2022-2023學(xué)年河南省濮陽市華龍區(qū)第一高級中學(xué)高一下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題 一、單選題1．已知集合，則如圖中陰影部分表示的集合為（    ）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)集合的基本運算的概念，可知圖中陰影部分表示的集合為，求解即可.【詳解】根據(jù)集合的基本運算的概念，可知圖中陰影部分表示的集合為.∵，∴或，，∴.故選：D.2．判斷下列命題：①兩個有共同起點而且相等的非零向量，其終點必相同；②若，則與的方向相同或相反；③若，且，則.其中，正確的命題個數(shù)為（    ）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【分析】利用向量的定義、模以及向量共線基本定理判斷命題的真假即可.【詳解】對于①，兩個有共同起點而且相等的非零向量，其終點一定相同；故正確；對于②，當(dāng)是零向量時，不能說 與 方向相同或相反，故不正確；對于③，如果，則與可以不共線，所以不正確；故選：B.3．設(shè)平面上有四個互異的點A、B、C、D，已知，則 的形狀是A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．等邊三角形【答案】B【詳解】試題分析：：∵，∴，即|AB|=|AC|．△ABC的形狀是等腰三角形【解析】向量運算4．已知函數(shù)在區(qū)間上有最小值，則a的取值范圍是（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】令，根據(jù)對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可得，從而得解.【詳解】令，為開口向上的拋物線，對稱軸為函數(shù)在區(qū)間上有最小值，則在上先減后增，所以，解得.故選：A.5．如圖，向量，則向量可以表示為（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用向量加法和減法的三角形法則計算即可.【詳解】根據(jù)向量運算法則可得，又，所以，故選：C.6．定義在R上的奇函數(shù)滿足，且時，，則（    ）A．2 B．1 C．0 D．【答案】C【解析】由條件可得是以4為周期的周期函數(shù)，然后可求出答案.【詳解】因為定義在R上的奇函數(shù)滿足，所以所以，所以是以4為周期的周期函數(shù)所以故選：C7．已知向量，，則以下說法正確的是（    ）A． B．向量在向量上的投影向量為C．與的夾角余弦值為 D．若，則【答案】D【分析】根據(jù)平面向量的坐標運算法則，計算出的坐標，根據(jù)向量共線的性質(zhì)可判斷A選項；根據(jù)投影向量的定義計算可判斷B選項；根據(jù)平面向量數(shù)量積的定義可計算判斷C選項；根據(jù)兩向量垂直的坐標運算，可判斷D選項.【詳解】， A選項不正確；又 ，向量 在向量上的投影為，故B不正確；，設(shè)與的夾角為，則 ，故C錯誤；若 ，則 即 ，故D正確.故選：D.8．復(fù)數(shù)滿足（為虛數(shù)單位），則的最小值為（    ）A．3 B．4 C． D．5【答案】B【分析】利用復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)的幾何意義，轉(zhuǎn)化點到點的距離求解.【詳解】設(shè)， 復(fù)數(shù)的對應(yīng)點在以原點為圓心，半徑的圓上運動， 表示點與復(fù)數(shù)的對應(yīng)點的距離，故選：B. 二、多選題9．函數(shù)，下列不等式中正確的是（    ）A． B．C． D．【答案】ABD【分析】由不等式性質(zhì)可判斷A、B；利用特值法可判斷C；利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可判斷D.【詳解】因為，，所以，得，故A正確；因為，，所以，故B正確；若，，故C不正確，因為，所以，故D正確.故選：ABD.10．下列在解三角形的過程中，只能有1個解的是（    ）A．，， B．，，C．，， D．，，【答案】BCD【分析】利用正弦定理、余弦定理一一判斷即可；【詳解】解：根據(jù)題意，在A條件下，因為，所以角B在和上各有一個解，并且這兩個解與角A的和都小于，所以A不滿足；在B條件下，，，，根據(jù)余弦定理可得，即，解得或（舍），所以只有1個解，滿足題意；在C條件下，條件為邊角邊，所以有唯一解；在D條件下，，因為，所以角A在和上各有一個解，當(dāng)解在時，角B與角A的和大于，所以只有1個解，滿足題意，故選：BCD．11．已知在△ABC中，，，點沿運動，則的可能值（    ）A． B． C．0 D．1【答案】BC【分析】建立平面直角坐標系，用坐標表示向量數(shù)量積，根據(jù)自變量的取值范圍求二次函數(shù)的值域來求解.【詳解】以點為坐標原點，以為軸，建立平面直角坐標系如圖所示：則，，，當(dāng)點在上時，設(shè)，，，，，可求得取值范圍為，當(dāng)點在上時，設(shè)，，，，，可求得取值范圍為，綜上，取值范圍為，故選：BC.12．已知函數(shù)且方程的6個解分別為，則（    ）A． B． C． D．【答案】CD【分析】根據(jù)十字相乘法得到或，畫出的圖象，數(shù)形結(jié)合得到，，，，，，從而對四個選項一一作出判斷.【詳解】，整理得到，故或，畫出的圖象，如下：顯然有三個根，分別為，有三個根，分別為，，，，A選項，數(shù)形結(jié)合得到，A錯誤；B選項，由于，，故，故B錯誤；C選項，由得，由，得到，故，C正確；D選項，因為，，故，D正確.故選：CD 三、填空題13．是虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù) 是純虛數(shù)，則實數(shù)的值為____________.【答案】【詳解】試題分析：由復(fù)數(shù)的運算可知，是純虛數(shù)，則其實部必為零，即，所以.【解析】復(fù)數(shù)的運算. 14．已知，，，，則的值為______.【答案】【分析】由，可得，再利用兩角差的正弦公式及同角三角函數(shù)的基本關(guān)系計算即可得出．【詳解】解：因為，，，，所以即，所以，即，所以故答案為：【點睛】本題考查平面向量的數(shù)量積及同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.15．關(guān)于函數(shù)有下列命題，其中正確的是_______.（填序號）①是以為最小正周期的周期函數(shù)；②的圖象關(guān)于直線對稱；③的圖象關(guān)于點對稱；④的表達式可改寫為.【答案】③④【解析】根據(jù)周期公式可得①不正確.【詳解】是以為最小正周期的周期函數(shù),故①不正確；因為,所以②不正確；因為,所以③正確；因為,所以④正確.故答案為:③④【點睛】本題考查了三角函數(shù)的周期，考查了三角函數(shù)的對稱軸，考查了三角函數(shù)的對稱中心，考查了誘導(dǎo)公式，屬于基礎(chǔ)題.16．的內(nèi)角，，的對邊分別為，，，已知，，，則的最大值為________.【答案】【分析】化簡已知等式得，再利用正弦定理得，求出即得解.【詳解】由題得,因為,所以，所以,因為，所以.由正弦定理得.所以,所以的最大值為，此時.故答案為： 四、解答題17．已知：、是同一平面內(nèi)的兩個向量，其中．(1)若且與垂直，求與的夾角；(2)若且與的夾角為銳角，求實數(shù)的取值范圍．【答案】(1)(2) 【分析】（1）由向量垂直的數(shù)量積運算得出，進而由得出與的夾角；（2）由數(shù)量積的坐標運算得出，解不等式得出實數(shù)的取值范圍．【詳解】（1）解：由得，即，所以，得，又，所以；（2）解：因為，，所以所以，則，由 得，即，因為與的夾角為銳角，所以18．已知函數(shù)．（1）判斷函數(shù)的奇偶性并證明；（2）解關(guān)于t的不等式：．【答案】（1）函數(shù)是奇函數(shù)，證明見解析（2）【分析】（1）首先求函數(shù)的定義域，再判斷與的關(guān)系；（2）首先判斷函數(shù)的單調(diào)性，再根據(jù)（1）的結(jié)果，可知函數(shù)為奇函數(shù)，所以不等式化簡為，利用函數(shù)的單調(diào)性解不等式.【詳解】（1）因為函數(shù)的定義域為R，且，所以函數(shù)是奇函數(shù)．（2）由易得，函數(shù)是定義域為R的增函數(shù)，而不等式可化為，再由可得，所以，解得．所以，不等式的解集為【點睛】本題考查函數(shù)單調(diào)性和奇偶性的判斷和證明，并解抽象不等式，意在考查轉(zhuǎn)化與變形，屬于中檔題型.19．在中，角所對的邊分別為，.(1)判斷的形狀，并加以證明；(2)如圖，外存在一點D，使得且，求.【答案】(1)直角三角形，證明見解析(2)5 【分析】（1）根據(jù)正弦定理以及正弦的和角公式即可求解，或利用余弦定理求解；（2）根據(jù)正弦定理以及余弦定理即可求解，或作，求出DF，結(jié)合中垂線性質(zhì)即可得解.【詳解】（1）在中，由正弦定理得又，所以化簡得：，，所以，，所以，是直角三角形方法二：在中，由余弦定理得整理得，所以， 是直角三角形（2）方法一：在中，由正弦定理得.由題設(shè)知，，所以.由題（1）知，.在中，由余弦定理得.所以.方法二：作 ，垂足為 ， ，垂足為,則，在中 所以，為的中垂線所以20．已知，，，將曲線的圖象向右平移得到函數(shù)的圖象.（1）若，，求的值；（2）若不等式對任意恒成立，求實數(shù)m的取值范圍.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）由平面向量數(shù)量積的坐標表示及三角恒等變換得，轉(zhuǎn)化條件得，再由的取值范圍即可得，再由兩角差的正切公式即可得解；（2）由三角函數(shù)的圖象變換得，轉(zhuǎn)化條件得對任意恒成立，設(shè)，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)令即可得解.【詳解】由題意，（1）由得，又，所以，所以，解得，則；（2）因為將的圖象向右平移得到函數(shù)的圖象，所以，所以，所以恒成立，原不等式等價于對任意恒成立，令，，則在上恒成立，設(shè)，當(dāng)時，成立；當(dāng)時，，解得，此時；當(dāng)時，，解得，此時；綜上，實數(shù)m的取值范圍是.【點睛】本題考查了三角恒等變換及三角函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用，考查了二次函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用及運算求解能力，屬于中檔題.21．某小區(qū)擬用一塊半圓形地塊（如圖所示）建造一個居民活動區(qū)和綠化區(qū)．已知半圓形地塊的直徑千米，點是半圓的圓心，在圓弧上取點、，使得，把四邊形建為居民活動區(qū)，并且在居民活動區(qū)周圍鋪上一條由線段，，和組成的塑膠跑道，其它部分建為綠化區(qū)．設(shè)，且；(1)求塑膠跑道的總長關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式；(2)當(dāng)為何值時，塑膠跑道的總長最長，并求出的最大值．【答案】(1)，(2)當(dāng)， 取得最大值10千米 【分析】（1）根據(jù)角度關(guān)系，由知，利用等腰三角形的性質(zhì)求得底邊長，從而得的表達式；（2）利用二倍角公式化簡函數(shù)式為關(guān)于的二次函數(shù)，結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)、正弦函數(shù)性質(zhì)得最小值．【詳解】（1）由已知得，，故，所以，；（2），所以當(dāng)，時，取得最大值10千米．22．如圖，過△ABC的重心任作一條直線，分別交邊，于點，（不含端點），若，，，，記△ADE，△ABC，△ADG，△CEG的面積分別為，，，，試探究：(1)的值；(2)用分別表示，，并且求出的最小值．【答案】(1)3(2) ；， 【分析】（1）設(shè)出基底，由， ，三點共線的基本性質(zhì)，利用共線向量的性質(zhì)列出等式，求出即可；（2）利用三角形重心的性質(zhì)，三角形面積比的基本模型即可表示出，，利用換元法及不等式的性質(zhì)求出最小值.【詳解】（1）設(shè)，，則向量， 由， ，三點共線，可設(shè)，則，即，整理得， 可得， 消去得，其中.（2）， 由為的重心，可得、、的面積相等，所以，，令，則， 當(dāng)且僅當(dāng)時，有最小值. 

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