知識(shí)梳理
1．奇函數(shù)、偶函數(shù)的對(duì)稱性
(1)奇函數(shù)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，偶函數(shù)關(guān)于y軸對(duì)稱．
(2)若f(x－2)是偶函數(shù)，則函數(shù)f(x)圖象的對(duì)稱軸為x＝－2；若f(x－2)是奇函數(shù)，則函數(shù)f(x)圖象的對(duì)稱中心為(－2,0)．
2．若函數(shù)y＝f(x)的圖象關(guān)于直線x＝a對(duì)稱，則f(a－x)＝f(a＋x)；
若函數(shù)y＝f(x)滿足f(a－x)＝－f(a＋x)，則函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)(a,0)對(duì)稱．
3．兩個(gè)函數(shù)圖象的對(duì)稱
(1)函數(shù)y＝f(x)與y＝f(－x)關(guān)于y軸對(duì)稱；
(2)函數(shù)y＝f(x)與y＝－f(x)關(guān)于x軸對(duì)稱；
(3)函數(shù)y＝f(x)與y＝－f(－x)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱．
思考辨析
判斷下列結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)
(1)函數(shù)y＝f(x＋1)是偶函數(shù)，則函數(shù)y＝f(x)的圖象關(guān)于直線x＝1對(duì)稱．( √ )
(2)函數(shù)y＝f(x－1)是奇函數(shù)，則函數(shù)y＝f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1,0)對(duì)稱．( × )
(3)若函數(shù)f(x)滿足f(x－1)＋f(x＋1) ＝0，則f(x)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱．( × )
(4)若函數(shù)f(x)滿足f(2＋x)＝f(2－x)，則f(x)的圖象關(guān)于直線x＝2對(duì)稱．( √ )
教材改編題
1．函數(shù)f(x)＝eq \f(x＋1,x)圖象的對(duì)稱中心為( )
A．(0,0) B．(0,1)
C．(1,0) D．(1,1)
答案 B
解析 因?yàn)閒(x)＝eq \f(x＋1,x)＝1＋eq \f(1,x)，由y＝eq \f(1,x)向上平移一個(gè)單位長(zhǎng)度得到y(tǒng)＝1＋eq \f(1,x)，又y＝eq \f(1,x)關(guān)于(0,0)對(duì)稱，
所以f(x)＝1＋eq \f(1,x)的圖象關(guān)于(0,1)對(duì)稱．
2．已知定義在R上的函數(shù)f(x)在[－2，＋∞)上單調(diào)遞減，且f(－2－x)＝f(－2＋x)，則f(－4)與f(1)的大小關(guān)系為_(kāi)_______．
答案 f(－4)>f(1)
解析 ∵f(－2－x)＝f(－2＋x)，
∴f(x)關(guān)于直線x＝－2對(duì)稱，
又f(x)在[－2，＋∞)上單調(diào)遞減，
∴f(－4)＝f(0)>f(1)，
故f(－4)>f(1)．
3．偶函數(shù)y＝f(x)的圖象關(guān)于直線x＝2對(duì)稱，且當(dāng)x∈[2,3]時(shí)，f(x)＝2x－1，則f(－1)＝________.
答案 5
解析 ∵f(x)為偶函數(shù)，
∴f(－1)＝f(1)，
由f(x)的圖象關(guān)于x＝2對(duì)稱，
可得f(1)＝f(3)＝2×3－1＝5.
題型一 軸對(duì)稱問(wèn)題
例1 (1)已知定義在R上的函數(shù)f(x)是奇函數(shù)，對(duì)x∈R都有f(x＋1)＝f(1－x)，當(dāng)f(－3)＝－2時(shí)，則f(2 023)等于( )
A．－2 B．2 C．0 D．－4
答案 B
解析 定義在R上的函數(shù)f(x)是奇函數(shù)，且對(duì)x∈R都有f(x＋1)＝f(1－x)，
故函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x＝1對(duì)稱，
∴f(x)＝f(2－x)，
故f(－x)＝f(2＋x)＝－f(x)，
∴f(x)＝－f(2＋x)＝f(4＋x)，
∴f(x)是周期為4的周期函數(shù)．
則f(2 023)＝f(505×4＋3)＝f(3)＝－f(－3)＝2.
(2)已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，且f(x＋2)為偶函數(shù)，f(x)在[2，＋∞)上單調(diào)遞減，則不等式f(x－1)>f(1)的解集為_(kāi)_______．
答案 (2,4)
解析 ∵f(x＋2)是偶函數(shù)，
∴f(x＋2)的圖象關(guān)于直線x＝0對(duì)稱，
∴f(x)的圖象關(guān)于直線x＝2對(duì)稱，
又f(x)在[2，＋∞)上單調(diào)遞減，
∴f(x)在(－∞，2]上單調(diào)遞增．
又f(x－1)>f(1)，
∴|x－1－2|

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