數(shù)學(xué)選擇性必修 第三冊7.1 條件概率與全概率公式教課內(nèi)容ppt課件

這是一份數(shù)學(xué)選擇性必修 第三冊7.1 條件概率與全概率公式教課內(nèi)容ppt課件，共22頁。PPT課件主要包含了基礎(chǔ)預(yù)習(xí)初探，利用乘法公式可得，歸納小結(jié)，條件概率等內(nèi)容，歡迎下載使用。
對離散型隨機變量，我們主要研究其分布列及數(shù)字特征，并對二項分布、超幾何分布進行重點研究 . 對于連續(xù)型隨機變量，我們只研究服從正態(tài)分布的情況 . 通過用隨機變量描述和分析隨機試驗, 解決一些簡單的實際問題, 進一步體會概率模型的作用及概率思想和方法的特點.
7.1 條件概率與全概率公式
7.1.1 條件概率
如果事件A與B不獨立，如何表示積事件AB的概率呢？下面我們從具體問題入手.
在必修“概率”一章的學(xué)習(xí)中，我們遇到過求同一試驗中兩個事件A與B同時發(fā)生(積事件AB)的概率的問題.
當(dāng)事件A與B相互獨立時，有
P(AB)=P(A)P(B).
問題1：某個班級有45名學(xué)生，其中男生、女生的人數(shù)及團員的人數(shù)如下表所示：
在班級里隨機選擇一人做代表：(1)選到男生的概率是多少？(2)如果已知選到的是團員, 那么選到的是男生的概率是多少？
隨機選擇一人做代表, 則樣本空間Ω包含45個等可能的樣本點 . 用A表示事件“選到團員”, B表示事件“選到男生”, 根據(jù)表中的數(shù)據(jù)可以得出,
n(Ω)=45, n (A)=30, n(B)=25.
(1)根據(jù)古典概型知識可知，選到男生的概率
問題1：某個班級有45名學(xué)生，在班級里隨機選擇一人做代表：(2)如果已知選到的是團員, 那么選到的是男生的概率是多少？
(2)“在選到團員的條件下，選到男生”的概率就是“在事件A發(fā)生的條件下，事件B發(fā)生”的概率，記為P(B|A).
此時相當(dāng)于以A為樣本空間來考慮事件B發(fā)生的概率，而在新的樣本空間中事件B就是積事件AB，包含的樣本點數(shù)n(AB)=16 . 根據(jù)古典概型知識可知，
問題2：假定生男孩和生女孩是等可能的，現(xiàn)考慮有兩個小孩的家庭 . 隨機選擇一個家庭 , 那么： (1)該家庭中兩個小孩都是女孩的概率是多大？ (2)如果已經(jīng)知道這個家庭有女孩，那么兩個小孩都是女孩的概率又是多大？
觀察兩個小孩的性別, 用b表示男孩, g表示女孩, 則樣本空間Ω ={bb，bg，gb，gg}, 且所有樣本點是等可能的. 用A表示事件“選擇的家庭中有女孩”, B表示事件“選擇的家庭中兩個孩子都是女孩”, 則A={bg，gb，gg}，B={gg}.
(1)根據(jù)古典概型知識可知，該家庭中兩個小孩都是女孩的概率
問題2: (2)如果已經(jīng)知道這個家庭有女孩，那么兩個小孩都是女孩的概率又是多大？
則樣本空間Ω ={bb，bg，gb，gg}, 用A表示事件“選擇的家庭中有女孩”, B表示事件“選擇的家庭中兩個孩子都是女孩”, 則A={bg，gb，gg}，B={gg}.
(2)“在選擇的家庭有女孩的條件下 , 兩個小孩都是女孩”的概率就是“在事件A發(fā)生的條件下 , 事件B發(fā)生”的概率 , 記為P(B|A) . 此時A成為樣本空間 , 事件B就是積事件AB . 根據(jù)古典概型知識可知，
在上面兩個問題中，在事件A發(fā)生的條件下，事件B發(fā)生的概率都是
這個結(jié)論對于一般的古典概型仍然成立. 事實上, 如下圖所示, 若已知事件A發(fā)生, 則A成為樣本空間. 此時, 事件B發(fā)生的概率是AB包含的樣本點數(shù)與A包含的樣本點數(shù)的比值, 即
一般地, 設(shè)A, B為兩個隨機事件, 且P(A)>0, 我們稱
為在事件A發(fā)生的條件下, 事件B發(fā)生的條件概率，簡稱條件概率.
探究！在問題1和問題2中, 都有P(B|A)≠P(B) . 一般地， P(B|A)與P(B)不一定相等. 如果P(B|A)與P(B)相等，那么事件A與B應(yīng)滿足什么條件？
直觀上看, 當(dāng)事件A與B相互獨立時, 事件A發(fā)生與否不影響事件B發(fā)生的概率，這等價于P(B|A)=P(B)成立.
反之，若P(B|A)=P(B)，且P(A)>0，則：
事實上, 若事件A與B相互獨立, 即P(AB)=P(A)P(B)，且P(A)>0，則：
因此, 當(dāng)P(A)>0時, 當(dāng)且僅當(dāng)A與B相互獨立時, 有
P(B|A)=P(B).
即事件A與B相互獨立.
思考? 對于任意兩個事件A與B, 如果已知P(A)與P(B|A), 如何計算P(AB)呢？
我們稱上式為概率的乘法公式 .
由條件概率的定義, 對任意兩個事件A與B, 若P (A)>0,則
P(AB) =P(A)P (B|A) .
條件概率只是縮小了樣本空間, 因此條件概率同樣具有概率的性質(zhì). 設(shè)P(A)>0，則
(1)P (Ω|A) =1；
(2)如果B和C是兩個互斥事件，則
P(B∪C |A)=P (B|A) +P (C|A) ；
分析 : 如果把“第1次抽到代數(shù)題”和“第2次抽到幾何題”作為兩個事件, 那么問題(1)就是積事件的概率, 問題(2)就是條件概率. 可以先求積事件的概率, 再用條件概率公式求條件概率; 也可以先求條件概率, 再用乘法公式求積事件的概率.
例1 在5道試題中有3道代數(shù)題和2道幾何題, 每次從中隨機抽出1道題，抽出的題不再放回. 求: (1)第1次抽到代數(shù)題且第2次抽到幾何題的概率； (2)在第1次抽到代數(shù)題的條件下, 第2次抽到幾何題的概率.
(1)第1次抽到代數(shù)題且第2次抽到幾何題”就是事件AB. 從5道試題中每次不放回地隨機抽取2道，試驗的樣本空間Ω包含20個等可能的樣本點，即
解法1:設(shè)A=“第1次抽到代數(shù)題”, B=“第2次抽到幾何題”.
解:設(shè)A=“第1次抽到代數(shù)題”, B=“第2次抽到幾何題”.
(2)“在第1次抽到代數(shù)題的條件下, 第2次抽到幾何題”的概率就是事件A發(fā)生的條件下，事件B發(fā)生的概率.
解法2：在縮小的樣本空間A上求P(B|A). 已知第1次抽到代數(shù)題，這時還余下4道試題，其中代數(shù)題和幾何題各2道. 因此，事件A發(fā)生的條件下，事件B發(fā)生的概率為
從例1可知，求條件概率有兩種方法：
方法1：一種是基于樣本空間Ω，先計算P(A) 和P (AB) ，再利用條件概率公式求P(B|A)；
方法2：另一種是根據(jù)條件概率的直觀意義，增加了“A發(fā)生”的條件后，樣本空間縮小為A，求P (B|A) 就是以A為樣本空間計算AB的概率。
例2 已知3張獎券中只有1張有獎，甲、乙、丙3名同學(xué)依次不放回地各隨機抽取1張 . 他們中獎的概率與抽獎的次序有關(guān)嗎？
分析：要知道中獎概率是否與抽獎次序有關(guān)，只要考察甲、乙、丙3名同學(xué)的中獎概率是否相等 . 因為只有1張有獎, 所以“乙中獎”等價于“甲沒中獎且乙中獎”, “丙中獎”等價于“甲和乙都沒中獎”，利用乘法公式可求出乙、丙中獎的概率.
解: 用A, B, C分別表示甲、乙、丙中獎的事件，則
因為P(A)= P(B)= P(C), 所以中獎的概率與抽獎的次序無關(guān).
事實上, 在抽獎問題中 , 無論是放回隨機抽取, 還是無放回隨機抽取，中獎的概率與抽獎的次序無關(guān).
例3 銀行儲蓄卡的密碼由6位數(shù)字組成 . 某人在銀行自助取款機上取錢時，忘記了碼的最后1位數(shù)字. 求：(1)任意按最后1位數(shù)字，不超過2次就按對的概率；(2)若記得密碼的最后1位是偶數(shù), 不超過2次就按對的概率.
分析: 最后1位密碼“不超過2次就按對”等價于“第1次按對，或者第1次按錯第2次按對”.因此，可以先把復(fù)雜事件用簡單事件表示，再利用概率性質(zhì)求解.
解: (1)設(shè)Ai=“第i次按對密碼”(i=1，2)，則事件“不超過2次就按對密碼”可表示為
(2)設(shè)B=“最后1位密碼為偶數(shù)”，則
2、條件概率計算公式:
采用縮減樣本空間計算條件概
(2) 直接利用定義計算