2022-2023學(xué)年廣東省汕頭市潮陽區(qū)河溪中學(xué)高一下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題 一、單選題1．若集合，，則（    ）A． B．C． D．【答案】B【解析】首先求出集合，再根據(jù)交集的定義計(jì)算可得；【詳解】解：因?yàn)?/span>，所以因?yàn)?/span>所以故選：B2．設(shè)復(fù)數(shù) （其中為虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù) 在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于（　　）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】A【詳解】試題分析：，對應(yīng)的點(diǎn)為，在第一象限，故答案為A.【解析】復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算及幾何意義.3．如圖，在中，是的中點(diǎn)，若，則實(shí)數(shù)的值是A． B．1 C． D．【答案】C【分析】以 作為基底表示出，利用平面向量基本定理，即可求出．【詳解】∵分別是的中點(diǎn)，∴.又，∴.故選C.【點(diǎn)睛】本題主要考查平面向量基本定理以及向量的線性運(yùn)算，意在考查學(xué)生的邏輯推理能力．4．已知向量滿足，，，則（　　）A．1 B． C． D．【答案】D【分析】對平方后求出，再對平方，即可求解.【詳解】因?yàn)橄蛄?/span>滿足，，，所以，解得：.所以，所以.故選：D5．已知，則＝（    ）A．3 B．﹣3 C． D．【答案】D【分析】用誘導(dǎo)公式化簡已知得，求值式用余弦二倍角變形后代入已知式可求值．【詳解】∵，∴，即，∴．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查誘導(dǎo)公式和二倍角的余弦公式，注意在用二倍角余弦公式時(shí)要選用齊次的式子，即，這樣可用處理齊次式的方法化簡求值．6．在中，內(nèi)角的對邊分別為．若的面積為，且，，則外接圓的面積為（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】由條件結(jié)合面積公式與余弦定理可得，即，再根據(jù)正弦定理可得外接圓的半徑，從而得到外接圓的面積.【詳解】在中，由余弦定理得，既有，又由面積公式，得，又，故，所以．因?yàn)?/span>，所以，又由正弦定理，其中為外接圓的半徑，由及，得 ，所以外接圓的面積故選：D7．設(shè)是平面內(nèi)所有向量的一組基底，則下面四組向量中，不能作為基底的是（    ）A．和 B．和C．和 D．和【答案】C【分析】根據(jù)不共線的兩向量可作為平面的基底，判斷每個(gè)選項(xiàng)中的兩向量是否具有倍數(shù)關(guān)系，從而判斷兩向量是否共線，即可判斷出答案.【詳解】由于是平面內(nèi)所有向量的一組基底，故不共線，對于A， 和沒有倍數(shù)關(guān)系，故二者不共線，可作為作為平面的一組基底；對于B，和沒有倍數(shù)關(guān)系，故二者不共線，可作為作為平面的一組基底；對于C，因?yàn)?/span>，即和共線，不能作為基底；對于D，，故和沒有倍數(shù)關(guān)系，故二者不共線，可作為平面的一組基底；故選：C8．在四邊形中，，，，則四邊形的形狀是（    ）A．梯形 B．菱形C．平行四邊形 D．矩形【答案】A【分析】利用向量的運(yùn)算得到，即可得到答案.【詳解】因?yàn)?/span>，，，所以.所以.所以且，所以四邊形為梯形..故選：A 二、多選題9．下面是關(guān)于復(fù)數(shù)的四個(gè)命題，其中真命題為（    ）A． B．C．的虛部為-1 D．的共軛復(fù)數(shù)為【答案】AC【分析】利用復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算即可求解.【詳解】，所以，故A正確；，故B錯(cuò)誤；的虛部為-1，故C正確；的共軛復(fù)數(shù)為，故D錯(cuò)誤.故選：AC10．下面說法正確的是（      ）A．多面體至少有四個(gè)面 B．平行六面體六個(gè)面都是平行四邊形C．棱臺的側(cè)面都是梯形 D．長方體、正方體都是正四棱柱【答案】ABC【分析】對于A：由多面體的定義即可判斷；對于B：由平行六面體的定義即可判斷；對于C：由棱臺的定義即可判斷；對于D：舉反例：底面不是正方形的長方體可以否定命題.【詳解】對于A：最簡單的多面體是三棱錐，有4個(gè)面，所以多面體的面數(shù)大于等于4，所以“多面體至少有四個(gè)面”正確.故A正確；對于B：由平行六面體的定義可知：平行六面體六個(gè)面都是平行四邊形.故B正確；對于C：由棱臺的定義可知：棱臺的側(cè)面都是梯形.故C正確；對于D：按照正四棱柱的定義，底面必須是正方形，所以底面不是正方形的長方體就不是正四棱柱.故D錯(cuò)誤.故選：ABC11．若非零實(shí)數(shù)滿足，則下列不等式不一定成立的是（   ）A． B． C． D．【答案】ABD【分析】通過代特殊值，或是根據(jù)做差法，判斷選項(xiàng).【詳解】A.當(dāng)時(shí)，不等式不成立，故A正確；B.當(dāng)時(shí)，不成立，故B正確；C.因?yàn)?/span>是非零實(shí)數(shù)，且滿足，所以一定成立，故C錯(cuò)誤；D.，因?yàn)?/span>，所以，但可能是正數(shù)，負(fù)數(shù)，或零，所以不一定成立，故D正確.故選：ABD12．具有性質(zhì)：的函數(shù)，我們稱為滿足“倒負(fù)”變換的函數(shù)，下列函數(shù)中滿足“倒負(fù)”變換的函數(shù)是（    ）A． B． C． D．【答案】BD【分析】對各選項(xiàng)中的函數(shù)逐個(gè)檢驗(yàn)后可得正確的選項(xiàng).【詳解】對于A選項(xiàng)，x＝0在定義域內(nèi)，不滿足“倒負(fù)”變換；對于B選項(xiàng)，，滿足“倒負(fù)”變換；對于C選項(xiàng)，，，不滿足“倒負(fù)”變換；對于D選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)；當(dāng)x＝1時(shí)，，此時(shí)；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，滿足“倒負(fù)”變換．故選：BD. 三、填空題13．已知向量，若，則________.【答案】.【分析】先利用向量平行求出，進(jìn)而求出.【詳解】因?yàn)橄蛄?/span>，且，所以，解得：.所以，所以.故答案為：.14．已知函數(shù)，若，則__________．【答案】或或【分析】分兩種情況，化簡，可得答案.【詳解】若或，得或；若.綜上，或或.故答案為：或或15．中，角 的對邊分別是，已知，則 _______.【答案】【分析】化簡已知等式可得sinC＝1，又a＝b，由余弦定理可得：cosC＝sinC，利用兩角差的正弦函數(shù)公式可求sin（C）＝0，結(jié)合范圍C∈（，），可求C的值．【詳解】∵c2＝2b2（1﹣sinC），∴可得：sinC＝1，又∵a＝b，由余弦定理可得：cosC1sinC，∴sinC﹣cosC＝0，可得：sin（C）＝0，∵C∈（0，π），可得：C∈（，），∴C0，可得：C．故答案為【點(diǎn)睛】本題主要考查了余弦定理，兩角差的正弦函數(shù)公式，正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)在解三角形中的應(yīng)用，考查了轉(zhuǎn)化思想和數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．16．設(shè)函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，它的周期為，則下列說法正確的是________（填寫序號）①的圖象過點(diǎn)；②在上單調(diào)遞減；③的一個(gè)對稱中心是；④將的圖象向右平移個(gè)單位長度得到函數(shù)的圖象.【答案】③【分析】先根據(jù)對稱軸及最小正周期，求得函數(shù)的解析式.再結(jié)合正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，判斷點(diǎn)是否在函數(shù)圖象上，求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及對稱中心判斷選項(xiàng)，由平移變換求得變化后的解析式并對比即可.【詳解】函數(shù)的最小正周期是，所以，則，又圖象關(guān)于直線對稱，所以對稱軸為，代入可得，解得，因?yàn)?/span>，所以當(dāng)時(shí)， ，則，對于①，當(dāng)時(shí)，，的圖象不過點(diǎn)，所以①不正確；對于②，的單調(diào)遞減區(qū)間為，解得，當(dāng)時(shí)，，又因?yàn)?/span>，則在上不是減函數(shù)，所以②錯(cuò)誤；對于③，的對稱中心為，解得，當(dāng)時(shí)，，所以是的一個(gè)對稱中心，所以③正確；對于④，將向右平移個(gè)單位長度，可得，所以不能得到的圖象，所以④錯(cuò)誤.綜上可知，正確的為③.故答案為: ③.【點(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)解析式的求法，正弦函數(shù)的圖像與性質(zhì)的綜合應(yīng)用，屬于中檔題. 四、解答題17．已知向量．（Ⅰ）若，求的值；（Ⅱ）若，求向量與夾角的大?。?/span>【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）．【分析】（Ⅰ）首先求出的坐標(biāo)，再根據(jù)，可得，即可求出，再根據(jù)向量模的坐標(biāo)表示計(jì)算可得；（Ⅱ）首先求出的坐標(biāo)，再根據(jù)計(jì)算可得；【詳解】解：（Ⅰ）因?yàn)?/span>，所以，由，可得，即，解得，即，所以；（Ⅱ）依題意，可得，即，所以，因?yàn)?/span>，所以與的夾角大小是．18．在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，，.(1)若A，B，C三點(diǎn)共線，且，求角的值；(2)若，求的值.【答案】(1)(2) 【分析】（1）利用向量共線得到，弦化切求出；（2）由求出，利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式即可求得.【詳解】（1）因?yàn)辄c(diǎn)，，，所以.因?yàn)?/span>A，B，C三點(diǎn)共線，所以.因?yàn)?/span>，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)不成立；當(dāng)時(shí)，由可得：，所以.（2）因?yàn)辄c(diǎn)，，所以因?yàn)?/span>，，所以，所以，            ，，原式.19．已知，，．（1）求的最小正周期及單調(diào)遞減區(qū)間；（2）求函數(shù)在區(qū)間上的最大值和最小值．【答案】（1）最小正周期為，單調(diào)減區(qū)間為；（2）最大值為3，最小值為0．【分析】（1）利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算化簡，再利用整體的思想.（2）根據(jù)（1）的結(jié)果及的范圍求出的范圍，從而計(jì)算出函數(shù)的最值.【詳解】解：，，由，的最小正周期，由，得：，的單調(diào)遞減區(qū)間為，；由可得：當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最小值為當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最大值為故得函數(shù)在區(qū)間上的最大值為3，最小值為0．20．在①②③三個(gè)條件中選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的橫線處，然后解答問題．在中，角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，設(shè)的面積為S，已知________．（1）求角C的值；（2）若，點(diǎn)D在邊上，為的平分線，的面積為，求邊長a的值．【答案】（1）；（2）【分析】（1）選①，可由余弦定理得，進(jìn)而可得；     選②，由面積公式和余弦定理可得，進(jìn)而可得；選③，可得，進(jìn)而可得.（2）設(shè)，由，，聯(lián)立可求得.【詳解】（1）選①，由余弦定理得，整理得，所以，又，故.選②，因?yàn)?/span>，，故，可得，又，故.選③，可得，所以，又，所以，故.（2）在中，因?yàn)?/span>是的平分線，且，設(shè)，所以，又，聯(lián)立以上兩式得：，又，解得.21．為了響應(yīng)國家節(jié)能減排的號召，2022年某企業(yè)計(jì)劃引進(jìn)新能源汽車生產(chǎn)設(shè)備．通過市場分析：全年需投入固定成本2500萬元，每生產(chǎn)x（百輛）新能源汽車，需另投入成本萬元，且.由市場調(diào)研知，每輛車售價(jià)9萬元，且生產(chǎn)的車輛當(dāng)年能全部銷售完．(1)請寫出2022年的利潤（萬元）關(guān)于年產(chǎn)量x（百輛）的函數(shù)關(guān)系式；（利潤＝售價(jià)－成本）(2)當(dāng)2022年的總產(chǎn)量為多少百輛時(shí)，企業(yè)所獲利潤最大？并求出最大利潤．【答案】(1)；(2)2022年生產(chǎn)80百輛時(shí)，該企業(yè)獲得利潤最大，且最大利潤為3640萬元． 【分析】（1）根據(jù)給定條件，分段求出的表達(dá)式即可作答.（2）利用（1）的結(jié)論，結(jié)合二次函數(shù)、均值不等式分段求出最大值，再比較作答.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以.（2）當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取“”，顯然，所以，當(dāng)，即2022年生產(chǎn)80百輛時(shí)，該企業(yè)獲得利潤最大，且最大利潤為3640萬元．22．已知函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)．(1)用定義法證明為增函數(shù)；(2)對任意，都有恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．【答案】(1)證明見解析(2) 【分析】（1）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義及指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與值域即可證明；（2）由已知條件，利用函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性，可得對恒成立，然后分離參數(shù)，利用基本不等式求出最值即可得答案.【詳解】（1）證明：設(shè)，則，由，可得，即，又，，所以，即，則在上為增函數(shù)；（2）解：因?yàn)槿我?/span>，都有恒成立，且函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，所以對恒成立，又由（1）知函數(shù)在上為增函數(shù)，所以對恒成立，由，有，所以對恒成立，設(shè)，由在遞減，可得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得等號，所以，即的取值范圍是. 

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