高中數(shù)學(xué)人教B版 (2019)選擇性必修 第一冊第一章　空間向量與立體幾何1.2 空間向量在立體幾何中的應(yīng)用1.2.3 直線與平面的夾角試講課ppt課件

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1.2.3 直線與平面的夾角(2)       本節(jié)課選自《2019人教B版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊》第一章《空間向量與立體幾何》，本節(jié)主要學(xué)習(xí)直線與平面的夾角。學(xué)生在學(xué)習(xí)了異面直線所成角的概念，對(duì)空間角的問題有了一定的經(jīng)驗(yàn)，線面角的問題，依然按照將空間問題化為平面問題、將立體幾何問題化為空間向量運(yùn)算問題的基本思路展開。為培養(yǎng)學(xué)生直觀想象、數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模和數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)提供舞臺(tái)。課程目標(biāo)學(xué)科素養(yǎng)A.進(jìn)一步理解線面角的定義；
B.掌握求線面角的兩種基本方法，即空間向量法與幾何法. 1.數(shù)學(xué)抽象：線面角的定義 2.邏輯推理：線面角的定義 3.直觀想象：線面角的幾何模型4.數(shù)學(xué)運(yùn)算：用空間向量求直線與平面所成的角問題  1.教學(xué)重點(diǎn)：掌握求線面角的兩種基本方法，即空間向量法與幾何法.2.教學(xué)難點(diǎn)：靈活運(yùn)用兩種基本方法求線面角.多媒體教學(xué)過程教學(xué)設(shè)計(jì)意圖核心素養(yǎng)目標(biāo)一、真題演練1．（2014·全國高考真題（理））直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BCA＝90°，M，N分別是A1B1，A1C1的中點(diǎn)，BC＝CA＝CC1，則BM與AN所成角的余弦值為(　　)A． B． C． D．【答案】C【解析】以C為原點(diǎn)，直線CA為x軸，直線CB為y軸，直線為軸，則設(shè)CA=CB=1，則，，A（1，0，0），，故，，所以，故選C.2.（2011·全國高考真題）已知正方體中，E為的中點(diǎn)，則異面直線AE與BC所成角的余弦值為         .【答案】【解析】連接DE，設(shè)AD=2，易知AD∥BC，∴∠DAE就是異面直線AE與BC所成角，在△RtADE中，由于DE=，AD=2，可得AE=3，∴cos∠DAE==．3．（2020·北京高考真題）如圖，在正方體中，E為的中點(diǎn)．（Ⅰ）求證：平面；（Ⅱ）求直線與平面所成角的正弦值．【解析】（Ⅰ）如下圖所示：在正方體中，且，且，且，所以，四邊形為平行四邊形，則，平面，平面，平面；（Ⅱ）以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的棱長為，則、、、，，，設(shè)平面的法向量為，由，得，令，則，，則..因此，直線與平面所成角的正弦值為.二、典例解析例1. 如圖，四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB＝AD＝AC＝3，PA＝BC＝4，M為線段AD上一點(diǎn)，AM＝2MD，N為PC的中點(diǎn)．(1)證明MN∥平面PAB；(2)求直線AN與平面PMN所成角的正弦值. [思路探究]　(1)線面平行的判定定理?MN∥平面PAB．(2)利用空間向量計(jì)算平面PMN與AN方向向量的夾角?直線AN與平面PMN所成角的正弦值．[解]　(1)證明：由已知得AM＝AD＝2.如圖，取BP的中點(diǎn)T，連接AT，TN，由N為PC的中點(diǎn)知TN∥BC，TN＝BC＝2.又AD∥BC，故TNAM，所以四邊形AMNT為平行四邊形，于是MN∥AT.因?yàn)?/span>AT?平面PAB，MN?平面PAB，所以MN∥平面PAB． (2)如圖，取BC的中點(diǎn)E，連接AE.由AB＝AC得AE⊥BC，從而AE⊥AD，且AE＝＝＝.以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)?/span>x軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A-xyz.由題意知P(0,0,4)，M(0,2,0)，C(，2,0)，N，＝(0,2，－4)，＝，＝.設(shè)n＝(x，y，z)為平面PMN的法向量，則即可取n＝(0,2,1)．于是|cos〈n，〉|＝＝.所以直線AN與平面PMN所成角的正弦值為.若直線l與平面α的夾角為θ，利用法向量計(jì)算θ的步驟如下：  跟蹤訓(xùn)練1．（2020·山東高考真題）如圖，四棱錐P-ABCD的底面為正方形，PD⊥底面1ABCD．設(shè)平面PAD與平面PBC的交線為l．（1）證明：l⊥平面PDC；（2）已知PD=AD=1，Q為l上的點(diǎn)，求PB與平面QCD所成角的正弦值的最大值．【解析】（1）證明： 在正方形中，，因?yàn)?/span>平面，平面，所以平面，又因?yàn)?/span>平面，平面平面，所以，因?yàn)樵谒睦忮F中，底面是正方形，所以且平面，所以因?yàn)?/span>所以平面；（2）如圖建立空間直角坐標(biāo)系，因?yàn)?/span>，則有，設(shè)，則有，設(shè)平面的法向量為，則，即，令，則，所以平面的一個(gè)法向量為，則根據(jù)直線的方向向量與平面法向量所成角的余弦值的絕對(duì)值即為直線與平面所成角的正弦值，所以直線與平面所成角的正弦值等于，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以直線與平面所成角的正弦值的最大值為.例2.  如圖,已知三棱柱ABC-A1B1C1的側(cè)棱與底面垂直,AA1=AB=AC=1,AB⊥AC,M、N分別是CC1、BC的中點(diǎn),點(diǎn)P在 A1B1上,且滿足=λ(λ∈R). (1)證明:PN⊥AM;(2)當(dāng)λ取何值時(shí),直線PN與平面ABC所成的角θ最大?并求該最大角的正切值. (1)證明:如圖,以AB,AC,AA1分別為x,y,z軸,建立空間直角坐標(biāo)系Axyz,則P(λ,0,1),N,0,M0,1,,從而=-λ,,-1,=0,1,,=-λ×0+×1-1×=0,所以,即PN⊥AM.(2)解:平面ABC的一個(gè)法向量為n=(0,0,1),則sin θ=sin-<,n>=|cos<,n>|==(*).由(*)可知,當(dāng)λ=時(shí),sin θ取最大值,即sin θ=,因?yàn)?/span>θ∈0,,在θ≠時(shí),sin θ越大,tan θ越大,即當(dāng)sin θ=時(shí),tan θ取最大值,tan θ=2.(1)此類問題屬于逆向思維問題,解決思路也是建立合適的空間直角坐標(biāo)系,將相關(guān)點(diǎn)坐標(biāo)明確或設(shè)出,然后根據(jù)空間角的計(jì)算公式表達(dá)出含參數(shù)的方程或函數(shù).(2)解決此類問題還要注意題目中各動(dòng)點(diǎn)的限制范圍.跟蹤訓(xùn)練2.如圖，在四棱錐P-ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，PA＝PD，AB⊥AD，AB＝1，AD＝2，AC＝CD＝.(1)求證：PD⊥平面PAB．(2)求直線PB與平面PCD所成角的正弦值．(3)在棱PA上是否存在點(diǎn)M，使得BM∥平面PCD？若存在，求的值；若不存在，說明理由． [解]　(1)證明：因?yàn)槠矫?/span>PAD⊥平面ABCD，AB⊥AD，所以AB⊥平面PAD．所以AB⊥PD．又因?yàn)?/span>PA⊥PD，所以PD⊥平面PAB．(2)取AD的中點(diǎn)O，連接PO，CO.因?yàn)?/span>PA＝PD，所以PO⊥AD．又因?yàn)?/span>PO?平面PAD，平面PAD⊥平面ABCD，所以PO⊥平面ABCD．因?yàn)?/span>CO?平面ABCD，所以PO⊥CO.因?yàn)?/span>AC＝CD，所以CO⊥AD．如圖，建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz.由題意得，A(0,1,0)，B(1,1,0)，C(2,0,0)，D(0，－1,0)，P(0，0,1)．設(shè)平面PCD的法向量為n＝(x，y，z)，則即令z＝2，則x＝1，y＝－2.所以n＝(1，－2,2)．又＝(1,1，－1)，所以cos〈n，〉＝＝－.所以直線PB與平面PCD所成角的正弦值為.(3)設(shè)M是棱PA上一點(diǎn)，則存在λ∈[0,1]使得＝λ.因此點(diǎn)M(0,1－λ，λ)，＝(－1，－λ，λ)．因?yàn)?/span>BM?平面PCD，所以要使BM∥平面PCD當(dāng)且僅當(dāng)·n＝0，即(－1，－λ，λ)·(1，－2,2)＝0. 解得λ＝.所以在棱PA上存在點(diǎn)M使得BM∥平面PCD，此時(shí)＝.   通過真題展示，幫助學(xué)生梳理求解線面角的基本方法和步驟， 提升學(xué)生數(shù)學(xué)抽象，邏輯推理和數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)。                                     通過對(duì)線面角典型問題的分析解決，明確思考方向，提升運(yùn)算速度和準(zhǔn)確度，讓學(xué)生感受，用代數(shù)方法解問題決立體幾何問題。發(fā)展學(xué)生邏輯推理，數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)。                                     通過典型例題的分析和解決，讓學(xué)生感受空間向量坐標(biāo)運(yùn)算在解決空間幾何中的應(yīng)用。發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理的核心素養(yǎng)。                                                   通過典例解析，進(jìn)一步讓學(xué)生體會(huì)空間向量坐標(biāo)在解決立體幾何中的應(yīng)用，提升推理論證能力，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算及邏輯推理的核心素養(yǎng)。 三、達(dá)標(biāo)檢測1.正方體ABCD-A1B1C1D1中，BB1與平面ACD1所成角的正弦值為(　　) A．　   B．　　　C．　　　D．【答案】B　解析：設(shè)正方體的棱長為1，依題意，建立如圖所示的坐標(biāo)系，則A(1,0,0)，B(1,1,0)，C(0,1,0)，D1(0,0,1)，B1(1,1,1)∴＝(－1,0,1)，＝(－1,1,0)設(shè)平面ACD的法向量為n＝(x，y，z)∴令x＝1，∴n＝(1,1,1)，又∵＝(0,0,1)，∴BB1與平面ACD1所成角的正弦值為＝.2.在三棱錐P-ABC中,AB⊥BC,AB=BC= ,點(diǎn)O,D分別是AC,PC的中點(diǎn),OP⊥底面ABC,則直線OD與平面PBC所成角的正弦值為　　　　　. 解析:以O為原點(diǎn),射線OA,OB,OP為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系,如圖,設(shè)AB=a,則OP=,可求得平面PBC的法向量為n=,所以cos<,n>=,設(shè)與面PBC的角為θ,則sin θ=.答案:3．（2020·浙江高考真題）如圖，三棱臺(tái)ABC—DEF中，平面ACFD⊥平面ABC，∠ACB=∠ACD=45°，DC =2BC．（I）證明：EF⊥DB；（II）求DF與面DBC所成角的正弦值．【解析】（Ⅰ）作交于，連接．∵平面平面，而平面平面，平面，∴平面，而平面，即有．∵，∴．在中，，即有，∴．由棱臺(tái)的定義可知，，所以，，而，∴平面，而平面，∴．（Ⅱ）因?yàn)?/span>，所以與平面所成角即為與平面所成角．作于，連接，由（1）可知，平面，因?yàn)樗云矫?/span>平面，而平面平面，平面，∴平面．即在平面內(nèi)的射影為，即為所求角．在中，設(shè)，則，，∴．故與平面所成角的正弦值為． 通過練習(xí)鞏固本節(jié)所學(xué)知識(shí)，通過學(xué)生解決問題，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)。    四、小結(jié)求直線與平面所成角的基本方法
1.空間向量法：需注意所求斜線與法向量的夾角為線面角的正弦；
2，幾何法：需準(zhǔn)確理解線面角的定義，熟悉基本的幾何模型.五、課時(shí)練 通過總結(jié)，讓學(xué)生進(jìn)一步鞏固本節(jié)所學(xué)內(nèi)容，提高概括能力。 教學(xué)中主要突出了幾個(gè)方面：一是通過練習(xí)，提高學(xué)生求解線面角問題的速度和準(zhǔn)確性。三是典例解析，二是對(duì)典型問題的分析解決，幫助學(xué)生建立運(yùn)用空間向量解決立體幾何問題的基本思路。教學(xué)設(shè)計(jì)盡量做到注意學(xué)生的心理特點(diǎn)和認(rèn)知規(guī)律，觸發(fā)學(xué)生的思維，使教學(xué)過程真正成為學(xué)生的學(xué)習(xí)過程，以思維教學(xué)代替單純的記憶教學(xué)。注意在探究問題時(shí)留給學(xué)生充分的時(shí)間， 使數(shù)學(xué)教學(xué)成為數(shù)學(xué)活動(dòng)的教學(xué)。從而發(fā)展學(xué)生的直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)。