2022-2023學(xué)年河南省洛陽市高一下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題 一、單選題1．復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于（    ）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】D【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算，化簡復(fù)數(shù)，即可根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義，得出答案.【詳解】因?yàn)?/span>，所以復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限.故選：D.2．已知直線，平面，若，則是的（    ）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【分析】判斷和之間的邏輯推理關(guān)系，即可得答案.【詳解】由題意可知，若，當(dāng)時(shí)，若，則可能平行，也可能相交；當(dāng)時(shí)，一定有成立，故是的必要不充分條件，故選：B3．2022年4月16日，神舟十三號(hào)三名航天員成功返回降落點(diǎn)，返回艙外形呈鐘形鈍頭體，若將其近似地看作圓臺(tái)，其高為2.5m，下底面圓的直徑為2.8m，上底面圓的直徑為1m，則估算其體積約為（    ）（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)圓臺(tái)的體積公式，即可求得答案.【詳解】由題意知圓臺(tái)高為2.5m，下底面圓的半徑為1.4m，上底面圓的半徑為0.5m，則估算其體積約為（），故選：B4．在棱長為1的正方體中， 分別為，的中點(diǎn)，過直線 的平面//平面 ，則平面截該正方體所得截面為（    ）A．三角形 B．五邊形 C．平行四邊形 D．等腰梯形【答案】D【分析】取的中點(diǎn)E，的中點(diǎn)F，連接，證明在同一平面內(nèi)，且四邊形為等腰梯形，證明平面平面，即可確定答案.【詳解】根據(jù)題意，取的中點(diǎn)E，的中點(diǎn)F，連接，則，所以，且,故在同一平面內(nèi)，連接，因?yàn)?/span>分別為的中點(diǎn)，所以，且，所以四邊形是平行四邊形，所以，又因?yàn)?/span>平面，平面，所以平面，同理平面，因?yàn)?/span>平面，所以平面平面，即平面截該正方體所得截面為梯形；又由梯形中， ，即平面截該正方體所得截面為等腰梯形,故選：D5．如圖，用斜二側(cè)畫法得到的直觀圖為等腰，其中，則的面積為（    ）A．1 B．2 C． D．【答案】C【分析】求出直觀圖面積，根據(jù)直觀圖面積和原圖面積之間的關(guān)系即可求得答案.【詳解】由于的直觀圖為等腰，其中，故,故,根據(jù)直觀圖面積和原圖面積之間的關(guān)系式,故，故選：C6．已知△ABC中，，則在上的投影向量為（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】由題意可知，且O是邊的中點(diǎn)，結(jié)合可得是等邊三角形，從而推出，利用投影向量的定義即可求得答案.【詳解】由,知，且O是邊的中點(diǎn)， 則,而，所以，所以是等邊三角形，所以,因此向量在向量上的投影向量為，故選：A7．如圖，平面四邊形ABCD中，，，，，，則（    ）A． B． C． D．2【答案】B【分析】法一：構(gòu)建以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB所在直線為x軸，垂直于AB的直線為y軸的直角坐標(biāo)系，應(yīng)用坐標(biāo)表示，結(jié)合平面向量基本定理求x、y即可求值；法二：過C作交AB的延長線于E，作交AD的延長線于F，利用向量加法的平行四邊形法則可得求x、y，進(jìn)而求值；法三：應(yīng)用轉(zhuǎn)化法，結(jié)合平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律、及已知條件構(gòu)建方程求x、y即可.【詳解】法一：以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB所在直線為x軸，垂直于AB的直線為y軸建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，由，，則且，又，，即，∴，由，有，解得，故.法二：如圖，過C作交AB的延長線于E，作交AD的延長線于F，∴.由，及，易知：B是線段AE的中點(diǎn)，于是.由，，得，易知，，∴，則，故，于是，又，∴，即.法三：設(shè)，由，，得，，由，得，又，則.又，，∴，于是，故.故選：B.8．如圖，已知圓錐的頂點(diǎn)為S，AB為底面圓的直徑，點(diǎn)M，C為底面圓周上的點(diǎn)，并將弧AB三等分，過AC作平面，使，設(shè)與SM交于點(diǎn)N，則的值為（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】連接交于點(diǎn)，連接，根據(jù)線面平行得性質(zhì)證明，再根據(jù)可得，進(jìn)而可得出答案.【詳解】連接交于點(diǎn)，連接，則平面即為平面，因?yàn)?/span>，平面，平面，所以，因?yàn)?/span>AB為底面圓的直徑，點(diǎn)M，C將弧AB三等分，所以，，所以且，所以，又，所以，所以.故選：C.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：根據(jù)線面平行得性質(zhì)及平行線分線段成比例定理得到是解決本題得關(guān)鍵. 二、多選題9．已知直線a，b，平面，則下列說法錯(cuò)誤的是（    ）A．，，則B．，，則C．a，b異面，且，，，，則D．，，則【答案】ABD【分析】以正方體為例，舉例即可說明A、B、D錯(cuò)誤；根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理以及面面平行的判定定理，即可得出C項(xiàng).【詳解】對于A項(xiàng)，如圖1，，平面，但是平面，故A錯(cuò)誤；對于B項(xiàng)，如圖1，平面，但是平面，但是，故B錯(cuò)誤；對于C項(xiàng)，如圖2，因?yàn)?/span>，根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理可知，過直線，，，且，有.因?yàn)?/span>，，所以.因?yàn)?/span>，，，，，所以，故C項(xiàng)正確；對于D項(xiàng)，如圖1，平面，平面，但是平面平面，故D項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：ABD.10．在中，內(nèi)角 所對的邊分別為，則下列說法正確的是（    ）A．若,則B．若的三角形有兩解，則a的取值范圍為C．若點(diǎn)O為內(nèi)一點(diǎn)，且，則D．若是銳角三角形，，則邊長c的取值范圍是【答案】AD【分析】根據(jù)正弦定理可判斷A；利用正弦定理解三角形可判斷B；根據(jù)向量的線性運(yùn)算結(jié)合三角形面積公式可判斷C；根據(jù)三角形為銳角三角形，利用余弦定理列出不等式，可判斷D.【詳解】由，可得，根據(jù)正弦定理得，即選項(xiàng)A正確；在中，，∴由正弦定理得,∵，∴，要使三角形有兩解，得到，且，,即，解得，故B錯(cuò)誤；如圖，取中點(diǎn)D，連接，則，∴，∴三點(diǎn)共線,所以，則，∴，故C錯(cuò)誤；對選項(xiàng)D，因?yàn)?/span>是銳角三角形，所以，整理可得，解得，故D正確，故選：AD11．一艘輪船航行到A處時(shí)看燈塔B在A的北偏東方向上，距離為12海里，燈塔C在A的北偏西30°方向上，距離為6海里，該輪船從A處沿正北方向繼續(xù)航行到D處時(shí)再看燈塔B在其南偏東方向上，下面結(jié)論正確的有（    ）A．海里 B．海里C．或 D．燈塔C在D的南偏西方向上【答案】ABD【分析】畫出示意圖，由題意確定相應(yīng)角大小、邊長度，利用正余弦定理求、，進(jìn)而判斷各項(xiàng)的正誤.【詳解】由題設(shè)，，，則，所以，則海里，A正確；所以海里，B正確；由，則，故，燈塔C在D的南偏西方向上，C錯(cuò)誤，D正確；故選：ABD12．根據(jù)《周髀算經(jīng)》記載，滿足勾股定理的正整數(shù)組（a，b，c）稱為勾股數(shù)組，任意一組勾股數(shù)組（a，b，c）都可以表示為如下的形式：，其中，，均為正整數(shù)，如圖，中，，三邊對應(yīng)的勾股數(shù)中，點(diǎn)M在線段EF上，且，則下列結(jié)論正確的是（    ） A． B．C． D．【答案】BD【分析】先通過勾股數(shù)確定三角形的邊長，再結(jié)合向量的數(shù)量積的定義及運(yùn)算律即可求解.【詳解】由題意可得，顯然，，所以在直角中，，若，則，即，此時(shí)，與矛盾，不符合題意；若，則，即， 此時(shí)，符合.綜上所述，，故A錯(cuò)誤，B正確；由，，，，，所以，所以，故C錯(cuò)誤；，故D正確.故選：BD. 三、填空題13．若與共線，則 ___．【答案】【分析】根據(jù)向量共線的坐標(biāo)表示，列式即可求得答案.【詳解】因?yàn)?/span>與共線，故，故答案為：14．若，則___．【答案】【分析】求出，利用復(fù)數(shù)的模長公式可求得.【詳解】，，因此.故答案為：.15．已知棱長為2的正方體內(nèi)含有一個(gè)可以旋轉(zhuǎn)的小正方體，則所含的小正方體的體積的最大值為___________.【答案】/【分析】根據(jù)題意可轉(zhuǎn)化為正方體內(nèi)切球的內(nèi)接正方體，利用直徑與體對角線的關(guān)系求解即可.【詳解】設(shè)棱長為2的正方體的內(nèi)切球的半徑為r， 則，解得.設(shè)所求的小正方體的棱長為a，則， 所以，所以小正方體體積的最大值為.故答案為:16．在△ABC中，點(diǎn)D是邊AC上一點(diǎn)，，則△ABC面積的最小值是___．【答案】/【分析】由已知求得、，應(yīng)用差角正弦公式求得，令，結(jié)合得到，注意范圍，最后利用三角形面積公式、二次函數(shù)性質(zhì)求△ABC面積的最小值.【詳解】由，則，且，又D是邊AC上一點(diǎn)，，則，所以，設(shè)，且，則，所以，則，故，而，所以，即時(shí)，△ABC面積的最小值為.故答案為： 四、解答題17．已知復(fù)數(shù)z與均為純虛數(shù)．(1)求z；(2)若是關(guān)于x的方程的一個(gè)根，求實(shí)數(shù)的值．【答案】(1)(2) 【分析】（1）設(shè)，化簡，根據(jù)其為純虛數(shù)可得，即可求得答案；（2）利用（1）的結(jié)論可得為方程的一個(gè)根，代入化簡結(jié)合復(fù)數(shù)相等，可列出方程組，求得答案.【詳解】（1）設(shè)，則由題意得，由為純虛數(shù)，得 解得 ，所以.（2）由（1）可知為方程的一個(gè)根，∴，整理得，∴，得.18．在①，②，③這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問題中，并解答問題．已知是的三個(gè)內(nèi)角的對邊，且___．(1)求B；(2)若，且的面積為，求．【答案】(1)(2) 【分析】（1）選①，由正弦定理角化邊，結(jié)合余弦定理即可求得答案；選②，由正弦定理邊化角，結(jié)合三角恒等變換即可求得答案；選③，由正弦定理邊化角，結(jié)合三角恒等變換以及同角的三角函數(shù)關(guān)系即可求得答案；（2）由三角形面積可求得，結(jié)合余弦定理即可求得答案.【詳解】（1）選①, ,∵，∴,由正弦定理，得，整理得，則，因?yàn)?/span>，所以.選②,,則，即，∵，∴ ，故，即.選③，，由正弦定理得，即，即，整理得，而，∴，即 因?yàn)?/span>，所以.（2）由,得,由余弦定理得，整理得，所以,結(jié)合，得.19．如圖所示，在三棱柱中， 分別是，，的中點(diǎn)，求證：(1)平面；(2)平面平面．【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析 【分析】（1）根據(jù)線面平行的判定定理即可證明結(jié)論；（2）先證明平面，再證明平面,根據(jù)面面平行的判定定理即可證明結(jié)論.【詳解】（1）證明：∵分別是的中點(diǎn)，∴,又在三棱柱中，，所以．又平面， 平面，所以平面.（2）證明：由（1）知，平面，平面，∴平面，又∵分別為中點(diǎn)， 故，,又∵，∴,∴四邊形為平行四邊形，∴,又∵平面，平面，∴平面,又∵平面,∴平面平面．20．已知平行四邊形中，E是的中點(diǎn)，F是邊上靠近點(diǎn)B的三等分點(diǎn)，與交于點(diǎn)M，，設(shè)，且．(1)用表示；(2)求．【答案】(1)(2) 【分析】（1）根據(jù)向量的線性運(yùn)算即可求得答案；（2）求得，,根據(jù)向量的夾角公式即可求得答案.【詳解】（1）由題意得，，故；（2）為向量和的夾角，且,而，所以,同理,， ,而，所以.21．已知a，b，c是△ABC的三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對邊，且．(1)求B；(2)若，求△ABC面積的最大值．【答案】(1)(2) 【分析】（1）應(yīng)用正弦邊角關(guān)系、三角形內(nèi)角性質(zhì)及和角正弦公式得，進(jìn)而求B的大?。?/span>（2）應(yīng)用余弦定理及基本不等式求得，注意等號(hào)成立條件，再應(yīng)用三角形面積公式求面積最值.【詳解】（1）由結(jié)合正弦定理可得，則，而，所以，而，故，所以，則，由，所以即.（2）由，則，僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以，即△ABC面積的最大值為.22．定義函數(shù)的“伴隨向量”為；向量的“伴隨函數(shù)”為．(1)寫出函數(shù)的“伴隨向量”，并求；(2)記向量的伴隨函數(shù)為，若當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．【答案】(1)，(2) 【分析】（1）先將函數(shù)化簡，再根據(jù)“伴隨向量”的定義即可得，再根據(jù)向量的模得坐標(biāo)公式即可得解；（2）先根據(jù)“伴隨函數(shù)”的定義求出，再分，，三種情況討論，利用分離參數(shù)法即可得解.【詳解】（1），所以函數(shù)的“伴隨向量”，所以；（2）因?yàn)橄蛄?/span>的伴隨函數(shù)為，所以，則不等式恒成立，即為恒成立，即為在上恒成立，由，得，當(dāng)，即時(shí)，，則不等式即為成立，此時(shí)；當(dāng)，即時(shí)，，則不等式等價(jià)于恒成立，此時(shí)，所以；當(dāng)，即時(shí)，，則不等式等價(jià)于恒成立，此時(shí)，所以，綜上所述實(shí)數(shù)k的取值范圍為.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：理解“伴隨向量”和“伴隨函數(shù)”的定義是解決本題的關(guān)鍵. 

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