[課標(biāo)解讀]1.能用向量語(yǔ)言描述直線和平面，理解直線的方向向量 與平面的法向量.2.能用向量語(yǔ)言表述直線與平面、平面與平面垂直與 平行關(guān)系.3.能用向量方法證明必修內(nèi)容中有關(guān)直線、平面位置關(guān)系的 判定定理.4.體會(huì)向量方法在研究幾何問(wèn)題中的作用.
教材要點(diǎn)知識(shí)點(diǎn)一平面的法向量及其應(yīng)用1.平面的法向量：如果向量n的基線與平面α垂 直 ,則向量n叫 做平面α的法向量或說(shuō)向量n與平面α正交.2.平面的向量表示式：設(shè)A是空間任一 點(diǎn)，n 為空間內(nèi)任一非零向量，用AM·n=0 表述通過(guò)空間內(nèi)一點(diǎn)并且與一個(gè)向量垂直的平面，這 個(gè)式子通常稱為一個(gè)平面的向量表示式.3.兩個(gè)平面平行或垂直的判斷：設(shè)n?,n? 分別是平面α,β的法向量， 則a//β 或α與β重合→ n?//n,;α⊥β→ n?Ln? 一 n?n?=0
狀元隨筆平面的法向量有何作用?是否唯一?[ 提 示 ] 平面的法向量與空間一點(diǎn)可以確定一個(gè)平面，利用平面的 法向量可以判斷直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系.平面的法向量 不唯一，它們都是共線的.
知識(shí)點(diǎn)二三垂線定理及其逆定理1.射影：①已知平面α和一點(diǎn)A, 過(guò)點(diǎn)A作α的_垂 線l 與平面α相 交于點(diǎn)A', 則 A'就是點(diǎn)A在平面α內(nèi)的正 射 影，簡(jiǎn)稱射影 .②圖形F上所有的點(diǎn)_在平面α內(nèi)的 射影 所成的集合F , 叫做圖形 F在平面α內(nèi)的射影.2.三垂線定理：如果在平面內(nèi)的一條直線與平面的一條斜線在這個(gè) 平面內(nèi)的 射影垂直，則它也和這條斜線垂直.3.三垂線定理的逆定理：如果平面內(nèi)的一條直線和這個(gè)平面的 一條斜線垂直，則它也和這條斜線在該平面內(nèi)的射影垂直.
基礎(chǔ)自測(cè)1 . 直線l的方向向量s= (一1,1,1),平面α的法向量為n=(2,x2+x, —x), 若直線l// 平面a, 則x的值為( )A. 2 B. √2C.√2 D.±√2答案：D解析：線面平行時(shí)，直線的方向向量垂直于平面的法向量，故一 1×2+1×(x2 +x)+1× ( 一x)=0, 解得x=±√2.
2.設(shè)平面α的法向量的坐標(biāo)為(1,2,一2),平面β的法向量的坐標(biāo) 為( 一 2, 一4,k). 若α//β,則k等于( )A.2 B.—4C.4 D.—2答案：C解析：因?yàn)閍//β, 所 人 所 以k=4.
3. 已知平面內(nèi)的兩個(gè)向量a=(2,3,1),b=(5,6,4), 則該平面的一個(gè)法向量為( )A.(1,—1,1)B.(2,—1,1)C. ( 一 2 , 1 , 1 ) D. (—1,1,—1)答案：C解 析： 顯 然a 與b 不平行，設(shè)平面的法向量為n=(x,y,z), 則 有令z=1, 得x=—2,y=1,∴n= (一2,1,1).
4. 設(shè)u= ( 一 2 , 2 ,t),v=(6,—4,4) 分別是平面α,β的法向量 . 若α⊥β,則t=( )A.3 B.4C.5 D.6答案：C解析：∵a⊥β, 則u.v=—2×6+2× (一4)+4t=0,∴t=5.
題型1 求平面的法向量例1如圖所示，在四棱錐P-ABCD 中，底面ABCD 為 矩 形 ，PA⊥ 平面 ABCD,E 為PD的中點(diǎn) .AB=AP=1,AD=√3, 試建立恰當(dāng)?shù)目臻g直 角坐標(biāo)系，求平面ACE的一個(gè)法向量.
狀元隨筆平面的法向量有何特點(diǎn)?[提示]設(shè)向量n是平面α的一個(gè)法向量.則：(1)n是一個(gè)非零向量.(2)向量n與平面α垂直.(3)平面α的法向量有無(wú)數(shù)多個(gè)，它們都與向量n 平行，方向相同或相 反.(4)給定空間中任意一點(diǎn)A和非零向量n, 可確定唯一一個(gè)過(guò)點(diǎn)A且垂 直于向量n的平面.
設(shè)平面的法向量為n=(x,y,z)在平面內(nèi)選取兩不共線向量AB,AC等式解由 得出的方程組取其中一個(gè)為非零值(常取±1)得到平面的一個(gè)法向量
方法歸納利用待定系數(shù)法求法向量的解題步驟
設(shè)向量選向量列方程組解方程組賦非零值得結(jié)論
跟蹤訓(xùn)練1 在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD-A?B?C?D? 中，求平面 的一個(gè)法向量n.解析：如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，則A(1,0,0),C(O,1,0),D? (0,0, 1).
設(shè)平面ACD? 的法向量n=(x,y,z). ∵AC=(-1,1,0),AD?=(-1,0,1),.化簡(jiǎn)，得令x=1, 得y=z=1.∴平面ACD?的一個(gè)法向量n=(1,1,1).
又∵n為平面ACD?的一個(gè)法向量，
題型2利用法向量證明空間中的位置關(guān)系例2 如圖所示，在正方體ABCD-A?B?C?D? 中 ，E,F,M 分別為棱BB?,CD,AA? 的中點(diǎn).
B(1)證明：C?M// 平面ADE;
題型2利用法向量證明空間中的位置關(guān)系例2 如圖所示，在正方體ABCD-A?B?C?D? BB?,CD,AA? 的中點(diǎn).(2)平面ADE⊥平面A?D?F.證明：由D?(0,0,1),A?(1,0,1),F(0, ,0),得D?A?=(1,0,0),DF=(0,1,-1),設(shè)平面A?D?F的法向量為n=(x,y,z),則令y=2, 則n=(0,2,1).∴mLn.∴平面ADE⊥平面A?D?F.
中 ，E,F,M 分別為棱
∵m n=(0,—1,2) (0,2,1)=0—2+2=0,
狀元隨筆建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面ADE與平面A?D?F的法 向量求解.
方法歸納利用空間向量證明平行、垂直問(wèn)題的常用思路
線面 平行面面 平行 線面 垂直 面面 垂直
跟蹤訓(xùn)練2 (1)如圖，在正方體ABCD-A?B?C?D? 中 ，O 為底面ABCD 的中心，P 是DD?的中點(diǎn) . 設(shè)Q是CC?上的點(diǎn) . 當(dāng)點(diǎn)Q在什么位置時(shí)， BQ//平面PAO?
(2)本題若把 “Q 是CC? 上的點(diǎn)”改為 “Q 是CC?的中點(diǎn)”,其他條件不變， 求證：平面D?BQ// 平面PAO.證明：建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體棱長(zhǎng)為2,則O(1,1,0), A(2,0,0),P(0,0,1),B(2,2,0),D?(0,0,2),Q(0,2,1),所以0A=(1,—1,0),OP=(-1,—1,1),BQ=(-2,0,1),BD?= (一2, —2,2).
所以平面PAO 的一個(gè)法向量為n?=(1,1,2).同理可求平面D?BQ的一個(gè)法向量為n?=(1,1,2),因?yàn)閚?=n?, 所以n?//n?,所以平面D?BQ// 平面PAO.
設(shè)平面PAO的法向量為n?=(x,y,z),
令x=1, 則y=1,z=2.
題型3 三垂線定理及逆定理的應(yīng)用例3 在正方體ABCD-A?B?C?D?中，求證：A?C⊥平面BDC? .
方法歸納利用傳統(tǒng)的幾何法進(jìn)行證明，在證明線面垂直時(shí)，首先應(yīng)證明線線 垂直，本題在證明線線垂直時(shí)，應(yīng)用到了三垂線定理及其逆定理.
證明：連接AG, ∴Rt△ACC?ORt△MC?A?,∠AC?C=∠MA?C?,∴∠A?MC?+∠AC?C=∠A?MC?+∠MA?C?=90°, ∴A?M⊥AC? .∵ABC—A?B?C? 為直三棱柱，∴B?C? ⊥CC? . 又∵B?C?⊥A?C?,A?C?n CC?=C?,∴B?C?⊥平面AC?, 由三垂線定理知，AB?⊥A?M.
跟蹤訓(xùn)練3 如圖所示，在直三棱柱ABC-A?B?C? 中，∠ACB=90°, ∠BAC=30°,BC=1,AA?=√6,M 是CC?中點(diǎn)，求證：AB?⊥A?M.

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1.2.2 空間中的平面與空間向量

版本： 人教B版 (2019)

年級(jí)： 選擇性必修 第一冊(cè)

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