲、乙、丙三條生產線同時生產同一產品，這三條生產線生產產品的次品率分別為，假設這三條生產線產品產量的比為，現(xiàn)從這三條生產線上隨機任意選取100件產品，則次品數(shù)的數(shù)學期望為__________.【答案】/ 【分析】記事件：選取的產品為次品，記事件：此件次品來自甲生產線，記事件：此件次品來自乙生產線，記事件：此件次品來自丙生產線，由題意可得，，，再利用全概率公式求出，結合二項分布的期望公式求解即可.【詳解】記事件：選取的產品為次品，記事件：此件次品來自甲生產線，記事件：此件次品來自乙生產線，記事件：此件次品來自丙生產線，由題意可得，，，由全概率的公式可得，從這三條生產線上隨機任意選取1件產品為次品數(shù)的概率為，則任意選取100件產品，設次品數(shù)為,則,即.故答案為：.14．展開式中的系數(shù)為__________.【答案】【分析】表示個因式的乘積，分類討論即可得出答案.【詳解】表示個因式的乘積，的項可以是：從個因式中選個提供，個提供，個提供，此時的系數(shù)為，的項也可以是：從個因式中選個提供，個提供，個提供，此時的系數(shù)為，所以展開式中的系數(shù)為.故答案為：.15．若三棱錐的棱長都為為的中點，為棱上一點，且，則的長為__________.【答案】【分析】利用空間向量的數(shù)量積求模長即可.【詳解】如圖所示，由已知可得三棱錐為正四面體，故，所以，故.故答案為：【點睛】16．公共汽車門的高度是按照確保以上的成年男子頭部不跟車門頂部碰撞設計的.如果某地成年男子的身高（單位：），則車門應設計至少高__________（結果精確到）.參考數(shù)據(jù)：若，則.【答案】【分析】設車門設計的高度為，由題意結合題中所給數(shù)據(jù)可得，從而可得出答案.【詳解】設車門設計的高度為，由題意需使，因為，，所以，解得，所以車門應設計至少高.故答案為：. 四、解答題17．在的展開式中，含項的系數(shù)是.(1)求的值；(2)若，求的值.【答案】(1)2(2)0 【分析】（1）利用的展開式與的展開式即可求得的值；（2）利用賦值法分別求得，的值，進而求得的值.【詳解】（1）由， 可得在的展開式中含的項是由的展開式中含項與的展開式中含項合并得到的，則（2）由（1）得，，令，則令，則則，則.18．新高考改革后江蘇省采用“”高考模式，“3”指的是語文、數(shù)學、外語，這三門科目是必選的；“1”指的是要在物理、歷史里選一門；“2”指考生要在生物學、化學、思想政治、地理4門中選擇2門.(1)若按照“”模式選科，求甲乙兩個學生恰有四門學科相同的選法種數(shù)；(2)某教育部門為了調查學生語數(shù)外三科成績，現(xiàn)從當?shù)夭煌瑢哟蔚膶W校中抽取高一學生4000名參加語數(shù)外的網(wǎng)絡測試、滿分450分，假設該次網(wǎng)絡測試成績服從正態(tài)分布.①估計4000名學生中成績介于180分到360分之間有多少人；②某校對外宣傳“我校200人參與此次網(wǎng)絡測試，有10名同學獲得425分以上的高分”，請結合統(tǒng)計學知識分析上述宣傳語的可信度.附：，，.【答案】(1)(2)①人；②不可信. 【分析】（1）甲乙兩個學生必選語文、數(shù)學、外語，若另一門相同的選擇物理、歷史中的一門或若另一門相同的選擇生物學、化學、思想政治、地理4門中的一門，根據(jù)排列組合分別計算即可；（2）①由正態(tài)分布的對稱性計算180分到360分的概率，即可求出4000名學生中成績介于180分到360分之間的人數(shù)；②利用正態(tài)分布可得，即可根據(jù)統(tǒng)計學中的原則進行判斷.【詳解】（1）甲乙兩個學生必選語文、數(shù)學、外語，若另一門相同的選擇物理、歷史中的一門，有種，在生物學、化學、思想政治、地理4門中甲乙選擇不同的2門，則，即種；若另一門相同的選擇生物學、化學、思想政治、地理4門中的一門，則有種，所以甲乙兩個學生恰有四門學科相同的選法種數(shù)共種方法.（2）①設此次網(wǎng)絡測試的成績記為X，則，由題知，，，，則，所以，所以估計4000名學生中成績介于180分到360分之間有人；②不可信.，則，4000名學生中成績大于420分的約有人，這說明4000名考生中，也會出現(xiàn)約5人的成績高于420分的“極端”樣本，所以說“某校200人參與此次網(wǎng)絡測試，有10名同學獲得425分以上的高分”，說法錯誤，此宣傳語不可信.19．如圖，平面，，，四邊形是菱形.(1)證明：平面；(2)若菱形的邊長為，求直線與平面所成角的正弦值.【答案】(1)詳見解析；(2) 【分析】（1）利用線面垂直判定定理即可證得平面；（2）先利用題給條件求得直線與平面所成角，進而求得其正弦值.【詳解】（1）設，連接OE，由平面，，可得又，則，則又，則，則.由平面，，則平面，則，又，，平面，則平面，則，又，,平面，則平面.（2）由（1）可得平面，設垂足為P，連接BP，則為直線與平面所成角，，又，，，則20．為了回饋顧客，某商場通過摸球兌獎的方式對1000位顧客進行獎勵，每位顧客從一只裝有4個標有面值的球的袋子中一次性隨機摸出2個球，球上所標的面值之和為該顧客所獲的獎勵金額.(1)若袋子所裝的4個球中有2個所標面值為50元，2個所標面值為10元，求顧客所獲得獎勵金額的概率分布和數(shù)學期望；(2)現(xiàn)有標有面值10元，20元，40元，50元小球（除所標面值外其他屬性都相同）若干.①若袋中的4個球有且僅有兩種面值，且兩種面值的和為60，袋中的4個球有多少種裝法；②若商場獎勵總額的預算是60000元，為了使顧客得到的獎勵近可能符合商場的預算且每位顧客所獲得的獎勵金額相對均衡，請從①的裝法中選擇一個最合適的，并說明理由.【答案】(1)見解析，60元(2)①6；②選擇裝法為，理由見解析 【分析】（1）根據(jù)古典概型求出概率，列出分布列，求出期望即可；（2）根據(jù)期望分析可能方案為，(20,20,40,40)，計算兩個方案的期望與方差，即可比較得出結論.【詳解】（1）設顧客所獲得獎勵金額為，則的可能取值為20，60，100，，，所以的分布列為：2060100（元）.（2）①兩種面值的和為60可以裝10元與50元，也可裝20元與40元面值的小球，每類都有3種裝法：其中一種面值1,2,3個小球，另一種面值小球對應個數(shù)3,2,1個小球，故由分類加法原理知，袋中小球不同的裝法共有種.②選擇裝法為，理由如下，根據(jù)商場的預算,每名顧客的平均獎勵額為60000÷1000=60(元),故先尋找數(shù)學期望為60元的可能方案.當小球標有的面值為10元和50元時,若選擇(10,10,10,50)的方案,60元是面值之和的最大值，數(shù)學期望不可能為60；當選擇(50,50,50,10)的方案,60元是面值之和的最小值，數(shù)字期望也不可能是60元.因此可能的方案是(10,10,50,50)，記為方案1.當小球標有的面值為20元和40元時,同理可排除(20,20,20,40),(40,40,40,20)的方案,可能的方案是(20,20,40,40),記為方案2以下對兩個方案進行分析:對于方案1，即方案(10,10,50,50)，由（1）知元,.對于方案2，即方案(20,20,40,40)，設顧客所獲的獎勵額為元，的可能取值為40,60,80.則 ，，.所以的分布列為：406080所以（元）..∵兩種方案獎勵額的數(shù)學期望都符合要求，但方案2獎勵額的方差要比方案1的小，應該選擇方案2，即袋中標有面值20元和40元的球各兩個.21．如圖所示，在四棱錐中，，，且.(1)求證：平面平面；(2)已知點是線段上的兩點，且是線段上一點，若二面角與二面角的平面角相等，求的值.【答案】(1)證明見解析；(2) 【分析】（1）利用面面垂直判定定理即可證得平面平面；（2）建立空間直角坐標系，利用空間向量的方法表示二面角與二面角的平面角相等，進而求得的值.【詳解】（1）連接BD，由， 可得，又，則又由，可得，又，平面，則平面，又平面，則平面平面；（2）過點D作平面，又以為D原點，分別以所在直線為x、y、z軸空間直角坐標系，則，，，，，令，則，則，，，，設是平面的一個法向量，則，令，則，則設是平面的一個法向量，則，令，則，則，設是平面的一個法向量，則，令，則，則，由二面角與二面角的平面角相等，可得，即，又，，則，則，解之得，或（舍去）則的值為22．一質點從數(shù)軸上的原點出發(fā)每次只能向前或者向后運動1個單位，且每次運動方向相互獨立，質點向前運動的概率為.(1)設質點運動9次后，所在位置對應的數(shù)為的概率為，求的最大值點；(2)以（1）中確定的值為的值，設運動次后質點所在位置對應的數(shù)為隨機變量.①若，求質點最有可能運動到的位置對應的數(shù)，并說明理由；②求的值.【答案】(1)(2)① ② 【分析】（1）由題意知質點向前運動3次，向后運動6次，利用獨立重復試驗的概率公式求出，再由導數(shù)求即可；（2）①設運動2023次中有次向前運動，由二項分布求出，利用不等式組及組合求出最大時的值即可；②根據(jù)二項分布的期望、方差公式及期望、方差的性質求解.【詳解】（1）因為質點運動9次后，所在位置對應的數(shù)為，所以質點向前運動3次，向后運動6次，在一次運動中，質點向前運動的概率為，故，則，當時，，當時，，所以在上單調遞增，在上單調遞減，所以當時，有最大值，即.（2）①設運動2023次中有次向前運動，則，，，由，解得，又，所以，即時，最大，此時，即時，質點最有可能運動到的位置對應的數(shù)為.②設運動次中有次向前運動，則，，由，，，，. 

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