2022-2023學(xué)年河南省漯河市第三高級(jí)中學(xué)高一下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題 一、單選題1．已知復(fù)數(shù)，則（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用復(fù)數(shù)除法運(yùn)算求出復(fù)數(shù)，再求出復(fù)數(shù)的模作答.【詳解】，所以.故選：A．2．已知一個(gè)圓錐的底面半徑為1，母線長(zhǎng)為2，則其側(cè)面展開得到的扇形的圓心角為（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】圓錐的底面周長(zhǎng)即側(cè)面展開得到的扇形的弧長(zhǎng),再應(yīng)用弧長(zhǎng)公式求圓心角即可.【詳解】由條件知底面周長(zhǎng)為，即側(cè)面展開得到的扇形的弧長(zhǎng)為，故,圓心角為.故選:.3．在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（    ）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】D【分析】利用復(fù)數(shù)的乘法化簡(jiǎn)，再由復(fù)數(shù)的幾何意義判斷對(duì)應(yīng)的點(diǎn)所在象限.【詳解】，其對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限．故選：D4．已知平面向量與垂直，則的值是（    ）A． B． C．12 D．【答案】B【分析】根據(jù)平面向量垂直的坐標(biāo)運(yùn)算求解求參即可．【詳解】由題知，即，解得．故選:B.5．如圖所示，一個(gè)水平放置的四邊形OABC的斜二測(cè)畫法的直觀圖是邊長(zhǎng)為2的正方形，則原四邊形的面積是（    ）A． B． C．16 D．8【答案】B【分析】根據(jù)斜二測(cè)畫法規(guī)則求出，判斷的形狀，確定，由此求出原四邊形的面積.【詳解】在正方形中可得，由斜二測(cè)畫法可知，，且，，所以四邊形為平行四邊形，所以．故選：B.6．在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)Z如圖所示，則（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)向量的幾何意義求復(fù)數(shù)，再由復(fù)數(shù)的運(yùn)算公式求.【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)的坐標(biāo)為所以復(fù)數(shù)，則．故選：A.7．如圖，在中，設(shè)，，，，則（    ）A． B．C． D．【答案】C【分析】利用向量加減法的運(yùn)算和數(shù)乘運(yùn)算得出所求解的向量與已知向量之間的關(guān)系，注意運(yùn)算的準(zhǔn)確性和向量倍數(shù)關(guān)系的正確轉(zhuǎn)化．【詳解】由于，，故，，又因?yàn)?/span>，故，所以．故選：C．8．圖1是唐朝著名的風(fēng)鳥花卉紋浮雕銀杯，它的盛酒部分可以近似地看作半球與圓柱的組合體（如圖2）．設(shè)這種酒杯內(nèi)壁的表面積為，半球的半徑為，若半球的體積不小于圓柱體積，則S的取值范圍是（    ）A． B．C． D．【答案】D【分析】設(shè)圓柱的高為，由條件結(jié)合體積公式列不等式求的范圍，再結(jié)合球的表面積公式和圓柱的側(cè)面積公式求酒杯內(nèi)壁的表面積解析式及其范圍.【詳解】設(shè)圓柱的高為，因?yàn)榘肭虻捏w積不小于圓柱體積，所以，解得，即．所以．故選：D. 二、多選題9．已知復(fù)數(shù)，則（    ）A．z的實(shí)部是B．z的虛部是C．z的共軛復(fù)數(shù)為D．z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在函數(shù)的圖像上【答案】ACD【分析】利用復(fù)數(shù)的除法求出z，可得復(fù)數(shù)的實(shí)部、虛部、共軛復(fù)數(shù)和復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn).【詳解】因?yàn)閺?fù)數(shù)，所以復(fù)數(shù)的實(shí)部為，虛部為，共軛復(fù)數(shù)為，復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，滿足．故選：ACD．10．已知向量，，則（    ）A．與方向相同的單位向量的坐標(biāo)為B．當(dāng)時(shí)，與的夾角為銳角C．當(dāng)時(shí)，、可作為平面內(nèi)的一組基底D．當(dāng)時(shí)，在方向上的投影向量為【答案】BC【分析】根據(jù)與方向相同的單位向量為可判斷A選項(xiàng)；利用平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算可判斷B選項(xiàng)；判斷出、不共線，可判斷C選項(xiàng)；利用投影向量的定義可判斷D選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A，與方向相同的單位向量為，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，，，，所以，與的夾角為銳角，故B正確；對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，，，則，則與不平行，、可作為平面內(nèi)的一組基底，故C正確；對(duì)于D，設(shè)與的夾角為，則在方向的投影向量為，當(dāng)時(shí)，，，，，所以，故D錯(cuò)誤．故選：BC.11．長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為3，，體積為6，外接球的表面積為，則下列說法正確的是（    ）A．長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為3，2，1B．沿長(zhǎng)方體的表面從到的最短路徑長(zhǎng)度為C．與這個(gè)長(zhǎng)方體表面積相等的正方體的棱長(zhǎng)為2D．設(shè)與這個(gè)長(zhǎng)方體體積相等的正四面體的棱長(zhǎng)為m，則【答案】AD【分析】由長(zhǎng)方體外接球的表面積為可得，由其體積為可得，解方程求判斷A，分三種情況，利用側(cè)面展開圖求從到的最短路徑長(zhǎng)度，判斷B，求長(zhǎng)方體的表面積，設(shè)與其表面積相等的正方體的棱長(zhǎng)為，列方程求，判斷C，求正四面體的體積，列方程求，判斷D.【詳解】對(duì)于A，因?yàn)殚L(zhǎng)方體的外接球的表面積為，設(shè)長(zhǎng)方體的外接球的半徑為，則，所以，所以①，因?yàn)殚L(zhǎng)方體的體積為6，所以②，又，由①②解得，，故A正確；對(duì)于B，沿長(zhǎng)方體的表面從到，可將長(zhǎng)方體的兩個(gè)相鄰的面展開成矩形，最短路徑是這個(gè)矩形的對(duì)角線，這樣的矩形共有3種，對(duì)角線長(zhǎng)度為或或，因?yàn)?/span>，故沿長(zhǎng)方體的表面從到的最短路徑長(zhǎng)度為，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，長(zhǎng)方體的表面積為，設(shè)與其表面積相等的正方體的棱長(zhǎng)為，則，解得，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，棱長(zhǎng)為m的正四面體的高為，則正四面體的體積為，則，故D正確．故選：AD.12．在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，已知，則下列說法正確的是（    ）A．若，則B．若，則是直角三角形C．若是等腰三角形，則D．若，則的面積最大值為3【答案】BCD【分析】根據(jù)余弦定理和正弦定理及三角形面積公式分別判斷A，B，C，D選項(xiàng)即可．【詳解】由正弦定理及可得．對(duì)于A，根據(jù)余弦定理得，所以，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，若，則，又，所以，而，所以，即，故B正確；對(duì)于C，若是等腰三角形，只可能是（若，則，不能構(gòu)成三角形），則，由余弦定理可得，所以，故C正確；對(duì)于D，由余弦定理可得，所以，所以，當(dāng)時(shí)，取最大值3，故D正確．故選:BCD. 三、填空題13．已知向量，，，若，則實(shí)數(shù)_______．【答案】【分析】平面向量線性運(yùn)算用坐標(biāo)表示，再由向量共線的坐標(biāo)運(yùn)算求參數(shù).【詳解】，，因?yàn)?/span>，所以，解得．故答案為：14．方程在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)的根為_______．【答案】【分析】將已知方程配方，結(jié)合虛數(shù)單位的定義即可求解.【詳解】由方程可得，即，所以 所以方程的根為.故答案為：.15．歐拉是十八世紀(jì)偉大的數(shù)學(xué)家，他巧妙地把自然對(duì)數(shù)的底數(shù)e、虛數(shù)單位i、三角函數(shù)和聯(lián)系在一起，得到公式，這個(gè)公式被譽(yù)為“數(shù)學(xué)的天橋”，若，則稱為復(fù)數(shù)的輻角主值．根據(jù)該公式，可得的輻角主值為_______．【答案】【分析】根據(jù)歐拉公式與復(fù)數(shù)的相關(guān)概念求解即可.【詳解】因?yàn)?/span>，所以，所以的輻角主值為．故答案為:.16．已知圓柱的上、下底面的中心分別為，過直線的平面截該圓柱所得的截面是正方形．內(nèi)接于下底面圓，且是一個(gè)面積為的等腰直角三角形，則該圓柱的體積為_______．【答案】【分析】先由三角形面積公式求出三角形邊長(zhǎng)，再由正弦定理求底面圓的半徑，由圓柱體積公式求圓柱的體積.【詳解】如圖所示，設(shè)圓柱的底面半徑為r，高為h，則．再設(shè)的腰長(zhǎng)為a，則，解得，即，因?yàn)?/span>，所以，所以，．所以該圓柱的體積為．故答案為： 四、解答題17．已知向量，，，．(1)若，求的值；(2)若與垂直，求的值．【答案】(1)或(2) 【分析】（1）先由向量的坐標(biāo)運(yùn)算公式，在于向量的模的坐標(biāo)表示列方程求的值；（2）利用向量垂直的坐標(biāo)表示列方程求的值．【詳解】（1）因?yàn)?/span>，，所以，又，所以，即，           解得或．（2）因?yàn)?/span>，，所以，                  又與垂直，，所以，               解得．18．已知在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)，對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為，向量與實(shí)軸平行．(1)求b的值；(2)若復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第三象限，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．【答案】(1)(2) 【分析】(1)先求 ,再因?yàn)?/span>與x軸平行列式求參即可；(2)先求z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn), 再應(yīng)用點(diǎn)在第三象限列不等式求解即得范圍.【詳解】（1）由題意知，，所以，         因?yàn)?/span>與x軸平行，所以，                           解得．（2）由（1）知，所以，            因?yàn)?/span>z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第三象限，所以                 解得，故實(shí)數(shù)m的取值范圍是．19．已知的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，的外接圓的半徑為R，且，且．(1)求B；(2)若，，求．【答案】(1)(2) 【分析】（1）已知等式由正弦定理化簡(jiǎn)，求出，再得角；                  （2）由余弦定理求，再由正弦定理求.【詳解】（1），由正弦定理得，                     整理得，即，解得或（舍去），             又因?yàn)?/span>，所以．（2）由余弦定理得，         所以．                  再由正弦定理可得，所以．20．如圖所示，在正六棱錐中，O為底面中心，，．(1)求該正六棱錐的體積和側(cè)面積；(2)若該正六棱錐的頂點(diǎn)都在球M的表面上，求球M的表面積和體積．【答案】(1)，(2)表面積為，體積為 【分析】(1) 正六棱錐的幾何特征，再應(yīng)用體積和側(cè)面積公式求解即可;(2) 正六棱錐的幾何特征，根據(jù)球的表面積和體積求解即得.【詳解】（1）由條件可知正六邊形ABCDEF的邊長(zhǎng)為4，所以底面積為，            該正六棱錐的體積為．            正六棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)為，                  側(cè)面等腰三角形的面積為，          故該正六棱錐的側(cè)面積為．（2）球心M一定在直線SO上，設(shè)球M的半徑為R，則，又，所以，解得．                   所以球M的表面積為，             體積為21．如圖所示，在正方形ABCD中，，，，AF與DE交于點(diǎn)G，線BG的延長(zhǎng)線交AD于點(diǎn)H．(1)求的值；(2)若，求實(shí)數(shù)μ的值．【答案】(1)(2) 【分析】（1）利用基底表示，再利用數(shù)量積的運(yùn)算律和定義求；（2）設(shè)，，根據(jù)向量線性運(yùn)算利用表示 ，根據(jù)平面向量基本定理求，再表示，根據(jù)三點(diǎn)共線求.【詳解】（1）因?yàn)?/span>，所以，所以，因?yàn)?/span>，，                 所以．（2）設(shè)，因?yàn)?/span>，，則所以，設(shè)，又則，所以，解得，，所以，所以，又，所以，所以，又三點(diǎn)共線，即共線，所以，所以.22．已知銳角的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且．(1)求A；(2)求的取值范圍．【答案】(1)(2) 【分析】（1）利用余弦定理進(jìn)行求解即可；（2）利用兩角差的正弦公式和輔助角公式，結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行求解即可【詳解】（1）由條件得，           由余弦定理得，            因?yàn)?/span>，所以，       得，即，      因?yàn)?/span>，所以，                又，所以．（2）．         因?yàn)?/span>為銳角三角形，所以，且，所以．   所以，即的取值范圍是． 

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