江西省2023屆高三下學(xué)期高考模擬（教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)）理科數(shù)學(xué)試題 一、單選題1．（2023·江西·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知集合，，則（    ）A． B．C． D．2．（2023·江西·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知復(fù)數(shù)滿足（為虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù)的模等于（    ）A． B． C． D．3．（2023·江西·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）若，則“”是“”的（    ）A．充要條件 B．充分不必要條件C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件4．（2023·江西·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）在某校隨機(jī)抽取了100名學(xué)生，調(diào)查他們課后完成作業(yè)的時(shí)間，根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制如下頻率分布直方圖.根據(jù)此頻率分布直方圖，下列結(jié)論中正確的是（    ）A．估計(jì)該校有的學(xué)生在2小時(shí)內(nèi)完成課后作業(yè)B．抽取的學(xué)生中有10人不能在4小時(shí)內(nèi)完成課后作業(yè)C．抽取學(xué)生課后完成作業(yè)時(shí)間的100個(gè)數(shù)據(jù)的中位數(shù)在區(qū)間內(nèi)D．抽取學(xué)生課后完成作業(yè)時(shí)間的100個(gè)數(shù)據(jù)的眾數(shù)一定在區(qū)間內(nèi)5．（2023·江西·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)在拋物線上，且，則點(diǎn)到軸的距離為（    ）A．4 B． C． D．36．（2023·江西·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是（    ）A．2 B．3 C．4 D．57．（2023·江西·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）在炎熱的夏天里，人們都喜歡在飲品里放冰塊.如圖是一個(gè)高腳杯，它的軸截面是正三角形，容器內(nèi)有一定量的水.若在高腳杯內(nèi)放入一個(gè)球形冰塊后，冰塊沒有開始融化前水面所在的平面恰好經(jīng)過冰塊的球心（水沒有溢出），則原來高腳杯內(nèi)水的體積與球的體積之比是（    ）A．1 B． C． D．8．（2023·江西·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)的大致圖象如圖所示，則（    ）A． B．C． D．9．（2023·江西·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，則函數(shù)的圖象與兩坐標(biāo)軸圍成圖形的面積是（    ）A．4 B． C．6 D．10．（2023·江西·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知雙曲線：的左、右焦點(diǎn)分別是，，是雙曲線右支上一點(diǎn)，且，和分別是的內(nèi)心和重心，若與軸平行，則雙曲線的離心率為（    ）A． B．2 C．3 D．411．（2023·江西·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，直三棱柱中，，點(diǎn)分別是棱的中點(diǎn)，點(diǎn)在棱上，且，截面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)滿足，則的最小值是（    ）A． B． C． D．212．（2023·江西·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）若函數(shù)存在單調(diào)遞減區(qū)間，則正數(shù)的取值范圍是（    ）A． B． C． D． 二、填空題13．（2023·江西·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知向量的夾角為，則等于___________.14．（2023·江西·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知圓的方程為，若直線與圓相交于兩點(diǎn)，則的面積為___________.15．（2023·江西·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知，則等于___________.16．（2023·江西·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）畢達(dá)哥拉斯樹，也叫“勾股樹”，是由畢達(dá)哥拉斯根據(jù)勾股定理畫出來的一個(gè)可以無限重復(fù)的樹形圖形（如圖1）.現(xiàn)由畢達(dá)哥拉斯樹部分圖形作出圖2，為銳角三角形，面積為，以的三邊為邊長(zhǎng)的正方形中心分別為，則的最小值為___________. 三、解答題17．（2023·江西·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖數(shù)表，在第行中，共有個(gè)數(shù)，第個(gè)數(shù)為．(1)求第行所有數(shù)的和；(2)求前10行所有數(shù)的和.18．（2023·江西·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）某集市上有摸彩蛋的游戲，在不透明的盒中裝有9個(gè)大小?形狀相同的彩蛋，其中黃色?紅色?藍(lán)色各3個(gè).游戲規(guī)則如下：玩游戲者先交10元游戲費(fèi)，然后隨機(jī)依次不放回地摸3個(gè)彩蛋，根據(jù)彩蛋的顏色決定是否得到獎(jiǎng)勵(lì)，若摸到的3個(gè)彩蛋顏色都相同，獲得獎(jiǎng)金100元，若摸到3個(gè)彩蛋顏色各不相同，獲得獎(jiǎng)金10元，其他情況沒有獎(jiǎng)勵(lì).(1)記某游戲者第一次摸到黃色彩蛋為事件，該游戲者這次游戲獲獎(jiǎng)100元為事件，求，并判斷事件是否相互獨(dú)立；(2)判斷是否應(yīng)該玩這個(gè)游戲，并說明理由.19．（2023·江西·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，已知菱形中，，點(diǎn)為邊的中點(diǎn)，沿將折起，得到且二面角的大小為，點(diǎn)在棱上，平面.(1)求的值；(2)求二面角的余弦值.20．（2023·江西·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)是自然對(duì)數(shù)的底數(shù).(1)討論函數(shù)的極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)；(2)證明：函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有且只有一個(gè)零點(diǎn).21．（2023·江西·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓的左頂點(diǎn)，點(diǎn)是橢圓上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)不與點(diǎn)重合），面積的最大值是2.(1)求橢圓的方程.(2)若直線與軸分別相交于點(diǎn)，是否存在定點(diǎn)，總有？若存在，求出定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說明理由.22．（2023·江西·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）在直角坐標(biāo)系中，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為．(1)求直線和曲線的直角坐標(biāo)方程；(2)點(diǎn)分別是直線?曲線上的動(dòng)點(diǎn)，求的最小值．23．（2023·江西·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)的最小值為.(1)求的值；(2)若，求的最大值.
參考答案：1．C【分析】首先解出不等式，根據(jù)交集與并集的定義，求出和即可作出判斷．【詳解】因?yàn)?/span>，所以，故選：C．2．A【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)，再求模長(zhǎng)即可.【詳解】因?yàn)?/span>，所以所以.故選：A.3．C【分析】結(jié)合，解出不等式和，即可判斷出答案．【詳解】因?yàn)?/span>，所以等價(jià)于，等價(jià)于，故“”是“”的必要不充分條件，故選：C．4．B【分析】根據(jù)頻率分布直方圖得數(shù)字特征逐項(xiàng)判斷即可.【詳解】估計(jì)該校在2小時(shí)內(nèi)完成作業(yè)的學(xué)生占比是，故A錯(cuò)誤；抽取的學(xué)生不能在4小時(shí)內(nèi)完成課后作業(yè)的人數(shù)是（人），故B正確；抽取學(xué)生課后完成作業(yè)時(shí)間的100個(gè)數(shù)據(jù)中，第一、第二、第三組頻率和為，前四組頻率和為，所以中位數(shù)在區(qū)間內(nèi)，故C錯(cuò)誤；抽取學(xué)生課后完成作業(yè)時(shí)間的100個(gè)數(shù)據(jù)的眾數(shù)不能由直方圖確定，故D錯(cuò)誤.故選：B.5．C【分析】根據(jù)拋物線的定義可得求出點(diǎn)的縱坐標(biāo)，求出其橫即，即可求解.【詳解】由，得，根據(jù)拋物線的定義，知，解得，代入，得.所以點(diǎn)到軸的距離為.故選：C.6．A【分析】利用輔助角公式可得，令，從而解得在的零點(diǎn)個(gè)數(shù).【詳解】由，得，又，所以，所以或解得或.所以函數(shù)在的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是2.故選：A.7．D【分析】如圖，設(shè)球的半徑為，根據(jù)勾股定理求得，結(jié)合圓錐和球的體積公式計(jì)算即可求解.【詳解】如圖，圓與AB切于點(diǎn)D，設(shè)球的半徑為，則，且，有，即，得，所以水的體積，所以水的體積與球的體積之比是.故選：D.8．B【分析】根據(jù)圖形，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性和極值點(diǎn)的概念以及韋達(dá)定理，計(jì)算即可求解.【詳解】由圖可知，函數(shù)有兩個(gè)遞增區(qū)間，一個(gè)遞減區(qū)間，所以函數(shù)圖象開口方向朝上，且于x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，故；又函數(shù)的極大值點(diǎn)在y軸左側(cè)，極小值點(diǎn)在y軸右側(cè)，且極大值點(diǎn)離y軸較近，所以方程的兩根滿足，即，得，因此.故選；B.9．A【分析】根據(jù)函數(shù)的對(duì)稱性及函數(shù)的單調(diào)性，即可確定與坐標(biāo)軸圍成的面積.【詳解】已知函數(shù)，定義域?yàn)?/span>，又.因此函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱，又，且點(diǎn)與點(diǎn)也關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱，由基本初等函數(shù)的單調(diào)性可得函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，因此與坐標(biāo)軸圍成圖形的面積是.故選：A.10．B【分析】由重心坐標(biāo)求得I的坐標(biāo)，再利用圓的切線長(zhǎng)定理和雙曲線的定義得到G的坐標(biāo)，再根據(jù)與軸平行，由求解.【詳解】解：如圖所示：由題意得：，則，由圓的切線長(zhǎng)定理和雙曲線的定義得，所以，則，因?yàn)?/span>與軸平行，所以，即，則，即，解得，故選：B11．C【分析】設(shè)點(diǎn)在平面內(nèi)的投影為、點(diǎn)在線段上且，根據(jù)題意和線面垂直的判定定理與性質(zhì)可知點(diǎn)的軌跡是正方形的對(duì)角線，將與展開，如圖，則的最小值是，結(jié)合余弦定理計(jì)算即可求解.【詳解】由題意知，，，又平面，所以平面.設(shè)點(diǎn)在平面內(nèi)的投影為，則點(diǎn)在線段上，且，即，所以，設(shè)點(diǎn)在線段上，且，則四邊形是一個(gè)正方形，點(diǎn)的軌跡是其對(duì)角線.將與展開到一個(gè)面內(nèi)，得到如圖圖形，因此的最小值是，由余弦定理，得，所以.故選：C.12．B【分析】根據(jù)題意轉(zhuǎn)化為有解，進(jìn)而得到有解，構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)單調(diào)遞增，轉(zhuǎn)化為有解，設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)單調(diào)性與最值，即可求解.【詳解】由函數(shù)，可得，因?yàn)楹瘮?shù)存在單調(diào)遞減區(qū)間，即有解，即，即，即有解，構(gòu)造函數(shù)，可得，所以單調(diào)遞增，因此不等式轉(zhuǎn)化為，即有解，設(shè)，可得，令，解得，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，所以，即，又因?yàn)?/span>，所以.故選：B.【點(diǎn)睛】方法規(guī)律總結(jié)：對(duì)于已知函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)問題：（1）已知可導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，轉(zhuǎn)化為區(qū)間上恒成立；（2）已知可導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，轉(zhuǎn)化為區(qū)間上恒成立；（3）已知可導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間上存在增區(qū)間，轉(zhuǎn)化為在區(qū)間上有解；（4）已知可導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間上存在減區(qū)間，轉(zhuǎn)化為在區(qū)間上有解.13．19【分析】利用向量數(shù)量積的定義及向量數(shù)量積的運(yùn)算法則即可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)?/span>，又向量的夾角為，所以.故答案為：19.14．12【分析】根據(jù)直線與圓相交弦長(zhǎng)公式確定弦長(zhǎng)及圓心到直線得距離，即可求的面積.【詳解】圓：，得圓心為，半徑為，圓心到直線的距離，因此，所以.故答案為：.15．【分析】根據(jù)題意，兩邊同時(shí)求導(dǎo)數(shù)得到，令，即可求解.【詳解】由，兩邊同時(shí)求導(dǎo)數(shù)，可得，令，可得.故答案為：.16．##【分析】根據(jù)題意和三角形的面積公式可得，由余弦定理得，進(jìn)而得.同理得，則，結(jié)合基本不等式計(jì)算即可求解.【詳解】由題意知，，又，即，得，由余弦定理，得，在中，，由余弦定理可得，又，所以，則.同理，故.因?yàn)?/span>，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故.故答案為：.17．(1)(2) 【分析】（1）將第行所有數(shù)相加得，由等差數(shù)列前項(xiàng)和公式計(jì)算分子，化簡(jiǎn)即可得出答案；（2）設(shè)第行所有數(shù)的和為，由（1）得，計(jì)算，分組求和即可．【詳解】（1）第行所有數(shù)的和為：．（2）設(shè)第行所有數(shù)的和為，由（1）得，前10行所有數(shù)的和為：，所以前10行所有數(shù)的和為．18．(1)，事件相互獨(dú)立(2)不應(yīng)該參與該游戲，理由見解析 【分析】（1）分別求出，證明，即可得出結(jié)論；（2）設(shè)一次游戲獲利元，求出的所有可能取值，冰球出對(duì)應(yīng)概率，從而可求出的數(shù)學(xué)期望，再根據(jù)數(shù)學(xué)期望即可得出結(jié)論.【詳解】（1），，因此，所以事件相互獨(dú)立；（2）設(shè)一次游戲獲利元，則的可能取值有，，因此（元），所以不應(yīng)該參與該游戲.19．(1)(2) 【分析】（1）首先通過面面平行的性質(zhì)證明，則，再利用三角形相似即可得到答案；（2）利用二面角定義得到，建立合適的空間直角坐標(biāo)系，寫出相關(guān)點(diǎn)坐標(biāo)，求出平面和平面的法向量，利用空間向量法求出二面角余弦值即可.【詳解】（1）連接，設(shè)，連接，取中點(diǎn)點(diǎn)，分別連接,,則，平面，平面，則平面，又因?yàn)?/span>平面，且，平面，所以平面平面，又因?yàn)槠矫?/span>與平面平面相交，則交線，故，因?yàn)?/span>為中點(diǎn)，且底面為菱形，故，又在菱形中，，所以，所以.（2）因?yàn)?/span>，，所以三角形為等邊三角形，所以，而根據(jù)折疊過程可知，且平面平面，平面，，因此是二面角的平面角，則，如圖，以點(diǎn)為原點(diǎn)，所在直線為軸，軸，建立空間直角坐標(biāo)系.依據(jù)題意，從而設(shè)平面的法向量，由得到，由得到.令設(shè)平面的法向量，由得到，由得到.令.因此，所以，所求二面角的余弦值是.20．(1)在上有且僅有3個(gè)極值點(diǎn).(2)證明見解析 【分析】（1）求導(dǎo)并利用，得到或，根據(jù)根的個(gè)數(shù)可得極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)，設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)分析單調(diào)性并利用零點(diǎn)存在定理求出根的個(gè)數(shù)即可.（2）根據(jù)導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)，分析的單調(diào)性，可得在區(qū)間內(nèi)的極大值為，極小值為，再利用零點(diǎn)存在定理分析可證.【詳解】（1），令或.設(shè)，則，令，且時(shí)，，單調(diào)遞減；時(shí)，，單調(diào)遞增，所以，因?yàn)?/span>，則，此時(shí)在上有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)，記為，因?yàn)?/span>，，時(shí)，所以，所以在上有且僅有3個(gè)極值點(diǎn).（2），當(dāng)時(shí)，在上有3個(gè)極值點(diǎn)：，，，其中，且，當(dāng)時(shí)，，則，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，則，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，則，單調(diào)遞增.所以在區(qū)間內(nèi)的極大值為，極小值為，且.所以 同理，而當(dāng)時(shí)，因此函數(shù)在區(qū)間內(nèi)無零點(diǎn)，在區(qū)間上有且只有一個(gè)零點(diǎn).綜上所述，時(shí)，在區(qū)間內(nèi)有且僅有一個(gè)零點(diǎn).21．(1)(2)存在，點(diǎn)或 【分析】（1）設(shè)橢圓的右頂點(diǎn)為，根據(jù)題意可得，求出b，即可求解；（2）設(shè)，由向量的坐標(biāo)表示可得，設(shè)，表示出直線的方程，聯(lián)立直線PQ與AP、AQ方程，求出點(diǎn)P坐標(biāo)，代入橢圓方程得、，結(jié)合韋達(dá)定理，即可求解.【詳解】（1）由題意知，設(shè)橢圓的右頂點(diǎn)為，，所以，即的最大值為2，所以，所以橢圓的方程為；（2）設(shè)，由得到：，即，設(shè)，直線的方程分別是，聯(lián)立，解得，即點(diǎn)的坐標(biāo)為，因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，所以，化簡(jiǎn)得；同理，，所以m、n是方程的兩個(gè)異根，得.有，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)恒成立，因此，存在點(diǎn)或使得恒成立.22．(1)，(2) 【分析】（1）將直線的參數(shù)方程消去參數(shù)即可得出直角坐標(biāo)方程；將曲線的極坐標(biāo)方程化為，將，代入即可得出曲線的直角坐標(biāo)方程；（2）由曲線的直角坐標(biāo)方程寫出參數(shù)方程，分析得出的最小值即為動(dòng)點(diǎn)到直線距離的最小值，由點(diǎn)到直線的距離公式寫出的表達(dá)式，即可求出最小值．【詳解】（1）直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），消去參數(shù)，得直線的直角方程為：；曲線的極坐標(biāo)方程可以化為，將，代入得曲線的直角坐標(biāo)方程為：，即．（2）由（1）得直線的直角方程為：，曲線的直角坐標(biāo)方程為：，所以曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），由曲線的參數(shù)方程，可設(shè)，因?yàn)?/span>的最小值即為動(dòng)點(diǎn)到直線距離的最小值，故，因?yàn)?/span>，所以,當(dāng)時(shí)，取得最小值．23．(1)(2) 【分析】（1）根據(jù)絕對(duì)值不等式的性質(zhì)即可求解；（2）由（1），根據(jù)基本不等式“1”的用法計(jì)算，即可求解.【詳解】（1），當(dāng)上式取到等號(hào)，因此.（2）由（1）知，，所以，.當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，上式取等號(hào)，所以的最大值是. 

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