2022-2023學(xué)年廣東省肇慶市肇慶鼎湖中學(xué)高一下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題 一、單選題1．函數(shù)的最小正周期、振幅分別是（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】直接利用正弦型函數(shù)的性質(zhì)求解即可.【詳解】函數(shù)的解析式為，所以有振幅，最小正周期.故選：D.2．已知向量，，則（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】將坐標(biāo)代入中計(jì)算結(jié)果.【詳解】解：因?yàn)?/span>，，所以.故選：A3．（     ）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用兩角差的正弦公式并結(jié)合特殊角的三角函數(shù)值可得出結(jié)果．【詳解】由兩角差的正弦公式得，故選C．【點(diǎn)睛】本題考查兩角差的正弦公式求值，要熟悉兩角和與差的正、余弦公式的結(jié)構(gòu)，根據(jù)代數(shù)式的結(jié)構(gòu)選擇合適的公式進(jìn)行計(jì)算，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題．4．已知，則（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】由二倍角的正切公式即可求得的值.【詳解】由，可得則故選：B5．已知，，，向量在方向上的投影是（    ）A．12 B．4 C．－8 D．2【答案】B【分析】根據(jù)題意，結(jié)合向量投影公式直接計(jì)算即可.【詳解】記向量與的夾角為，所以在方向上的投影為.故選：B.6．若，，為平面直角坐標(biāo)系的三點(diǎn)，且A，B，C三點(diǎn)共線，則（    ）A． B．4 C． D．6【答案】B【分析】根據(jù)給定條件，求出的坐標(biāo)，再利用向量共線的坐標(biāo)表示求解作答.【詳解】依題意，，因?yàn)?/span>A，B，C三點(diǎn)共線，則，因此，解得，所以.故選：B7．在中，D為的中點(diǎn)，E為邊上的點(diǎn)，且，則（    ）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)平面向量的線性運(yùn)算結(jié)合圖形即可得解.【詳解】由E為邊上的點(diǎn)，且，得.故選：C8．設(shè)，，，則有（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用輔助角公式化簡(jiǎn)，利用倍角公式化簡(jiǎn)，利用正弦函數(shù)的單調(diào)性比較大小.【詳解】，，.因?yàn)楹瘮?shù)在上是增函數(shù)，所以.故選：C. 二、多選題9．為了得到函數(shù)的圖象，只要把函數(shù)圖象上所有的點(diǎn)（　?。?/span>A．向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再將橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?/span>2倍B．向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再將橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?/span>倍C．橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?/span>倍，再向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度D．橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?/span>倍，再向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度【答案】BC【解析】由題意利用三角函數(shù)的圖象變換規(guī)律，得出結(jié)論．【詳解】要得到函數(shù)的圖象，可將y＝cosx的圖象上所有點(diǎn)向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，然后將所得圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?/span>，縱坐標(biāo)不變而得到．也可將y＝cosx的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?/span>，縱坐標(biāo)不變，然后將所得圖象上所有點(diǎn)向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度而得．故選：BC．【點(diǎn)睛】易錯(cuò)點(diǎn)：y＝Acos(ωx+φ)(ω>0)的圖像是由y＝Acos(ωx)(ω>0）向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度而得的,而不是向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度.10．《易經(jīng)》是闡述天地世間關(guān)于萬象變化的古老經(jīng)典，其中八卦深邃的哲理解釋了自然、社會(huì)現(xiàn)象.如圖1所示的是八卦模型圖，其平面圖形圖中的正八邊形ABCDEFGH，其中O為正八邊形的中心，則下列說法正確的是（    ）A． B．C． D．和能構(gòu)成一組基底【答案】BCD【分析】根據(jù)正八邊形的幾何特點(diǎn)，結(jié)合向量線性運(yùn)算和平行關(guān)系的判斷，對(duì)每個(gè)選項(xiàng)逐一分析，即可判斷和選擇.【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，，A選項(xiàng)錯(cuò)誤.對(duì)于B選項(xiàng)，，B選項(xiàng)正確.對(duì)于C選項(xiàng)，由于八邊形ABCDEFGH為正八邊形，故，且，故，所以選項(xiàng)C正確.對(duì)于D選項(xiàng)，由于和不共線，故和能構(gòu)成一組基底，所以D正確.故選：BCD.11．已知函數(shù)，且，則（    ）A．B．的圖象關(guān)于直線對(duì)稱C．若，則是的整數(shù)倍D．在上不單調(diào)【答案】AD【分析】對(duì)于A，令即可判斷；對(duì)于B，可先由求出的值，再令求出對(duì)稱軸方程即可判斷；對(duì)于C，可根據(jù)分別求出和的值即可判斷；對(duì)于D，直接求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可判斷.【詳解】對(duì)于A，令可得，即，所以A選項(xiàng)正確；對(duì)于B，因?yàn)?/span>，所以，即，解得，又因?yàn)?/span>，所以，所以.令，解得，所以的圖象的對(duì)稱軸方程為，可知B選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于C，根據(jù)解得，同理可得，又因?yàn)?/span>所以，所以，因?yàn)?/span>且，可知是的整數(shù)倍，所以C選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于D，令，解得，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，令，解得，所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，可得函數(shù)在上不單調(diào)，所以D選項(xiàng)正確.故選：AD.12．已知是的邊上的一點(diǎn)（不包含頂點(diǎn)），且，則（    ）A． B．C． D．【答案】AD【分析】利用平面向量的線性運(yùn)算，結(jié)合基本不等式，驗(yàn)證各選項(xiàng)的結(jié)果.【詳解】是的邊上的一點(diǎn)（不包含頂點(diǎn)），則有，得，即，又，∴，可得，，，，，所以A選項(xiàng)正確，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；，D選項(xiàng)正確.故選：AD 三、填空題13．已知,則________.【答案】【分析】由向量的坐標(biāo)求向量模的公式即可求解.【詳解】由，則.故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查求向量模的公式，屬于基礎(chǔ)題.14．設(shè)與是兩個(gè)相等向量，則_________【答案】【分析】利用向量的運(yùn)算即得.【詳解】因?yàn)?/span>與是兩個(gè)相等向量，所以.故答案為：.15．已知為銳角，角的終邊經(jīng)過點(diǎn)，，則________.【答案】3【解析】由角的終邊經(jīng)過點(diǎn)，不妨設(shè)為銳角，可得，，結(jié)三角函數(shù)值可得，則由可得，再由兩角差的正切公式可求出的值【詳解】因?yàn)榻?/span>的終邊過點(diǎn)，不妨設(shè)為銳角，則，.因?yàn)?/span>，又因?yàn)?/span>為銳角，所以，所以.所以.故答案為：316．已知，函數(shù)在上單調(diào)遞增，則的取值范圍是____【答案】【分析】因?yàn)楹瘮?shù)為奇函數(shù)，在上單調(diào)遞增，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，故再結(jié)合周期表達(dá)式即可得出的取值范圍.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)為奇函數(shù)，在上單調(diào)遞增，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，故，T，即 又所以.故答案為【點(diǎn)睛】本題考查了正弦型函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合奇偶性，單調(diào)性可得出函數(shù)周期的情況，熟練掌握三角函數(shù)圖象及性質(zhì)是關(guān)鍵. 四、解答題17．證明：【答案】證明見解析【分析】根據(jù)二倍角公式以及同角三角函數(shù)之間的基本關(guān)系即可得出證明.【詳解】證明：由二倍角公式以及可得，得證．18．已知菱形的邊長(zhǎng)為2，(1)化簡(jiǎn)向量；(2)求向量的模.【答案】(1)(2)2 【分析】（1）根據(jù)平面向量的線性運(yùn)算求解即可；（2）根據(jù)平面向量的平行四邊形法則與三角形法則化簡(jiǎn)求解即可【詳解】（1）（2）由向量的平行四邊形法則與三角形法則，19．已知，，與的夾角為．滿足下列條件時(shí)，分別求與的數(shù)量積．(1)與的夾角為30°時(shí)；(2)；(3)．【答案】(1)(2)(3)0 【分析】（1）（2）（3）均利用數(shù)量積公式計(jì)算即可.【詳解】（1）由已知及數(shù)量積公式可得：若與的夾角為30°時(shí)，（2）由已知及數(shù)量積公式可得：若∥時(shí)，若兩向量同向，則其夾角為0°，此時(shí)，；若兩向量反向，則其夾角為180°，此時(shí).（3）由已知及數(shù)量積公式可得：若時(shí)，則其夾角為90°時(shí)，20．已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，其中的圖像與x軸的一個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)．(1)求這個(gè)函數(shù)的解析式；(2)求函數(shù)在區(qū)間上的最大值和最小值．【答案】(1)(2)最大值是，最小值是 【分析】（1）根據(jù)函數(shù)圖象可得及周期，即可求出，再利用待定系數(shù)法求出即可；（2）根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)由整體代換法求解.【詳解】（1）由圖知，，∴，∴，，則，又，∴，∴；（2）時(shí)，，，∴在區(qū)間上的最大值是，最小值是．21．已知向量，，函數(shù)，的最小正周期為．(1)求的解析式；(2)方程在上有且只有一個(gè)解，求實(shí)數(shù)n的取值范圍．【答案】(1)(2)或 【分析】（1）利用向量的數(shù)量積運(yùn)算得到，再根據(jù)周期求出即可；（2）將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)與在的圖象只有1個(gè)交點(diǎn)求解.【詳解】（1）解：，，∵的最小正周期為，∴，∴，則.（2）因?yàn)榉匠?/span>與在上有且僅有1個(gè)解，所以函數(shù)與在的圖象只有1個(gè)交點(diǎn)，∵，∴， 當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，∵，，，若要使與只有1個(gè)交點(diǎn)，則或，解得或．22．某游樂場(chǎng)的摩天輪示意圖如圖．已知該摩天輪的半徑為30米，輪上最低點(diǎn)與地面的距離為2米，沿逆時(shí)針方向勻速旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)一周所需時(shí)間為分鐘．在圓周上均勻分布12個(gè)座艙，標(biāo)號(hào)分別為（可視為點(diǎn)），現(xiàn)從圖示位置，即1號(hào)座艙位于圓周最右端時(shí)開始計(jì)時(shí)，旋轉(zhuǎn)時(shí)間為分鐘．(1)當(dāng)時(shí)，求1號(hào)座艙與地面的距離；(2)記1號(hào)座艙與5號(hào)座艙高度之差的絕對(duì)值為米，若在這段時(shí)間內(nèi)，恰有三次取得最大值，求的取值范圍．【答案】(1)(2) 【分析】（1）根據(jù)題意得到函數(shù)解析式為，代入數(shù)據(jù)計(jì)算得到答案.（2），，得到，解得，，，得到答案.【詳解】（1）設(shè)座艙與地面的距離與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系的解析式為，，，，則，，，依題意，，當(dāng)時(shí)，，，取，，，當(dāng)時(shí)，1號(hào)艙與地面的距離為；（2）依題意，，，令，，解得，，當(dāng)，時(shí)，取得最大值，故，即，即的取值范圍是． 

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