北京市昌平區(qū)2022屆高三二模數(shù)學(xué)試題 一、單選題1．已知集合，則（    ）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)并集的定義運算即得.【詳解】∵，∴.故選：A.2．設(shè)復(fù)數(shù)z滿足，則z= （ ）A．-1+i B．-1-i C．1+i D．1-i【答案】A【分析】【詳解】由得=，故選A.【考點定位】本小題主要考查復(fù)數(shù)的四則運算,復(fù)數(shù)在高考中主要以小題形式出現(xiàn)，屬容易題，主要考查復(fù)數(shù)的概念、幾何意義與四則運算是基礎(chǔ)內(nèi)容.3．為倡導(dǎo)“節(jié)能減排，低碳生活”的理念，某社區(qū)對家庭的人均月用電量情況進(jìn)行了調(diào)查，通過抽樣，獲得了某社區(qū)100個家庭的人均月用電量（單位：千瓦時），將數(shù)據(jù)按照分成6組，制成了如圖所示的頻率分布直方圖. 若該社區(qū)有3000個家庭，估計全社區(qū)人均月用電量低于80千瓦時的家庭數(shù)為（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)頻率分布直方圖可知樣本頻率，由樣本頻率來估計總體的概率，概率乘以總量即為所求.【詳解】由頻率分布直方圖可知:數(shù)據(jù)落在的頻率為，故該社區(qū)有3000個家庭，估計全社區(qū)人均月用電量低于80千瓦時的家庭數(shù)為故選:D4．記為等差數(shù)列的前項和，若，則（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用等差數(shù)列的通項公式和前n項和公式的基本運算求解.【詳解】解：設(shè)等差數(shù)列的公差為d，因為，所以，解得，所以，故選：B5．已知雙曲線的焦距為，其右焦點到雙曲線的一條漸近線的距離為，則雙曲線的漸近線方程為（    ）A． B．C． D．【答案】D【分析】由焦距可得，寫出右焦點坐標(biāo)，結(jié)合點線距離公式列方程求a、b關(guān)系，即可得漸近線方程.【詳解】由題設(shè)則，可知：右焦點為，又雙曲線的漸近線為，由題意，整理得，所以雙曲線的漸近線方程為.故選：D6．“”是“函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減”的（    ）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【分析】利用充分條件，必要條件的定義及三角函數(shù)的性質(zhì)即得.【詳解】當(dāng)時，滿足在區(qū)間上單調(diào)遞減，即由“”可推出“函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減”，反之由“函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減”推不出“”，如時，也滿足在區(qū)間上單調(diào)遞減，∴“”是“函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減”的充分而不必要條件.故選：A.7．如圖，在正四棱柱中，是底面的中心，分別是的中點，則下列結(jié)論正確的是（    ）A．//B．C．//平面D．平面【答案】B【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間位置關(guān)系的向量證明，逐項分析、判斷作答.【詳解】在正四棱柱中，以點D為原點建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，令，是底面的中心，分別是的中點，則，，，對于A，顯然與不共線，即與不平行，A不正確；對于B，因，則，即，B正確；對于C，設(shè)平面的法向量為，則，令，得，，因此與不垂直，即不平行于平面，C不正確；對于D，由選項C知，與不共線，即不垂直于平面，D不正確.故選：B8．已知直線與圓相交于兩點，當(dāng)變化時，△的面積的最大值為（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】將△的面積表示出來即可求出最大值.【詳解】因為直線直線恒過點在圓內(nèi)，所以直線與圓相交，圓的圓心，所以△的面積的最大值為：.故選：C.9．已知函數(shù)，則關(guān)于的不等式的解集是（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】由二次函數(shù)的性質(zhì)判斷區(qū)間單調(diào)性，根據(jù)解析式知恒過且，進(jìn)而確定區(qū)間值域，再由對數(shù)函數(shù)性質(zhì)求的對應(yīng)區(qū)間值域，即可得不等式解集.【詳解】由題設(shè)，對稱軸為且圖象開口向下，則在上遞增，上遞減，由，即恒過且，所以上，上，而在上遞增，且上，上，所以的解集為.故選：C10．在△中，只需添加一個條件，即可使△存在且唯一.條件：①； ②；③中，所有可以選擇的條件的序號為（    ）A．① B．①② C．②③ D．①②③【答案】B【分析】根據(jù)正弦和余弦定理，以及三角形邊與角的性質(zhì)，直接計算即可判斷求解.【詳解】對于①，，所以，，得，所以，此時，△存在且唯一，符合題意；對于②，，所以，，解得，因為，所以，，所以為銳角，此時，△存在且唯一，符合題意；對于③，，所以，，得，進(jìn)而，可得，明顯可見，，與矛盾，故③不符題意.故可以選擇的條件序號為：①②故選：B 二、填空題11．拋物線的準(zhǔn)線方程為__________．【答案】【分析】拋物線的準(zhǔn)線方程為，由此得到題目所求準(zhǔn)線方程.【詳解】拋物線的準(zhǔn)線方程是.【點睛】本小題主要考查拋物線的準(zhǔn)線方程，拋物線的準(zhǔn)線方程為，直接利用公式可得到結(jié)果.屬于基礎(chǔ)題.12．展開式中常數(shù)項為___________（用數(shù)字作答）.【答案】【分析】寫出二項展開式的通項，令的指數(shù)為零，求出參數(shù)的值，代入通項即可得解.【詳解】展開式的通項為，令得，故展開式中的常數(shù)項.故答案為：.13．若函數(shù)有且僅有兩個零點，則實數(shù)的一個取值為______.【答案】（答案不唯一）【分析】由零點的概念求解【詳解】令，當(dāng)時，由得，即為函數(shù)的一個零點，故當(dāng)時，有一解，得故答案為：（答案不唯一） 三、解答題14．如圖，在棱長為的正方體中，點是的中點.(1)求證：平面；(2)求二面角的大小；(3)求點到平面的距離.【答案】(1)證明見解析(2)(3) 【分析】（1）根據(jù)線線垂直證明線面垂直.（2）根據(jù)空間向量，求法向量進(jìn)一步得二面角.（3）根據(jù)空間向量法求點面距.【詳解】（1）在正方體中，因為平面，平面，所以，即.因為四邊形是正方形，所以 .因為平面，所以平面.（2）如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，則，所以.由（1）知，平面的一個法向量為設(shè)平面的一個法向量為，則所以.  令，則，所以 .所以.由圖可知，二面角為鈍角，所以二面角的大小為.（3）設(shè)點到平面的距離，，則.所以點到平面的距離為.15．已知函數(shù)，且的最小正周期為，再從條件①、條件②、條件③中選擇兩個作為一組已知條件.(1)求的解析式；(2)設(shè)，若在區(qū)間上的最大值為，求的最小值．條件①：的最小值為；條件②：的圖象經(jīng)過點；條件③；直線是函數(shù)的圖象的一條對稱軸.注：如果選擇多組符合要求的條件分別解答，按第一個解答計分．【答案】(1)；(2). 【分析】（1）由最小正周期可得，再根據(jù)所選條件，結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)求，即可得解析式；（2）由（1）及和差角正弦公式可得，根據(jù)區(qū)間最值及正弦函數(shù)性質(zhì)求參數(shù)m的范圍，即可得結(jié)果.【詳解】（1）由題意，可得，選①②：由的最小值為，則，故.又，即且，所以.所以.選①③：由的最小值為，則，故.因為是的一條對稱軸，則，，所以，且，則.所以.選②③：因為是的一條對稱軸，則，，所以，且，則.所以.又，則.所以.（2），上，的最大值為，則，可得，所以的最小值為.16．某產(chǎn)業(yè)園生產(chǎn)的一種產(chǎn)品的成本為50元/件.銷售單價依產(chǎn)品的等級來確定，其中優(yōu)等品、一等品、二等品、普通品的銷售單價分別為80元、75元、65元、60元.為了解各等級產(chǎn)品的比例，檢測員從流水線上隨機(jī)抽取200件產(chǎn)品進(jìn)行等級檢測，檢測結(jié)果如下表所示.產(chǎn)品等級優(yōu)等品一等品二等品普通品樣本數(shù)量（件）30506060 (1)若從流水線上隨機(jī)抽取一件產(chǎn)品，估計該產(chǎn)品為優(yōu)等品的概率；(2)從該流水線上隨機(jī)抽取3件產(chǎn)品，記其中單件產(chǎn)品利潤大于20元的件數(shù)為，用頻率估計概率，求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望;(3)為拓寬市場，產(chǎn)業(yè)園決定對抽取的200件樣本產(chǎn)品進(jìn)行讓利銷售，每件產(chǎn)品的銷售價格均降低了5元.設(shè)降價前后這200件樣本產(chǎn)品的利潤的方差分別為，比較的大小.（請直接寫出結(jié)論）【答案】(1)(2)分布列見解析，(3) 【分析】（1）由數(shù)據(jù)計算頻率后估計概率（2）由二項分布概念公式求解（3）由方差計算公式判斷【詳解】（1）抽取的200件產(chǎn)品中優(yōu)等品有30件，抽取優(yōu)等品的頻率是，用樣本估計總體，從流水線上隨機(jī)抽取一件產(chǎn)品，估計是優(yōu)等品的概率為.        .（2）從流水線上隨機(jī)抽取一件產(chǎn)品，估計利潤大于20元的概率為.的可能取值為0，1，2，3.，，，分布列為0123 的數(shù)學(xué)期望.        ...（3）設(shè)件樣本利潤分別為，平均數(shù)為，則降價后件樣本利潤分別為，平均數(shù)為，由方差計算公式可得17．已知橢圓的離心率為，上下頂點分別為，且.過點的直線與橢圓相交于不同的兩點（不與點重合）.(1)求橢圓的方程；(2)若直線與直線相交于點，求證：三點共線.【答案】(1)(2)證明見解析 【分析】（1）根據(jù)橢圓的離心率為和，由求解； （2）設(shè)直線的方程為，與橢圓方程聯(lián)立，由直線的方程為，令，得到，再結(jié)合韋達(dá)定理，判斷即可.（1）解：根據(jù)題意， 解得.所以橢圓C的方程為：.                                   ...（2）（2）由（1）知，.根據(jù)題意，直線的斜率一定存在，設(shè)直線的方程為.由，得.根據(jù)題意，恒成立，設(shè)則.直線的方程為，令，得，所以.因為，則直線的斜率分別為，.又，                     ，                     ，.所以，所以三點共線.18．已知函數(shù)，.(1)若曲線與曲線在它們的交點處具有公共切線，求實數(shù)的值；(2)若函數(shù)無零點，求實數(shù)的取值范圍；(3)當(dāng)時，函數(shù)在處取得極小值，求實數(shù)的取值范圍.【答案】(1)(2)(3) 【分析】（1）求出兩個函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，由題可知，求出即可；（2）設(shè)，求出導(dǎo)數(shù)，討論的范圍根據(jù)單調(diào)性可得出；（3）求出的導(dǎo)數(shù)，討論的范圍，根據(jù)單調(diào)性即可得出.(1)因為函數(shù)，，所以，.因為曲線與曲線在它們的交點處具有公共切線，所以.則，解得.(2)由題意，，設(shè).①當(dāng)時，，在上單調(diào)遞增，且，所以，所以在上無零點.②當(dāng)時，令，得．當(dāng)，即時，，在上單調(diào)遞增，且，所以，所以在上無零點.當(dāng)時，， 符號變化如下， 0+ ↘極小值↗ 所以.當(dāng)，即時，，所以，所以在上無零點.當(dāng)，即時，由，，所以至少存在一個零點，所以至少存在一個零點.綜上，若無零點，實數(shù)的取值范圍為.(3)當(dāng)時，，定義域為．則．由（2）可知，當(dāng)時，，當(dāng)時， ，所以當(dāng)時，在上恒成立.此時，當(dāng)時，，單調(diào)遞減；當(dāng)時，，單調(diào)遞增.所以在處取得極小值．當(dāng)時，，當(dāng)時，，，所以，單調(diào)遞減.此時不是極小值點．即時，不合題意．綜上，滿足條件的的取值范圍為．19．已知數(shù)列，給出兩個性質(zhì)：①對于任意的，存在，當(dāng)時，都有成立；②對于任意的，存在，當(dāng)時，都有成立．(1)已知數(shù)列滿足性質(zhì)①，且，，試寫出的值；(2)已知數(shù)列的通項公式為，證明：數(shù)列滿足性質(zhì)①；(3)若數(shù)列滿足性質(zhì)①②，且當(dāng)時，同時滿足性質(zhì)①②的存在且唯一.證明：數(shù)列是等差數(shù)列．【答案】(1)(2)證明見解析(3)證明見解析 【分析】（1）由性質(zhì)①，可求出且，所以，同理可求得的值；（2）由，驗證性質(zhì)①，即可證明；（3）數(shù)列滿足性質(zhì)①②，帶入驗證，即可得：當(dāng)時，，即可證明滿足條件的數(shù)列是等差數(shù)列.（1）因為數(shù)列滿足性質(zhì)①，且，所以，所以，又因為，即，所以，同理可得：.（2）因為數(shù)列的通項公式為，所以，對于任意的，令，則，. 又，則，即.又，所以，即對于任意的.所以，對于任意的，令，則當(dāng)時，都有成立，所以，數(shù)列滿足性質(zhì)①.（3）由題意，數(shù)列滿足性質(zhì)①②，且當(dāng)時，同時滿足性質(zhì)①②的存在,即對于任意的，存在，當(dāng)時，都有成立，所以，當(dāng)時，，即.對于任意的,有，對于任意的,有,，又當(dāng)時，同時滿足性質(zhì)①②的存在且唯一,所以，當(dāng)時，,所以，滿足條件的數(shù)列是等差數(shù)列.【點睛】與數(shù)列的新定義有關(guān)的問題的求解策略：1、通過給出一個新的數(shù)列的定義，或約定一種新的運算，或給出幾個新模型來創(chuàng)設(shè)新問題的情景，要求在閱讀理解的基礎(chǔ)上，依據(jù)題目提供的信息，聯(lián)系所學(xué)的知識和方法，實心信息的遷移，達(dá)到靈活解題的目的；2、遇到新定義問題，應(yīng)耐心讀題，分析新定義的特點，弄清新定義的性質(zhì)，按新定義的要求，“照章辦事”，逐條分析、運算、驗證，使得問題得以解決. 四、雙空題20．已知是△的邊的中點，，，則______；______【答案】     3     ##-0.75【分析】利用數(shù)量積的定義可得，利用向量的線性表示及數(shù)量積的運算即得.【詳解】∵，，∴，又是△的邊的中點，∴，∴.故答案為：3；.21．刺繡是中國優(yōu)秀的民族傳統(tǒng)工藝之一，已經(jīng)有2000多年的歷史.小王同學(xué)在刺繡選修課上，設(shè)計了一個螺旋形圖案--即圖中的陰影部分.它的設(shè)計方法是：先畫一個邊長為3的正三角形，取正三角形各邊的三等分點，得到第一個陰影三角形；在正三角形中，再取各邊的三等分點，得到第二個陰影三角形；繼續(xù)依此方法，直到得到圖中的螺旋形圖案，則______;圖中螺旋形圖案的面積為______.【答案】          【分析】根據(jù)余弦定理得到等邊三角形邊長成等比數(shù)列，即可得的長度，再根據(jù)三角形的面積公式，求得各個陰影三角形面積成等比數(shù)列，即可求解.【詳解】解：設(shè)正三角形的邊長為，后續(xù)各正三角形的邊長依次為，，，設(shè)第一個陰影三角形面積為,后續(xù)陰影三角形面積為由題意知，，，所以為以為首項，為公比的等比數(shù)列，所以，所以，所以；所以，又，所以是以為首項，為公比的等比數(shù)列，故圖中陰影部分面積為，故答案為：；. 

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