2023年高考必做模擬卷—新高考Ⅱ考綱卷06一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．設(shè)集合，，且，則（  ）。A、                  B、                 C、                   D、【答案】B【解析】由已知可得、，又∵，∴，∴，故選B。2．設(shè)，，則（  ）。A、                B、               C、                  D、【答案】C【解析】∵，∴，故選C。3．在平行四邊形中，、、，為的中點(diǎn)，則（  ）。A、           B、            C、            D、【答案】A【解析】∵，，，，∴，故選A。4．已知函數(shù)，則（  ）。A、是奇函數(shù)，且在上是增函數(shù)                   B、是偶函數(shù)，且在上是增函數(shù)C、是奇函數(shù)，且在上是減函數(shù)                   D、是偶函數(shù)，且在上是減函數(shù)【答案】A【解析】函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，∵，∴，即函數(shù)為奇函數(shù)，又由函數(shù)為增函數(shù)，為減函數(shù)，故函數(shù)為增函數(shù)，故選A。5．某校為了慶祝新中國(guó)成立周年舉辦文藝匯演，原節(jié)目單上有個(gè)節(jié)目已經(jīng)排好順序，又有個(gè)新節(jié)目需要加進(jìn)去，不改變?cè)瓉?lái)節(jié)目的順序，則新節(jié)目單的排法有（  ）種。A、                 B、                 C、                 D、【答案】D【解析】第一步：個(gè)節(jié)目空出個(gè)位置，加入個(gè)新來(lái)的節(jié)目，∴加入一個(gè)新節(jié)目有種方法，第二步：從排好的個(gè)節(jié)目空出的個(gè)位置中，加入第個(gè)新節(jié)目，有種方法，第三步：從排好的個(gè)節(jié)目空出的個(gè)位置中，加入第個(gè)新節(jié)目，有種方法，∴由分步乘法計(jì)數(shù)原理得，加入個(gè)新節(jié)目后的節(jié)目單的排法有種，故選D。6．已知函數(shù)的圖像可由函數(shù)（，，）的圖像先向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，然后將每個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的倍（縱坐標(biāo)不變）得到，則函數(shù)圖像的一個(gè)對(duì)稱中心可以為（  ）。A、               B、               C、                D、【答案】B【解析】將函數(shù)圖像上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的（縱坐標(biāo)不變），得到的圖像，再將所得圖像向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到，令（），則（），從而圖像的一個(gè)對(duì)稱中心可以為，故選B。7．已知正三角形的邊長(zhǎng)為，是邊的中點(diǎn)，將三角形沿翻折，使，若三角錐的四個(gè)頂點(diǎn)都在球的球面上，則球的表面積為（  ）。A、                  B、                 C、               D、    【答案】A【解析】正如圖，將三角形沿翻折后，注意以為底面，形成三角錐，則平面，∵，，∴，三角錐的外接球球心一定在經(jīng)過(guò)底面的外心且垂直于底面的垂線上，設(shè)球心為，外心為，中點(diǎn)為，外接球半徑為，由底面可知，做剖面，則，過(guò)做，垂足為，則為中點(diǎn)，，在中，，則，故選A。8．在銳角中，，，則的面積的取值范圍為（  ）。A、            B、            C、            D、【答案】C【解析】∵，∴，∴，又∵為銳角三角形，∴，則，∴，∴，由余弦定理得：，如圖，，，，∵為銳角三角形，∴頂點(diǎn)必在、之間，∴，∴，∴，故選C。二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對(duì)的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得2分。9．若，則下列不等式成立的是（  ）。A、          B、            C、  D、【答案】CD【解析】由知，則，∴，∴A選項(xiàng)錯(cuò)，∵，只有時(shí)等號(hào)成立，但，∴，∴B選項(xiàng)錯(cuò)，∵，，∴，∴C選項(xiàng)對(duì)，∵、，∴，∴D選項(xiàng)對(duì)，故選CD。10．意大利人斐波那契于年從兔子繁殖問(wèn)題中發(fā)現(xiàn)了這樣的一列數(shù)：、、、、、、、……即從第三項(xiàng)開(kāi)始，每一項(xiàng)都是它前兩項(xiàng)的和。后人為了紀(jì)念他，就把這列數(shù)稱為斐波那契數(shù)列。下面關(guān)于斐波那契數(shù)列說(shuō)法正確的是（  ）。A、        B、是偶數(shù)        C、        D、【答案】AB【解析】A選項(xiàng)，、、，對(duì)，B選項(xiàng)，由該數(shù)列的性質(zhì)可得只有3的倍數(shù)項(xiàng)是偶數(shù)，對(duì)，C選項(xiàng)，，錯(cuò)，D選項(xiàng)，、、、……、，各式相加得，∴，錯(cuò)，故選AB。11．以下四個(gè)命題表述正確的是（  ）。A、直線（）恒過(guò)定點(diǎn)B、圓：上有且僅有個(gè)點(diǎn)到直線：的距離都等于C、圓：與圓：恰有三條公切線，則D、已知圓：，點(diǎn)為直線上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)向圓引兩條切線、，、為切點(diǎn)，則直線經(jīng)過(guò)定點(diǎn)【解析】BCD【解析】A選項(xiàng)，直線（）得，由得，即直線恒過(guò)定點(diǎn)，錯(cuò)，B選項(xiàng)，圓心到直線：的距離為，圓的半徑，故圓上有個(gè)點(diǎn)到直線的距離為，對(duì)，C選項(xiàng)，由題意可知與外切，曲線：即，曲線：即，兩圓心的距離為，解得，對(duì)，D選項(xiàng)，∵點(diǎn)為直線上一動(dòng)點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)，圓：的圓心為，以線段為直徑的圓的方程為，即，又直線為圓與圓的公共弦，其方程為：，即，即，令，得，∴直線經(jīng)過(guò)定點(diǎn)，對(duì)，故選BCD。12．已知函數(shù)，其中是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，下列說(shuō)法中正確的是（  ）。A、在是增函數(shù)        B、是奇函數(shù)        C、在上有兩個(gè)極值點(diǎn)D、設(shè)，則滿足的正整數(shù)的最小值是【答案】ABD【解析】A選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，、，，∴函數(shù)在是增函數(shù)，對(duì)，B選項(xiàng)，令，該函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，∵，，則，∴函數(shù)為奇函數(shù)，對(duì)，C選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，且，∴函數(shù)在內(nèi)無(wú)極值點(diǎn)，，①當(dāng)時(shí)，、，則，則、，∴，∴函數(shù)在上單調(diào)遞減，∵，，∴函數(shù)在上只有一個(gè)極值點(diǎn)，②當(dāng)時(shí)，、，∴，，則，∴，則，∴函數(shù)在上無(wú)極值點(diǎn)，綜上所述，函數(shù)在上只有一個(gè)極值點(diǎn)，錯(cuò)，D選項(xiàng)，，當(dāng)時(shí)，、，不成立，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，、，∵、、，則，∴，∴滿足的正整數(shù)的最小值是，對(duì)，故選ABD。三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，則        。【答案】【解析】由等差數(shù)列的性質(zhì)可得：，∴，則。14．設(shè)是坐標(biāo)原點(diǎn)，是拋物線：的焦點(diǎn)，是拋物線上的一點(diǎn)，與軸正向的夾角為，則        。【答案】【解析】過(guò)點(diǎn)做，垂足為，則，，設(shè)，則、，，又點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離與到焦點(diǎn)的距離相等，則，解得，則，則。15．若，則        。【答案】【解析】令，則，對(duì)等式兩邊求導(dǎo)得：，令，則，∴。16．在長(zhǎng)方體中，，。過(guò)點(diǎn)作平面與、分別交于、兩點(diǎn)，若與平面所成的角為，則截面面積的最小值是       。【答案】【解析】過(guò)點(diǎn)做，連接，∵平面，∴，∴平面，∴，∴平面平面，∴為與平面（即平面）所成的角，∴，則中，∵，∴，，在中，由射影定理得，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即為的中點(diǎn)時(shí)，等號(hào)成立，則截面面積的最小值射影定理：在中，斜邊上的高是兩條直角邊在斜邊射影、的比例中項(xiàng)，即①；每一條直角邊又是這條直角邊在斜邊上的射影和斜邊的比例中項(xiàng)，即②；、、③。證明：①∵，，∴，∴，即，∴；②∵，∴，∴。四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（本小題滿分10分）在中，內(nèi)角、、所對(duì)的邊分別為、、，已知、、。（1）求角的大??；（2）求的值；（3）求的值。【解析】（1）在中，，由余弦定理以及、、得：，     2分又∵，∴；                                                          3分（2）由正弦定理以及、、可得：；    5分（3）由及，可得，則，∴，              8分∴。                           10分18．（本小題滿分12分）如圖所示，長(zhǎng)方體的底面是長(zhǎng)為的正方形，且滿足，。（1）證明：平面平面；（2）求二面角的余弦值。  【解析】（1）連接，由長(zhǎng)方體的性質(zhì)可知，且四邊形是平行四邊形，∴，∵，∴、，∴、，              2分又，平面，，平面，∴平面平面；                                                           4分（2）以、、所在直線分別為軸、軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，∵，，∴，，則、、、、、，∴，，，，                 6分設(shè)平面的法向量為，則，即，令，則、，則，                                       8分設(shè)平面的法向量為，則，即，令，則、，則，                                       10分設(shè)二面角的平面角為，經(jīng)觀察為銳角，∴。                                  12分19．（本小題滿分12分）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，數(shù)列滿足關(guān)系式。（1）若數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，求數(shù)列的前項(xiàng)和；（2）若數(shù)列的前項(xiàng)和，則當(dāng)的最小整數(shù)值為多少時(shí)，？【解析】（1）∵數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，∴，，            2分代入得：，又由可知，∴，∴，∴；                                                          4分（2）∵數(shù)列的前項(xiàng)和，∴當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，驗(yàn)證，當(dāng)時(shí)不符合，∴，                                          6分∴由得：當(dāng)時(shí)，，解得，當(dāng)時(shí)，，∴，兩式相減得，化簡(jiǎn)得，又當(dāng)時(shí)，，解得，∴當(dāng)時(shí)，，∴當(dāng)時(shí)，，又，∴數(shù)列是從第二項(xiàng)開(kāi)始的一個(gè)首項(xiàng)為、公比為的等比數(shù)列，∴，∴，                           10分又、且是遞增數(shù)列，∴當(dāng)的最小整數(shù)值為時(shí)，。                                            12分20．（本小題滿分12分）已知函數(shù)。（1）當(dāng)時(shí)，討論的單調(diào)性；（2）當(dāng)時(shí)，，求實(shí)數(shù)的取值范圍。【解析】（1）當(dāng)時(shí)，，其定義域?yàn)?/span>，，                       1分記，其定義域?yàn)?/span>，恒成，∴在上單調(diào)遞增，   2分又，∴當(dāng)時(shí)，即在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，即在上單調(diào)遞減，∴在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；                                   4分（2）①當(dāng)時(shí)，，                                                              5分②當(dāng)時(shí)，即，                                    6分令，其定義域?yàn)?/span>，，         7分記，，令，∵，∴，∴在上單調(diào)遞增，即，即，∴在上單調(diào)遞增，即，                                   9分故當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，∴在處取得極大值也是最大值，∴，∴，      11分綜上可知，實(shí)數(shù)的取值范圍是。                                         12分21．（本小題滿分12分）甲、乙兩人玩闖關(guān)游戲，游戲規(guī)則如下：每人每次同時(shí)投擲顆骰子，由甲先擲自己手中骰子一次，然后乙擲自己手中骰子一次，然后甲再擲，如此輪流投擲，誰(shuí)先投擲出的顆骰子的點(diǎn)數(shù)之和為，則闖關(guān)成功，并停止游戲。（1）記一次投擲出的骰子中顆的點(diǎn)數(shù)之和為，求的數(shù)學(xué)期望；（2）在甲投擲骰子一次闖關(guān)成功的概率最大的條件下，若甲投擲不超過(guò)（，）次能確定勝負(fù)，請(qǐng)證明：甲獲勝的概率大于乙獲勝的概率。【解析】（1）的所有可能取值分別為、、、、、、、、、、，                 1分由得，由得，由得，由得，由得，由得，由得，由得，由得，由得，由得，                                                3分∴的分布列為：∴的數(shù)學(xué)期望為：，          6分（2）由（1）知時(shí)，甲投擲骰子一次闖關(guān)成功且概率最大為，記甲在（，）次投擲后才闖關(guān)成功的概率為，則甲、乙前次闖關(guān)均失敗，，∴為在甲投擲不超過(guò)（，）次的情況下甲獲勝的概率，                    9分記乙在（，）次投擲后才關(guān)成功的概率為，則甲前次闖關(guān)失敗，乙前次闖關(guān)失敗，則，∴為在甲投擲不超過(guò)（，）次的情況下乙獲勝的概率，∴，故甲獲勝的概率大于乙獲勝的概率。                                 12分22．（本小題滿分12分）已知橢圓：（）的左、右焦點(diǎn)分別為、，點(diǎn)在橢圓上，直線交軸于點(diǎn)，且（為坐標(biāo)原點(diǎn)）。（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若直線斜率存在，與橢圓交于、兩點(diǎn)，且與橢圓：（）有公共點(diǎn)，求面積的最大值。【解析】（1）由可得，即，                                              1分又在橢圓上，因此是，解得或（舍去），            3分∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：；                                                 4分（2）設(shè)直線的方程為，原點(diǎn)到直線的距離為，                       5分聯(lián)立方程組，并化簡(jiǎn)得，                     6分設(shè)，，則，，                        7分，              8分∴，            9分而由，可得，則，即，                                   10分當(dāng)時(shí)，則，故，即直線與橢圓：相切時(shí)面積最大為，當(dāng)時(shí)，易知時(shí)，最大值為，綜上可得。                                           12分
 

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