例1 (1)(2020·全國Ⅱ)北京天壇的圜丘壇為古代祭天的場所，分上、中、下三層．上層中心有一塊圓形石板(稱為天心石)，環(huán)繞天心石砌9塊扇面形石板構成第一環(huán)，向外每環(huán)依次增加9塊．下一層的第一環(huán)比上一層的最后一環(huán)多9塊，向外每環(huán)依次也增加9塊，已知每層環(huán)數(shù)相同，且下層比中層多729塊，則三層共有扇面形石板(不含天心石)( )
A．3 699塊 B．3 474塊
C．3 402塊 D．3 339塊
答案 C
解析 設每一層有n環(huán)，由題意可知，從內到外每環(huán)之間構成公差為d＝9，首項為a1＝9的等差數(shù)列．由等差數(shù)列的性質知Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等差數(shù)列，且(S3n－S2n)－(S2n－Sn)＝n2d，則9n2＝729，解得n＝9，
則三層共有扇面形石板S3n＝S27＝27×9＋eq \f(27×26,2)×9＝3 402(塊)．
(2)某顧客在2022年1月1日采用分期付款的方式購買一輛價值2萬元的家電，在購買一個月后2月1日第一次還款，且以后每個月1日等額還款一次，如果一年內還清全部貸款(12月1日最后一次還款)，月利率為0.5%.按復利計算，則該顧客每個月應還款多少元？(精確到1元，參考值1.00510＝1.05,1.00511＝1.06)( )
A．1 767 B．1 818
C．1 923 D．1 946
答案 A
解析 設每月還款x元，共還款11個月，
所以x×(1.00510＋1.0059＋…＋1.005＋1)
＝20 000×1.00511，
x＝eq \f(20 000×1.00511,1＋1.005＋…＋1.00510)
＝eq \f(20 000×1.00511,\f(1－1.00511,1－1.005))
＝eq \f(20 000×1.06,\f(1－1.06,－0.005))≈1 767.
思維升華 數(shù)列應用問題常見模型
(1)等差模型：后一個量比前一個量增加(或減少)的是同一個固定值．
(2)等比模型：后一個量與前一個量的比是同一個固定的非零常數(shù)．
(3)遞推數(shù)列模型：如果題目中給出的前后兩項之間的關系不固定，隨項的變化而變化，那么應考慮an與an＋1(或者相鄰三項)之間的遞推關系，或者Sn與Sn＋1(或者相鄰三項)之間的遞推關系．
跟蹤訓練1 (1)(2022·佛山模擬)隨著新一輪科技革命和產業(yè)變革持續(xù)推進，以數(shù)字化、網(wǎng)絡化、智能化以及融合化為主要特征的新型基礎設施建設越來越受到關注.5G基站建設就是“新基建”的眾多工程之一，截至2020年底，我國已累計開通5G基站超70萬個，未來將進一步完善基礎網(wǎng)絡體系，穩(wěn)步推進5G網(wǎng)絡建設，實現(xiàn)主要城區(qū)及部分重點鄉(xiāng)鎮(zhèn)5G網(wǎng)絡覆蓋.2021年1月計劃新建設5萬個5G基站，以后每個月比上一個月多建設1萬個，預計我國累計開通500萬個5G基站時要到( )
A．2022年12月 B．2023年2月
C．2023年4月 D．2023年6月
答案 B
解析 每個月開通5G基站的個數(shù)是以5為首項，1為公差的等差數(shù)列，
設預計我國累計開通500萬個5G基站需要n個月，則70＋5n＋eq \f(n?n－1?,2)×1＝500，
化簡整理得，n2＋9n－860＝0，
解得n≈25.17或n≈－34.17(舍)，
所以預計我國累計開通500萬個5G基站需要25個月，也就是到2023年2月．
(2)(2022·濰坊模擬)南宋數(shù)學家楊輝所著的《詳解九章算法·商功》中出現(xiàn)了如圖所示的形狀，后人稱為“三角垛”．“三角垛”的最上層有1個球，第二層有3個球，第三層有6個球，…，設各層球數(shù)構成一個數(shù)列{an}，則( )
A．a4＝12
B．an＋1＝an＋n
C．a100＝5 050
D．2an＋1＝an·an＋2
答案 C
解析 由題意知，a1＝1，a2＝3，a3＝6，…，
an＝an－1＋n，故an＝eq \f(n?n＋1?,2)，
∴a4＝eq \f(4×?4＋1?,2)＝10，故A錯誤；
an＋1＝an＋n＋1，故B錯誤；
a100＝eq \f(100×?100＋1?,2)＝5 050，故C正確；
2an＋1＝(n＋1)(n＋2)，
an·an＋2＝eq \f(n?n＋1??n＋2??n＋3?,4)，
顯然2an＋1≠an·an＋2，故D錯誤．
題型二 等差數(shù)列、等比數(shù)列的綜合運算
例2 (2022·濱州模擬)已知等差數(shù)列{an}和等比數(shù)列{bn}滿足a1＝2，b2＝4，an＝2lg2bn，n∈N*.
(1)求數(shù)列{an}，{bn}的通項公式；
(2)設數(shù)列{an}中不在數(shù)列{bn}中的項按從小到大的順序構成數(shù)列{cn}，記數(shù)列{cn}的前n項和為Sn，求S100.
解 (1)設等差數(shù)列{an}的公差為d，
因為b2＝4，所以a2＝2lg2b2＝4，
所以d＝a2－a1＝2，
所以an＝2＋(n－1)×2＝2n.
又an＝2lg2bn，即2n＝2lg2bn，
所以n＝lg2bn，
所以bn＝2n.
(2)由(1)得bn＝2n＝2·2n－1＝a2n－1，
即bn是數(shù)列{an}中的第2n－1項．
設數(shù)列{an}的前n項和為Pn，數(shù)列{bn}的前n項和為Qn，
因為b7＝a26＝a64，b8＝a27＝a128，
所以數(shù)列{cn}的前100項是由數(shù)列{an}的前107項去掉數(shù)列{bn}的前7項后構成的，
所以S100＝P107－Q7
＝eq \f(107×?2＋214?,2)－eq \f(2－28,1－2)＝11 302.
教師備選
已知等差數(shù)列{an}的首項a1≠0，前n項和為Sn，且S4＋a2＝2S3；等比數(shù)列{bn}滿足b1＝a2，b2＝a4.
(1)求證：數(shù)列{bn}中的每一項都是數(shù)列{an}中的項；
(2)若a1＝2，設cn＝eq \f(2,lg2bnlg2bn＋1)，求數(shù)列{cn}的前n項的和Tn；
(3)在(2)的條件下，若有f(n)＝lg3Tn，求f(1)＋f(2)＋…＋f(n)的最大值．
(1)證明 等差數(shù)列{an}的首項a1≠0，
設公差為d，由S4＋a2＝2S3，
可得4a1＋6d＋a1＋d＝2(3a1＋3d)，
所以a1＝d，
所以an＝a1＋(n－1)d＝nd，
等比數(shù)列{bn}滿足b1＝a2＝2d，b2＝a4＝4d，
設公比為q，則公比q＝eq \f(b2,b1)＝2，
可得bn＝2d·2n－1＝2nd，
由d≠0，n∈N*，
可得2n∈N*，
所以數(shù)列{bn}中的每一項都是數(shù)列{an}中的項．
(2)解 若a1＝2，
由(1)可得cn＝eq \f(2,lg2bnlg2bn＋1)
＝eq \f(2,lg22n＋1·lg22n＋2)
＝eq \f(2,?n＋1??n＋2?)＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,n＋1)－\f(1,n＋2)))，
則數(shù)列{cn}的前n項的和
Tn＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)－\f(1,3)＋\f(1,3)－\f(1,4)＋…＋\f(1,n＋1)－\f(1,n＋2)))
＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)－\f(1,n＋2)))
＝eq \f(n,n＋2).
(3)解 在(2)的條件下，
若f(n)＝lg3Tn＝lg3eq \f(n,n＋2)，
則f(1)＋f(2)＋…＋f(n)＝lg3eq \f(1,3)＋lg3eq \f(2,4)＋lg3eq \f(3,5)＋lg3eq \f(4,6)＋…＋lg3eq \f(n,n＋2)
＝lg3eq \f(1×2×3×4×…×n,3×4×5×6×…×?n＋2?)
＝lg3eq \f(2,?n＋1??n＋2?)，
由lg3eq \f(2,?n＋1??n＋2?)在n∈N*時單調遞減，
可得n＝1時，lg3eq \f(2,?n＋1??n＋2?)取得最大值lg3eq \f(1,3)＝－1，
故f(1)＋f(2)＋…＋f(n)的最大值為－1.
思維升華 對等差、等比數(shù)列的綜合問題，應重點分析等差、等比數(shù)列項之間的關系．數(shù)列的求和主要是等差、等比數(shù)列的求和及裂項相消法求和與錯位相減法求和，本題中利用裂項相消法求數(shù)列的和，然后利用b1＝1，d>0證明不等式成立．另外本題在探求{an}與{cn}的通項公式時，考查累加、累乘兩種基本方法．
跟蹤訓練2 已知等差數(shù)列{an}和等比數(shù)列{bn}滿足a1＝b1＝1，a2＋a4＝10，b2b4＝a5.
(1)求{an}的通項公式；
(2)求b1＋b3＋b5＋…＋b2n－1.
解 (1)設等差數(shù)列{an}的公差為d.
因為a1＝1，a2＋a4＝10，
所以2a1＋4d＝10，
解得d＝2.
所以an＝2n－1.
(2)設等比數(shù)列{bn}的公比為q.
因為b2b4＝a5，
所以b1q·b1q3＝9.
又b1＝1，所以q2＝3.
所以b2n－1＝b1q2n－2＝3n－1.
則b1＋b3＋b5＋…＋b2n－1
＝1＋3＋32＋…＋3n－1＝eq \f(3n－1,2).
題型三 數(shù)列與其他知識的交匯問題
命題點1 數(shù)列與不等式的交匯
例3 已知數(shù)列{an}滿足a1＝eq \f(1,2)，eq \f(1,an＋1)＝eq \f(1,an)＋2(n∈N*)．
(1)求數(shù)列{an}的通項公式；
(2)求證：aeq \\al(2,1)＋aeq \\al(2,2)＋aeq \\al(2,3)＋…＋aeq \\al(2,n)

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