2023屆廣東省深圳市深圳實(shí)驗(yàn)學(xué)校光明部高三上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題 一、單選題1．已知集合，，則（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)幾何的交運(yùn)算運(yùn)算即可求解.【詳解】由題意可知：，故選:C2．若，則=（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)共軛復(fù)數(shù)和復(fù)數(shù)的模即可求解.【詳解】，，，所以.故選：B3．在正四棱柱中，，則異面直線與所成角的余弦值為（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】建系，寫(xiě)出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)向量求解.【詳解】如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，則，，則，所以，異面直線與所成角的余弦值為.故選：C.4．“數(shù)列為等差數(shù)列”是“數(shù)列為等比數(shù)列”的（    ）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【分析】根據(jù)兩個(gè)條件之間的推出關(guān)系可得正確的選項(xiàng).【詳解】取，則，故為等差數(shù)列，但，，，不為等比數(shù)列，故數(shù)列不是等比數(shù)列，故“數(shù)列為等差數(shù)列”推不出“數(shù)列為等比數(shù)列”，若數(shù)列為等比數(shù)列，故，其中，故，故，故數(shù)列為等差數(shù)列，故“數(shù)列為等比數(shù)列”可推出“數(shù)列為等差數(shù)列”，故“數(shù)列為等差數(shù)列”是“數(shù)列為等比數(shù)列”的必要不充分條件，故選：B.5．已知向量．若不超過(guò)5，則k的取值范圍是（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】結(jié)合向量的坐標(biāo)運(yùn)算解不等式即可求解.【詳解】因?yàn)?/span>，所以，，即，解得.故選：A6．如圖，圓內(nèi)接四邊形中，，現(xiàn)將該四邊形沿旋轉(zhuǎn)一周，則旋轉(zhuǎn)形成的幾何體的體積為（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】過(guò)點(diǎn)C作交延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，由此可得旋轉(zhuǎn)形成的幾何體為圓臺(tái)挖去一個(gè)以圓臺(tái)上底面為底面的圓錐，根據(jù)體積公式即可求得答案.【詳解】圓內(nèi)接四邊形中，，所以 ，過(guò)點(diǎn)C作交延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，所以四邊形是直角梯形，，故 是等腰直角三角形；所以四邊形沿旋轉(zhuǎn)一周，得到的旋轉(zhuǎn)體是圓錐與圓臺(tái)的組合體，即圓臺(tái)挖去一個(gè)以圓臺(tái)上底面為底面的圓錐， , ，所以旋轉(zhuǎn)體的體積 ．故選︰D．7．質(zhì)數(shù)也叫素?cái)?shù)，17世紀(jì)法國(guó)數(shù)學(xué)家馬林-梅森曾對(duì)“”（p是素?cái)?shù)）型素?cái)?shù)進(jìn)行過(guò)較系統(tǒng)而深入的研究，因此數(shù)學(xué)界將“”（p是素?cái)?shù)）形式的素?cái)?shù)稱(chēng)為梅森素?cái)?shù)．已知第12個(gè)梅森素?cái)?shù)為，第14個(gè)梅森素?cái)?shù)為，則下列各數(shù)中與最接近的數(shù)為（    ）參考數(shù)據(jù)：A． B． C． D．【答案】C【分析】近似化簡(jiǎn)，結(jié)合對(duì)數(shù)運(yùn)算求得正確答案.【詳解】，令，兩邊同時(shí)取常用對(duì)數(shù)得，∴，∴，結(jié)合選項(xiàng)知與最接近的數(shù)為.故選：C.8．定義在上的偶函數(shù)滿足,當(dāng)時(shí),,則（    ）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)偶函數(shù)和,判斷出周期,根據(jù)的解析式判斷出單調(diào)性,將根據(jù)奇偶性,周期性,對(duì)稱(chēng)性,轉(zhuǎn)化至同一單調(diào)區(qū)間,判斷的大小即可判斷函數(shù)值的大小比較,不好判斷時(shí)可利用放縮或構(gòu)造函數(shù)進(jìn)行大小判斷.【詳解】解:由題知為偶函數(shù),,①,將代換為可得:②①-②可得,,周期為4,,,,,時(shí)單調(diào)遞增,由以上可知:;,,將代入上式,則有,,,,將代入上式,則有,,,若比較的大小,只需比較的大小,,只需要比較的大小,兩式相減可得:,記,,,單調(diào)遞增,則,即,故,時(shí)單調(diào)遞增,,,.故選:C【點(diǎn)睛】(1)若,則周期為,若滿足,周期均為,為非零常數(shù);(2)常用的放縮有:;當(dāng)時(shí)取等;,當(dāng)時(shí)取等,在大題中應(yīng)用時(shí)需進(jìn)行證明,做差求導(dǎo)求最值即可證明. 二、多選題9．己知數(shù)列滿足，則下列結(jié)論中確的是（   ）A． B．為等比數(shù)列C． D．【答案】ACD【分析】利用遞推式可求得的值，可判斷A，B;將變?yōu)?/span>，利用等比數(shù)列的求和公式，求得結(jié)果，判斷C; 將變?yōu)?/span>，利用等比數(shù)列的求和公式，求得結(jié)果，判斷D;【詳解】，則 ，又 ，同理 ，故A正確；而 ，故不是等比數(shù)列，B錯(cuò)誤； ，故C正確；，故D正確.故選：ACD10．已知函數(shù)的部分圖象如圖（1）所示，函數(shù)的部分圖象如圖（2）所示，下列說(shuō)法正確的是（    ）A．函數(shù)的周期為B．函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)C．函數(shù)在區(qū)間上有4個(gè)零點(diǎn)D．將函數(shù)的圖像向左平移可使其圖像與圖像重合【答案】BCD【分析】根據(jù)圖象可求兩個(gè)函數(shù)的解析式，再逐項(xiàng)計(jì)算后可得正確的選項(xiàng).【詳解】由圖象（1）可得，，故，故，而，故，而，故，故，由圖（2）可得，，故，故，而，故，而，故，故，對(duì)于A，的最小正周期為，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，故函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，故B正確；對(duì)于C，即為，故或，，故或，.令，故；令，故；故在區(qū)間上有4個(gè)零點(diǎn)，故C正確.對(duì)于D，函數(shù)的圖像向左平移，其圖象對(duì)應(yīng)的解析式為：.故D正確，故選：BCD.11．已知函數(shù)，則（    ）A．有兩個(gè)極值點(diǎn) B．有三個(gè)零點(diǎn)C．點(diǎn)是曲線的對(duì)稱(chēng)中心 D．直線是曲線的切線【答案】AD【分析】利用極值點(diǎn)的定義可判斷A，結(jié)合的單調(diào)性、極值可判斷B，利用平移可判斷C；利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義判斷D.【詳解】由題，，令得或，令得，所以在，上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減，所以是極值點(diǎn)，故A正確；因，，，所以，函數(shù)在上有一個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，，即函數(shù)在上無(wú)零點(diǎn)，綜上所述，函數(shù)有一個(gè)零點(diǎn)，故B錯(cuò)誤；令，該函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，，則是奇函數(shù)，是的對(duì)稱(chēng)中心，將的圖象向上移動(dòng)一個(gè)單位得到的圖象，所以點(diǎn)是曲線的對(duì)稱(chēng)中心，故C錯(cuò)誤；令，可得，又，當(dāng)切點(diǎn)為時(shí)，切線方程為，當(dāng)切點(diǎn)為時(shí)，切線方程為，故D正確.故選：AD.12．下列命題中真命題有（    ）A．若，則是鈍角B．?dāng)?shù)列的前n項(xiàng)和為，若，則C．若定義域?yàn)?/span>的函數(shù)是奇函數(shù)，函數(shù)為偶函數(shù)，則D．若，分別表示的面積，則【答案】CD【分析】根據(jù)數(shù)量積的知識(shí)可判斷A，對(duì)于B，由條件可得當(dāng)時(shí)有，然后可得，即可判斷，對(duì)于C，利用奇函數(shù)的知識(shí)和可判斷，對(duì)于D，設(shè)線段的中點(diǎn)分別為，連接，根據(jù)條件可得點(diǎn)是線段靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，然后可判斷.【詳解】對(duì)于A，若，則，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，因?yàn)?/span>，所以當(dāng)時(shí)有，兩式相減可得，即，當(dāng)時(shí)，，所以，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，因?yàn)楹瘮?shù)為偶函數(shù)，所以，所以，因?yàn)?/span>是定義域?yàn)?/span>的奇函數(shù)，所以，故C正確；對(duì)于D，如圖，設(shè)線段的中點(diǎn)分別為，連接，因?yàn)?/span>，所以，所以，即，即點(diǎn)是線段靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，所以，故D正確；故選：CD 三、填空題13．己知函數(shù)，則函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是_____________．【答案】【分析】利用導(dǎo)數(shù)法求單調(diào)區(qū)間即可【詳解】函數(shù)，其定義域，則在恒成立，所以函數(shù) 的單調(diào)遞增區(qū)間是.故答案為：.14．當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最小值為______;【答案】##【分析】利用基本不等式可求得所求函數(shù)的最小值.【詳解】因?yàn)?/span>，則，則.當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最小值為.故答案為：.15．中國(guó)文化博大精深，“八卦”用深邃的哲理解釋自然、社會(huì)現(xiàn)象．如圖（1）是八卦模型圖，將共簡(jiǎn)化成圖（2）的正八邊形，若，則______________．【答案】##【分析】在中由余弦定理求出，進(jìn)而可得，再由數(shù)量積的定義求解即可【詳解】在中，設(shè)，，則，所以，又，所以，所以，，所以故答案為：16．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，，，則數(shù)列_____________．【答案】【分析】根據(jù)可得，再利用累乘法即可求解.【詳解】由題意可得，所以，所以，所以，又因?yàn)?/span>，所以，故答案為： 四、解答題17．已知．(1)求的單調(diào)遞增區(qū)間；(2)的內(nèi)角的對(duì)邊分別為．若，求的面積．【答案】(1)(2) 【分析】（1）根據(jù)三角恒等變換公式，化簡(jiǎn)函數(shù)為型函數(shù)，進(jìn)而求得答案；（2）根據(jù)題意，利用余弦定理求出，再根據(jù)三角形面積公式可計(jì)算答案.【詳解】（1）結(jié)合正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，可得當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，∴函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為．（2）∵由余弦定理得，所以，即解得，所以，．18．設(shè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，已知，且是與的等比中項(xiàng)，數(shù)列的前n項(xiàng)和．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若，對(duì)任意總有恒成立，求實(shí)數(shù)的最小值．【答案】(1)或（其中），;(2). 【分析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為d，然后根據(jù)已知條件列方程可求出，從而可求出，利用可求出；（2）由（1）可得，則，然后利用裂項(xiàng)相消法可求得結(jié)果.【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為d，由得，因?yàn)?/span>是與的等比中項(xiàng)，所以．化簡(jiǎn)得且，解方程組得或．故的通項(xiàng)公式為或（其中）；因?yàn)?/span>，所以，，所以，因?yàn)?/span>，滿足上式，所以；（2）因?yàn)?/span>，所以，所以，所以，所以，易見(jiàn)隨n的增大而增大，從而恒成立，所以，故的最小值為.19．在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c．己知．(1)求A；(2)若，且，求的取值范圍．【答案】(1)(2) 【分析】（1）由正弦定理得，結(jié)合，求出；（2）由正弦定理得到，從而得到，結(jié)合，求出，得到的取值范圍.【詳解】（1）由，得：由正弦定理得：又，所以，故，即，則；（2）由正弦定理得：所以又因?yàn)?/span>，所以，又，故，故，則，所以故的取值范圍為．20．如圖，在四棱錐中，底面，，，，．點(diǎn)E為棱的中點(diǎn)，點(diǎn)F為棱的中點(diǎn)．(1)證明：；(2)求直線與平面所成角的正弦值；【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2) 【分析】（1）取中點(diǎn)H，只需證明平面就可得到.(2)建立空間直角坐標(biāo)系，求出，面法向量為，由線面角正值計(jì)算公式求解.【詳解】（1）取中點(diǎn)H，連接，∵，∴，∵底面，底面，∴，又平面，平面，∴平面，∵平面，∴，在三角形中，點(diǎn)E，H分別為的中點(diǎn)，∴，又，∴，∵H為中點(diǎn)．∴，∵，∴四邊形為平行四邊形，，∵，∴，∵平面，平面，∴平面，∵平面，∴．（2）如圖，以A為原點(diǎn)，分別以為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，，設(shè)平面的法向量為， ，令，則，所以，設(shè)直線與平面所成角為，則．21．已知公比大于1的等比數(shù)列滿足．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)求的前n項(xiàng)和．【答案】(1)(2) 【分析】(1)根據(jù)條件以及等比數(shù)列公式列方程即可求解；(2)運(yùn)用錯(cuò)位相減法求和即可.【詳解】（1）設(shè)的公比為．由題設(shè)得解得或 （舍），所以的通項(xiàng)公式為；（2）由（1）得，所以…①，運(yùn)用錯(cuò)位相減法：…②，①-②得：，所以；綜上， ，.22．已知函數(shù)（a為常數(shù)）．(1)若函數(shù)在定義域上單調(diào)遞增，求a的取值范圍；(2)若存在兩個(gè)極值點(diǎn)，且，求的取值范圍．【答案】(1)，(2) 【分析】（1）求出在上恒成立，分離參數(shù)即可求出a的取值范圍.（2）求導(dǎo)得到韋達(dá)定理，再化簡(jiǎn)，令，則，設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)求出該函數(shù)的值域即可.【詳解】（1），，是定義域上的單調(diào)遞增函數(shù)，在定義域上恒成立，即在上恒成立．即，令，則，當(dāng)且僅當(dāng)等號(hào)成立．實(shí)數(shù)的取值范圍為，．（2）由（1）知，根據(jù)題意由有兩個(gè)極值點(diǎn)，即方程有兩個(gè)正根，．所以，，不妨設(shè)，則在，上是減函數(shù)，，，令，則，又，即，解得，．設(shè)，則，在，上單調(diào)遞增，， ，，即，所以的取值范圍為 

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