?2023年上學(xué)期高一期中考試試卷
數(shù)學(xué)
滿分：150分 考試時(shí)間：120分鐘
一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1. 已知復(fù)數(shù)，則的虛部為（ ）
A. 2 B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部的定義，即可得到結(jié)果.
【詳解】因?yàn)閺?fù)數(shù)，則其虛部為.
故選：B
2. 已知向量，，若，則（ ）
A. B. C. D. 6
【答案】A
【解析】
【分析】直接利用向量垂直的坐標(biāo)運(yùn)算公式列方程得答案.
【詳解】，，，
，
解得.
故選：A.
3. 球的半徑是，則該球的體積是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)球的體積公式計(jì)算可得.
【詳解】因?yàn)榍虻陌霃绞牵郧虻捏w積.
故選：A
4. 一個(gè)平面圖形用斜二測畫法畫出的直觀圖如圖所示，此直觀圖恰好是一個(gè)邊長為2的正方形，則原平面圖形的面積為（ ）

A. 4 B. C. D. -4
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)題意，由斜二測畫法的規(guī)則，即可得到原圖形的面積.
【詳解】
還原直觀圖為原圖形，如圖所示，
因?yàn)椋?，還原回原圖形后，，，所以原圖形面積為.
故選：B
5. 在中，為邊上的點(diǎn)，且，則（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)題意，由平面向量的線性運(yùn)算結(jié)合平面向量基本定理，代入化簡，即可得到結(jié)果.
詳解】
因?yàn)?，且，則，
所以.
故選：D
6. 直線a∥平面α，P∈α，那么過P且平行于a的直線（　?。?br /> A. 只有一條，不在平面α內(nèi)
B. 有無數(shù)條，不一定在平面α內(nèi)
C. 只有一條，且在平面α內(nèi)
D. 有無數(shù)條，一定在平面α內(nèi)
【答案】C
【解析】
【分析】由推論1和基本事實(shí)3可以確定平面與平面有唯一的交線，由線面平行的性質(zhì)定理可推導(dǎo)直線與交線平行，從而確定選項(xiàng).
【詳解】解：由推論1可知：，則，，過與確定一平面β，
由基本事實(shí)3可知：平面α與平面β有一交點(diǎn)，則有一條唯一的交線與a平行，設(shè)為b，
因?yàn)橹本€a∥平面α，，，所以a∥b.
故選：C．
7. 為了測量垂直于地面的兩座塔塔尖之間的距離，某數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)小組構(gòu)建了如圖所示的幾何模型.若米，，，，，則塔尖之間的距離為（ ）米.

A. 80 B. 120 C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先求，利用余弦定理求得.
【詳解】，
在三角形中，由余弦定理得：
米.
故選：D
8. 已知正三棱錐中，，，該三棱錐的外接球球心到側(cè)面距離為，到底面距離為，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)題意得到，，兩兩垂直，把該三棱錐補(bǔ)成一個(gè)正方體，結(jié)合正方體的性質(zhì)，即可求解.
【詳解】由題意，正三棱錐中，，
則，所以，同理可得，
即，，兩兩垂直，可把該三棱錐補(bǔ)成一個(gè)正方體，
則該三棱錐的外接球就是正方體的外接球，即正方體的體對(duì)角線就是球的直徑，
所以球心位于正方體對(duì)角線的中點(diǎn),
所以三棱錐外接球球心到側(cè)面距離為，到底面距離為，
所以.

二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.
9. 設(shè)復(fù)數(shù)，則（ ）
A. 對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第一象限 B.
C. 的虛部為 D.
【答案】AB
【解析】
【分析】先化簡復(fù)數(shù)，然后根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義以及性質(zhì)逐項(xiàng)分析即可.
【詳解】因?yàn)椋?br /> 故對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為在第一象限，故A正確；
此時(shí)，故B正確；
的虛部為，故C錯(cuò)誤；
，故D錯(cuò)誤，
故選：AB.
10. 已知空間中的平面，直線，，以及點(diǎn)，，，，則以下四個(gè)命題中，不正確的命題是（ ）
A. 在空間中，四邊形滿足，則四邊形是菱形.
B. 若，，則.
C. 若，，，，，，則.
D. 若和是異面直線，和是平行直線，則和是異面直線.
【答案】ABD
【解析】
【分析】舉特例即可說明A、D錯(cuò)誤；根據(jù)直線與平面的位置關(guān)系可判斷B；由已知結(jié)合基本事實(shí)2，即可判斷C.
【詳解】對(duì)于A項(xiàng)，正四面體的各條棱長均相等，四邊形為空間四邊形，不是菱形，故A項(xiàng)錯(cuò)誤；
對(duì)于B項(xiàng)，若，則或與相交，所以或（此時(shí)為與的交點(diǎn)），故B項(xiàng)錯(cuò)誤；
對(duì)于C項(xiàng)，由已知可得，，，即直線上有兩個(gè)點(diǎn)在平面內(nèi)，
根據(jù)基本事實(shí)2可知，故C項(xiàng)正確；

對(duì)于D項(xiàng)，如圖正方體中，和異面（異面直線），（），
但是（相交），故D項(xiàng)錯(cuò)誤.
故選：ABD.
11. 已知向量，則（ ）
A. 與方向相反的單位向量的坐標(biāo)為
B. 當(dāng)時(shí)，與的夾角為銳角
C. 當(dāng)時(shí)，、可作為平面內(nèi)的一組基底
D. 當(dāng)時(shí)，在方向上的投影向量為
【答案】BC
【解析】
【分析】根據(jù)與方向相反的單位向量為可判斷A選項(xiàng)；利用平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算可判斷B選項(xiàng)；判斷出、不共線，可判斷C選項(xiàng)；利用投影向量的定義可判斷D選項(xiàng).
【詳解】對(duì)于A，與方向相反的單位向量為，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，，，，
所以與的夾角為銳角，故B正確；
對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，，，則，則與不平行，
所以、可作為平面內(nèi)的一組基底，故C正確；
對(duì)于D，設(shè)與的夾角為，則在方向的投影向量為，
當(dāng)時(shí)，，，，，
所以，故D錯(cuò)誤．
故選：BC.
12. 已知直三棱柱中，，，，，，點(diǎn)分別為棱，，，的中點(diǎn)，是線段上（包含端點(diǎn)）的動(dòng)點(diǎn)，則下列說法正確的是（ ）
A. ，，，四點(diǎn)共面
B. 三棱錐的體積為定值
C. 一只蟲子由表面從點(diǎn)爬到點(diǎn)的最近距離為
D. 若為的中點(diǎn)，則過，，三點(diǎn)的平面截三棱柱所得截面的周長為
【答案】ABD
【解析】
【分析】對(duì)于A，通過證明∥，可判斷，對(duì)于B，由∥平面進(jìn)行判斷，對(duì)于C，將平面沿旋轉(zhuǎn)到與平面在同一個(gè)平面內(nèi)，則可判斷，對(duì)于D，由題意可得過三點(diǎn)的平面為平面即可判斷.
【詳解】對(duì)于A，連接，因?yàn)椋c(diǎn)分別為棱，的中點(diǎn)，所以∥，
因?yàn)椤?，所以∥，因?yàn)槭蔷€段上（包含端點(diǎn)）動(dòng)點(diǎn)，
所以，，，四點(diǎn)共面，所以A正確，
對(duì)于B，因?yàn)?，點(diǎn)分別為棱，的中點(diǎn)，所以∥，
因?yàn)槠矫?，平面，所以∥平面?br /> 因?yàn)槭蔷€段上（包含端點(diǎn)）的動(dòng)點(diǎn)，所以點(diǎn)到平面的距離等于到平面的距離，
則，
因?yàn)?，所以，所以B正確，
對(duì)于C，將平面沿旋轉(zhuǎn)到與平面在同一個(gè)平面內(nèi)，則從點(diǎn)爬到點(diǎn)的最近距離為，所以C錯(cuò)誤，
對(duì)于D，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，為棱的中點(diǎn)，所以∥，因?yàn)椤危?br /> 所以過點(diǎn)過三點(diǎn)的平面為平面，則截面的周長為，
因?yàn)? ，
所以截面的周長為，所以D正確，
故選：ABD

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：此題考查棱錐的體積的求法，考查棱柱上截面周長的求法，求截面周長的關(guān)鍵是根據(jù)平行線的性質(zhì)作出截面圖形，從而根據(jù)圖形的性質(zhì)求解，考查空間想象能力，屬于較難題.
三、填空題（共4小題，每題5分，共20分）
13. 已知圓錐的母線長為，底面半徑為，則此圓錐的體積為_________.
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)勾股定理求出圓錐的高，結(jié)合圓錐的體積公式計(jì)算即可求解.
【詳解】由題意知，所以圓錐的高為，
故圓錐的體積為．
故答案為：.
14. 已知，，，則與的夾角的度數(shù)為______.
【答案】
【解析】
【分析】設(shè)與的夾角為，根據(jù)，，，由求解.
【詳解】設(shè)與的夾角為，
因?yàn)?，，?br /> 所以，
解得，
因?yàn)椋?br /> 所以，
故答案為：
【點(diǎn)睛】本題主要考查平面向量的數(shù)量積運(yùn)算以及夾角的求法，還考查了運(yùn)算求解的能力，屬于基礎(chǔ)題.
15. 在中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)應(yīng)的邊分別是a，b，c，c=4，，且的面積為，則______．
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)三角形面積公式求出，再由余弦定理的變形即可得出.
【詳解】由，且，可得，
，解得，
，，
可得，
代入，即，

故答案為：
16. 在正四棱臺(tái)中，底面是邊長為4的正方形，其余各棱長均為2，設(shè)直線與直線的交點(diǎn)為，則四棱錐的外接球的表面積為_________.
【答案】
【解析】
【分析】先確定四棱錐為正四棱錐，則其外接球的球心O在直線上，由勾股定理可得半徑，結(jié)合球的表面積公式計(jì)算即可求解.
【詳解】設(shè)與相交于點(diǎn)，因?yàn)樗睦馀_(tái)為正四棱臺(tái)，
直線與直線的交點(diǎn)為，所以四棱錐為正四棱錐，
得平面，四棱錐的外接球的球心O在直線上，連接，
設(shè)該外接球的半徑為，由，，
所以，則，
即，解得，
則四棱錐外接球的表面積為.
故答案為：.

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
17. 在中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，已知，，.
（1）求b的值;
（2）求的面積.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由正弦定理化簡可得，再由余弦定理即可求解；
（2）直接由三角形的面積公式即可求解.
【小問1詳解】
因?yàn)椋?br /> 所以由正弦定理得，即，
由余弦定理得.
所以.
【小問2詳解】
因?yàn)?，，?br /> 所以.
18. 棱長為的正方體中，截去三棱錐，求：

（1）求截去的三棱錐的表面積
（2）剩余的幾何體的體積
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）分析三棱錐各個(gè)面的特征，從而求出其面積，即可得解；
（2）用正方體的體積減去三棱錐的體積，即可得解.
【小問1詳解】
由正方體的特點(diǎn)可知三棱錐中，是邊長為的等邊三角形，
、、都是直角邊為的等腰直角三角形，
所以截去的三棱錐的表面積
；
【小問2詳解】
正方體的體積為，
三棱錐的體積，
所以剩余的幾何體的體積為.
19. 已知函數(shù)的部分圖象如圖所示．

（1）求的解析式.
（2）寫出的遞增區(qū)間.
【答案】（1）
（2），
【解析】
【分析】(1) 由函數(shù)的圖像可得，得出周期，從而得出，再根據(jù)五點(diǎn)作圖法求出，得出答案.
(2) 令解出的范圍，得出答案.
【小問1詳解】
由圖可知，，∴，
∴，
將點(diǎn)代入得，
，，∴，，
∵，∴，
∴
【小問2詳解】
由，，
解得，，
∴的遞增區(qū)間為，．
20. 如圖，四棱錐的底面為平行四邊形.設(shè)平面與平面的交線為，、、分別為、、的中點(diǎn).

（1）求證：平面平面；
（2）求證：.
【答案】（1）證明見解析
（2）證明見解析
【解析】
【分析】（1）利用面面平行的判定定理證明即可；
（2）利用線面平行的性質(zhì)定理證明即可
【小問1詳解】
證明：因?yàn)?、、分別為、、的中點(diǎn)，底面為平行四邊形，
所以，，
又平面，平面，
則平面，
同理平面，平面，
可得平面，
又，平面
所以平面平面.
【小問2詳解】
證明：因?yàn)?，平面，平面?br /> 所以平面，
又平面，平面平面，
所以.
21. 在中，角、、所對(duì)的邊分別為、、，且滿足.
（1）求角的大?。?br /> （2）若，求的取值范圍.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）結(jié)合向量運(yùn)算、正弦定理求得，由此求得.
（2）利用正弦定理將表示為三角函數(shù)的形式，結(jié)合三角函數(shù)值域的求法求得的取值范圍、
【小問1詳解】
在中，，
∵，
∴，
即，
由正弦定理得：，
∴，∴，
又，∴，∴.
【小問2詳解】
由正弦定理得：，∴，，
∴

，
∵，∴，即，
∴，，
∴，
即
22. 記的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知．
（1）求角C；
（2）求的取值范圍．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用倍角公式化簡為，再弦化切得，再逆用和角正切公式可得，進(jìn)而可求解；
（2）利用正弦定理邊化角得，令，則，轉(zhuǎn)化為求取值范圍，從而利用二次函數(shù)在區(qū)間的最值求法可得.
【小問1詳解】
因?yàn)椋?br /> 所以，
，
因?yàn)椋?br /> 所以，
所以，
上式整理得，即，
所以，
所以.
因?yàn)?，所以?br /> 因?yàn)椋?br /> 所以，即，解得.
【小問2詳解】
因?yàn)?br />

，
所以令，
因?yàn)?，所?br /> 所以，則.
則，
所以，
令，
因?yàn)榈膶?duì)稱軸為，且開口向上，
所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，
所以的取值范圍為，
所以的取值范圍為.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：
第二問中求的取值范圍，利用與的關(guān)系，設(shè)，從而，最終問題轉(zhuǎn)化為求的取值范圍.

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