1.2.3　直線與平面的夾角學(xué) 習(xí) 目 標(biāo)核 心 素 養(yǎng)1．理解斜線和平面所成的角的定義，體會(huì)夾角定義的唯一性、合理性．2．會(huì)求直線與平面的夾角．(重點(diǎn)、難點(diǎn))　通過學(xué)習(xí)空間線面角，提升數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理素養(yǎng)．傾斜的大樹，因傾斜而聞名的斜塔，高昂的塔克炮筒，發(fā)射導(dǎo)彈的壯觀場面……在這些畫面中都讓我們依稀看到了直線與平面相交的影子，如果把大樹、斜塔、炮筒、導(dǎo)彈抽象成直線，把地面抽象成平面，怎樣來刻畫直線相對(duì)于平面的傾斜程度？1．直線和平面所成的角2．最小角定理3．用空間向量求直線與平面的夾角如果v是直線l的一個(gè)方向向量，n是平面α的法向量，設(shè)直線l與平面α所成角的大小為θ，則θ＝－〈v，n〉或θ＝〈v，n〉－，特別地cos θ＝sin〈v，n〉或sin θ＝|cos〈v，n〉|．思考：直線l的方向向量s與平面的法向量n的夾角一定是直線和平面的夾角嗎？[提示]　不是．直線和平面的夾角為．1．思考辨析(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)直線與平面的夾角不是銳角就是直角． (　　)(2)斜線與它在平面內(nèi)的射影所成的角是銳角． (　　)(3)斜線與平面的夾角為[0,90°]．  (　　)(4)直線與平面的夾角為[0,90°]．  (　　)[答案]　(1)×　(2)√　(3)×　(4)√[提示]　(1)×　錯(cuò)誤，角的度數(shù)還可以是零度．(2)√　根據(jù)線面角的定義知正確．(3)×　斜線與平面的夾角為(0,90°)．(4)√　正確．2．若直線l的方向向量與平面α的法向量的夾角等于120°，則直線l與平面α所成的角等于(　　)A．120°　　　　　　 B．60°C．30°   D．以上均錯(cuò)C　[設(shè)直線l與平面α所成的角為θ，則sin θ＝|cos 120°|＝，又∵0≤θ≤90°，∴θ＝30°．]3．已知向量m，n分別為直線l和平面α的方向向量、法向量，若cos〈m，n〉＝－，則直線l與平面α所成的角為________．60°　[設(shè)直線l與平面α所成的角為θ，則sin θ＝|cos〈m，n〉|＝．又∵θ∈[0,90°]，∴θ＝60°．]4．在正方形ABCD-A1B1C1D1中，CB1與平面AA1C1C所成角的大小為________．30°　[如圖，連接B1D1交A1C1于O，連接OC，因?yàn)閹缀误w是正方體，所以OB1⊥平面AA1C1C，所以∠B1CO是CB1與平面AA1C1C所成角，設(shè)正方體的棱長為1，則OB1＝，CB1＝，sin∠B1CO＝＝，可得∠B1CO＝30°．即CB1與平面AA1C1C所成角的大小為30°．]公式cos θ＝cos θ1·cos θ2的應(yīng)用【例1】　∠BOC在平面α內(nèi)，OA是平面α的一條斜線，若∠AOB＝∠AOC＝60°，OA＝OB＝OC＝a，BC＝a，求OA與平面α所成的角．[思路探究]　根據(jù)定義或cos θ＝cos θ1·cos θ2求解．[解]　法一：∵OA＝OB＝OC＝a，∠AOB＝∠AOC＝60°，∴AB＝AC＝a．又∵BC＝a，∴AB2＋AC2＝BC2．∴△ABC為等腰直角三角形．同理△BOC也為等腰直角三角形．取BC中點(diǎn)為H，連接AH，OH，∴AH＝a，OH＝a，AO＝a，AH2＋OH2＝AO2．∴△AHO為等腰直角三角形．∴AH⊥OH．又∵AH⊥BC，OH∩BC＝H，∴AH⊥平面α．∴OH為AO在α平面內(nèi)的射影，∠AOH為OA與平面α所成的角．在Rt△AOH中，∴sin∠AOH＝＝．∴∠AOH＝45°．∴OA與平面α所成的角為45°．法二：∵∠AOB＝∠AOC＝60°，∴OA在α內(nèi)的射影為∠BOC的平分線，作∠BOC的角平分線OH交BC于H．又OB＝OC＝a，BC＝a，∴∠BOC＝90°．故∠BOH＝45°，由公式cos θ＝cos θ1·cos θ2，得cos∠AOH＝＝，∴OA與平面α所成的角為45°．求線面角的關(guān)鍵是確定斜線在平面上射影的位置，只有確定了射影，才能將空間角轉(zhuǎn)化為平面角．在本例中，也可以直接作AH⊥BC于H，進(jìn)而證明AH⊥平面α，從而證明H是點(diǎn)A在平面α內(nèi)的射影．解法二則靈活應(yīng)用公式cos θ＝cos θ1·cos θ2求線面角，也是常用的方法．1．如圖所示，在四棱錐P-ABCD中，ABCD是正方形，PD⊥平面ABCD．若∠PBC＝60°，求直線PB與平面ABCD所成的角θ．[解]　由題意得∠CBD＝45°，∠PBD即為直線PB與平面ABCD所成的角θ．∵cos∠PBC＝cos θ·cos∠CBD，∠PBC＝60°．即cos 60°＝cos θ·cos 45°，∴cos θ＝，θ＝45°．用定義法解決直線與平面的夾角問題[探究問題]1．用定義法求直線與平面夾角的關(guān)鍵是什么？[提示]　尋找直線與平面的夾角，即準(zhǔn)確確定直線在平面內(nèi)的投影．2．定義法求直線與平面夾角的基本思路是什么？[提示]　①若直線與平面平行或直線在平面內(nèi)，則直線與平面的夾角為0°；②若直線與平面垂直，則直線與平面的夾角為；③若直線與平面相交但不垂直，設(shè)直線與平面的交點(diǎn)為O，在直線上任取異于O點(diǎn)的另一點(diǎn)P，過P作平面的垂線PA，A為垂足，則OA即為直線在平面內(nèi)的投影，∠AOP即為直線與平面的夾角，然后通過解三角形求出直線與平面夾角的大小．【例2】　如圖所示，在三棱錐P-ABC中，PA⊥平面ABC，PA＝AB，∠ABC＝60°，∠BCA＝90°．(1)求證：BC⊥平面PAC；(2)若D為PB的中點(diǎn)，試求AD與平面PAC夾角的正弦值．[思路探究]　(1)證明BC和平面PAC內(nèi)的兩條相交直線垂直．(2)作出AD在平面PAC內(nèi)的射影后，構(gòu)造三角形求解．[解]　(1)因?yàn)?/span>PA⊥平面ABC，BC?平面ABC，所以PA⊥BC．又∠BCA＝90°，所以AC⊥BC，又AC?平面PAC，PA?平面PAC，PA∩AC＝A，所以BC⊥平面PAC．(2)取PC的中點(diǎn)E，連接DE．因?yàn)?/span>D為PB的中點(diǎn)，所以DE∥BC，所以DE⊥平面PAC．連接AE，則AE是AD在平面PAC內(nèi)的投影，所以∠DAE是直線AD與平面PAC的夾角．設(shè)PA＝AB＝a，在直角三角形ABC中．因?yàn)?/span>∠ABC＝60°，∠BCA＝90°，所以BC＝，DE＝，在直角三角形ABP中，AD＝a，所以sin∠DAE＝＝＝．即AD與平面PAC夾角的正弦值為．1．(變問法)若本例條件不變，問題(2)改為：D為PB上的一點(diǎn)，且BD＝PB，試求AD與平面PAC夾角的正弦值．[解]　由已知BC⊥AC，BC⊥PA，AC∩PA＝A，所以BC⊥平面PAC，BC⊥PC，過PB的三等分點(diǎn)D作DE∥BC，則DE⊥平面PAC，連接AE，AD，則∠DAE為AD與平面PAC的夾角，不妨設(shè)PA＝AB＝1，因?yàn)?/span>∠ABC＝60°，所以BC＝，DE＝×＝，PB＝，BD＝．在△ABD中，AD2＝AB2＋BD2－2AB·BD·cos 45°＝，∴AD＝，所以sin∠DAE＝＝＝．即AD與平面PAC夾角的正弦值為．2．(改問法)若本例的題(2)條件不變，求AD與平面PBC的夾角的正弦值，結(jié)果如何？[解]　由例題(1)知BC⊥平面PAC，所以平面PAC⊥平面PBC．過A作AE⊥PC．所以AE⊥平面PBC．連接ED，則∠ADE為AD與平面PBC的夾角．設(shè)PA＝2a，AB＝2a，所以PB＝2a．故AD＝a．在△APC中，AP＝2a，AC＝AB·sin 60°＝2a×＝a，所以PC＝＝a，設(shè)∠ACP＝θ，則AE＝AC·sin θ＝AC×＝a×＝a＝a，所以sin∠ADE＝＝＝．即AD與平面PBC夾角的正弦值為．用定義法求直線與平面的夾角找直線在平面內(nèi)的射影，充分利用面面垂直的性質(zhì)及解三角形知識(shí)可求得夾角(或夾角的某一三角函數(shù)值)． 用向量求直線與平面所成的角【例3】　如圖，在直三棱柱A1B1C1-ABC中，AC⊥BC，AC＝BC＝1，CC1＝2，點(diǎn)M是A1B1的中點(diǎn)．(1)求證：B1C∥平面AC1M；(2)求AA1與平面AC1M所成角的正弦值．[解]　(1)證明：在直三棱柱A1B1C1-ABC中，AC⊥BC，AC＝BC＝1，CC1＝2，點(diǎn)M是A1B1的中點(diǎn)．以C為原點(diǎn)，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則B1(0,1,2)，C(0,0,0)，A(1,0,0)，C1(0,0,2)，A1(1,0,2)，M，＝(0，－1，－2)，＝(－1,0,2)，＝，設(shè)平面AC1M的法向量n＝(x，y，z)，則取z＝1，得n＝(2，－2,1)，∵·n＝0，B1C?平面AC1M，∴B1C∥平面AC1M．(2)＝(0,0,2)，平面AC1M的法向量n＝(2，－2,1)，設(shè)AA1與平面AC1M所成角為θ，則AA1與平面AC1M所成角的正弦值：sin θ＝＝＝，所以AA1與平面AC1M所成角的正弦值為．用向量法求線面角的步驟(1)建立空間直角坐標(biāo)系；(2)求直線的方向向量；(3)求平面的法向量n；(4)計(jì)算：設(shè)線面角為θ，則sin θ＝．2．已知棱臺(tái)ABC-A1B1C1，平面AA1C1C⊥平面A1B1C1，∠B1A1C1＝60°，∠A1B1C1＝90°，AA1＝AC＝CC1＝，D，E分別是BC和A1C1的中點(diǎn)．(1)證明：DE⊥B1C1；(2)求DE與平面BCC1B1所成角的余弦值．[解]　(1)證明：過點(diǎn)A作AO⊥平面A1B1C1，交A1C1于點(diǎn)O，連接B1O，設(shè)AA1＝AC＝CC1＝＝2，則A1O＝1，A1B1＝2，∴B1O⊥A1C1，B1O＝，以O為原點(diǎn)，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則B，C(0,2，)，D，E，B1(，0,0)，C1(0,3,0)，＝，＝(－，3,0)，又·＝0，∴DE⊥B1C1．(2)＝(，－2，－)，＝(0,1，－)，設(shè)平面BCC1B1的法向量n＝(x，y，z)，則取y＝，得n＝(3，，1)，＝，設(shè)DE與平面BCC1B1所成角為θ，則sin θ＝＝．∴cos θ＝＝．∴DE與平面BCC1B1所成角的余弦值為．1．知識(shí)：掌握線面角的概念以及最小角定理．2．方法：(轉(zhuǎn)化思想)利用空間向量求角的基本思路是把空間角轉(zhuǎn)化為求兩個(gè)向量之間的關(guān)系．首先要找出并利用空間直角坐標(biāo)系或基向量(有明顯的線面垂直關(guān)系時(shí)盡量建系)表示出向量，其次理清要求角和兩個(gè)向量夾角之間的關(guān)系．1．若直線l與平面α所成角為，直線a在平面α內(nèi)，且與直線l異面，則直線l與直線a所成角的取值范圍是(　　)A．　　　　　　 B．C．   D．D　[由最小角定理知直線l與直線a所成的最小角為，又l，a為異面直線，則所成角的最大值為．]    2．已知長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB＝BC＝4，CC1＝2，則直線BC1和平面DBB1D1所成角的正弦值為(　　)A．   B．C．   D．C　[連接A1C1交B1D1于O點(diǎn)，由已知得C1O⊥B1D1，且平面BDD1B1⊥平面A1B1C1D1，∴C1O⊥平面BDD1B1，連接BO，則BO為BC1在平面BDD1B1上的射影，∠C1BO即為所求．C1O＝×＝2，BC1＝＝2，∴sin∠C1BO＝＝＝．]3．若平面α的一個(gè)法向量為(1,1,1)，直線l的方向向量為(0,3,4)，則l與α所成角的正弦值為________．　[設(shè)l與平面α所成的角為θ，則sin θ＝＝＝．]4．在正三棱錐P-ABC中，PA＝4，AB＝，則側(cè)棱PA與底面ABC所成角的正弦值為________．　[如圖，在正三棱錐P-ABC中，PA＝4，AB＝，設(shè)P在底面上的射影為O，則O為△ABC的中心，由已知求得AO＝1，又PA＝4，∴PO＝＝．∴sin∠PAO＝＝．即側(cè)棱PA與底面ABC所成角的正弦值為．]5．在正四棱錐S-ABCD中，O為頂點(diǎn)在底面上的射影，P為側(cè)棱SD的中點(diǎn)，且SO＝OD，求直線BC與平面PAC所成的角．[解]　以O為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz，設(shè)OD＝SO＝OA＝OB＝OC＝a，則A(a,0,0)，B(0，a,0)，C(－a，0,0)，P，從而＝(2a,0,0)，＝，＝(a，a,0)．設(shè)平面PAC的一個(gè)法向量為n，可求得n＝(0,1,1)，則cos〈，n〉＝＝＝．所以〈·n〉＝60°．所以直線BC與平面PAC所成的角為90°－60°＝30°．  

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高中數(shù)學(xué)人教B版 (2019)選擇性必修 第一冊電子課本

1.2.3 直線與平面的夾角

版本： 人教B版 (2019)

年級(jí)： 選擇性必修 第一冊

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