2022-2023學(xué)年廣東省深圳實(shí)驗(yàn)學(xué)校光明部高一下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題 一、單選題1．是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)等于（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】直接利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡(jiǎn)得答案．【詳解】解：，故選：C．2．下列四個(gè)命題正確的是（    ）A．所有的幾何體的表面都能展成平面圖形 B．棱錐的側(cè)面的個(gè)數(shù)與底面的邊數(shù)相等C．棱柱的各條棱長(zhǎng)度都相等 D．棱柱中兩個(gè)互相平行的面一定是棱柱的底面【答案】B【分析】根據(jù)球的表面特征判斷A，根據(jù)棱錐的結(jié)構(gòu)特征判斷B，根據(jù)棱柱的結(jié)構(gòu)特征判斷CD.【詳解】對(duì)于A，球的表面不能展成平面圖形，錯(cuò)誤；對(duì)于B，棱錐的側(cè)面的個(gè)數(shù)與底面的邊數(shù)相等，正確；對(duì)于C，棱柱的各條側(cè)棱長(zhǎng)度都相等，但是側(cè)棱長(zhǎng)度與底面中的棱長(zhǎng)不一定相等，錯(cuò)誤；對(duì)于D，正六棱柱中，相對(duì)的兩個(gè)側(cè)面互相平行，但它們不是正六棱柱的底面，錯(cuò)誤；故選：B3．已知兩點(diǎn)，，則與向量同向的單位向量是（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】由平面向量的坐標(biāo)表示與單位向量的概念求解即可.【詳解】由，，得，則，所以與向量同向的單位向量為.故選：D4．在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c．已知，，，則角A為（    ）A． B． C．或 D．【答案】D【分析】由正弦定理求解.【詳解】由正弦定理，得，又，所以，所以為銳角，所以．故選：D．5．在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c．已知，，，則b的取值是（    ）A． B． C． D．3【答案】D【分析】由余弦定理列方程求解．【詳解】由題意，即，解得（舍去），故選：D．6．已知向量，滿足，，，則（   ）A．1 B． C． D．【答案】C【分析】結(jié)合已知條件，首先對(duì)兩邊同時(shí)平方求出，然后利用數(shù)量積夾角公式求解即可.【詳解】因?yàn)?/span>，，，所以，即，故.故選：C.7．若圓錐的軸截面為等腰直角三角形，則它的底面積與側(cè)面積之比是（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)題意作圖，由軸截面得出母線與底面圓半徑的等量關(guān)系，再利用底面積和側(cè)面積公式求解.【詳解】根據(jù)題意作圓錐的軸截面，如圖，設(shè)圓錐的底面圓半徑為，高為 ，母線長(zhǎng)為 .若圓錐的軸截面為等腰直角三角形，則有，所以.該圓錐的底面積與側(cè)面積比值為.故選：A.8．平面四邊形是邊長(zhǎng)為4的菱形，且．點(diǎn)N是DC邊上的點(diǎn)，滿足．點(diǎn)M是四邊形內(nèi)或邊界上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則的最大值為（    ）A．13 B．7 C．14 D．【答案】C【分析】當(dāng)在點(diǎn)時(shí)，在上的投影向量與同向，且長(zhǎng)度最長(zhǎng)，所以此時(shí)最大，由，，求可得答案.【詳解】如圖，由數(shù)量積的幾何意義：兩向量的數(shù)量積等于其中一個(gè)向量的模與另一個(gè)向量在這個(gè)向量的方向上的投影的乘積，及點(diǎn)M是四邊形內(nèi)或邊界上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則當(dāng)在點(diǎn)時(shí)，在上的投影向量與同向，且長(zhǎng)度最長(zhǎng)，所以此時(shí)最大，因?yàn)?/span>，又，所以，所以的最大值為.故選：C. 二、多選題9．已知i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)，則以下說(shuō)法正確的有（    ）A．復(fù)數(shù)的虛部為i B．C．復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù) D．復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第三象限【答案】BD【分析】由復(fù)數(shù)的定義判斷A，復(fù)數(shù)模的定義判斷B，共軛復(fù)數(shù)定義判斷C，復(fù)數(shù)的乘方與復(fù)數(shù)的幾何意義判斷D．【詳解】復(fù)數(shù)的虛部是，A錯(cuò)；，B正確；，C錯(cuò)；，對(duì)應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)為，在第三象限，D正確．故選：BD．10．下列四個(gè)命題正確的是（    ）A．若直線平行平面，則平面內(nèi)有無(wú)數(shù)條直線與平行B．過(guò)空間中任意三點(diǎn)有且僅有一個(gè)平面C．兩兩相交且不過(guò)同一點(diǎn)的三條直線必在同一平面內(nèi)D．若空間兩條直線不相交，則這兩條直線平行【答案】AC【分析】由線面平行的性質(zhì)定理判斷A，由平面的基本性質(zhì)判斷BC，由空間直線的位置關(guān)系判斷D．【詳解】選項(xiàng)A，若直線平行平面，則過(guò)直線的平面與的交線都與平行，這樣的交線有無(wú)數(shù)條，A正確；選項(xiàng)B，當(dāng)空間三點(diǎn)共線時(shí)，過(guò)這三點(diǎn)有無(wú)數(shù)個(gè)平面，B錯(cuò)；選項(xiàng)C，兩兩相交且不過(guò)同一點(diǎn)的三條直線，如圖，直線兩兩相交，交點(diǎn)分別為，則點(diǎn)不共線，因此由這不共線的三點(diǎn)確定一個(gè)平面，從而可得這三條直線都在平面內(nèi)，即它們共面，C正確；選項(xiàng)D，若空間兩條直線不相交，這兩條直線平行或異面，D錯(cuò)．故選：AC．11．在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c．已知，下列結(jié)論正確的是（    ）A．是鈍角三角形 B．C．若，則的面積是 D．【答案】ABC【分析】由余弦定理求得角大小，判斷A，根據(jù)數(shù)量積的定義判斷B，由三角形面積公式判斷C，結(jié)合正弦定理判斷D．【詳解】由題意，設(shè)，則角最大，，是三角形內(nèi)角，則是鈍角，A正確；由選項(xiàng)A知為銳角，，B正確；，則，，C正確；由正弦定理得，，D錯(cuò)誤；故選：ABC．12．已知向量，，則下列命題正確的是（    ）A．若，則B．若在上的投影向量的模為，則向量與的夾角為C．存在，使得D．的最大值為【答案】ACD【分析】若 ，可求得,即 ，從而可得的值，故A正確；若 在 上的投影模為 ，且 ，則 或 ，故 B 不正確；對(duì)化簡(jiǎn)運(yùn)算即可計(jì)算得當(dāng)向量與的夾角為時(shí)， ，故C正確；可得的最大值為 ，故D正確.【詳解】若 ，則 ，則 ，可知，再由，解得，故A正確；若 在 上的投影向量的模為 ，且 ，則 或，故 B 不正確；若 ，若 ，則 ，即 ，故 且時(shí)故，時(shí)，C正確； ，因?yàn)? ，則當(dāng) 時(shí)， 的最大值為 ，故 D 正確，故選: ACD.【點(diǎn)睛】本題主要考查平面向量的數(shù)量積的計(jì)算和應(yīng)用，考查數(shù)量積的運(yùn)算律，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解與掌握水平，屬于較難題. 三、填空題13．已知一個(gè)球的半徑為R，其體積的數(shù)值和表面積的數(shù)值滿足關(guān)系，則半徑______．【答案】【分析】利用球的表面積公式和體積公式即可求解【詳解】因?yàn)?/span>，所以，解得，故答案為：14．已知中，，，，是的角平分線，則________．【答案】/【分析】由余弦定理結(jié)合角平分線性質(zhì)求解．【詳解】設(shè)，因?yàn)?/span>是角平分線，則，又由已知得，同理，∴，解得．故答案為：．15．已知是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)，．若復(fù)平面內(nèi)表示的點(diǎn)位于第二象限，實(shí)數(shù)的取值范圍為________．【答案】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義求復(fù)數(shù)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)，由條件列不等式求的取值范圍.【詳解】因?yàn)?/span>，所以復(fù)數(shù)在復(fù)平面上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為，由已知可得，，由可得，由可得或，所以，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為，故答案為：.16．如圖，已知O為平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)，，，．若，則點(diǎn)D的坐標(biāo)為________．【答案】【分析】利用向量的坐標(biāo)表示求解．【詳解】如圖，延長(zhǎng)交軸于，由已知，，，由題意，，，又，所以，，所以點(diǎn)坐標(biāo)為．故答案為：． 四、解答題17．已知i是虛數(shù)單位，，．(1)求；(2)若滿足，求實(shí)數(shù)a，b的值【答案】(1)；(2)，． 【分析】（1）由復(fù)數(shù)的乘法法則計(jì)算；（2）根據(jù)復(fù)數(shù)相等的定義求解．【詳解】（1）由題意；（2）由已知，，又，∴，解得．18．已知向量，．(1)若，求k的值；(2)若，求k的值．【答案】(1)；(2)． 【分析】（1）由向量平行的坐標(biāo)表示求解；（2）由向量垂直的坐標(biāo)表示求解．【詳解】（1）由已知，，∵，∴，解得；（2），∵，∴，解得．19．在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c．已知．(1)求角C；(2)若，求的周長(zhǎng)的最大值．【答案】(1)；(2)． 【分析】（1）由正弦定理化角為邊，由余弦定理求得；（2）由正弦定理用表示出，計(jì)算，利用兩角和與差的正弦公式化簡(jiǎn)變形，再由正弦函數(shù)性質(zhì)得最大值．【詳解】（1）因?yàn)?/span>，由正弦定理得，即，所以，是三角形內(nèi)角，則；（2）由（1），則，由正弦定理得，，，，，則，，所以．時(shí)，取得最大值．20．為了幫助山區(qū)群眾打開脫貧致富的大門，某地計(jì)劃沿直線AC開通一條穿山隧道．如圖所示，A，B，C為山腳兩側(cè)共線的三點(diǎn)，在山頂P處測(cè)得三點(diǎn)的俯角分別為，，，且測(cè)得，，.用以上數(shù)據(jù)（或部分?jǐn)?shù)據(jù)）表示以下結(jié)果.(1)求出線段PB的長(zhǎng)度；(2)求出隧道DE的長(zhǎng)度．【答案】(1)(2) 【分析】（1）由條件求出角，在中由正弦定理即可得結(jié)果；（2）在中由正弦定理求出，從而求解得.【詳解】（1）由題意，，，所以，，又，，在中，由正弦定理得，即，解得；（2）因?yàn)?/span>，，所以，，又由（1）知，，在中，由正弦定理得，所以，即，所以.21．如圖，在四邊形中，，．(1)若，，求；(2)若，，，求．【答案】(1)2(2) 【分析】（1）用表示出，然后由數(shù)量積的運(yùn)算律及定義計(jì)算；（2）先求得，然后平方后轉(zhuǎn)化為數(shù)量積求模．【詳解】（1）由題意，∴；（2）由已知，，∴．22．在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c．已知．(1)求角A；(2)若為銳角三角形，求的取值范圍．【答案】(1)；(2)． 【分析】（1）由正弦定理、余弦定理化角為邊后，再由余弦定理可求得；（2）由正弦定理化角為邊，代入（1）中結(jié)論化簡(jiǎn)后，得出，由銳角三角形得，化簡(jiǎn)后可得的取值范圍，然后利用函數(shù)的單調(diào)性的范圍，從而得出結(jié)論．【詳解】（1）∵由正弦定理和余弦定理得,整理得，，又是三角形內(nèi)角，∴；（2）為銳角三角形，則，，∴，又，，，，則，，設(shè)，，則，則，因此當(dāng)時(shí)，，，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，，，單調(diào)遞增，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)或時(shí)，，∴，∴，即． 

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